最新-高考数学教学论文 恒成立问题的一般解法 精品
高中数学常见的恒成立问题的一般解法
高中数学常见的恒成立问题的一般解法摘要：本文针对高中数学的恒成立问题，通过分析恒成立问题在解题过程中的几种类型和解题的常用方法进行分类，并通过实例进行说明，比较系统的展现了高中数学中恒成立问题的一般解法，帮助学生对恒成立问题有了系统、详细的认识。
关键词：恒成立问题；解法；函数；不等式我们在高中数学教学中，经常遇到一些恒成立问题，我们反复讲解，大多数学生也束手无策，不知道从哪里下手，找不到问题的突破口，因而感觉十分困难，主要是缺乏系统归类。
高中数学中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①函数型；②不等式型；③方程型。
而这三种类型又不是独立出现的，有时会把两者融合在一起。
对于这三种类型的题解决的方法常有：①函数性质法；②分离参数法；③数形结合法。
一、函数性质法函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，而对于恒成立问题经常用到函数的单调性。
下面根据函数类型对利用函数性质法来解恒成立问题做一个说明。
（一）一次函数型对于一次函数y=f(x)=kx+b(k≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）或一次函数的单调性（当k>0时，y=f(x) 在[m,n]内为增函数，当k<0时，y=f(x) 在[m,n]内为减函数）可得ⅰ）0()0k f m >⎧⎨>⎩或ⅱ）0()0k f n <⎧⎨>⎩即一次函数y=f(x)=kx+b(k ≠0)在[m,n]的最小值大于0。
若k 不知道正负，上面两种情况亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ，这样可以回避讨论k 的正负。
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1、 对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>a+2x 恒成立的x 的取值X 围。
恒成立问题的几种常见解法
恒 成 立 问 题 的 几 种 常 见 解 法
张 月欣
－
ａ ｘ ＋ ｘ ＋ １ 对 ｘ ∈ Ｒ 恒 成 立 ｊ （ １ ） ａ ＝ ０ 不 成 立 （ ２ ） ｛ ０
≥
．
，
、
ｆ ａ ＞ － ０ ４ ａ≤ ０
１
围为 ｆ ｘ ｌ 一 二 ≤ｘ ≤３ １ ．
２
变形４ ： 已知函￣ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｏ ｇ ． （ ａ ｘ ‘ ＋ ｘ ＋ １ ） 的 定 义 域 为 Ｒ， 求ａ 的 取 值 范 围． 总结 ： 上述 经过 转 化 可 以 转 化 为题 型二 或题 型 三解 决 ． 转化二 ： 已 知 函数 的单 调 区间 ， 求 参 数 的 范 围．
ａ
｛ ａ △ ＞ ０ ≤ ０ ａ ≤ 一 ３ ， 综 上 所 述 ， ａ 的 取 值 范 围 为 ｛ ａ ｌ ａ ≤ 一 ３ ｝ ．
变形５ ： 已 知 函 数ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ 一 ３ ｘ ‘ 十 ａ ） 【 ， 在 ｘ∈［ 一 １ ， ２ ］ 上 单 调 递 增， 求ａ 的取 值 范 围． 解： ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ Ｓ － ３ ｘ ： ＋ ａ ｘ ￣ｘ ∈Ｅ － １２ ］ 上单 调 递 增
要观察变量情况 ， 灵 活 应 对 不 同情 况 ， 做 到 可 以 随时 转 化 变量 。 千 万不 能钻 牛 角 尖． 题型二 ： 二 次 函 数ｆ （ ｘ ） ＝ ａ ｘ ＋ ｈ ｘ ＋ ｃ 对ｘ ∈Ｒ恒 成立 问题 ．
高考复习中有关恒成立问题的解法
所 以圆 Ｃ 的方程为 ＋ ｙ ＋ ２ ｘ 一 （ ６ ＋ １ ） ｙ ＋ ６ ＝ ０． （ ３ ）圆 Ｃ 必过 定 点 ，证 明如 下 ： 假 设圆 ｃ 过定 点（ ｘ ｏ ， Ｙ 。 ） （ ， ｙ 。 蓑 ６ ），将该点的坐标代入 圆 ｃ的方程， 并变形为 ＋ ＋ 一 ＋ ｂ （ １ － ｙ 。 ） ＝ ０ （ ｝ ） ． 为使 （ ｝ ）式对所有满足ｂ ＜ １ （ ６ ≠ ｏ ） 的ｂ 都成立，必须有１ 一 Ｙ ｏ ＝ ０ ，结合 （ ￥ ）
的任一个数都有 （ ｇ 酶》 恒成立 ，则嚣 》 碡 ． 二、恒戚 立问囊在解析几何 中的应用 当等式 （ 或 方程）中的参数 （ 或 关于参数 的代 数式 ）能够 与其它变量完 全分离出来，利用等 式的值 与该参数无关进行求解 。
式得
＋ ＋２ 一ｙ ０＝０
，
解 得 １ ： １ ， 瓢１ ： １
①
（ ３ ）问圆Ｃ是否经过定点 （ 其坐标 与ｂ 的无关 ）？请证明你的结论 解： （ １ ）令 ＝ ０ ，得抛物线与Ｙ 轴交点是 （ ０ ，ｂ ）； 令， （ ） ： ＋ ２ ｘ ＋ ｂ ＝ ０ ，由题意 ｂ ≠０且 △＞ ０ ，解得 ｂ＜ １且 ｂ≠ ０ ．
