2016年四川省南充市高级中学高三文科上学期人教A版数学期末考试试卷
2019年四川省南充市高2019届高2016级文科数学二诊试题及详细解析
2019年四川省南充市高2016级文科数学试题二诊试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|2P x x k ==,}k Z ∈,{|21Q x x k ==+,}k Z ∈,则( ) A.P Q = B.P Q ÜC.P Q ÝD.P Q =∅I2.(5分)复数21i-等于( ) A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3.(5分)如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,44.(5分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x …时,()(1)f x x x =+,则(1)(f -= ) A.2-B.1-C.0D.25.(5分)在等比数列{}n a 中,2623a a π=g ,则24sin()(3a π-= ) A.12-B.123D.3 6.(5分)P 是双曲线22134x y -=的右支上一点1F ,2F 分别为双曲线的左右焦点,则△12PF F 的内切圆的圆心横坐标为( ) 3 B.27D.37.(5分)已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>,0)ω>在6x π=处取得最小值,则( )A.()6f x π+一定是奇函数B.()6f x π+一定是偶函数C.()6f x π-一定是奇函数D.()6f x π-一定是偶函数8.(5分)阅读程序框图,如果输出的函数值在区间11[,]42内,则输入的实数x 的取值范围是()A.(-∞,2]-B.[2-,1]-C.[1-,2]D.[2,)+∞9.(5分)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l n ⊥,l α⊂/,l β⊂/,则( ) A.//αβ且//l αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l10.(5分)椭圆的焦点为1F ,2F ,过1F 的最短弦PQ 的长为10,△2PF Q 的周长为36,则此椭圆的离心率为( )A.3B.13C.23D.6 11.(5分)如图,原点O 是ABC ∆内一点,顶点A 在x 上,150AOB ∠=︒,90BOC ∠=︒,||2OA =u u u r,||1OB =u u u r ,||3OC =u u u r ,若OC OA uOB λ=+u u u r u u u r u u u r ,则(uλ= )A.C.12.(5分)定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=,21,11()|2|1,13x x f x x x ⎧-+-=⎨--+<⎩剟….若关于x的方程()0f x ax -=有5个不同实根,则正实数a 的取值范围是( )A.11(,)43B.11(,)64C.1(16)6-D.1(,86-二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知变量x ,y 满足202300x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪⎩………,则5z x y =++的最大值为 . 14.(5分)设等差数列{}n a 满足：127a a +=,136a a -=-.则5a = . 15.(5分)直线12y x b =+是曲线y lnx =的一条切线,则实数b 的值为 . 16.(5分)设点P是函数y =,点(2Q a ,3)()a a R -∈,则||PQ 的最小值为 .三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分 17.(12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知45B =︒,b =cos C =. (1)求a ；(2)设D 为AB 边的中点,求CD 的长.18.(12分)某地区为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系,对700棵高粱进行抽样调查,得到高度频数分布表如下： 表1：红粒高粱频数分布表表2：白粒高粱频数分布表(1)估计这700棵高粱中红粒高粱的棵数；(2)画出这700棵高粱中红粒高粱的频率分布直方图；(3)估计这700棵高粱中高粱高()cm 在[165,180)的概率.19.(12分)如图,在六面体ABCDEFG 中,平面//ABC 平面DEFG ,AD ⊥平面DEFC ,ED DG ⊥,//EF DG ,且22AB AD DE DG AC BF =====.(1)求证：//BF 平面ACGD ；(2)若1AC =,求点D 到平面GFBC 的距离20.(12分)已知抛物线2:2(0)C y px P =>的焦点到直线:22l y x =+45. (1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点,(1,2)A -,是否存在平行于OA 的直线l ',使得直线l '与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l '5？若存在,求出直线的方程；若不存在说明理由. 21.(12分)已知函数()()f x x ln x =---,[x e ∈-,0),其中e 为自然对数的底数. (1)求()f x 的单调区间和极值； (2)求证：()1()2ln x f x x -+>. (二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线21:(21x C y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线:sin cos l m ρθρθ+= (1)若0m =,判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 2,求实数m 的取值范围. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|4|||()f x x x a a R =-+-∈的最小值为a (1)求实数a 的值； (2)解不等式()5f x ….2019年四川省南充市高2016级文科数学试题二诊试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【解答】解：P 表示偶数集,Q 表示奇数集； P Q ∴=∅I .故选：D .【解答】解：原式2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+.故选：A .【解答】解：去掉一个最高分93和一个最低分79后的数据为84,84,86,84,87,共5个数据.所以平均数为1(8438687)855⨯++=.方差为22218[3(8485)(8685)(8785)] 1.655⨯-+-+-==.故选：C .【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数, (1)f f ∴-=-(1)2=-,故选：A .【解答】解：在等比数列{}n a 中,2623a a π=g , 可得242623a a a π==g ,则24sin()sin 33a ππ-==,故选：C .【解答】解：如图所示：1(F 0)、2F 0),设内切圆与x 轴的切点是点H ,1PF 、2PF 与内切圆的切点分别为M 、N ,Q 由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -==由圆的切线长定理知,||||PM PN =,故12||||MF NF -=即12||||23HF HF -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则点H 的横坐标为x , 故(7)(7)23x x +--=,3x ∴=. 故选：A .【解答】解：函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>,0)ω>在6x π=处取得最小值,即函数()f x 关于直线6x π=对称,将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后其图象关于直线0x =对称, 即将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后其图象对应的函数()6f x π+为偶函数,故选项B 正确, 故选：B .【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是计算分段函数2,[2,2]()2,(,2)(2,)xx f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩U 的函数值.又Q 输出的函数值在区间11[,]42内,[2x ∴∈-,1]-故选：B .【解答】解：由m ⊥平面α,直线l 满足l m ⊥,且l α⊂/,所以//l α,又n ⊥平面β,l n ⊥,l β⊂/,所以//l β.由直线m ,n 为异面直线,且m ⊥平面α,n ⊥平面β,则α与β相交,否则,若//αβ则推出//m n ,与m ,n 异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l . 故选：D .【解答】解：设椭圆方程为22221x y a b +=,Q △2PF Q 的周长为36,22364PF QF PQ a ∴++==,解得9a =,Q 过1F 的最短弦PQ 的长为10221(3610)132PF QF ∴==-=,在直角三角形12QF F 中,根据勾股定理得,212C ==, 6c ∴=,∴6293c e a === 故选：C .【解答】解：建立如图所示的直角坐标系,则(2,0)A,(B ,1)2, 1(2C -,,因为OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,由向量相等的坐标表示可得：1222λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：1λμ=-⎧⎪⎨=⎪⎩即3μλ=,故选：D.【解答】解：由题意可得函数()f x是以4为周期的周期函数,做出函数()y f x=与函数y ax=的图象,由图象可得方程2(4)1y x ax=--+=即2(8)150x a x+-+=在(3,5)上有2个实数根,由2(8)60093(8)150255(8)1508352aaaa⎧=-->⎪+-+>⎪⎪⎨+-+>⎪-⎪<<⎪⎩V解得08215a<<-.再由方程()f x ax=在(5,6)内无解可得61a>,16a>.综上可得182156a<<-,故选：D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.【解答】解：由约束条件20230x yx yx-⎧⎪-+⎨⎪⎩………作出可行域如图,联立20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩,解得(1,2)A ,化目标函数5z x y =++为5y x z =-+-,由图可知,当直线5y x z =-+-过点(1,2)A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为8. 故答案为：8.【解答】解：Q 等差数列{}n a 满足：127a a +=,136a a -=-.∴1111726a a d a a d ++=⎧⎨--=-⎩,解得12a =,3d =,51424314a a d ∴=+=+⨯=.故答案为：14.【解答】解：设切点为(,)P m n ,则n lnm =,12n m b =+,y lnx =的导数为1y x'=, 即有112m =, 解得2m =,2n ln =,21b ln =-. 故答案为：21ln -.【解答】解：由函数24(1)y x =---,得22(1)4x y -+=,(0)y …, 对应的曲线为圆心在(1,0)C ,半径为2的圆的下部分, Q 点(2,3)Q a a -,2x a ∴=,3y a =-,消去a 得260x y --=,即(2,3)Q a a -在直线260x y --=上,过圆心C 作直线的垂线,垂足为A , 则||||225214min PQ CA =-=-=-+.故答案为：52-.三、解答题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分 【解答】解：(1)由题意得：25cos C =,22sin cos 1C C +=,0C π<<, ∴2255sin 1()5C =- 45B =︒Q ,A B C π++=,∴310sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=, ∴由正弦定理sin sin a bA B=,得：32a =. (2)解法一：Q 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos 4c b a ab C =+-=,2AB c ∴==,1BD AD ∴==,Q 在DBC ∆中,2222cos 13CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯=,13CD ∴=.解法二：延长CD 到E 点,使CD DE =,连接AE ,BE , 则四边形ACBE 为平行四边形.222(2)2cos()52CD BE BC BE BC ACB π=+-⨯-∠=Q ,∴13CD =【解答】解：(1)样本中红粒高粱为40棵,白粒高粱30棵,由抽样比例可得这亩地中红粒高粱棵数为400.(2)频率分布直方图如图所示：由表1、表2可知,样本中高在[165,180)的棵数为5141363142+++++=,样本容量为70, ∴样本中高在[165,180)的频率423705f ==. 【解答】解：(1)证明：已知如右图：Q 平面//ABC 平面DEFG ,平面ABC ⋂平面ADEB AB =, 平面DEFG ⋂平面//ADEB DE AB DE =∴.AB DE AB DE ==Q Q ,ADEB ∴为平行四边形,//BE AD .(2分)AD ∴⊥平面DEFG ,BE ⊂Q 平面BEF ,∴平面BEF ⊥平面DEFG .(3分)取DG 的中点为M ,连接AM 、FM ,则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形,//DE FM ∴,又//AB DE Q ,//AB FM ∴(4分)∴四边形ABFM 是平行四边形,即//BF AM ,又BF ⊂/平面ACGD 故//BF 平面ACGD .(6分)(2)由(1)得//BF 平面ACGD ,所以//BF CG ,根据几何关系得：5BF FG ==以DG 、DE 、DA 为方向建立空间直角坐标系,则(2B ,0,2),(2F ,1,0),(0G ,2,0),所以(0,1,2)FB =-u u u r ,(2,1,0)FG =-u u u r设平面BGF 法向量为(,,)n x y z =r ,则2020nFB y z nFGx y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩r r 取1y =得11(,1,)22n =r 所以点D 到平面BGF (即平面)BFGC 的距离||23||n DG d n ==⋯u u u r r g r (12分)【解答】解：(1)抛物线的焦点为(,0)2P ,455d ==,得2p =,6p =-(舍去)； ∴抛物线C 的方程为24y x =⋯(4分) (2)假设存在符合题意的直线l '其方程为2y x t =-+由224y x t y x=-+⎧⎨=⎩得2220y y t +-= Q 直线l '与抛物线C 有公共点,∴△480t =+…解得12t -… 此外,由直线OA 与l '的距离15d 55解得12t =± 因为11[,)2-∉+∞,11[,)2∈-+∞ 所以符合题意的直线l '存在,其方程为210x y +-=⋯(12分)【解答】解：(1)()()f x x ln x =--- 1()1f x x'=--；令()0f x '=,得1x =- 1e x -<-…时,()0f x '<,()f x 单调递减10x -<<时,()0f x '>,()f x 单调递增()f x ∴单调递减区间是[e -,1)-,单调递增区间是(1,0)-()f x 有极小值,极小值是(1)1f -=,(2)由(1)知,()f x 的最小值为(1)1f -=.令1()()2ln x g x x -=- 所以21()()ln x g x x --'=,当[x e ∈-,0)时,()0g x '<, 所以()g x 在[e -,0)上单调递减；()g x ∴的最大值为11()2g e e -=+, ()()min max f x g x ∴>当1a =-时,()1()2ln x f x x -+>恒成立. (二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：(1)曲线1:(1x C y ααα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数),曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=,是一个圆；圆心(1,1),. 直线:sin cos 0l ρθρθ+=,可得直线l 的直角坐标方程为：0x y +=圆心C 到直线l 的距离d r ==,所以直线l 与圆C 相切 ⋯(5分)(2)由已知曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为2,可得：圆心C 到直线:l x y m +=的距离；所以：d 解得15m -⋯剟(10分) [选修4-5：不等式选讲]【解答】解：(1)()|4||||4|f x x x a a a =-+--=…, 从而解得2a =⋯(5分)(2)由(1)知,26,2()|4||2|2,2426,4x x f x x x x x x -+⎧⎪=-+-=-<<⎨⎪-⎩……,2x …时,265x -+…,解得：12x …, 24x <<时,25-<,符合题意, 4x …时,265x -…,解得：112x …, 故不等式的解集为11122x x ⎧⎫⋯⎨⎬⎩⎭剟(10分)。
