数学奥林匹克初中训练题(176)

２０１６年第２期　３７　数学　范　删赫遣（１　７６）　中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１６）０２—００３７—０４　第一试　、选择题（每小题７分，共４２分）　１．给出下列命题：　①若ａ２ｘ＞ａ２ｙ，则　＞ｙ；　②若ａ２ｘ＞Ｉａ　Ｙ，则　≥ｙ；　

③若｛≥　，则　≥ｙ；　

④若　≥ｙ，则　≥　．　其中，正确命题的个数为（　）．　（Ａ）１　（Ｂ）２　（Ｃ）３　（Ｄ）４　２．已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ为锐角△ＡＢＣ的三　条高，Ｈ为△ＡＢＣ的垂心．则日为△ＤＥＦ的　（　）．　（Ａ）垂心（Ｂ）重心（ｃ）￣１－心（Ｄ）内心　３．已知自然数ｋ＞１，ｋ个连续自然数之　和为２　０００．则满足条件的ｋ值个数为（　）．　（Ａ）１　（Ｂ）２　（Ｃ）３　（Ｄ）６　４．已知ｚ、ｍ分别为△ＡＢＣ的周长、三条　

中线长之和．则　一定（　）．　

（Ａ）／Ｊ于　大于　、于亏　（Ｂ）大于ｉ　（Ｃ）小于１　（Ｄ）大于１　５．已知实数口、６、Ｃ、ｄ满足　、　＋√口　一２０＋３一ｂ一　

、　：３．　则ａ—ｂ＋Ｃ—ｄ的值为（　）．　（Ａ）一７　（Ｂ）一８　（Ｃ）一４　（Ｄ）一６　６．如图１，已知ｏ０１与ｏ０　交于Ａ、Ｂ两　点，点Ｃ在ｏ　０　上　且在ｏ　Ｄ　外，　、　ＣＢ的延长线分别　与ｏ　Ｄ　交于点Ｄ、　Ｅ，ＡＣ＝３，ＡＤ＝６，　ｏ０　的半径为２．则　图１　点０　到ＤＥ的距离为（　）．　（Ａ）　（Ｂ　９（ｃ）　（Ｄ）５　二、填空题（每小题７分，共２８分）　１．已知两素数Ｐ、ｑ之和为２　０１９．则　（Ｐ一１）　的值为一　２．如图２，已知Ｅ、Ｆ分别为矩形ＡＢＣＤ的　边ＡＤ、ＢＣ的中　．　点，点　、Ⅳ分别　在ＡＢ、ＣＦ上，ＭＮ　与ＡＦ交于点Ｐ，　Ｂ　ＭＮ＝１２．ＡＤ＝　２ＡＢ，ＰＥｊ—ＭＮ．　则尸Ｅ＝一　＼　Ｆ　Ｎ　图２　３．已知正实数　满足　３＋　一３＋　６＋　一６＝２　７５４则　＋一１：　Ｃ　４．已知动大圆ｏ０与半径为３的定小圆　Ｏ０　外切于点Ｐ，ＡＢ为两圆的外公切线，　、　为切点，平行于ＡＢ的直线ｆ与ｏ０　切于点　ｃ，与ｏ０交于点Ｄ、　则ＣＤ·ＣＥ＝一　３８　中等数学　第二试　、（２ｏ分）设ｋ，ｔ为常数，关于　的方程　＋ｆ　３—３ｋ）ｘ＋２ｋ一６＝Ｏ　只有整数根，关于Ｙ的一元二次方程　（ｋ＋３）Ｙ　一１５ｙ＋ｔ＝Ｏ　有两个正整数根Ｙ。、Ｙ　．　（１）求ｋ的值；　（２）当ｔ为何值时，Ｙ　＋Ｙ　有最小值？　二、（２５分）如图３，　为锐角△ＡＢＣ的垂　心，ｏ　与边ＢＣ切　于点Ｍ，ＢＤ、ＣＥ分　别与。日切于点Ｄ、　（均异于点　），　ＣＦ、ＢＧ为△ＡＢＣ的　两条高．证明：Ｆ、Ｄ、　Ｅ、Ｇ四点共线．　图３　Ｃ　三、（２５分）有２８８组卡片，共２　０１６张，　每组均由ｌ，２，…，７且按１，２，…，７的顺序由　上而下叠放而成．现将这２８８组卡片由上至　下叠放在一起，先将上面五张卡片丢掉，把上　面一张放在最底层，再丢掉上面五张，接着把　上面一张放在最底层，如此继续下去，直至最　后剩下一张卡片．　（１）在上述操作过程中，当只剩下３０１　张卡片时，一共丢掉多少张卡片７７　（２）最后剩下的一张卡片是哪一组的哪　张卡片？　参考答案　第一试　１．Ｂ．　命题①、③中，ａ≠０，ａ　＞０，成立；　命题②中，ａ可以为０，取　＝一１，Ｙ＝０，　ａ＝０，不成立；　命题④中，ａ可以为０，不成立．　２．Ｄ．　易证　、Ｅ、　、Ｆ四点共圆　ＥＦＨ＝　ＥＡＨ　类似地，　ＨＢＤ＝　ＤＦＨ．　又　ＨＢＤ＝　ＥＡＨ，于是，　ＥＦＨ＝　ＤＦＨ　ｊ　ＦＨ平分　ＤＦＥ．　类似地，ＥＨ平分　ＤＥＦ．　因此，　为△ＤＥＦ的内心．　３．Ｃ．　设　个连续自然数为１２，ｎ＋ｌ，…，　＋ｋ—１．　由题意知　１　１－　［ｎ＋（　＋ｋ—１）］＝２　０００　二　（２ｎ＋　一１）ｋ＝２　Ｘ　５　．　因为２　＋ｋ一１与ｋ应为～　奇一偶，且　２凡＋ｋ—ｌ＞ｋ，所以，　（２ｎ＋　一ｌ，ｋ）　＝（８００，５），（１６０，２５），（１２５，３２）．　从而，ｋ的值有３个．　４．Ｂ．　记△ＡＢＣ的三　条中线为ＡＤ、ＢＥ、　ＣＦ，Ｇ为其重心，如　图４．　则ＥＧ＋ＦＧ＞ＥＦ　Ｂ　Ｄ　ｊ　Ｅ＋１ＣＦ　

