抛物线的几何性质导学案2
抛物线的几何性质2
例2、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛 物线两交点为A、B，且线段AB中点为M （2，1），求直线l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法
例3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB为抛物线 的焦点弦,求证: (1) x1x2 为定值; (2)
例4.AB是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足
1 AF BF 2( y0 ) 4
p 1 y0 y0 , 2 4
A D
y
M F
B
o
N C
x
AD AF , BC BF
ABF中, AF BF AB 2
(| AF | | BF |) min 2
即y0 min
3 4
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
1 此时 l AB : y x 4
2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.
解法二： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN AD BC , MN
1 AD BC 2( y0 ) 4
抛物线的几何性质
第二课时
讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
y
x F
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
高二数学抛物线的简单几何性质2
l
y
A
A1 p F B
x
抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB | x1 x2 p 2 x0 p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l 我们还可以推得以下结论：
2P (1)若直线的倾斜角为，则 | AB | . 2 sin
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 定值，即x1x2 p , y1 y2 p 2 . 4
2
y
A
A1 p1
B1
F B
p x
(3)设 | AF | m,| BF | n, 则
1 1 2 . m n p
(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.
通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 最小值
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
点的轨迹方程.
瘤胃食物进入反刍动物胃肠道内第一个接触的“暗室”，也是食物消化的“主战场”。它是一个密闭的活体发酵罐，罐 子里面栖息着许多种类的微生物，主要包括原虫、细菌和真菌三大类。通常，每一毫升瘤胃液中就含有160-400亿个细 菌、20万个纤毛虫以及大量的真菌。可别小看了这些微生物，它们可是瘤胃发挥消化生理功能 瘤胃液 /shiji/shenghaushiji/Rumen_Fluid.html 瘤胃液 wqf50xtz 的具体执行者。食物到达瘤胃后，大量微生物立马紧贴在食物的表面，同时分泌纤维素酶、半纤维素酶以及β-糖苷酶 等消化酶，于是食物中的纤维素、半纤维素和果胶等多糖类物质很快就被“切割”成单糖，并“变身”为挥发性的脂肪 酸和CO2等，前者可为反刍动物提供60-70%的能量来源。而这些多糖类植物营养素，反刍动物本身是无法消化的，必须 借助于微生物这一强大的“兵力”，因为瘤胃体积虽大，但它的粘膜并没有消化腺，也不能够分泌消化液，估计是被大 量的食物给胀大的。食物在瘤胃内经微生物充分消化后，约50%的粗纤维可在瘤胃内被消化 她。 第041章 转笔转出来的祸“所以说……”百蝶手扶着下颚，看着慕容凌娢，“你会写多少繁体字？”“不超过二 十个。”“那你的自信是从哪里来的？”百蝶一副恨铁不成钢的样子，“从今天起，好好给我练字。”“不用演出了 吗？”“怎么可能！昨天的演出很成功，我好不容易快把你捧红了，怎么可以放弃！别以为谁会白养着你。以后白天学 习，晚上演出，知道了吗？”“呵呵呵，生活还真是充实。”“就这么愉快的决定了。”……这几天可真是无聊的要死， 慕容凌娢看着手里的毛笔发呆。以前写字时最大的乐趣就是转笔，既可以装13，又可以耍酷。可是现在呢……用这毛笔 时只要稍微不小心，就会弄得到处是墨汁，清理起来极其麻烦。所以她不得不克制自己转笔的欲望。“唉～”慕容凌娢 郁闷地叹了一口气，鬼斧神拆的又转了起来。将毛笔夹在小指和无名指中间，小指发力一推，再由无名指和中指接住。 然后无名指向上用力，笔又落在了食指和中指之间。中指晃动，毛笔也跟着转起。食指顺势将笔绕着拇指转动一周，最 后由食指反转回来。这就完成了慕容凌娢自创的“第一套全国中小学生转笔操”的第一式，其中融合了四种单独的转笔 方式。因为是自创，所以也就只有慕容凌娢能把它们行云流水般的结合在一起，可谓是前无古人，后无来者。虽然算不 上完美，但也足够吸引人的眼球了。慕容凌娢转完了一整套“转笔操”，感觉整个人都变得神清气爽。所有的心烦意乱 都抛在了脑后。可是接着，她就傻眼了。洁白的墙壁被甩上了大片的墨迹，上品的金丝楠木桌椅上，也都是墨迹卫干。 更可怕的是，慕容凌娢的衣服也被喷上了墨汁。这要怎么跟百蝶解释！正当慕容凌娢思考对策的时候，门外走廊上响起 了。一定是百蝶。慕容凌娢赶忙起身，想要找东西先擦干桌子上的墨汁。与此同时门已经被百蝶推开了。“小白绫，你 学得怎么样了？”“我……百蝶姐姐你听我解释，我不是故意的。”慕容凌娢吓得的跪地求饶。“这么干脆的就跪下了 吗……”百蝶半蹲下来，挑起慕容凌娢的脸说道，“不错，你马上就要出师了。”这到底是什么意思？难道说这种有损 人权的行为就是唯一的出路吗，可是自己确实是跪下了，而且还不止一次，难道我这个即将完成九年义务教育的现代人， 终于还是向这个时代屈服了吗？慕容凌娢瞪大了眼睛，大部分是惊恐，真的有一点不甘心啊……“怎么，口口声声说着 不会干有损人格的事情，身体却很诚实呀。人类啊……都是一种自欺欺人的生物，习惯就好了。”百蝶的话严厉中带着 戏虐，让慕容凌娢有些难以接受，“夏桦要去皇宫一趟，点名要带你去。要是你能活着回来，这些事情我绝对不会再追 究。”(古风一言)纵使锦衣玉食富贵荣华，纵使
