函数的单调性 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．

2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意：

研究函数单调性必须先求函数的定义域，

函数的单调区间是定义域的子集

单调区间不能并！

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

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2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.

注意：

1、《名师一号》P16 问题探究问题1

关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．

(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；

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(3)定义的两种变式：

设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1

1212

()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题？

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法

(1) 定义法:

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利用定义证明函数单调性的一般步骤是：

①任取x 1、x 2∈D ，且x 1

②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形

(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．

(2) 导数法:

设函数y ＝f (x )在某区间D 可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 为减函数．

注意：(补充)

（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 为增函数；

如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 为减函数．

（2）单调性的判断方法：

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

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(补充)单调性的有关结论

1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，

则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．

2．若f (x )为增(减)函数，

则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)

(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，

若f (x )与g (x )的单调性相同，

则其复合函数f [g (x )]为增函数；

若f (x )、g (x )的单调性相反，

则其复合函数f[g(x)]为减函数．

简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题

(1)求某些函数的值域或最值．

(2)比较函数值或自变量值的大小．

(3)解、证不等式．

(4)求参数的取值围或值．

(5)作函数图象．

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二、例题分析：

（一) 函数单调性的判断与证明

例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1

判断下列说法是否正确

(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )

(2)函数f (x )＝1x

在其定义域上是减函数．( ) (3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( )

答案： √ × √

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）

(2014·卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是

( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

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答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2） 判断函数f (x )＝ax

x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

法一：定义法

设－1

则f (x 1)－f (x 2)＝

ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1 ＝

ax 1x 2＋1－ax 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1 ＝a x 1－x 2

x 1＋1x 2＋1

∵－1