（ ２ ）设 所 求 圆 的 一 般 方 程 为 ＋ ｙ ＋ Ｄ ｘ ＋ ＋ Ｆ＝０ 令 Ｙ＝ ０ 得 ｘ ＋ ＋，＝０ 这 与 ＋ ２ ｘ ＋ｂ＝ ０ 是 同一 个 方 程 ， 故 Ｄ＝ ２，Ｆ
令 ｚ＝ ０ 得 ＋ ｅ ｙ＝ ０，此 方 程 有 一 个 根 为 ｂ ， 代 入 得 出 Ｅ＝ 一ｂ 一１ ．
综上所述， 口 的取值集合为｛ １ ｝ ．
评 析：此类 问题 可把要求 的参变 量分离出来 ，单独放在不等 式的一侧 ， 将另一侧看成 新函数 ，从而将 问题转化成新 函数 的最值问题：若对于 ｘ 取值 范 围内的任一个数都有， 秣》 ｇ 龋》 恒成立 ，则 崖 》 端 ；若对于 取值范 围内
解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平
“恒成立”问题的常见类型及一般解法陕西蓝田县城关中学 靳小平恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的许多方面，渗透着换元、化归、构造函数，分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，体现着在变化中把握不变量的数学特征，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试中被广泛采用．本文试图列举、归纳恒成立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法．1．恒成立的常见表述形式：对于任意实数x D ∈,()0f x >恒成立； 对于任意实数x D ∈，都有()0f x >； 对于任意实数x D ∈，总有()0f x >；对于一切满足条件……的实数x ,都有()0f x >； 比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题，例如已知函数2()3(6)f x x a a x b =-+-+，若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，且6b >-，求实数a 的值；本例可转化为“对于任意实数6b >-，都有(1)0f >，求实数a 的值”而与此相对的是若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，当6b >-，且b 为常数时，求实数a 的取值范围。
如此则不是恒成立问题，相当于对于满足条件(1)0f >，且常数6b >-时，求（与b 相依的）实数a 的取值范围．2．含单参数的恒成立问题的基本类型和一般解法2.1与函数定义域有关的简单恒成立问题与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍，解题通法当是直接法解决，至关重要的是把握等价关系即充分必要条件．例1．（2007年高考重庆卷理科第13题)若函数()f x =R ，则a 的取值范围为 ．解析：依题意，222222022210,21,22,20,44010xax axax axax ax R x R x R x ax a x R a a a -------≥∈⇔≥∈⇔≥∈⇔--≥∈⇔∆=+≤⇔-≤≤故[]1,0a ∈-的取值范围是a例2．设函数22()c f x x ax a=++，其中a 为实数．(Ⅰ)若()f x 的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单减区间． 解析：(Ⅰ)依题意220,4004x ax a x R a a a ++≠∈⇔∆=-<⇔<< 故(0,4)a a ∈的取值范围是 (Ⅱ)(略)例3．已知函数2lg(2)y ax ax =++（Ⅰ）若其定义域为R,则a 的取值范围是？（Ⅱ）若其值域为R,则a 的取值范围是？解析：（Ⅰ）函数定义域为R220020,00080000808a a ax ax x R a a a a a a a a >>⎧⎧⇔++>∈⇔=⇔=⇔⎨⎨∆<-<⎩⎩>⎧=⇔≤<⎨<<⎩或或或（Ⅱ）2200R 208080a a ax ax a a a >>⎧⎧⇔++>⇔⇔⇔≥⎨⎨∆≥-≥⎩⎩函数值域为在例3（Ⅱ）中函数值域为R ，即对任何有意义的x ，函数值恒为实数，其充要条件是220ax ax ++>（而不是大于某正数），即00a >⎧⎨∆≥⎩．2.2．与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题这类恒成立问题的一般分为两类：可直接分离参数的：解法可概括为四步：第一步，分离参数；第二步，不等式一边函数化；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小（形象地说是“擒贼先擒王”）．第二类：不便于直接分离参数的，解法是：第一步，分离常数项；第二步，代数式一边函数化（构造函数）；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小.例4．