四川省南充市高级中学2017届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年四川省南充市高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．2．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A．B．C．D．3．已知随机变量服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a⊂β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b5．如图，该程序运行后输出的结果是（）A．6 B．8 C．10 D．126．关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（）A．B．C．D．7．已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．128．在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）10．如图，已知线段PQ=，点Q在x轴正半轴，点P在边长为1的正方形OABC 第一象限内的边上运动．设∠POQ=θ，记x（θ）表示点Q的横坐标关于θ的函数，则x（θ）在（0，）上的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分.11．5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为．（结果用数字表示）12．设函数，若，则x0的取值范围为．13．若直线l过抛物线x2=﹣8y的焦点F，且与双曲线在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆所得的弦长为．14．函数，数列{a n}的通项公式a n=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为．15．设{a n}是集合{3p+3q+3r|0≤p＜q＜r，且p，q，r∈N*}中所有的数从小到大排列成的数列，已知a k=2511，则k=．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.16．已知，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．17．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令a n=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{a n}的前n项和．18．斜率为的直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）交于不同的两点A、B．若点A、B在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的离心率；（2）P是椭圆上的动点，若△PAB面积最大值是4，求该椭圆的方程．19．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N （n，f（n））的直线的斜率的取值范围．本题21、22、23三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分7分.如果多做，则按照所做的前两题计分.[选修4-2：矩阵与变换]21．在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．（1）求矩阵A及A﹣1；（2）求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省南充市高级中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．cos（﹣585°）的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．【解答】解：cos（﹣585°）=cos585°=cos=cos225°=cos=﹣cos45°=﹣故选：A2．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，如果直角三角形的斜边长为，则直角三角形的直角边长均为1，故几何体的体积V=×1×1×1=，故选：C3．已知随机变量服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为y轴，|即可得出结论【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，∴P（ξ＞2）=0.5﹣P（﹣2≤ξ≤0）=0.1，故选：A．4．设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a⊂β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，a⊂β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D 错误．故选：C．5．如图，该程序运行后输出的结果是（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=12，s=0不满足条件A≤3，执行循环体，S=2，A=10不满足条件A≤3，执行循环体，S=4，A=8不满足条件A≤3，执行循环体，S=6，A=6不满足条件A≤3，执行循环体，S=8，A=4不满足条件A≤3，执行循环体，S=10，A=2满足条件A≤3，退出循环，输出S的值为10．故选：C．6．关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，分别求出对应的面积，即可得到结果．【解答】解：关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为=8，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，面积为，∴在M内随机取一点，则该点取自N的概率为=，故选A．7．已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．12【考点】二项式定理的应用．【分析】化简集合M，求出二项式的通项公式，化简整理后，令x的指数为0，对照M中的元素，即可得到答案．【解答】解：集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}={11，12，13，14，15，16}，（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式的通项公式为Tr+1==，令3n﹣5r=0，则n=，由于n∈M，则n=15．故选B．8．在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】利用椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和等于两点间的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两定点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当定点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆，也可以是直线，故不正确．故选D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x﹣1）=0，且在[﹣5，﹣4]上是增函数，A，B是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f（cosA）＞f（cosB）【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先根据A、B是锐角三角形的两个内角，结合y=cosx在区间（0，）上是减函数，证出sinA＞cosB．然后根据偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数，且f（x）在[0，1]上是减函数．最后根据f（x）在[0，1]上是减函数，结合锐角三角形中sinA＞cosB，得到f（sinA）＜f（cosB）．【解答】解：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A+B＞，可得A＞﹣B，∵y=cosx在区间（0，）上是减函数，＞A＞﹣B＞0，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，即锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，∵函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数．∵f（x）在[﹣5，﹣4]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上也是增函数，再结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）在[0，1]上是减函数．∵锐角三角形的两个内角A、B是满足sinA＞cosB，且sinB、cosA∈[0，1]∴f（sinA）＜f（cosB）．故选：B10．如图，已知线段PQ=，点Q在x轴正半轴，点P在边长为1的正方形OABC 第一象限内的边上运动．设∠POQ=θ，记x（θ）表示点Q的横坐标关于θ的函数，则x（θ）在（0，）上的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当θ∈（0，）时，求得x（θ）=1+，图象是上凸的．当θ∈[，）时，求得x（θ）=cotθ+1，图象是下凹的．结合所给的选项，可得结论．【解答】解：当θ∈（0，）时，PA=tanθ，AQ==，x（θ）=1+，它的图象是上凸的．当θ∈[，）时，PA=1，OA=cotθ，AQ===1，x（θ）=cotθ+1，它的图象是下凹的．结合所给的选项，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分.11．5人排成一列，其中甲、乙二人相邻的不同排法的种数为48．（结果用数字表示）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步用捆绑法进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，②、二人排好后，与剩余三人全排列，分别用排列、组合数公式计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将甲乙二人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种排法；②、二人排好后，与剩余三人全排列，有A44=24种情况，则一共有2×24=48种不同排法；故答案为：48．12．设函数，若，则x0的取值范围为x0＞．【考点】其他不等式的解法．【分析】x＞，f（x）=lnx|=1，利用，可得x0的取值范围．【解答】解：x＞，f（x）=lnx|=1，∵，，∴x0＞，故答案为x0＞．13．若直线l过抛物线x2=﹣8y的焦点F，且与双曲线在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆所得的弦长为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，求得直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式即可得到弦长．【解答】解：抛物线x2=﹣8y的焦点F为（0，﹣2），双曲线双曲线在一三象限的渐近线为y=x，则直线l的方程为：y=x﹣2，圆（x﹣4）2+y2=4的圆心为（4，0），半径为2，则圆心到直线的距离d==，则弦长为2=2，故答案为：2．14．函数，数列{a n}的通项公式a n=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．【考点】数列的函数特性．【分析】x≥4时，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：f（1）=，f（2）=，f（3）=﹣，x≥4时，f（x）＞0，f（4）=，x≥4时，f′（x）=++＞0，因此函数f（x）单调递增，f（x）≥f（4）＞0．a4＞a3，因此a n单调递增．∴数列从第3项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为3．故答案为：3．15．设{a n}是集合{3p+3q+3r|0≤p＜q＜r，且p，q，r∈N*}中所有的数从小到大排列成的数列，已知a k=2511，则k=50．【考点】计数原理的应用．【分析】a k=2511，可得p=4，q﹣p=1，r﹣p=3，从而q=5，r=7，用列举法求解即可．【解答】解：0≤p＜q＜r，且p，q，r∈Na n=3p+3q+3r=3p（1+3q﹣p+3r﹣p），a k=2511，∴p=4，q﹣p=1，r﹣p=3，∴q=5，r=7，∴（p，q，r）=（4，5，7）（4，5，7）（3，5，7）（3，4，7）（2，5，7）（2，4，7）（2，3，7）（1，5，7）（1，4，7）（1，3，7）（1，2，7）（0，5，7）（0，4，7）（0，3，7）（0，2，7）（0，1，7）（4，5，6）（3，5，6）（3，4，6）（2，5，6）（2，4，6）（2，3，6）（1，5，6）（1，4，6）（1，3，6）（1，2，6）（0，5，6）（0，4，6）（0，3，6）（0，2，6）（0，1，6）（3，4，5）（2，4，5）（2，3，5）（1，4，5）（1，3，5）（1，2，5）（0，4，5）（0，3，5）（0，2，5）（0，1，5）（2，3，4）（1，3，4）（1，2，4）（0，3，4）（0，2，4）（0，1，4）（1，2，3）（0，2，3）（0，1，3）（0，1，2）∴（5+4+3+2+1）×2+（4+3+2+1）+（3+2+1）+（2+1）+1=50，故答案为：50三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.16．已知，其中A，B，C是△ABC的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由角A可得的坐标，代入向量模的公式计算的值；（2）由数量积的坐标运算得到，利用辅助角公式化积，可得当A=时，取得最大值，求出对应的B值，再由正弦定理求得BC边的长．【解答】解：（1）当时，，∴；（2）=．∴当A=时，取得最大值，此时B=，根据正弦定理：，得．17．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令a n=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{a n}的前n项和．【考点】离散型随机变量的期望与方差；数列的求和；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）通过求出ξ=0、1、2、3时相应的概率，进而求出ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）通过（1）、化简可知a n=（﹣1）n（2n﹣1），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可求出S n．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，P（ξ=0）=••（1﹣t）=，P（ξ=1）=••（1﹣t）+••（1﹣t）+••t=，P（ξ=2）=••（1﹣t）+••t+••t=，P（ξ=3）=••t=，∴ξ的分布列为：数学期望Eξ=0•+1•+2•+3•=；（2）由（1）可知a n=（2n﹣1）cos（•）=（2n﹣1）cos（nπ）=（﹣1）n（2n﹣1），当n为偶数时，S n=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]=2•=n；当n为奇数时，S n=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）]+[﹣（2n﹣1）]=2•﹣（2n﹣1）=n﹣1﹣2n+1=﹣n；综上所述，S n=（﹣1）n•n．18．斜率为的直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）交于不同的两点A、B．若点A、B在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的离心率；（2）P是椭圆上的动点，若△PAB面积最大值是4，求该椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出离心率e；（2）由（1）知，设出椭圆的标准方程+=1，求出|AB|的值，利用三角形的面积求出高h；再求点P到直线的最大距离d，由此求出c即可．【解答】解：（1）由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为﹣c，c，纵坐标分别为﹣，，∴由=转化为：2b2=2（a2﹣c2）=ac即2e2+e﹣2=0，解得e=，e=﹣（负根舍去），∴椭圆的离心率为e=；（2）∵P是椭圆上的动点，当△PAB的面积最大值是4时，有|AB|h=4，∵e=，∴b=c，∴a=c；∴设椭圆的方程为+=1，则|AB|=c，∴三角形PAB的高为h=；又直线为y=x，即x﹣2y=0；则点P（ccosθ，csinθ）到直线的距离表示为d==≤，令=，解得c=2，∴椭圆的方程为+=1．19．