图４　

＞２ＢＣ　

Ｃ　

＝　ＢＥ＋ＣＦ＞３ＢＣ类似地，ＡＤ＋ＢＥ＞３ＡＢＡＤ＋ＣＦ＞３ＡＣ三式相加得　２（ＡＤ＋ＢＥ＋ＣＦ）＞吾（ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ）　

ｍ　３　了＞　·　２０１６年第２期　３９　５．Ａ．　由ｎ　一２ａ＋３一ｂＩ＞０，　ｂ—ｃ　＋４ｃ一８　Ｉ＞０．　知　ｂ≤一（口＋１）　＋４≤４，　６≥（Ｃ一２）　＋４　ｉ＞４．　于是，６＝４，　＝一１，Ｃ＝２．　将其代人已知等式得ｄ＝４．　故０一ｂ＋ｃ—ｄ＝一７．　６．Ｃ．　联结ＣＯ　并延长，与Ｏ０　交于点Ｆ，与　ＤＥ交于点Ｇ，联结ＡＢ、４　则　ＡＦＣ＝　ＡＢＣ：　Ｄ，　ＡＣＦ＝　ＧＣＤ．　故△ＡＣＦ∽△ＧＣＤ　Ｇ＝　ＣＡＦ＝９０。　ＣＣ，＿ｌ＿ＤＥ　ｊ　０　Ｇ为点０１到ＤＥ的距离　ＡＣ　ＣＧ．　３　２＋０１　Ｇ　＝　——＝——＝　——＝————　。　２×２　３＋６　

ｊ　０１　Ｇ＝　１９

二、１．１或２　０１６．　因为两素数之和为奇数，所以，两素数中　必有一个为２．　故（ｐ，ｑ）＝（２，２　０１７）或（２　０１７，２）．　从而，所求的值为１或２　０１６．　２．６．　显然，四边形ＡＢＦＥ为正方形．　注意到，　、Ｅ、Ｐ、　，　、Ｐ、Ｆ、Ⅳ分别四点　共圆．　则　ＥＭＰ＝　ＥＡＰ＝４５。，　ＥＮＰ＝　ＥＦＰ＝４５。　ｊ／ＭＥＮ＝９０。．ＭＰ＝ＰＮ　

ＰＥ＝　＝６．　３．４．　将已知等式化为　（　３＋　一３）２＋（　３＋　一３）一２　７５６＝０　

ｊ（　＋　一　＋５３）（　。＋　～一５２）＝０．　注意到，　＋　一。＋５３＞０．　于是，　＋　一　＝５２．　令６＝　＋　－１．　贝０　＋　一　＝（　＋　一　）［（　＋戈一　）　一３］　ｂ（ｂ　一３）＝５２　＝　（６—４）（ｂ　＋４ｂ＋１３）＝０　＝　ｂ＝４．　