设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（Ⅰ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）证明：①2332332'2311'3311''33min 20()()00330()02(),33(),()0-(0,)()0,();(,)()0()()(t x x f x g x t x t x t t x k x t x k x t x t k x x t k x x t x t x t k x k x x t k x k x k x k t >≥⇔>-+≥⇔>≥=-+=-===∈<∈+∞>∴=当时，对任意正实数成立，对任意正实数恒成立时，对任意正实数恒成立而令解得或（舍去）时为减函数时，为增函数132)033t t t =-+=证明：②2380023162()()4332164+033t g x g x t x t x t t t x x t t ≥⇔-≥-⇔--≤对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立23216()=4+33h t t x x t --令3113333233333max 2333222()=(1),()=0333(0,)()0,()(,+)()0,()216116()()()4+4.33332161164+0403333116()433x xh t h t t x t tx x h t h t x x h t h t h t h x x x x x x x t x x t t x x x x x ϕ''-=-=''∈>∈∞<∴==--=-+∴--≤⇔-+≤=-+'解得时为增函数；时为减函数对任意正实数恒成立再令2min 3000023()4()=2-2(0,2)()0,()(2,+)()0,()()(2)116=2()4=0332164+033x x x x x x x x x x x x x x x x t x x t t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-'==''∈<∈∞>∴=∴=-+--≤=解0得或（舍去）时为减函数；时为增函数=0存在唯一正实数使从而使对任意正实数恒成立小结：例4中反复用了构造函数解决问题的方法． 2.3.与自然数命题有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，往往是对任意自然数，或某个范围内的自然数，某种命题恒成立．由于自然数不满足实数的连续性，所以在解决问题的过程中还需谨慎对待．22722.09(21)9n n x x n x ≤+-≤+例5不等式对任意自然数均成立，解关于实数的不等式2222222272209(21)92722+(21)99(21)1721+11992+22+222272722+0=1999999n n n n n n n nn n x x n x x n x x n x x x x x x ≤+-≤⇔+≤+≤⇔++≤+≤⇔++≤+≤⇔+⇔==-解析：对任意自然数均成立对任意自然数均成立对任意自然数均成立或 小结：例5中21721+11992+22+222n n n nx x ≤+≤++恒成立需要求左式112+22n n +的最大值，求右式21+192+22n n+的最小值，而求这两个最值关系到122n n+的最值． 2.4.与函数图像有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，其基本特点是数形的深刻结合，离开函数图像的“形”的特征，运算会变得复杂而困难．相反地，利用数形结合的原理则可简单直观的解决问题．1201,(),(1,1)(),2x a a f x x a x f x a >≠=-∈-<例6：已知且当时，均有则实数的取值范围是1111.0,[2,),.[,1)(1,4],.[,1)(1,2],.(0,][4,2422A B C D ⎛⎤+∞+∞ ⎥⎝⎦解析：()()()()()2,,f xg x x g x x x ϕϕ=-=令其图像如图1所示， 由指数函数的性质可得2(1)2110110112,(1,1)11112(1)(1)(1)(1)(1)1222211212a a a a x x a x g g a a a a ϕϕ-><<><<⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪-<∈-⇔⇔⎨⎨⎨⎨---<-<--<-<⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⇔<<<<或或或 小结：借助函数图像，通过数形结合把问题转化为对区间一端函数值的比较，从而达到简化问题的目的．2.5. 与几何（立体几何或解析几何）图形有关的恒成立问题这类问题主要体现在对于一个（或若干个）参量在其取值范围内的任意值，某些几何图形要素例如点、线或面具备某种确定不变的几何性质或数量特征．解决问题的关键是寻找满足题意的充分必要条件．例7：如图2，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD=2a ．点E 是SD 上的点，且DE=a λ，（0<λ<2）(I)求证：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有图1(II)设二面角C-AE-D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若t a n t a n 1,θϕ⋅=求λ的值．