已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，推导出四边形A1EOD是平行四边形，从而A1D∥EO，由此能证明A1D∥平面B1CE．法二（向量法）：建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明A1D∥平面B1CE．（2）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合题意的点P，且=．【解答】证明：（1）证法一（几何法）：连结BC1，与B1C交于点O，连结EO，DO，在△B1BC1中，DO B1B，在四边形B1BA1A中，A1E B1B，∴A1E DO，∴四边形A1EOD是平行四边形，∴A1D∥EO∵A1D⊄平面B1CE，EO⊂平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．证法二（向量法）：如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），则=（﹣4，1，0），=（0，2，﹣4），=（4，0，﹣2），设平面B1CE的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，2），∵=﹣4+4=0，且A1D⊄平面B1CE，∴A1D∥平面B1CE．解：（2）设存在符合题意的点P．如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），则=（﹣1，0，﹣3），=（﹣1，2，0），=（﹣4，2，0），设平面MNC的一个法向量=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，﹣2），设=，（0≤λ≤1），则==（3﹣4λ，2λ，0），由题设得sinθ=|cos＜＞|===，设t=1﹣λ（0≤λ≤1），则λ=1﹣t，且0≤t≤1，∴sinθ=，当t=0时，sinθ=0，当0＜t≤1时，sinθ==≤=．∴当且仅当，即t=时，sinθ取得最大值，此时λ=．∴存在符合题意的点P，且=．20．已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N （n，f（n））的直线的斜率的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）法一：根据﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；法二：由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出a的范围即可；（3）求出函数f（x）的导数，求出a的范围，表示出直线MN的斜率，结合换元思想以及函数的单调性求出斜率k的范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣，∴f（1）=1，f′（1）=﹣1，∴求出直线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+2；（2）由题意得：0＜x≤2时，f（x）≤x，即﹣2lnx≤0，设φ（x）=﹣2lnx，则问题等价于x∈（0，2]时，φ（x）max≤0，φ′（x）=﹣，（i）当a≥0时，φ′（x）＜0，不合题意，（ii）当a＜0时，①﹣∈（0，2）时，φ（x）在（0，﹣）上递增，在（﹣，2）上递减，φ（x）max=φ（﹣）=﹣2﹣2ln（﹣）≤0，此时，a∈（﹣4，﹣]；②﹣∈[2，+∞）时，φ（x）在（0，2]递增，φ（2）=﹣2ln2≤0，此时，a∈（﹣∞，﹣4]；综上，存在实数a组成的集合{a|a≤﹣}；方法二：由题意f（x）≤x，对x∈（0，2]恒成立，即﹣2lnx≤0对x∈（0，2]恒成立，由﹣2lnx≤0得，a≤2xlnx，令φ（x）=2xlnx，（0＜x≤2），则a≤[φ（x）]min，φ′（x）=2（lnx+x•）=2（lnx+1），当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜2时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（0，2]上的最小值是φ（）=﹣，故a≤﹣为所求；（3）由f′（x）==0（x＞0），得x2﹣2x﹣a=0，（x＞0），由题意得：，解得：﹣1＜a＜0，k MN===2﹣，设t=，（m＞n），则k MN=2﹣（t＞1），设g（t）=lnt，（t＞1），则g′（t）=，设h（t）=t﹣﹣2lnt（t＞1），则h′（t）=1+﹣=＞0，∴h（t）在（1，+∞）递增，∴h（t）＞h（1）=0即g（t）＞0，∴g（t）在（1，+∞）递增，t→+∞时，g（t）→+∞，设Q（t）=lnt﹣（1﹣），（t＞1），则Q′（t）=＞0，∴Q（t）在（1，+∞）递增，∴Q（t）＞Q（1）=0，即lnt＞1﹣，同理可证t﹣1＞lnt，∴t+1＞＞，当t→1时，t+1→2，→2，∴t→1时，g（t）→2，∴直线MN的斜率的取值范围是（﹣∞，0）．本题21、22、23三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分7分.如果多做，则按照所做的前两题计分.[选修4-2：矩阵与变换]21．在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．（1）求矩阵A及A﹣1；（2）求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．【考点】矩阵与向量乘法的意义；逆矩阵的意义．【分析】（1）由题意求出A=，再求出△=|A|=3，由此能求出A﹣1．（2）由=，得，由此能求出圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程．【解答】解：（1）∵在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，∴A=，∵△=|A|=3，∴A﹣1=．（2）由=，得，∴，代入x2+y2=4，得9x'2+y'2=4，∴圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程为9x2+y2=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直l线与圆C相切，求实数a的值；（2）若点M的直角坐标为（1，1），求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．利用点到直线的距离公式，根据直l线与圆C相切的性质即可得出a．（2）由直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：直线m的斜率为﹣．再利用点斜式可得直线m的方程，把代入可得极坐标方程．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程：3x﹣4y﹣a=0．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．∵直l线与圆C相切，∴=2，化为：|a﹣6|=10，解得a=16或﹣4．（2）∵直线l的方程为：3x﹣4y﹣a=0，∴斜率为，∴直线m的斜率为﹣．∴直线m的点斜式为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为4x+3y﹣7=0，把代入可得极坐标方程：4ρcosθ+3ρsinθ﹣7=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=3时，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1，∴或或，解得：﹣1＜x＜1，故不等式的解集是（﹣1，1）；（2）f（x）=，∴f（x）∈（﹣∞，]，∴f（x）的最大值是，∵不等式有解，∴＞a，解得：a＞．2017年3月9日。
四川省南充市2016年高考数学三模试卷 文(含解析)
2016年四川省南充市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．i是虚数单位，则复数i（1+i）的虚部是（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i3．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A． B．πC．2πD．4π4．某几何体的三视图如图，（其中侧视图中圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．100+10πC．90+12πD．92+10π5．执行如图所示的程序框图，输出k的值为（）A．10B．11C．12D．136．若tanα=2，则的值为（）A．0B． C．1D．7．若是两个非零向量，则（）2=是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若m⊥α，m∥β，则α⊥β9．已知a为实数，函数，若函数f（x）的图象在某点处存在与x轴平行的切线，则a的取值范围是（）A． B．C． D．10．若抛物线y=x2上的两点A，B的横坐标恰好是关于x的方程x2+px+q=0（常数p，q∈R）的两个实根，则直线AB的方程是（）A．qx+3y+p=0B．qx﹣3y+p=0C．px+3y+q=0D．px﹣3y+q=0二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分。
11．lg0.01+（）﹣1的值为．12．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），∥，则x等于．13．已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．则++…+= ．14．直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为．15．若以曲线y=f（x）上的任意一点M（x，y）为切点作切线L，曲线上总存在异于M的点N（x1，y1），使得过点N可以作切线L1，且L∥L1，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下面有四条曲线：①y=x3﹣x ②y=x+③y=sinx ④y=（x﹣2）2+lnx其中具有可平行性的曲线为．（写出所有满足条件的曲线编号）三、简答题：本大题共6小题，共75分。
四川省南充市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A .1x ∀>，210x ax ++≤ B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤ D.1x ∀≤，210x ax ++>3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,45.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.36.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c<< B.b c a << C.c a b<< D.b a c<<7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.108.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭______.15.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2xn f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.21.已知()22xxf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350xxf f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22xg x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.南充市2023—2024学年度上期普通高中年级学业质量监测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，{}26A x x =<<，{}04B x x =<≤，则()U B A ⋂=ð（）A.{}02x x <≤ B.{}02x x << C.{}0,2 D.∅【答案】A 【解析】【分析】应用集合的交补运算求集合.【详解】由题设{|2U A x x =≤ð或6}x ≥，故(){|02}U A B x x ⋂=<≤ð.故选：A2.命题“01x ∃>，20010x ax ++≤”的否定是（）A.1x ∀>，210x ax ++≤B.1x ∀>，210x ax ++>C.1x ∀≤，210x ax ++≤D.1x ∀≤，210x ax ++>【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题知：原命题的否定为1x ∀>，210x ax ++>.故选：B3.函数()sin f x x x =⋅的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】定义判断函数的奇偶性并结合π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，应用排除法即可得答案.【详解】由()sin()sin ()f x x x x x f x -=-⋅-==且定义域为R ，即函数为偶函数，排除A 、C ；由πππsin 0444f ⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭，排除B.故选：D4.函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的一个区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.【详解】由解析式知()2log 4f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又()130f =-<，()210f =-<，()23log 310f =->，所以零点所在的一个区间为()2,3.故选：C5.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B6.已知33log 2a =，2log 5b =，3πcos 4c =，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及中间量0和2即可求解.【详解】因为333log 2log 8a ==，函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，所以330log 8log 92<<=，即02a <<.又因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 5log 42>=，即2b >.又因为3πcos 042c ==-<，所以c a b <<.故选：C.7.已知()33ln43xf x ax b x+=+--，若()26f =，则()2f -=（）A.14- B.14C.6- D.10【答案】A 【解析】【分析】构造(x)(x)4g f =+并判断其奇偶性，利用奇偶性求()2f -即可.【详解】令33()()4ln3xg x f x ax b x+=+=+-，且定义域为()3,3-，3333()ln ln ()33x xg x ax b ax b g x x x-+-=-+=--=-+-，即()g x 为奇函数，所以()()()()80g x g x f x f x -+=-++=，即()(2)28(2)14f f f -+=-⇒-=-.故选：A8.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ektc t c -=描述，假定该药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量03000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.10.99h【答案】D 【解析】【分析】由题设有103000e1000t-≥，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.【详解】由题意()103000e 1000t c t -=≥，则1ln 10ln 310.99103t t -≥⇒≤≈小时.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如果0a b >>，那么下列不等式正确的是（）A.11a b< B.22ac bc < C.11a b b a+>+ D.22a ab b <<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质判断A 、C 、D ；特殊值0c =判断B.【详解】由0a b >>，则22a ab b >>，110b a >>，故11a b b a+>+，A 、C 对，D 错；当0c =时22ac bc =，故B 错.故选：AC10.下列说法正确的有（）A.21x y x+=的最小值为2；B.已知1x >，则41y x x =+-的最小值为5；C.若正数x 、y 满足213x y+=，则2x y +的最小值为3；D.设x 、y 为实数，若223x y xy ++=，则x y +的取值范围为[]22-,.【答案】BCD 【解析】【分析】由0x <对应函数符号即可判断A ；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B 、C 、D ，注意取最值条件.