从而，　＋　：４．　４．３６．　如图５，联结　Ｐ、船、０ｌ　Ｃ、ＢＯ１、Ｐｃ，过点　Ｐ作两圆公切线与ＡＢ交于点Ｑ．　

图５　易证　ＡＰＢ＝９０。，Ｂ、０　、Ｃ三点共线，　ＢＰＣ＝９０。，Ａ、Ｐ、Ｃ三点共线．　由割线定理及射影定理得　ＣＤ．ＣＥ：ＡＣ．ＰＣ：ＢＣ　：３６．　

第二试　

、当　＝０时，　＝２，符合题意．　于是，３　一１５ｙ＋ｔ＝０．　由根与系数关系得　ｔ　Ｙｌ＋Ｙ２　５，　１ｙ２　·　

则（Ｙ１，Ｙｚ，ｔ）＝（４，１，２）或（３，２，１８）　＋Ｙ；：１７或１３．　当　≠Ｏ时，易得　（　一２）（　＋３一　）＝０　

：２，　：：　．　

于是，　：　，　＋３：　．　１一　１　ｌ一　，　中等数学　＝　＝　＝５＋　≥２　＝》（　２—２）Ｉ　５　＝　２—２＝一５，１，５　２＝一３，３，７　

：寻，一　，一　

Ｙｌ＋Ｙ２＝４，１０，６．　当Ｙ１＋Ｙ２＝４时，　（Ｙ　，Ｙ２）＝（３，１）或（２，２）．　于是，Ｙ　＋ｙ２２＝８或１０；　当Ｙ１＋Ｙ２＝６或１０时，　Ｙ　＋　２≥（６一Ｙ２）　＋Ｙ　＝２（Ｙ２—３）　＋１８≥１８．　因此，Ｙ　＋　２的最小值为８．　此时，Ｙ１＝ｙ２＝２，　＝　．　又ｙ。　ｚ＝南　ｔ＝（后＋３）Ｙｌ　＝１５．　综上，　的值为Ｏ、　３３１，当￡＝１５　时，Ｙ　＋　２有最小值．　二、如图６，延长ＢＤ、ＣＥ交于点Ｎ，联结　Ｎｉｌ、ＤＨ、ＥＦ、ＤＥ、ＤＦ、　ＨＥ，ＣＦ的延长线与　ＤＥ交于点Ｆ　．　设　ＢＮＣ＝　，　ＮＢＣ＝２　，　ＮＣＢ＝２ｙ．　只　ＯＬ＋　＋　：９Ｏ　０＿　显然，　为△ＮＢＣ　的内心，Ｄ、Ｈ、Ｅ、Ｎ四点共圆．　Ｍ　Ｃ　图６　则　皿　＝　＝　＝｛　ＢＮＣ－＇Ｏｌ　ＣＥＦ　＝　ＣＥＨ＋　ＤＥＨ＝９０。＋Ｏ／　ＥＦ　Ｃ＝１８０。一（／ＣＥＦ　＋　ＥＣＦ　）　＝ｌ８０。一（９Ｏ。＋Ｏｌ＋　）＝　＝　ＤＢＨ　Ｂ、Ｈ、Ｄ、Ｆ　四点共圆．　又　Ｂ朋＝　ＢＦＨ＝９０。　Ｂ、Ｈ、Ｄ、Ｆ四点共圆．　从而，Ｆ、Ｂ、　、Ｄ、Ｆ　五点共圆．　该圆与直线ＣＨ有交点　、Ｆ、Ｆ　，因此，　点Ｆ与Ｆ　重合，即Ｄ、Ｆ、Ｅ三点共线．　类似地，Ｄ、Ｅ、Ｇ三点共线．　故Ｆ、Ｄ、Ｅ、Ｇ四点共线．　三、（１）对前４２张卡片（每６组），南操　作法则，知丢掉５张卡片后，放在最底层的依　次为６，５，…，１，７，于是，每个数丢掉了５张．　而２８８÷６＝４８，４８　Ｘ　５×７＝１　６８０（张），　４８×５＝２４０（张），２　０１６一ｌ　６８０＝３３６（张），　即当丢掉１　６８０张卡片时，每个数丢掉了２４０　张，剩下３３６张，这３３６张卡片的排列顺序为　６，５，…，１，７，６，…，ｌ，７，６，…，１，７，　再丢掉３５张时，数字７又丢掉了４张，因此，　卡片７共丢掉了２４４张．　（２）注意到，若只有６　张卡片，则最后１　张被丢掉的是编号为６　的卡片．　又６　＝１　２９６＜２　０１６＜６　．　２　０１６—１　２９６＝７２０．　当丢掉７２０张卡片后，放在最底层的那张卡　片即为要找的那一张．　当丢掉７００张卡片时，每６组丢了３５张　卡片，此时，已经到了第７００÷３５×６＝１２０　组，再丢掉至第７２０张卡片时已经是第１２４　组第２张卡片，第３张卡片放至最底层，因　此，最后一张卡片是第１２４组第３张卡片．　（谢文晓　湖北省黄冈中学，４３８０００）