解析：(I)证明：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有⇔ 对任意(0,2],0AC BE λ∈⋅= )(+DE =AB BC BD λ⇔∈+⋅对任意（0,2],()0C (+D S =C +CD S =C +CD S =A B D A B D A A B D A λλλλλλ⇔∈⋅⇔∈⋅⋅∈⋅⋅对任意（0,2],)0对任意（0,2]，0而依题意，对任意（0,2]，0显然成立. (II)（解略）3. 其他类型的恒成立问题及特殊解法3.1利用不等式性质解决恒成立问题利用基本不等式可以很简洁明快的解决某些恒成立问题． 例8．设22110,2()x a a x a x <<+≥-恒成立，求的取值范围 22min 222222211.()110,22()1112802()()2()282,0 2.x x a x x a x x a x ax a x x a x x a x x a x a a a +-<<+≥⇔≥-<<+≥≥==+---∴≥<≤解析：令f()=恒成立f()而时，.（时等号成立）解得1()()9,ax y x y a x y++≥例9：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）S ABCD图2A ．2B ．4C ．6D ．8min 2211()()(),()()9,()91()()1()()993244a af x x y x y x y x y x yf x a x y x y a x y a x y a =++++≥⇔≥++≥∴++≥⇔≥⇔≥⇔⇔≥∴解析：令对任意正实数恒成立而（1（1（1的最小值为小结：利用基本不等式，解决恒成立问题可以化解分离参数的麻烦，但关键是把握恒成立的本质——寻求充分必要条件． 3.2. 利用主、辅元转换法解决恒成立问题．这种方法尤其适合参变量次数为一次的恒成立问题，通过将表达式中主、辅元转换，可以达到把复杂紊乱的问题简化为简单直观问题的效果． 例10：若不等式221(3)x m x ->-对满足11m -≤≤的所有m 都成立，求x 的范围．解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将原不等式化为：2(3)(21)0m x x ---<，； 令2()(3)(21)f m m x x =---，则11m -≤≤时，0)(<m f 恒成立⇔(1)0(1)0f f -<⎧⎨<⎩⇔221(3)(21)01(3)(21)0x x x x ⎧-⋅---<⎪⎨⋅---<⎪⎩， 所以x的范围是11)x ∈．小结：主副元互换可以实现对问题的有效转化，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质．4. 含双参数的恒成立问题4.1. 有相关联系的双参数问题22().(,),.()()()0()()f x x bx c b c R x R f x f x x f x x c '=++∈∈≤I ≥≤+例11.已知函数对任意的恒有证明：当时，（II ）22,()()()b c f c f b M c b -≤-若对满足题设条件的任意，不等式M 恒成立，求的最小值.解析：（I ）略（II ）.b I ≥由（）得，c2222222()()2.f c f b c b b c b c bc b M c b c b b c --+-+>≥==--+当时，有 21,11,2.11()2(11)1b c b t t c b c tg x t t+=<<=-++=--<<+令则-令函数223()(,),23()()()[,)2g x c b f c f b M c b M ∈-∞>-≤-⇔∈+∞因此当时，恒成立22.()()().c b f c f b M c b M R =I ±-≤-⇔∈当时，由（）得，b=2,c=2此时恒成立22,3()()()[,).2b c f c f b M c b M -≤-⇔∈+∞综合以上两种情况，对满足题设条件的任意，不等式恒成立 即M 最小值为32． 小结：例11是含双参数的恒成立问题，在解题过程中，.b I ≥由（）得，c 所以所含双参数之间存在相关联系，故而后续的步骤中,bt c=令并借助,b c 的关系，推得11t -<<,继而构造新函数1()21g x t=-+(11)t -<<以解决问题．4.2. 两参数之间没有相关联系的恒成立问题例12．已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．解析：（Ⅰ）（略） （Ⅱ）（略）（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立⇔111))1((f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立．所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．小结：例12中两个参数,a b 一开始没有相互的联系，按照题意获得22b a b a≤--≤-+⎧⎨⎩这组关系，基于此关系最终解决恒成立问题． 5. 