【详解】A ：当0x <时，210x y x+=<，若存在最小值，不可能为2，错；B ：由10x ->，411151y x x =-++≥=-，当且仅当3x =时取等号，所以41y x x =+-的最小值为5，对；C ：由题设12112212(2)((5)(53333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当1x y ==时取等号，所以2x y +的最小值为3，对；D ：22222()()3()4x y x y xy x y xy x y +=+-=++-+≥，可得2()4x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，则22x y -≤+≤，故x y +的取值范围为[]22-,，对.故选：BCD11.已如定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()()40f x f x ++=且对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦，则以下判断正确的是（）A.函数()f x 是偶函数B.函数()f x 的最小正周期是4C.函数()f x 在[]2,6上单调递增D.直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴【答案】CD 【解析】【分析】由题设()()f x f x -=-且()(4)f x f x =-+、()f x 在[]2,0-上递减，再进一步判断函数的奇偶性、周期性、区间单调性和对称性.【详解】由()()0()()f x f x f x f x +-=⇒-=-，函数为奇函数，A 错；由()()40()(4)(8)f x f x f x f x f x ++=⇒=-+=+，函数的周期为8，B 错；对任意的1x ，[]22,0x ∈-，当12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-⋅-<⎣⎦，所以()f x 在[]2,0-上递减，结合奇函数知：函数在[0,2]上递减，即函数[2,2]-上函数递减，由上可知()()(4)f x f x f x =--=-+，即()(4)f x f x -=+，故()f x 关于2x =对称，所以()f x 在[]26,上单调递增，且直线1x =是函数()1f x +图象的对称轴，C 、D 对.故选：CD12.已知函数()2log ,04ππ2sin ,41666x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.02m <<B.121=x x C.()[)123422,x x x x ∞+++∈+ D.31x x 取值范围为()1,7【答案】ABD 【解析】【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，结合对数函数、正弦型函数性质可得121=x x 、3420x x +=，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，由上图，要使方程()f x m =有四个不等的实根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<，3421020x x +=⨯=，由2122|log ||log |x x =，则212221212log log log ()01x x x x x x -=⇒=⇒=，A 、B 对；所以1234111202022x x x x x x +++=++≥+，又1114x <<，即等号取不到，所以()1234(22,)x x x x ∞+++∈+，C 错；由图知：()f x 在区间(1,14)、(4,7)上单调性相同，且1311,474x x <<<<，所以13,x x 随m 变化同增减，故31x x 取值范围为()1,7，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定02m <<，且1234114713164x x x x <<<<<<<<<为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()20243,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()1f f =______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，从内到外运算求解即可．【详解】由题意，()20241log 10f ==，则()()1f f =0(0)31f ==．故答案为：1．14.如果1sin 3α=-，α为第三象限角，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】3【解析】【分析】由平方关系及角所在象限得cos 3α=-，应用诱导公式即可求函数值.【详解】由1sin 3α=-，α为第三象限角，则cos 3α=-，33πsin cos 2αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：315.若()()11121a a ---<+，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,2,12⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】【分析】利用函数1y x -=的单调性，分三类讨论即可求解.【详解】考虑函数1y x -=.因为函数1y x -=的单调递减区间为()0,∞+和(),0∞-.所以不等式()()11121a a ---<+等价于10210121a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪->+⎩或者10210a a -<⎧⎨+>⎩或者10210121a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：2a <-或112a -<<.所以实数a 的取值范围为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭.故答案为：()1,2,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭16.我们知道，函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()f x 为奇函数，由此可以推广得到：函数()f x 的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数()2x n f x m =+的图象关于点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，则m n -=______.【答案】2±【解析】【分析】由题设定义有()11[()]22f x f x -+=-+，进而得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，求参数值，即可得答案.【详解】由题意()12y f x =+为奇函数，所以()11[()]22f x f x -+=-+，则112222x x n n m m -=+++--，所以202(2221)(12)(2)122(12)(2)10x x x x x x x x x n n n m m m m m m m ⋅+⋅+++=⋅+++⋅++++⇒=⋅，所以22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立，故2012101m n m m mn n +==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩或11m n =⎧⎨=-⎩，所以2m n -=±.故答案为：2±【点睛】关键点点睛：根据定义得到22()2(21)20x x n m m mn n m ++++⋅++=恒成立为关键.第Ⅱ卷四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{A x y ==，{}521B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}45A B x x ⋃=-≤≤（2）[]2,3【解析】【分析】（1）先将集合A 化简，利用并集运算得解；（2）根据题意可得AB ，列式运算可求解.【小问1详解】由y =+，所以2050x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤≤，{}25A x x ∴=-≤≤，当1m =时，{}43B x x =-≤≤，{}45A B x x ∴⋃=-≤≤.【小问2详解】由题x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，即A B ，则25521521m m m m -≥-⎧⎪≤+⎨⎪-≤+⎩（等号不同时取），解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.（1）求值：1ln 222314lg 25lg 2e log 9log 22+++-⨯（2）已知()tan π2α+=.求222sin sin cos cos αααα-⋅+的值.【答案】（1）3；（2）75.【解析】【分析】（1）应用指对数运算性质及指对数关系化简求值；（2）由题设tan 2α=，再应用“1”的代换及齐次运算求值即可.【详解】（1）原式232lg 5lg 222log 3log 2523=+++-⨯=-=；（2）由()tan πtan 2αα+==，22222222222sin sin cos cos 2tan tan 1222172sin sin cos cos sin cos tan 1215ααααααααααααα-⋅+-+⨯-+-⋅+====+++.19.已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的周期以及单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及相应的x 值.【答案】19.π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈20.最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2-，相应的0x =.【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：函数()f x 的周期为2ππ2T ==.令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解得：π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．【小问2详解】令π23t x =-，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最大值，最大值为1；当233x -=-ππ，即0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可取得最小值，最小值为.故()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，相应的5π12x =；最小值为2，相应的0x =.20.已知函数()21f x x mx =-+.（1）若关于x 的不等式()10f x n +-≤的解集为[]1,2-，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()()10f x x m m -+->∈R 的解集.【答案】（1）1,2m n ==-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由不等式解集可得1,2-是20x mx n -+=的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）由题意有()(1)0x m x -->，讨论1m <、1m =、1m >求不等式解集.【小问1详解】由题设20x mx n -+≤的解集为[]1,2-，即1,2-是20x mx n -+=的两个根，所以121,122m n =-+==-⨯=-.【小问2详解】由题意()21(1)()(1)0f x x m x m x m x m x -+-=-++=-->，当1m <时，解得x m <或1x >，故解集为(,)(1,)m -∞+∞ ；当1m =时，解得1x ≠，故解集为{|1}x x ∈≠R ；当1m >时，解得1x <或x >m ，故解集为(,1)(,)-∞+∞ m ；21.已知()22x xf x a -=⋅-是定义域为R 的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】21.1a =22.单调递增，答案见解析23.(,∞-【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出a 的值；（2）先判断单调性，再根据函数单调性的定义判断即可；（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为3t m m<+，利用基本不等式求出最值即可．【小问1详解】()f x 是R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，对任意x ∈R ，即()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-，即()()1220x x a --+=，对任意x ∈R 恒成立，10a ∴-=，即1a =.【小问2详解】()f x 为R 上的增函数，证明如下：任取1x ，2R x ∈，且12x x <，()()()1122122222x x x x f x f x ---=---()121212222222x x x x x x -=-+⋅()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭，12x x < ，1212122,1022x x x x ∴<+>⋅，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数.【小问3详解】不等式()()92350x x f f t -++⋅-<在R 上恒成立，()()()929235x x x f f f t ∴--+=->⋅-，又()f x 为R 上的增函数，9235x x t ∴->⋅-在R 上恒成立，即()23330x x t -⨯+>，令3x m =，0m >，上式等价于230m tm -+>对0m >恒成立，即3t m m <+，令()3g m m m =+，只需()min t g m <即可，又()3g m m m =+≥()min g m ∴=，t ∴<.所以实数t的取值范围为(,∞-.22.已知函数()2log 1f x x =+，()22x g x =-.（1）求函数()()()()2123F x f x mf x m =--+∈⎡⎤⎣⎦R 在区间[]2,4上的最小值；（2）若函数()()()h x g f x =，且()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n =-⋅+⎡⎤⎣⎦的图象有3个不同的交点，求实数n 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）25n ³【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()[]()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =换元后()F x 变为2223y t mt m =--+，利用二次函数的性质确定最小值；（2）求出()2log 12222x h x x +=-=-，进而确定()()()22h g x g x =-，令()g x a =换元后有()()y h g x =化为22y a =-，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+，问题转化为()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数n 的取值范围.【小问1详解】()()()()2123F x f x mf x m ⎡⎤=--+∈⎣⎦R ，所以()()()()222log 2log 13F x x m x m =-++∈R ，令2log x t =，因为[]2,4x ∈，则[]1,2t ∈，所以()F x 变为2223y t mt m =--+，函数的对称轴为t m =，当1m £时，函数在[]1,2上单调递增，1t =时，函数有最小值44m -；当12m <<时，函数在[]1,m 上单调递增减，函数在(],2m 上单调递增，t m =时，函数有最小值223m m --+；当2m ≥时，函数在[]1,2上单调递减，2t =时，函数有最小值67m -+.【小问2详解】()()()h x g f x =即()()2log 122220x h x x x +=-=->，所以()22y g x =-，令()g x a =，所以()()y h g x =化为：()220y a a =->，()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦化为243y a na n =-+；令22243a a na n -=-+，整理有：()242320a n a n -+++=；因为()22xa g x ==-，作出简图如下注意到0a >，可得：当02a <<时，22x a =-有两个根；当2a ≥时，22x a =-有一个根；因为()()y h g x =的图象与()()243y g x n g x n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦的图象有3个不同的交点，所以()242320a n a n -+++=有两个根，且一个根在()0,2内，一个根在[)2,+∞内，设()()24232a a n a n ϕ=-+++，则有：()x ϕ为关于a 的二次函数，图象开口向上，对称轴为21a n =+，根据题意有：()()0020ϕϕ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即320520n n +>⎧⎨-+<⎩解得25n >，或()()00200212n ϕϕ⎧>⎪=⎨⎪<+<⎩，即3205201122n n n ⎧⎪+>⎪-+=⎨⎪⎪-<<⎩解得25n =综上所述：25n ³.【点睛】方法点睛：①换元法的应用，注意取值范围；②数形结合的应用.。