2014-2015学年高中数学选修2-1 抛物线的标准方程及简单几何性质导学案
抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 2探究点一 抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状？问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗？为什么？问题3 点D 在移动过程中，满足什么条件？问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点F ”去掉是否可以？例1 方程[]22)1()3(2-++y x ＝|x －y ＋3|表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线跟踪训练1 （1）若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线（2）若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线探究点二 抛物线的标准方程问题 1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2 抛物线方程中p 有何意义？标准方程有几种类型？问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. （1）y 2＝－6x ； （2）3x 2＋5y ＝0； （3）y ＝4x 2； （4）y 2＝a 2x (a ≠0).跟踪训练2 （1）抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫716，0 B ．⎝⎛⎭⎫－74，0 C ．⎝⎛⎭⎫－716，0D ．⎝⎛⎭⎫0，－74 （2）抛物线y ＝－14x 2的准线方程是 ( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）准线方程为2y ＋4＝0； （2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.跟踪训练3 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】12．焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程 的解的个数.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k ＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.【问题探究】探究点一 抛物线的几何性质问题1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2 通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1 若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫14，±24B ．⎝⎛⎭⎫18，±24C ．⎝⎛⎭⎫14，24D ．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二 抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.跟踪训练2 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三 直线与抛物线的位置关系问题 结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3 已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3 过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( ) A ．p2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( ) A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF ∙=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。
§2.4.2_抛物线的简单几何性质(2)
O
二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。 例：判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。
O
x
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
几何画板演示
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2
①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x , 直线 l 过定 点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 点 ,1 . 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
§2.4.2抛物线的几何性质(2)
【练习3】过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）求 中点的轨迹方程;（2）证明: 与 轴的交点为定点.
【练习4】求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
【练习5】经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点,求 的值.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
一.滚动复习
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在三棱柱 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 是侧面 的中心,则 与平面 所成角的大小是.
2.若正四棱柱 的底面边长为 , 与底面 成 角,则 到底面 的距离为.