含双变量的恒成立问题此类问题一般解法应该是先将一变量“固定”看成常数，对另一变量进行恒成立的讨论，结果是关于前一变量的关系式，然后再对这一关系式进行恒成立的讨论，即可获得此类恒成立问题的解．特殊的解法是运用数形结合处理双变量的关系．2281,R 20.x y x xy a x a ∈+-+≥例13.已知对一切，不等式恒成立.求实数的取值范围222222max8120,R 812812x xy a x y x a x xy x a x xy x +-+≥∈⇔≤+-+⎧⇔≤+-⎨⎩解：不等式对一切恒成立.222222221222818122229()(29,(,),(,:9:2(0) 6.x xy x xy y y x x x y xM x N y M C xy xN C x y y MN a +--++--=-+-=+=≤≤而采用数形结合如图3所示，设则点在曲线上，点在曲线显然以上所述的恒成立问题仅是笔者在教学过程中积累的一些常见类型。
高中数学恒成立问题
高中数学的恒成立问题解题思路【知识要点方法】:一、分离参数法：（知X 范围求参数范围）如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，则可以利用函数的单调性求解。
)x (f a >恒成立max )x (f a >⇔，)x (f a <恒成立min )x (f a <⇔例1. 设函数)0,(12)(22>∈-++=t R x t x t tx x f(1) 求)(x f 的最小值)(t h ; （2）若m t t h +-<2)(对)2,0(∈t 恒成立,求实数m 的取值范围.例2.设函数x e x x f 221)(= （1）.求函数)(x f 的的单调区间;（2）.若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f >)(恒成立,求实数m 的取值范围.例3.对于任意实数x ，不等式│x+1│+│x-2│＞a 恒成立，求实数a 的取值范围例4.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.变式训练：1.已知函数1)(23+++=x ax x x f ,R a ∈(1)讨论函数)(x f 的单调区间; (2)设函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,32上是减函数,求实数a 的取值范围.2.已知0>a 函数ax x x f -=3)(在区间),1[+∞上是增函数,求实数a 的最大值.3.若函数2)(23-+-=m mx x x f 在区间)3,0(上是减函数,求实数m 的最大值.4.若函数)()(2a x x x f +=在区间]2,2[-上是减函数,求实数a 的取值范围5.已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是6.已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 [3)-+∞，7.已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤二、构造一次函数法（知参数范围求X 范围）例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2 若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-=的值恒大于0，求x 的取值范围。
高考数学《恒成立和存在性问题》
高考数学 恒成立和存在性问题
2. 已知 e 为自然对数的底数，函数 f(x)＝ex－ax2 的图象恒在直线 y＝32ax 上方，求 实数 a 的取值范围．
高考数学 恒成立和存在性问题
解析：由题意得不等式 ex－ax2>32ax 在 x∈(－∞，＋∞)上恒成立，即 ex>ax2＋32ax 恒成立，根据图象可得当 a>0 时不等式不恒成立；当 a＝0 时，不等式恒成立；当 a<0 时，令 g(x)＝ex，h(x)＝ax2＋32ax，设函数 g(x)与 h(x)图象的公切线为 l，切点 P(t，et)，且 t<0.因为 g′(x)＝ex，h′(x)＝2ax＋32a，所以 l 的斜率 k＝et＝2at＋32at ①.因为点 P 在函数 h(x)的图象上，所以 et＝at2＋32at ②.由①②可得 t＝32(舍去)或 t＝－1，则 a＝－2e，所以－2e<a≤0.
例 1 已知函数 f(x)＝ax2－lnx(a 为常数)． (1) 当 a＝12时，求 f(x)的单调减区间； (2) 若 a<0，且对任意的 x∈[1，e]，f(x)≥(a－2)x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
高考数学 恒成立和存在性问题
解析：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1x＝2axx2－1.当 a＝12时，f′(x)＝ x2－1
解析：(1) f′(x)＝mx －12＝2m2－x x(x>0)．
当 m≤0 时，f′(x)<0.所以 f(x)的单调减区间为(0，＋∞)．
当 m>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝2m，列表如下：