2016届四川南充高中高三4月模拟三数学(文)试题(解析版)
2016届四川南充高中高三4月模拟三数学（文）试题一、选择题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}2|1B x x =≤，则A B = （ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1- 【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|111B x x x x =≤=-≤≤，{}1,0,1A B ∴⋂=-，故选D.【考点】集合的运算.2．已知i 是虚数单位，复数()22i +的共轭复数为（ ）A ．34i -B ．34i +C ．54i -D ．54i + 【答案】A【解析】试题分析：()2234i i +=+，故其共轭复数为34i -，选A. 【考点】复数的代数运算.3．设向量()21,3m x =- ，向量()1,1n =-，若m n ⊥ ，则实数x 的值为（ ）A ．—1B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】试题分析：m n⊥，(21)13(1)0x ∴-⨯+⨯-=，2x ∴=，故选C.【考点】向量的垂直的充要条件.4．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．24B ．120C ．360D ．720 【答案】B【解析】试题分析： 第一次循环：2,1==i S ；第二次循环：3,2==i S ；第三次循环：4,6==i S ；第四次循环：5,24==i S ；第五次循环：6,120==i S ；结束循环，输出120，故选B. 【考点】算法初步.5．已知圆的方程为2260x y x +-=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：圆的圆心坐标为)0,3(，半径为3，最短弦长为2])02()31[(32222=-+--，故选C.【考点】圆的弦长.6．已知双曲线22:13y E x -=的左焦点为F ，直线2x =与双曲线E 相交于,A B 两点，则ABF ∆的面积为 （ ）A ．12B ．24C ．．【答案】A【解析】试题分析：由题意知2x =过双曲线的右焦点，则ABF ∆是以AB 为底的等腰三角形，2x =，3y ∴=±，6AB ∴=,ABF ∆的高为焦距24c ==，164122ABF S ∆∴=⨯⨯=，故选A. 【考点】双曲线的简单性质.7．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】试题分析：由题意得2A =，54()126T πππ=⨯-=，2T πω=，2ω∴=，226k πϕπ∴⨯+=，23k πϕπ∴=-+，2πϕ <，3πϕ∴=-，()2sin(2)3f x x π∴=-，故选B.【考点】函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象和性质.8．实数,x y 满足不等式组0010210x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨--≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．12-B ．0C ．2D ．4 【答案】D【解析】试题分析：作约束条件的平面区域，如图可知目标函数在点)2,3(A 取最大值，为4232=-⨯，故选D.【考点】简单的线性规划.【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：(1)线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．(2)目标函数的意义，有的可以用直线在y 轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．(3)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.9．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3,567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示.若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为()1,2,,9d d =⋅⋅⋅的概率为P .下列选项中，最难反映P 与d 的关系是（ ）A ．12P d =+ B ．1lg 1P d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()25120d P -=D ．3152d P =⨯ 【答案】B【解析】试题分析：用排除法,当5=d 时，其概率为12112010==P ，对于A ，71=P ；对C ，0=P ；对于D ，1603=P 均不符合，故选B. 【考点】频率分布直方图.【易错点睛】本题主要考查了频率分布直方图、函数的图象及排除法.首先对于频率分布直方图要掌握频率等于频数比样本容量.其次，要能从函数的角度去理解本题.本题给出的函数关系是一个减函数，很容易看出选项C 是一个先减后增的函数可以排除，其它选项也可采用类似方法.排除法是解决选择题的一个重要方法.10．设,a b 是不相等的两个正数，且ln ln b a a b a b -=-，给出下列结论：①1a b ab +->；②2a b +>；③112a b+>.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D【解析】试题分析：ln ln b a a b a b -=-变形为1l n 1l na b a b++=，设()f x 1l n ,0x x x +=>，'2ln ()xf x x∴=-，由'()0f x >得ln 0,01x x <∴<<；由'()0f x <得ln 0,1x x >∴>；则当1x =时，函数()f x 取极大值，则1ln 1ln ()()a a f a f b a a++=⇔=，则,a b 一个大于1，一个小于1，不妨设01,1a b <<>，(1)(1)0a b ∴-->，1a b ab ∴+->，则①正确；1ln 1ln a ba b++= ，2ln ln ln ln a b a ba b a b ++-∴=+-2a b>+，ln ln 0a b ∴+>，ln 0ab ∴>，1ab ∴>，2a b ∴+>，则②正确；令()ln g x x x x =-+，'''()ln ,()0,ln 0;()0,ln 0g x x g x x g x x ∴=->∴<<∴> ．再令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，'''()()(2)ln[(2)]0,()()(2)h x g x g x x x h x g x g x ∴=--=-->∴=--在01x <<上为增函数.11()()(2)(1)0,()(2),()(2)h x g x g x h g x g x f g a a=--<=∴<-∴<-，11ln 1ln ()a b g a a b ++== ，1111111()()(2),2,2g g g a b a b a a b∴=<-∴>-∴+>，则③正确.故选D.【考点】不等式的基本性质.【易错点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及不等式的证明，利用构造法，结合函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键，本题多次用到了构造函数，构造法是解决函数、不等式、最值的一个利器，经常会起到一个柳暗花明的作用，但构造法难度较大，是高中知识的一个难点，经常和导数结合。
2016届四川省南充高级中学高三1月诊断考试(理)数学试题_word版
高中2016年1月诊断考试 数学试卷（理工类） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|2}x A y y ==，集合{|}B y y x ==，则A B =（ ）A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞ 2.为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上的所有点（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变3. 双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的离心率是（ ） A ．54 B ．53 C ．73D 214.在复平面，复数(||1)(1)z a a i =-++（,a R i ∈为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（ ）A ．1a ≥B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <- 5.直线230x y +-=的倾斜角是θ，则sin cos sin cos θθθθ+-的值是（ ）A ．-3B ．-2C ．13D ．3 6．在闭区间[4,6]-上随机取出一个数x ，执行如下面的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．457. 已知点M 是边长为2的正方形ABCD 切圆（含边界）一动点，则MA MB •的取值围是（ ）A ．[1,0]-B ．[1,2]-C ．[1,3]-D ．[1,4]-8. 已知正项等比数列{}n a 满足54325a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．24 D ．32 9. 已知21()2b f x x c x =++（b c 、为常数）和11()4g x x x=+是定义在{|14}M x x =≤≤上的函数，对任意的x M ∈，存在0x M ∈使得0()()f x f x ≥，0()()g x g x ≥，且00()()f x g x =，则()f x 在集合M 上的最大值为（ ）A ．72 B ．92C ．4D ．5 10.已知抛物线24(0)x py p =>的焦点为F ，直线2y x =+与该抛物线交于A B 、两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2()15AF BF AF BF FN p •++•=--，则p 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学成绩的中位数是 .12.在5(1)x x -展开式中含3x 项的系数是 .（用数字作答）13.从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有 个.（用数字作答）14.已知点P 在单位圆221x y +=上运动，点P 到直线34100x y --=与3x =的距离分别记为12d d 、，则12+d d 的最小值是 . 15.现定义一种运算“⊕”：对任意实数,a b ，,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊕=⎨-<⎩，设2()(2)(3)f x x x x =-⊕+，若函数()()g x f x k =+的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（1）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（2）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（3）从（2）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望. 17. （本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.（1）若x 是某三角形的一个角，且()f x =，求角x 的大小； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合.18. （本小题满分12分）二次函数2()4f x x x m =++（m 为非零常数）的图象与m 坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C . （1）求m 的取值围；（2）试证明圆C 过定点（与m 的取值无关），并求出该定点坐标. 19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：530S =，10110S =，数列{}n b 的前n 项和n T 满足：111,21n n b b T +=-=.（1）求n S 与n b ；（2）比较n n S b 与n n T a 的大小，并说明理由. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点M 到定点(1,0)F -的距离和它到直线:2l x =-的距离之比是，记动点M 的轨迹为T . （1）求轨迹T 的方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于A B 、两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x mx =-（m R ∈）.（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当m ≥时，设2()2()g x f x x =+的两个极值点12,x x 12()x x <恰为2()ln h x x cx bx =--的零点，求'1212()()2x x y x x h +=-的最小值.参考答案一、选择题BABDC ACDDB二、填空题11. 127 12.-10 13.52 14.4555- 15. (3,2)(8,7]{1}----三、解答题16.解：（1）由图知，随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率为110(0.0200.0250.0150.010)0.3-⨯+++=，∴随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为1000.330⨯=人.（3）由已知0,1,2X=，23253(0)10CP XC===，1123253(1)5C CP XC===，22251(2)10CP XC===，∴X的分布列为3314012105105EX=⨯+⨯+⨯=.17.解：（1）2222()(cos sin)(cos sin)sin2f x x x x x x=-+-cos2sin2x x=-2)4xπ=-由22)4xπ-=1sin(2)42xπ-=，∴2246x kπππ-=+，k Z∈，或52246x kπππ-=+，k Z∈，解得524x k ππ=+，k Z ∈或1324x k ππ=+，k Z ∈， ∵0x π<<， ∴524x π=或1324x π=.（2）由（1）知，())4f x x π=-，再由[0,]2x π∈，可得32[,]444x πππ-∈-，∴()1f x ≤≤，∴当且仅当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 取得最小值，即()f x 的最小值为，此时x 的取值集合为3{}8π.18.解：（1）令0x =，得函数与y 轴的交点是(0,)m . 令2()40f x x x m =++=，由题意0m ≠且0∆>，解得4m <且0m ≠. 设所求的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，得20x Dx F ++=，这与240x x m ++=是同一个方程， 故4,D F m ==，令0x =，得20y Ey F ++=方程有一个根为m ， 代入得1E m =--.∴圆C 的方程为224(1)0x y x m y m ++-++=， 将圆C 的方程整理变形为224(1)0x y x y m y ++---=， 此方程对所有满足4m <且0m ≠都成立，须有224010x y x y y ⎧++-=⎨-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，经检验知，(4,1)-和(0,1)均在圆C 上， 因此圆C 过定点(4,1)-和(0,1).19.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：11545302109101102a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， ∴2(1)22n a n n =+-⨯=，2(22)2n n n S n n +==+. 对数列{}n b ，由已知有2121b T -=，即21213b b =+=， ∴213b b =，（*）又由已知121n n b T +-=，可得121n n b T --=(2,*)n n N ≥∈，两式相减得112()0n n n n b b T T +----=，即120n n n b b b +--=(2,*)n n N ≥∈， 整理得13n n b b +=(2,*)n n N ≥∈， 结合（*）得13n nb b +=（常数），*n N ∈， ∴数列{}n b 是以11b =为首项，3为公比的等比数列， ∴13n n b -=.（2）12131n n n T b +=-=-，∴21()3n n n S b n n -=+•，2(31)n n n T a n =•-，于是2112()32(31)[3(5)2]n n n n n n n S b T a n n n n n ---=+•-•-=-+， 显然当4(*)n n N ≤∈时，20n n n n S b T a -<，即2n n n n S b T a <； 当5n ≥(*)n N ∈时，20n n n n S b T a ->，即2n n n n S b T a >，∴当4(*)n n N ≤∈时，2n n n n S b T a <；当5n ≥(*)n N ∈时，2n n n n S b T a >. 