二次函数图像与系数关系(含答案)

二次函数图像与系数关系

一．选择题（共9小题）

1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：

①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，

正确的是（）

A．①②B．③④C．①④D．①③

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：计算题；压轴题．

分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；

②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，

将其代入（3a+b），并判定其符号；

③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求

a的取值范围；

④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取

值范围．

解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），

∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．

故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．

∵对称轴x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．

故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），

∴﹣1×3=﹣3，

1

∴=﹣3，则a=﹣．

∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），

∴2≤c≤3，

∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．

故③正确；

④根据题意知，a=﹣，﹣=1，

∴b=﹣2a=，

∴n=a+b+c=c．

∵2≤c≤3，

∴≤c≤4，即≤n≤4．

故④错误．

综上所述，正确的说法有①③．

故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

2．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上

两点，则

y1＞y2．其中说法正确的是（）

A．①②B．②③C．①②④D．②③④

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：压轴题．

分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x ＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

解答：解：∵二次函数的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣=﹣1，

∴b=2a＞0，

∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∵＜3，

∴y2＜y1，∴④正确；

故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：压轴题．

分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此

判定②正确；

由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），

∴c=1，a﹣b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，

∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，

∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；

④∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵ab＜0，∴b＞0．

∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，

∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，

∴0＜b＜1，正确；

③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，

∴a+b+c=2b＞0．

∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，

∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则

x0＞0，

由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选B．

点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A．a bc＜0 B．a+c＜b C．b＞2a D．4a＞2b﹣c