二.今日作业
3.设斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ,且和 轴交于点 ,若 为坐标原点)的面积为 ,求抛物线方程.
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
学习
目标
(1)掌握抛物线的简单几何性质,
(2)能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
二次总结栏
一.课前复习
1.提问:回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的几何性质?
2.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标.
二.知识点总结
7.已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
8.设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线相交于 两点,与抛物线的准线相交于 ,求 与 的面积之比.
纠错、总结栏
直线与抛物线的位置关系
三.典型例题
【例1】斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点,且与抛物线相交于 两点,求 的长.
2.4.2抛物线的简单几何性质(2) - 学生版
课题：§2.4.2 抛物线的简单几何性质应用（二）1．进一步掌握应用抛物线的几何性质解决有关问题；2．掌握直线与抛物线的位置关系，能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题。
※复习：类比椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，填表。
思考：当焦点在y轴时，又怎样处理？题型三：定值问题例1:过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
变式练习：22,,过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦求证:直线y x O A O B AB与轴的交点为定点。
x题型四：直线与抛物线的位置问题1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x ＝my ＋n 代入y 2＝2px （p ＞0）消去x 得：y 2－2pmy －2pn ＝0①，当方程①的判别式△＝0⇔直线与抛物线相切；2． 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点⇔方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离⇔方程①的判别式△＜0。
例2：已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k 。
k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？探究：1.画出上述几种位置关系，从图中你发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？2.方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？变式练习：求过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程。
1．（2010年高考陕西卷理科8）已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 （ ）()21A ()1B ()2C ()4D2． 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.D. (2，2)3. （2012高考安徽理9）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则A O B ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2()D4.已知抛物线22(0)y px p =>，过点()20p ，作直线交抛物线于11()A x y ，、22()B x y ，两点，给出下列结论：①O A O B ⊥；②AOB ∆的面积的最小值为24p ；③2124x x p =-，其中正确的结论是__________________.5.（ 2010年高考全国卷I 理科21）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。
它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。
本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。
2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。
(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。
(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。
(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。
二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。
2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。
(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。
(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。
(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。
(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。
(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。
3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。
(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。
三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。
抛物线和简单几何性质教案(焦点弦的性质)
抛物线的几何性质（第二课时）---------抛物线的焦半径和焦点弦的性质一、教学目标(一)认知目标通过对抛物线焦点弦有关性质的探究，进一步改善对“抛物线”的认知结构。
(二)能力目标从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线焦点弦的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力.培养发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力。
(三)情感目标通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辩证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
二、学情分析学生已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的简单几何性质以及直线与抛物线的位置关系，有了一定的知识储备和探究问题的能力，因此本节课是学生能力的提升，知识的完善和升华。