20.解：（1）设动点(,)M x y ，则由题意可得=C 的方程为2212x y +=. （2）假设存在00(,)Q x y 满足条件，设依题意可设直线m 为1x ky =-，于是22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得22(2)210k y ky +--=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，于是12222k y y k +=+，121224()22x x k y y k -+=+-=+， ∴AB 的中点N 的坐标为222(,)22kk k -++，∵PQ l ⊥，∴直线PQ 的方程为222()22k y k x k k -=-+++，令0y =，解得212x k =-+，即21(,0)2P k -+.∵P 、Q 关于点N 对称，∴022211()222x k k -=-++，021(0)22k y k =++， 解得0232x k -=+，0222k y k =+，即2232(,)22kQ k k -++.∵点Q 在椭圆上， ∴222232()2()222k k k -+=++，解得2k =21k =1k= ∴m的方程为y =+或y =-.21.解：（1）'11(),0mxf x m x x x-=-=>， 当0m >时，由10mx ->解得1x m <，即当10x m <<时，'()0f x >，()f x 单调递增； 由10mx -<解得1x m >，即当1x m >时，'()0f x <，()f x 单调递减.当0m =时，'1()0f x x=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，10mx ->，故'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增. ∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m ，单调递减区间为1(,)m+∞.当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（2）22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+，则2'2(1)()x mx g x x-+=，∴'()g x 的两根12,x x 即为方程210x mx -+=的两根.∵m ≥， ∴240m ∆=->，12x x m +=，121x x =， 又∵12,x x 为2()ln h x x cx bx =--的零点，∴2111ln 0x cx bx --=，2222ln 0x cx bx --=，两式相减得11212122ln ()()()0xc x x x x b x x x --+--=，得121212ln()x x b c x x x x =-+-，而'1()2h x cx b x=--， ∴1212122()[()]y x x c x x b x x =--+-+121212121212ln2()[()()]x x x x c x x c x x x x x x =--+-+++-11212111222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=-++令12(01)x t t x =<<， 由2212()x x m +=，得22212122x x x x m ++=，因为121x x =，两边同时除以12x x ，得212t m t++=，∵m ≥，故152t t +≥，解得12t ≤或2t ≥，∴102t <≤... .... .. .. 设1()2ln 1t G t t t -=•-+， ∴2'(1)()0(1)t G t t t --=<+，则()y G t =在1(0,]2上是减函数， ∴min 12()()ln 223G t G ==-+， 即'1212()()2x x y x x h +=-的最小值为2ln 23-+.。
2016-2017年四川省南充高中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年四川省南充高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h2．（5分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣14=0B．3x﹣4y+14=0C．4x+3y﹣14=0D．4x﹣3y+14=0 3．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠04．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．305．（5分）若直线（a+1）x+2y=0与直线x﹣ay=1互相垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知一圆的圆心为（2，﹣3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=13B．（x+2）2+（y﹣3）2=13C．（x﹣2）2+（y+3）2=52D．（x+2）2+（y﹣3）2=528．（5分）阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．123B．38C．11D．39．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则（）A．=5，s2＜2B．=5，s2＞2C．＞5，s2＜2D．＞5，s2＞2 11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2 12．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA=DD1=1，DC=，点E是B1C1的中点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，则|AE|=．14．（5分）已知函数f（x）=a2x﹣2a+1，若命题“∀x∈[0，1]，f（x）＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．15．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O：x2+y2=b2上的动点，若是常数，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P （5，3）．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．18．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．19．（12分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．20．（12分）为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右五个小组的频率分布为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三小组的频数为6．（1）参加这次测试的学生数是多少？（2）试问这组身高数据的中位数和众数分别在哪个小组的范围内，且在众数这个小组内人数是多少？（3）如果本次测试身高在157cm以上为良好，试估计该校女生身高良好率是多少？21．（12分）已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），右焦点为F2．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．2016-2017学年四川省南充高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h【分析】直接利用回归直线方程求解即可．【解答】解：某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为：y=0.01×600+0.5=6.5（h）．故选：A．2．（5分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣14=0B．3x﹣4y+14=0C．4x+3y﹣14=0D．4x﹣3y+14=0【分析】直接弦长直线方程的点斜式，整理为一般式得答案．【解答】解：∵直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，∴直线l的点斜式方程为y﹣5=（x+2），整理得：3x+4y﹣14=0．故选：A．3．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选：D．4．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选：B．5．（5分）若直线（a+1）x+2y=0与直线x﹣ay=1互相垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：由直线方程：（a+1）x+2y=0，x﹣ay=1，当a=0时，分别化为：x+2y=0，x=1，此时两条直线不垂直，舍去；当a=﹣1时，分别化为：y=0，x+y=1，不符合题意，舍去；当a≠0，﹣1时，分别化为：y=x，y=x﹣，由于两条直线垂直，∴×=﹣1，解得a=1．综上可得：a=1．故选：C．6．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．7．（5分）已知一圆的圆心为（2，﹣3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2=13B．（x+2）2+（y﹣3）2=13C．（x﹣2）2+（y+3）2=52D．（x+2）2+（y﹣3）2=52【分析】直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b），圆心（2，﹣3）为AB的中点，利用中点坐标公式求出a，b后，再利用两点距离公式求出半径．【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心为点（2，﹣3），由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，∴r==，则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，故选：A．8．（5分）阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．123B．38C．11D．3【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序．【解答】解：根据程序框图，模拟程序的运行，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11，故选：C．9．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，推出b、a的关系式，由此能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，∴4a=3b，∴c==a∴e==．故选：B．10．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则（）A．=5，s2＜2B．=5，s2＞2C．＞5，s2＜2D．＞5，s2＞2【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．【解答】解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，∴==5，s2==＜2，故选：A．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故选：B．12．（5分）已知椭圆+=1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y=4x+m 对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x0=﹣m，y0=﹣3m，点M （x0，y0）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．【解答】解：椭圆+=1，即：3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12=0，①3x22+4y22﹣12=0 ②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA=DD1=1，DC=，点E是B1C1的中点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，则|AE|=．【分析】确定A，E的坐标，可得的坐标然后求出AE的长度；【解答】解：由题意长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA=DD1=1，，点E是B1C1的中点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，A（1，0，0），E（，，1），∴=（，，1）∴==；故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=a2x﹣2a+1，若命题“∀x∈[0，1]，f（x）＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是真命题，求出a的范围【解答】解：∵函数f（x）=a2x﹣2a+1，若命题“∀x∈[0，1]，f（x）＞0”是假命题，∴“∃x∈[0，1]，f（x）≤0”是真命题，所以f（0）≤0或f（1）≥0，解得：a≥．故答案为：．15．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，] ．【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即4k2+4﹣4k2≥3k2+3，解得：﹣≤k≤，则k的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O：x2+y2=b2上的动点，若是常数，则椭圆C的离心率为．【分析】设F（﹣c，0），由c2=a2﹣b2可求c，P（x1，y1），要使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率公式，解方程可得可求．【解答】解：设F（﹣c，0），c2=a2﹣b2，A（﹣a，0），P（x1，y1），使得是常数，设=，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（x，λ是常数），即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2﹣c3+ca2=a3，即e3﹣2e+1=0，∴（e﹣1）（e2+e﹣1）=0，∴e=1或e=，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P （5，3）．（1）求直线l1的方程；x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．（2）若直线l2：【分析】（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得k PC=，由k•k PC=﹣1可求k，从而可求直线l1的方程；（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围．【解答】解：（1）∵圆C的方程化标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=9，∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l1的斜率为则k，则k=﹣=﹣2．∴直线l1的方程为：y﹣3=﹣2（x﹣5）即2x+y﹣13=0．（2）∵圆的半径r=3，∴要使直线l2与圆C相交则须有：＜3，∴|b+5|＜3于是b的取值范围是：﹣3﹣5＜b＜3﹣5．18．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【分析】若命题p真，则有，解得m＞2；若命题q真，则有判别式△′=[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得1＜m＜3．分命题p为真、命题q为假，以及命题p为假、命题q为真两种情况，分别求出m的取值范围，取并集即得所求．【解答】解：令f（x）=x2+mx+1，若命题p真，则有，解得m＞2．若命题q真，则有判别式△′=[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得1＜m＜3．根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得命题p和命题q一个为真，另一个为假．当命题p为真、命题q为假时，m≥3．当命题p为假、命题q为真时，1＜m≤2．综上可得，m的取值范围为[3，+∞）∪（1，2]．19．（12分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）=0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y=0得A点坐标为（﹣2﹣，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），=|﹣2﹣||2k+1|∴S△AOB=（2+）（2k+1）=（4k++4）≥（4+4）=4．