高考聚焦小题——小卷强化训练二十二及参考答案

高考聚焦小题——小卷强化训练二十二班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1. 设f (x )＝错误!则f (f (－1))＝________．2. 从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个球，则三球颜色互不相同的概率是________．3. 若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的右焦点为(2，0)，则此双曲线的渐近线方程为________．4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且数列{S n }也为等差数列，则a 10＝________．5. 若三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝π3，则球O 的表面积为________．6. 已知角α，β满足tan αtan β＝713.若sin(α＋β)＝23，则sin(α－β)＝________．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x ＋4)＝ f (x )＋f (2)，f (1)＝ 4，则f (3)＋ f (10)的值为________．8. 已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →.若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________．二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a . (1) 求角A 的值；(2) 若cos B ＝35，求sin(B －C )的值．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1) 设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2) 设数列{a n }的前四项：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m .如图，某水域两条直线型岸边l 1和l 2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A 相距1 km 的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC (B ，C 分别在l 1和l 2上)围出三角形ABC 的养殖区，且AB 的长不超过5 km ，由于条件的限制AC ＝a km ，a ∈[32，3]，设AB ＝x km ，问：该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1) 求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2) 若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，求证：x 1＋g (x 2)＝－2ln ln a ln a.小卷强化训练二十二1. －1 解析：∵ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，∴ f(－1)＝2－1＝12，f(f(－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 2.310解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为c 1，c 2，c 3基本事件有a ，b ，c 1；a ，b ，c 2；a ，b ，c 3；a ，c 1，c 2；a ，c 2，c 3；a ，c 1，c 3；b ，c 1，c 2；b ，c 2，c 3；b ，c 1，c 3；c 1，c 2，c 3共计10种，其中颜色互不相同的有3种，故所求事件概率为310.3. y ＝±3x 解析：根据题意，双曲线x 2－y2b 2＝1的右焦点为(2，0)，即c ＝2，则有c 2＝1＋b 2＝4，解得b ＝3(b ＞0)，则双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 则此双曲线的渐近线方程为y ＝±3x.4. 19 解析：因为数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则S n ＝n ＋n （n －1）2d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2n ，所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2n.又{S n }也为等差数列，所以d ＝2，所以a 10＝19. 5. 20π 解析：由题意，得三棱锥SABC 是长方体的一部分(如图所示)，球O 是该长方体的外接球，其中SA ＝AB ＝2，AC ＝4，设球O 的半径为R ，则2R ＝AC 2＋SA 2＝42＋22＝25，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝20π.6. －15解析：设sin (α－β)＝x ，即sin αcos β－cos αsin β＝x ①.又sin (α＋β)＝23，即sin αcos β＋cos αsin β＝23②.由①②，得sin αcos β＝13＋x 2，cos αsin β＝13－x2，两式相除，得tan αtan β＝13＋x213－x 2＝713，解得x ＝－15.7. 4 解析：令f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)中x ＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0.因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)＋f (10)＝f (－1)＋f (2)＝f (1)＋0＝4.8. 23解析：设△ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，如图所示．∵ ∠ABC ＝60°，∴ ∠AOC ＝120°.设A(1，0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，B(x ，y)，则BA →＝(1－x ，－y)，BC →＝⎝⎛⎭⎫－12－x ，32－y ，BO →＝(－x ，－y)． ∵ BO →＝λBA →＋μBC →，∴⎩⎨⎧λ（1－x ）－μ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝－x ，－λy ＋μ⎝⎛⎭⎫32－y ＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ－12μλ＋μ－1，y ＝32μλ＋μ－1.∵ 点B 在圆x 2＋y 2＝1上，∴ ⎝⎛⎭⎫λ－12μ2＋⎝⎛⎭⎫32μ2＝(λ＋μ－1)2，∴ λμ＝2（λ＋μ）－13≤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ22， ∴ 14(λ＋μ)2－23(λ＋μ)＋13≥0， 解得λ＋μ≤23或λ＋μ≥2.∵ 点B 只能在优弧AC ︵上，∴ λ＋μ≤23，即λ＋μ的最大值为23.9. 解：(1) 由正弦定理可知2cos A(sin B cos C ＋sin C cos B)＝sin A ，即2cos A sin A ＝sin A ．(2分)因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以2cos A ＝1，即cos A ＝12，(4分)又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(6分)(2) 因为cos B ＝35，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，(8分)所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2425，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝－725.(10分)所以sin (B －C)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤B －⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －2π3＝sin 2B cos 2π3－cos 2B sin 2π3(12分)＝－2425×12－⎝⎛⎭⎫－725×32＝73－2450.(14分)10. 解：(1) {b n }与{a n }接近．(2分) 理由如下：由题意可知a n ＝1×⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n －1，n ∈N *，则b n ＝a n ＋1＋1＝12n ＋1，n ∈N *， 故b n －a n ＝12n ＋1－12n －1＝1－12n .(4分)因为n ∈N *，则2n ≥2，故12n ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 所以⎪⎪⎪⎪1－12n ≤1， 即|b n －a n |≤1，n ∈N *，故{b n }与{a n }接近．(7分) (2) 由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8， 又{b n }与{a n }接近，所以|b n －a n |≤1，n ∈N *. 所以b n ∈[a n －1，a n ＋1]．(10分)则b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]．则当b 1＝b 2∈[1，2]时，M 中只有b 1(b 2)，b 3，b 4三个元素，m ＝3； 当b 1≠b 2时，M 中有b 1，b 2，b 3，b 4四个元素，m ＝4. 故M 中元素的个数m 为m ＝3或m ＝4.(14分) 11. 解：根据题意S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC ， 即12x ·1·sin 60°＋12AC ·1·sin 60°＝12x ·AC ·sin 120°， 解得AC ＝xx －1，(3分)则⎩⎨⎧32≤x x －1≤3，0＜x ≤5，解得32≤x ≤3.(6分)令△ABC 的面积为y ，则y ＝12x ·AC ·sin 120°＝34·x 2x －1＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）＋1x －1＋2≥3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，y 最小为 3 km 2，故该渔民至少可以围出 3 km 2的养殖区．(16分)12. (1) 解：由题意，得h(x)＝a x －x ln a ，有h′(x)＝a x ln a －ln a. 令h′(x)＝0，解得x ＝0.(2分)由a>1，可知当x 变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如表所示：所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(8分)(2) 证明：由f′(x)＝a x ln a 可得曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线斜率为ax 1ln a ．(10分)由g′(x)＝1x ln a 可得曲线y ＝g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线斜率为1x 2ln a.(12分)因为这两条切线平行，故有ax 1ln a ＝1x 2ln a ，即x 2ax 1·(ln a)2＝1.(14分)两边取以a 为底的对数，得log a x 2＋x 1＋2log a ln a ＝0，所以x 1＋g(x 2)＝－2ln ln aln a .(16分)。