x (0,2m) 2m (2m，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
聚焦高考数学中的恒成立问题
聚焦高考数学中的恒成立问题恒成立问题是高考高频考点，在高考中多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题。
这类问题由于往往既含有自变量又含有参变量等多个字母，且还经常与函数的性质、图像、方程等多种数学分支交汇结合，具有形式灵活、思维性强的特点。
解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱，还原函数问题本来面目。
处理这类问题最基本的方法有分离参数法、构造函数法、数形结合法。
一、分离参数法分离参数法的基本思想是将所给的表达式中的常数a分离出来，转化为：1.f（x）＜g（a）恒成立f（x）max<g（a）；2.f（x）≤g（a）恒成立f（x）max≤g（a）；3.f（x）＞g（a）恒成立f（x）min＞g（a）。
4.f（x）≥g（a）恒成立f（x）min≥g（a）。
例1.（08上海）已知函数f（x）＝2x- 。
（1）若f（x）＝2，求x的值。
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。
解：（1）x=log2（1+2）。
（2）当t∈[1,2]时，2t（22t-）+m（2t-）≥0，即m（22t-1）≥-（24t-1）。
∵22t-1＞0，∴m≥-（22t+1）；∵t∈[1,2]，∴-（22t+1）∈[-17，-5]，故m的取值范围是[-5，+∞]。
方法点晴：本题主要考查了函数的恒成立问题，其解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想。
试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键。
二、函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型。
解题模板：第一步：构造函数,首先可以把含参不等式整理成适当形式。
第二步：从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。
最新恒成立：高中数学恒成立专题解法总结
标题：手工制作坊2004年3月18日四、举例
2、Google网站www。people。com。cn5、转化为恒成立处理
（1）若函数 在区间 为增函数，求 的取值范围
在区间 恒成立，即 在在区间 恒成立，显然
2003年，上海市人均GDP按户籍人口计算就达到46700元，是1995年的2.5倍；居民家庭人均月可支配收入为14867元，是1995年的2.1倍。收入不断增加的同时，居民的消费支出也在增加。2003年上海居民人均消费支出为11040元，其中服务性消费支出为3369元，是1995年的3.6倍。
一、曲线恒过定点问题
直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1）B（2，1）C（1，-2）D（1，2）
二、方程恒有解问题
三、不等式恒成立
1、一次函数
（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析2、二次函数型
与此同时，上海市工商行政管理局也对大学生创业采取了政策倾斜：凡高校毕业生从事个体经营的，自批准经营日起，１年内免交登记注册费、个体户管理费、集贸市场管理费、经济合同鉴证费、经济合同示范文本工本费等，但此项优惠不适用于建筑、娱乐和广告等行业。
恒成立问题的几种常见解法
・ ． ．
只 要 求ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ 一 ｘ ‘ 一 ｘ ＋ ３ 对［ 一 １ ， ２ ］ 上 的 最 大 值 即 可．
－
ａ ｘ ＋ ｘ ＋ １ 对 ｘ ∈ Ｒ 恒 成 立 ｊ （ １ ） ａ ＝ ０ 不 成 立 （ ２ ） ｛ ０
≥
．
，
、
ｆ ａ ＞ － ０ ４ ａ≤ ０
１
围为 ｆ ｘ ｌ 一 二 ≤ｘ ≤３ １ ．
２
变形４ ： 已知函￣ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｏ ｇ ． （ ａ ｘ ‘ ＋ ｘ ＋ １ ） 的 定 义 域 为 Ｒ， 求ａ 的 取 值 范 围． 总结 ： 上述 经过 转 化 可 以 转 化 为题 型二 或题 型 三解 决 ． 转化二 ： 已 知 函数 的单 调 区间 ， 求 参 数 的 范 围．
‘ ３
ｆ ， （ ｘ ） ＝ ３ ＂ － ２ ｘ 一 １ ＝ ０ ， 解得ｘ ＝ ÷， ｘ ２ ＝ １ ．
・ ． ・
、
ｆ （ － ｛ ） ： ’ ｆ （ ＿ １ ） ： ２ ＇ ｆ （ １ ） ： ２ ’ ｆ （ ２ ） ： ５ ，
ｍ＞ ５ ．
‘ ． ．
总结 （ １ ） ａ ≥ｆ （ ｘ ） 对ｘ Ｅ Ｅ ｍ， ｎ ］ 恒成 立 甘 ａ ≥ｆ （ ｘ ） ． （ ２ ） ａ ≤ｆ （ ｘ ） 对ｘ ∈［ ｍ， ｎ ］ 恒 成 立铮 ａ ≤ｆ （ ｘ ） …．
立