当且仅当4k=，即k=时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1=0．即x﹣2y+4=0．20．（12分）为了解中学生的身高情况，对某中学同龄的若干女生身高进行测量，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右五个小组的频率分布为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三小组的频数为6．（1）参加这次测试的学生数是多少？（2）试问这组身高数据的中位数和众数分别在哪个小组的范围内，且在众数这个小组内人数是多少？（3）如果本次测试身高在157cm以上为良好，试估计该校女生身高良好率是多少？【分析】（1）第三个小组的频率为0.1，频数为6，由此能求出参加这次测试的学生数．（2）从左到右四个小组的频率和为0.290，从左到右五个小组的频率和为0.590，由此能求出这组身高数据的中位数在从左到右的第5小组内；[157，160）这组对应的小矩形最高，由此能求出这组身高数据的众数在[157，160）内，求出[157，160）这组数据的频率，由此能求出在众数这个小组内人数．（3）由频率分布图知，求出身高在157cm以上（包括157cm）的频率，能此能估计该校女生身高良好率．【解答】解：（1）∵图中从左到右五个小组的频率分别为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，第三个小组的频数为6，∴第三个小组的频率为0.1，频数为6，∴参加这次测试的学生数是：=60（人）．（2）∵图中从左到右五个小组的频率分别为0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，∴从左到右四个小组的频率和为：0.017+0.050+0.100+0.133=0.290，从左到右五个小组的频率和为：0.017+0.050+0.100+0.133+0.300=0.590，∴这组身高数据的中位数在从左到右的第5小组内，即[157，160）这组内，∵[157，160）这组对应的小矩形最高，∴这组身高数据的众数在[157，160）内，∵[157，160）这组数据的频率为0.300，∴[157，160）这组数据的频数为60×0.300=18，∴在众数这个小组内人数是18人．（3）本次测试身高在157cm以上（包括157cm）的为良好，由频率分布图知，身高在157cm以上（包括157cm）的频率为：1﹣（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.710，∴估计该校女生身高良好率为71%．21．（12分）已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程．【分析】（1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把点P（2，1）代入可得p 值，从而求得抛物线的标准方程．（2）当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意；当斜率存在时，先设直线方程并联立抛物线方程，得出△=0，即可求出结果．【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把点P（2，1）代入可得4=2p，∴p=2，故所求的抛物线的标准方程为x2=4y．（2）①当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意②当斜率存在时，设直线方程为：y﹣1=k（x﹣2）即y=kx﹣2k+1联立方程可得，，消去y整理可得x2﹣4kx+8k﹣4=0，∵直线与抛物线只有一个公共点∴△=16k2﹣32k+16=0∴k=1综上可得，x﹣y﹣1=0，x=2，22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），右焦点为F2．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，求出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，结合向量的数量积，在椭圆的内部，利用换元法，即可求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），∴，∴a2=2，b2=1…（2分）∴椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为，此时、，得=（﹣﹣1，0）•（﹣1，0）=1﹣2=﹣1．…（5分）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k（k≠0），，A（x1，y1），B（x2，y2）由线段AB的中点M的横坐标为，得，则﹣1+4mk=0，故4mk=1．…（6分）此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为．即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．设P（x3，y3），Q（x4，y4）∴，．…（9分）于是===．…（11分）由于在椭圆的内部，故令t=32m2+1，1＜t＜29，则．…（12分）又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为[﹣1，）．…（13分）。
2016-2017年四川省南充高中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年四川省南充高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{0，1，2}B．{1，0，1，2}C．{1}D．不能确定2．（4.00分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{﹣1}∈A；③∅⊆A；④{1，﹣1}⊆A．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（4.00分）若f（x）=，且f（f（e））=10，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣24．（4.00分）集合M={x|y=+}，N={y|y=•}则下列结论正确的是（）A．M=N B．M∩N={3}C．M∪N={0}D．M∩N=∅5．（4.00分）若函数y=f（x）的定义域是[，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．[1，2]C．[，4]D．[，2]6．（4.00分）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．（4）（1）（2）B．（4）（2）（3）C．（4）（1）（3）D．（1）（2）（4）7．（4.00分）下列四个函数：①y=3﹣x；②；③y=x2+2x﹣10；④，其中值域为R的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（4.00分）若f（x）=x2+a，则下列判断正确的是（）A．f（）= B．f（）≤C．f（）≥D．f（）＞9．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+110．（4.00分）已知log a＞log b，则下列不等式成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．3a﹣b＜1 D．log a2＜log b211．（4.00分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]12．（4.00分）设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）若2a=5b=10，则=．14．（4.00分）函数y=a x﹣4+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．15．（4.00分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函数y=[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值为．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围是．三、解答题（本大题共5个小题，共56分）17．（10.00分）已知集合U=R，A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的范围．18．（10.00分）计算：（1）（﹣）0+（）+；（2）5+lg22+lg5•lg2+lg5．19．（12.00分）目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？20．（12.00分）已知函数f（x）=﹣．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）＜0．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省南充高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．（4.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{0，1，2}B．{1，0，1，2}C．{1}D．不能确定【解答】解：∵集合A={0，1}，B={1，2}，∴A∪B={0，1，2}．故选：A．2．（4.00分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{﹣1}∈A；③∅⊆A；④{1，﹣1}⊆A．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：因为A={x|x2﹣1=0}，∴A={﹣1，1}对于①1∈A显然正确；对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对③∅⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；对④{1，﹣1}⊆A．同上可知正确．故选：C．3．（4.00分）若f（x）=，且f（f（e））=10，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=，且f（f（e））=10，∴f（e）=lne=1，f（f（e））=f（1）=2+m3=10，解得m=2．故选：A．4．（4.00分）集合M={x|y=+}，N={y|y=•}则下列结论正确的是（）A．M=N B．M∩N={3}C．M∪N={0}D．M∩N=∅【解答】解：集合M={x|y=+}={x|}={x|x=3}={3}，N={y|y=•}={y|y=0}={0}；∴M≠N，M∪N={0，3}，M∩N=∅，选项D正确．故选：D．5．（4.00分）若函数y=f（x）的定义域是[，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．[1，2]C．[，4]D．[，2]【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域为[，2]，∴≤log2x≤2，∴≤x≤4．故选：C．6．（4.00分）下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．（4）（1）（2）B．（4）（2）（3）C．（4）（1）（3）D．（1）（2）（4）【解答】解：（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象（4）；（2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象（1）；（3）最后加速向学校，其距离随时间的变化关系是越来越快，故应选图象（2）．故答案为：（4）（1）（2），故选：A．7．（4.00分）下列四个函数：①y=3﹣x；②；③y=x2+2x﹣10；④，其中值域为R的函数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：根据一次函数的值域为R，y=3﹣x为一次函数，故①满足条件；根据x2+1≥1，可得，即函数的值域为（0，1]，故②不满足条件；二次函数y=x2+2x﹣10的最小值为﹣11，无最大值，故函数y=x2+2x﹣10的值域为[﹣11，+∞），故③不满足条件；当x≤0时，y=﹣x≥0，当x＞0时，y=﹣＜0，故函数的值域为R，故④满足条件；故选：B．8．（4.00分）若f（x）=x2+a，则下列判断正确的是（）A．f（）= B．f（）≤C．f（）≥D．f（）＞【解答】解：f（）﹣==≤0，∴f（）≤，故选：B．9．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．10．（4.00分）已知log a＞log b，则下列不等式成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．3a﹣b＜1 D．log a2＜log b2【解答】解：log a＞log b，可得0＜a＜b．所以a﹣b＜0，∴3a﹣b＜1．故选：C．11．（4.00分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．12．（4.00分）设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤．∴实数a的最大值为．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）若2a=5b=10，则=1．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．14．（4.00分）函数y=a x﹣4+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．【解答】解：由指数函数的性质知函数y=a x﹣4+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P（4，2），设幂函数为f（x）=x a，P在幂函数f（x）的图象上，可得：4a=2，解得a=；所以f（x）==．故答案为：．15．（4.00分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[﹣2.2]=﹣3．函数y=[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]的值为12．【解答】解：由题意可知：[log31]=0，[log33]=1，[log39]=2，∴[log31]+[log32]+[log33]+…+[log311]=0+0+1+1+1+1+1+1+2+2+2=12，故答案为：12．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围是（12，15）．【解答】解：由题意可得﹣log2a=log2b=c2﹣c+5=d2﹣c+5，可得log2（ab）=0，故ab=1．在区间[2，+∞）上，令f（x）=1可得c=2、d=6、cd=12．令f（x）=0可得c=3、d=5、cd=15．故有12＜abcd＜15，故答案为（12，15）．三、解答题（本大题共5个小题，共56分）17．（10.00分）已知集合U=R，A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的范围．【解答】解：（1）∵集合U=R，A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|1＜x≤8}；…（2分）∁U A={x|x＜2或x＞8}，故（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}；…（6分）（2）集合A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，当A∩C≠∅时，a＜8．…（10分）18．（10.00分）计算：（1）（﹣）0+（）+；（2）5+lg22+lg5•lg2+lg5．【解答】解（1）原式=1+2+|3﹣|=3+﹣3=．（2）原式=2+lg2（lg2+lg5）+lg5=2+lg2+lg5=3．19．（12.00分）目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？【解答】解：（1）由题意得，车费f（x）关于路程x的函数为：=．（6'）（2）只乘一辆车的车费为：f（16）=2.85×16﹣5.3=40.3（元），（8'）换乘2辆车的车费为：2f（8）=2×（4.2+1.9×8）=38.8（元）．（10'）∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．（12'）20．（12.00分）已知函数f（x）=﹣．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）＜0．【解答】解：（1）由2x+1＞1得函数的定义域为R，又f（﹣x）+f（x）=﹣+﹣=+﹣1=1﹣1=0．则f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（2）f（x）为R上的减函数证明如下：任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=﹣=，∵x1＜x2，∴2＜2，则f（x1）﹣f（x2）=＞0，∴f（x1）＞f（x2），故f（x）为R上的减函数．（3）由（1）（2）知f（x）在R上是奇函数且单调递减，由f（f（x））+f（）＜0得f（f（x））＜﹣f（）=f（﹣），则f（x）＞﹣，∴﹣＞﹣，即2x＜7，得x＜log27，故不等式的解集为（﹣∞，log27）．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【解答】解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）=k，则k=．（2）g（x）=log4（a•2x﹣a），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），∴log4（）=log4（a•2x﹣a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a﹣1=0，即a=1时，h（t）=﹣﹣1，由h（t）=0，得t=﹣＜0，不满足题意若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．。