三、重点难点应用函数与方程思想变形与化简技术处理焦点弦的有关性质。
1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质推理和应用的方法渗透．四、教法与学法分析本节课坚持运用“3+1教学模式”，将“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”的三维目标细化为教学的三个环节，即“理解课题相对完整的知识方法-------抛物线的定义与标准方程的四种形式统一起来；感悟典型问题的变式探究--------抛物线中焦点弦问题，获得解决典型问题的经验与规律---------运用方程和函数思想处理问题”。
在“抓迁移，促能力”形成的过程中，立足于培养学生学习数学的习惯，使学有目标，记有规律，用有方法，贯彻通性通法，对灵活应用分层次要求。
努力做到教法、学法的最优组合。
并体现以下特点：（1）充分利用数形结合，促使学生由感性认识上升为理性认识。
（2）重视学生主体参与。
学生是学习的主体，教是为了使学生会学，因此，对本节课每个环节，都应通过学生的自主学习、合作探究、交流展示的学习过程来完成。
2.4.2抛物线的简单几何性质教案
课题:抛物线的简单几何性质教学目的:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化教学重点:抛物线的几何性质及其运用教学难点:抛物线几何性质的运用授课类型:新授课教学过程:一、复习引入:1.抛物线定义:2.抛物线的标准方程:二、讲解新课:类比探索结合抛物线y2=2px(p>0的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1范围(2对称性(3顶点(4离心率(5焦半径(6通径特点:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响P 越大,开口越开阔三、讲解范例: 例1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点22,2( M ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径197mm ,反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm ,由抛物线的性质可知,当灯泡按装载抛物线的焦点处,经反光曲面反射后的光线是平行光线,为了获得平行光线,应怎样安装灯泡(精确到1 mm例3 过抛物线px y 22 的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,求证:以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切.四、课堂练习:课本47页练习 1,2,3五、小结 :抛物线、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、作业:1.P47 习题5,6,72.抛物线y2=2x 上距点A(a,0距离最近的点恰好是抛物线的顶点,求a 的取值范围.3.一抛物线形拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m,一竹排上有一长、宽均为4m ,高为6m 的大木箱,问能否安全通过拱桥?。
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第11课时 抛物线的几何性质(2)
教学过程
一、 数学运用
【例1】 若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,P是抛
物线上一动点,求当PA+PF取得最小值时点P的坐标.[1](见学生用书P35)
[处理建议] 显然,无法直接求PA+PF的最小值,问题需要转化.
引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将PF转化为
PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题.
[规范板书] 解 如图,过点P向准线作垂线,垂足为Q,则由抛物
线的定义可知PF=PQ,
(例1)
所以PA+PF=PA+PQ.
于是,问题转化为求当PA+PQ取得最小值时点P的坐标,即在抛
物线上求一点P,使其到点A和准线的距离之和最小.
由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点A向准线x=-错
误！未找到引用源。作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.
所以当PA+PF最小时,点P的纵坐标为2,从而得点P的坐标是
(2,2).
[题后反思] 借助于抛物线的定义将PF等量转化为PQ是求解本
题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.
变式 已知P是抛物线y2=4x上一个动点,F是其焦点.若点B的
坐标为(3,2),求PB+PF的最小值.
[规范板书] 解 如图,过点P作PC垂直于准线,垂足为C,则由抛
物线的定义可知PC=PF,所以PB+PF=PB+PC.
(变式)
过B作BQ垂直于准线,垂足为Q,则由点到直线的最短距离是垂
线段知,PB+PC≥BQ=4.故其最小值为4.
(例2)
【例2】 求抛物线y2=4x上一动点P到点A(-1,1)的距离与它到
直线x=-1的距离之和的最小值. (见学生用书P36)
[处理建议] 先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转
化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.
[规范板书] 解 设动点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点
为F,则由抛物线的定义知PF=d,F(1,0).
于是有PA+d=PA+PF≥AF=错误！未找到引用源。=错误！未找
到引用源。,
当且仅当P,A,F三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为错
误！未找到引用源。.
[题后反思] 先利用定义将距离进行转化,再利用不等式
PA+PF≥AF解决最值问题.
【例3】 在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的
距离最小,并求最小距离.[2] (见学生用书P36)
[处理建议] 先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.
[规范板书] 设P(x,y)为抛物线y2=2x上任意一点,点P到l的距
离为d,则d=错误！未找到引用源。.
解法一 令t=x+y,设直线x+y=t与抛物线y2=2x有公共点.
由错误！未找到引用源。得y2+2y-2t=0.
令Δ≥0,可得t≥-错误！未找到引用源。,所以x+y+4≥错误！未找
到引用源。,故d≥错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,即
dmin=错误！未找到引用源。.当且仅当x+y=-错误！未找到引用源。
时,d取最小值.
由错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。
即当点P的坐标为错误！未找到引用源。时,d有最小值错误！未
找到引用源。.
解法二 由平面区域知识可得x+y+4>0,故d=错误！未找到引用
源。.
又x=错误！未找到引用源。,故d=错误！未找到引用源。=错误！
未找到引用源。≥错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
当y=-1时,x=错误！未找到引用源。.