含 有参 数 的不 等 式 问题 中至 少 有 两 个 变 量 ，将 两 个 变 量 分离 ， 再通过求函数最值的方式解题 ， 这 是 解 答 这 类 题 目的 最 常用方法 。 称 为 分 离参 数 法 ． 二、 夯 实 的 基 础 是 灵 活 运 用 知 识 进 行 转 化 的 关键 。 为 更 进 步 的 应 用提 供 保 障 ． 转化一 ： 已知 函 数 的定 义 域 ． 求参 数 的 范 围 ．
恒成立问题的教学探究
第２ 小题错解 ： 要使ｆｘ ＜ｇ ） （） （ 恒成立 ， 厂 ） 则－ 的 （
最 大值 ＜ｇ 的最小值 ， 因为 ａ ， 以函数 ｇ ｘ 在 （） 又 ＞０ 所 （）
［，上 减， （）最小 ０ ］ 递 所以ｇ 的 值为ｇ２＝ ÷， ２ ｘ （ ） ＋ 又 一
由（ ） 知 １可 ） 的最 大值 为 ２ ＝ ＋ ａ 所 以 １４ ＜一 ）１４ ， ＋０
【 检测评价】
恒成 立 问题 的教学探究
林孝镇
（ 浙江省苍南县金乡高级 中学 ， 江 苍南 浙
３５０ ） ２ ８０
摘要 ： 本文通过 关于恒成立 问题教 学的一个案例 ， 示学生在解决恒成立 问题 时出现 的常见错误 ． 展 通过错误原 因分析 及 纠正 ， 学生在恒成立问题 的求解中， 使 对变量的关注及分析更 准确 到位 ， 同时也是 对学生及教 师共 同纠错的教学方式的
恒 立 则 ｆ （｛ ） 二 函 ，） 成 ，有 或 ； 次 数（ 若 ｘ
＝ｘ＋ ｘ ｃ ａ ） （ ＜０ 在 指定 区 间上恒 成 立 ， ａ ｂ ＋ （ ≠０ ＞０ 或 ） 可 以利用 韦达定理 以及 根的分 布等知识求解 ． 问题 ２ 已知 函数 ｘ＝ ａ３３ｘ＋ ，（ ） ａ ＋ ． ）２ｘ－ ａ １ｇ ｘ 一
在
在（ ， ） ０ １
１９ ８—
【 信息技术 】
基于 网络 的大学英语 口语基础训 练 与测试模 式探究
陈绮梅 （ 广西大学外 国语学 院 ， 广西 南宁 ５００ ） ３ ０４
摘要 ： 网络环境下的 大学英语 口语教学存在 巨大的潜力和挑 战。 本文通过介绍“ 大学英语 口语基础训练与测试
・ ．
’
Ａ ４ ４ ｍ）— ・ｍ＜０ 得 ２ ＝ （一 ２ ４ ２ ＜ｍ＜８
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高考数学恒成立问题的一般解法
高考数学复习中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、
化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的
灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在
解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根
据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
一、 一次函数型：
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象
（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有0)(0)(nfmf
例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另
一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函
数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于
0，故有：
)2(0)2(f
f
即0103422xxx解得：1113xxxx或或
∴x<-1或x>3.
二、 二次函数型
若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有00a
n m o x y n m o
x
y
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求
解。
例2、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二
次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-2
,1
2
20)1(0a
f
即,1030)2)(1(aaaa
得-3a-2;
综合可得a的取值范围为[-3，1]。
例3、 关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
040)4(02121xx
axx
即4016)4(2aa480aaa或
解得a-8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.
a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0，不合题意；
a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。∴a=-8.
20. >0,即a<-8或a>0时，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴024a，即a<-4.
∴a<-8
综合可得a-8.
4
o
x
y
-1 o
x
y
三、 变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所
求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题
转化成函数的最值问题求解。
例4、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45a恒成立，求实数a的取值范
围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的
范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45a-a+5
要使上式恒成立，只需45a-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化
成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,
∴45a-a+5>3即45a>a+2
上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa
解得54a<8.
注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,
则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+45a即
a+1-2sin2x<5-4sinx+45a,令sinx=t,则t[-1,1],
整理得2t2-4t+4-a+45a>0,( t[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+45a则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[-1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即45a>a-2.(下同)
四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)
恒成立。
例5、 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。
分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。
解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，
sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)
即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)
2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0
对一切x
R恒成立
．．．
，只需也必须sin+cos=0。
=k4.（k
Z)
五、 直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，
则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)2
边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函
数的图象，故可以通过图象求解。
x
y
o 1 2
y1=(x-1)2
y2=logax
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1
恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,1 例7、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范 分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若 解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如 y -20 o
围。
将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的
图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜
率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上
有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但
不包括l2) 当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163; 当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21∴a的范围为[6163，21）。 x
l1 l2 l