四川省南充高级中学2023-2024学年高三上学期一模文科数学试题(含答案)
南充高级中学2023-2024学年高三上学期一模数学（文科）试题时间：120 分钟总分：150分注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则（）A． B．C．D．2．若是虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．3. 已知等差数列中，，，则等于（）A．15 B．30 C．31 D．644．在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量满足，则（）A．－2 B．－1 C．0 D．26. 已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（）A．B．C．D．7.函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．19．中国古典十大名曲是指《高山流水》、《梅花三弄》、《夕阳箫鼓》、《汉宫秋月》、《阳春白雪》、《渔樵问答》、《胡笳十八拍》、《广陵散》、《平沙落雁》、《十面埋伏》。
如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（）A． B．C．D．10.已知定义在R上的函数，且与曲线交于点，则为（）A．B．C．D．11. 若对任意的､，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确．．的是（）A．点(0,0)是函数的零点B．的取值范围是C．是的极大值点D．，，使二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国百强校】四川省南充高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题
绝密★启用前【全国百强校】四川省南充高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则( )(其中为自然对数的底)A ．B ．C ．D ．2、已知函数，，点是函数图象上的任意一点，其中，，记的面积为，则的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．3、设函数，则“”是“函数在上存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4、在平面直角坐标系中以原点为极点，以轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．但5、若函数的最小值为3，则实数的值为( ) A ．4 B ．2 C ．2或D ．4或6、已知函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A ．B ．C ．D ．7、定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．188、设，，，则( )A ．B ．C ．D ．9、曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程后为( )A ．B ．C ．D ．10、若，，则下列不等式恒成立的是( )A ．B ．C ．D ．11、下列函数中，满足“”的单调递增函数是( )A ．B ．C ．D ．12、设集合，，则 ( ) A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.下列有关说法中：①对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数；③存在圆，使得是圆的太极函数；④直线所对应的函数一定是圆的太极函数.所有正确说法的序号是__________．14、直线分别与直线，曲线交于、两点，则的最小值为__________．15、在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．16、已知函数，则__________．三、解答题（题型注释）17、已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极小值；(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点，，，证明：.18、已知函数为二次函数，满足，且.(1)求函数的解析式；(2)若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.19、在平面直角坐标系中，已知直线 (为参数)与圆(为参数)相交于两点.(1)求直线及圆的普通方程；(2)已知，求的值.20、设命题：实数满足 (其中)；命题：实数满足.(1)若命题中，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.21、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.22、已知函数.(1)若在有极小值，求实数的值；(2)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围.参考答案1、A2、A3、C4、C5、D6、B7、D8、A9、A10、D11、C12、D13、②④14、15、16、17、(1) (2) 函数的极小值为.(3) 见解析18、(1) (2)19、(1) (2)20、(1) 或. (2)21、(1) (2)3622、(1) ，. (2)【解析】1、因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数当时恒有，所以=；，因此，选A.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.2、，所以，所以选A.3、，函数在上单调递增；时，，所以函数在上存在零点；若函数在上存在零点，则，因此“”是“函数在上存在零点”的充要条件，选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4、所以，选C.5、 4或，选D.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．6、，选B.7、，选D.8、试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．9、，选A.10、；；c=0时；因为所以，选D.11、A,B,C为单调递增函数只有满足，选C.12、 ,所以，选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．13、①偶函数平分圆的周长和面积；②也关于圆心对称，平分圆的周长和面积，所以函数是圆的一个太极函数；③因为关于对称，所以圆，但此时不能平分圆的周长和面积④直线恒过圆心，所以平分圆的周长和面积，即直线所对应的函数一定是圆的太极函数.选②④14、时取最小值为415、16、点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.17、试题分析：（1）由导数几何意义得，解得.（2）先求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式，再利用换元转化为，最后根据导数分别证明及试题解析：解：(1)依题意得，则.由函数的图象在点处的切线平行于轴得：，所以.(2)由(1)得，因为函数的定义域为，令得或.函数在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，故函数的极小值为.(3)证法一：依题意得，要证，即证，因，即证，令，即证，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以①令，则，所以在上单调递增，所以，即②综①②得，即.证法二：依题意得，令，则，由得，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，即.18、试题分析：（1）先设二次函数一般式：.再根据条件，利用恒等关系求出，，（2）先化简方程得，利用换元转化为方程在区间上有两个不同的正根，再根据实根分布列充要条件，解得实数的取值范围.也可利用数形结合求解.试题解析：解：(1)因为函数为二次函数且，故设. 又.所以，所以，，所以，，所以函数的解析式为.(2)由(1)知：方程可化为，即，令，因为上有两个不同的解，所以方程在区间上有两个不同的正根，即函数和直线在上有两个不同的交点，所以.19、试题分析：（1）利用代入消元法可得直线普通方程；利用平方关系可得圆的普通方程（2）将直线参数方程代入圆的标准方程得.再根据参数几何意义得，最后利用韦达定理代入求值.试题解析：解：(1)直线的普通方程为，圆的普通方程为.(2)将代入，得.设方程(*)的两根设为，则：，.所以.20、试题分析：（1）先分别求出命题为真时的取值范围，再根据真时都为真，求交集即得结果（2）先分别求出命题为真时的取值范围，再根据补集得到为真时的取值范围，最后根据是的必要不充分条件，得为真子集，结合数轴列不等式，可得实数的取值范围.试题解析：解：(1)当时，.，又真，所以都为真，由，得或.(2)，所以或，，所以满足条件的解集，，因为是的必要不充分条件，所以，所以，得.21、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)22、试题分析：（1）由极值定义得,,解方程组可得，.（2）即得在上恒成立,利用变量分离得0.试题解析：解：(1)，依题意得，即，解得，故所求的实数，.(2)由(1)得.因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即，恒成立，因为，，所以，所以实数的取值范围为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。
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2016年四川省南充市高级中学高三文科上学期人教A版数学期末考试试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2. 已知 是虚数单位，复数 （其中 ）是纯虚数，则
A. B. C. D.
3. “ ”是“
”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列各函数中，最小值为 的是
A. B. ，
C. D.
5. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形
的斜边长为 ，那么这个几何体的体积是
A. B. C. D.
6. 如图，该程序运行后输出的结果是
A. B. C. D.
7. 若函数 的最小正周期是 ，且图象关于点
对称，则 的解析式可以
A.
B.
C.
D.
第2页（共10 页）
8. 已知空间两条不同的直线 ， 和两个不同的平面 ， ，则下列命题中正确的是
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
9. 圆
上点到直线 的最大距离与最小距离的差为
A. B. C. D.
10. 在四边形 中，若 ，且
，则
A. 是矩形 B. 是菱形
C. 是正方形 D. 是平行四边形
11. 函数 是定义域为 的奇函数，且当 时，
，则函数 的零点个数
是
A. B. C. D.
12. 如图，矩形 的一边 在 轴上，另外两个顶点 ， 在函数
的图象上．若点 的坐标为 ，记矩形
的周长为 ，则
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边， ， ， ，则 ．
14. 已知正数 ， 满足 ，则 的取值范围是 ．
15. 两个正数 ， 的等差中项为 ，等比中项为 ，且 ，则双曲线
的离心率 等
于 ．
16. 给定集合
（ ， 且 ， ），（且），定义点集
．若对任意点 ，存在点 ，使得 （ 为坐
标原点），则称集合 具有性质 P．给出以下四个结论：
① 具有性质 P；
② 具有性质 P；
③若集合 具有性质 P，则 中一定存在两数 ， ，使得
；
第3页（共10 页）
④若集合 具有性质 P， 是 中任一数，则在 中一定存在 ，使得
．
其中正确的结论有 ．（填上你认为所有正确的结论的序号）
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 为了考察某种药物预防禽流感的效果，某研究中心选了 只鸭子做实验，统计结果如下：
得禽流感不得禽流感总计
服药
不服药
总计
参考公式：
临界值表：
（1）能有多大的把握认为药物有效?
（2）在服药后得禽流感的鸭子中，有 只母鸭， 只公鸭，在这 只中随机抽取 只再进行研
究，求至少抽到 只母鸭的概率．
18. 在等差数列
中， ， ．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的前 项和 ．
19. 五点法作函数
的图象时，所填的部分数据
如下：
（1）根据表格提供数据求函数 的解析式；
（2）当
时，方程 恰有两个不同的解，求实数 的取值范围．
20. 已知正方体 的棱长为 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求线段 的长；若不存在，
请说明理由．
21. 已知点 在抛物线
上．
第4页（共10 页）
（1）求抛物线 的方程；
（2）设定点 ，过 作直线 与抛物线 交于
，
两点，连接 （ 为坐标原点）．过点 作垂直于 轴的直线交 于
点 ．
①证明点 在一条定直线上；
②求四边形 的面积的最大值．
22. 已知函数
．
（1）当 ， ， 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 ， 时，求函数 的极值；
（3）当 ， 时，是否存在实数 ，使得 时，函数 图象上的点
都在 所表示的平面区域内（含边界）?若存在，求出 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
第5页（共10 页）
答案
第一部分
1. A 2. B 【解析】因为数 （其中 ）是纯虚数，
所以 即 ．
3. A 【解析】由
可得 ，或 ，由集合 是集合 或
的真子集，可得“ ”是“
”的充分不必要条件．
4. D 【解析】对于 A，因为 ， ，故无最值，
对于 B， ，当且仅当 取等号，而
，故无最小值，
对于 C，
，当且仅当 取等号，此时 无解，
对于D，
，当且仅当 取等号，故最小值为 ．
5. C
6. C 7. D 【解析】函数 的最小正周期是 ，即 ，解得： ，排除A，
将点 坐标代入，即当 时， 的值应该为 ，B，C，D选项中只有D满足，
故 的解析式可以是D．
8. B 9. C 【解析】圆
的圆心为 ，半径为 ，圆心到直线
的距离为 ，
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 ．
10. B
【解析】因为 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
因为
，
所以 ，
所以 ，
所以四边形 是菱形．
11. C 12. D
第二部分
13. 或
14.
15.
【解析】因为两个正数 ， 的等差中项为 ，等比中项为 ，且 ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
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所以 ．
16. ①③
【解析】集合 具有性质 P，若
，则 ，若 ，则 ，均满足
，
所以 ① 具有性质 P，故 ① 正确；
对于 ②，当 若存在 满足 ，即 ，即 ，集合 中不存在
这样的数 ， ，因此 ②不具有性质 ，故 ② 不正确；
取
，又集合 具有性质 P，
所以存在点 使得 ，即
，又 ，
所以
，故 ③正确；
由 ③ 知，集合 中一定存在两项 ， 使得
；假设 ，则存在
有
，
所以
．
此时取
，集合 具有性质 P，
所以存在点 使得 ，
所以 ；只有 ，
所以当 时 ，矛盾，
所以 是 中任一数，则在 中一定存在 ，使得
．故 ④ 不正确．
第三部分
17. （1） 假设 ：服药与家禽得流感没有关系，
则
．
因为
，
，
所以有 的把握认为药物有效．
（2） 记 只母鸭为 ， ， 只公鸭为 ， ， ，
则从这 只中随机抽取 只的基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，
则至少抽到 只母鸭的基本事件是 种，
故所求的概率为 ．
18. （1） 解 设数列 的公差为
由 得
所以
．
（2） 依题意有 ，
．
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．
19. （1） 由表知，
，
， ；
，
；
所以函数 ，
把
代入上式， ，
，
所以
，
．
因为 ，所以 ，
所以所求函数解析式：
．
（2） 因为
，所以当 时， 单调递增， ， ；
当
时， 单调递减， ；
所以若
恰有两个不同的解，则 ．
20. （1） 连接 ，则 为 的中位线，所以 ．
因为在正方体中， ，
所以 ．
因为 平面
， 平面 ，
所以 平面
．
同理可证： 平面
．
又 ，
所以 平面 平面
．
（2） 取 的中点 ，则满足 平面
，且 ．
方法一：
取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ，
，则 ．
因为在 中， ，
又由 ， 得 ，
由
， 得 ，
由
， 得 ．