即当点P的坐标为错误！未找到引用源。时,d有最小值错误！未
找到引用源。.
解法三 设直线l':x+y+m=0与抛物线相切,则平行线l'与l间的距
离即为抛物线上的点到直线l的最小距离.
由错误！未找到引用源。得y2+2y+2m=0,所以Δ=4-8m=0,得m=
错误！未找到引用源。.
此时直线l'的方程为x+y+错误！未找到引用源。=0,l与l'的距离
为d=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。
即当点P的坐标为错误！未找到引用源。时,d有最小值错误！未
找到引用源。.
[题后反思] 解法一,通过对x,y的二元一次代数式的换元,将其转
化为直线,进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思
维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离
公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直
观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定
直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.
*
【例4】 定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,
求线段AB的中点M横坐标的最小值,并求出此时点M的坐标.[3]
[处理建议] 本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问
题.
[规范板书] 解 如图,设F是抛物线y2=x的焦点,连结AF,BF,过
点A,B,M分别作AC,BD,MN垂直于准线,垂足分别为C,D,N,则MN=错
误！未找到引用源。(AC+BD).
(例4)
根据抛物线定义得AC=AF,BD=BF,
所以MN=错误！未找到引用源。(AF+BF)≥错误！未找到引用源。.
设点M的横坐标为x,则MN=x+错误！未找到引用源。,
所以x=MN-错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。-错
误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.
等号成立的条件是弦AB过点F,由于|AB|>2p=1,所以AB过焦点
是可能的.
此时点M到y轴的最短距离是错误！未找到引用源。,即AB的
中点M的横坐标为错误！未找到引用源。.
当F在AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-错误！
未找到引用源。,
从而(y1+y2)2=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。
+2y1y2=2×错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2,
即y1+y2=±错误！未找到引用源。,
所以此时AB的中点M的纵坐标为±错误！未找到引用源。.
所以点M的坐标为错误！未找到引用源。时,点M到y轴的距离
最小,最小值为错误！未找到引用源。.
[题后反思] (1) 在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长
(或距离)相互转化.如本题,将点M的横坐标转化为点M到y轴的距离
是解本题的关键.
(2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该梯形的上、下底转化
为抛物线上的点A,B到焦点F的距离,从而利用几何不等式(三角形中
两边之和大于第三边)研究其最小值.
二、 课堂练习
1.已知抛物线y2=6x,定点A(2,3),F为焦点,P为抛物线上一动点,则
PF+PA的最小值为 错误！未找到引用源。 .
提示 准线方程为x=-错误！未找到引用源。,最小值为错误！未找到
引用源。.
2.已知O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上一
点,错误！未找到引用源。与x轴正方向的夹角为60°,则|错误！未找
到引用源。|=错误！未找到引用源。p .
提示 如图,设FA=m,则m=2(m-p),即m=2p,所以CF=错误！未找到引
用源。p,故OA=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错
误！未找到引用源。p.
(第2题)
3.已知A(0,-4),B(-3,2),抛物线y2=8x上的点到直线AB的最短距离为 错
误！未找到引用源。 .
提示 直线AB:2x+y+4=0,设2x+y+t=0与抛物线y2=8x相切,消去x
得y2+4y+4t=0,故Δ=0,得t=1,所以d=错误！未找到引用源。=错误！
未找到引用源。.
4.已知点P(4,2)在抛物线y2=4x的内部,F是抛物线的焦点,在抛物线上
求一点M,使MP+MF最小,并求此最小值.
解 如图,过M作准线l的垂线MA,垂足为A,则由抛物线的定义有
MF=MA,所以MP+MF=MP+MA.
(第4题)
显然当P,M,A三点共线时,MP+MF最小.
此时,点M的坐标为(1,2),最小值为5.
三、 课堂小结
从代数或几何角度来研究抛物线的相关最值问题.