人教版数学必修四第二章自我检测
高中数学必修4第二章平面向量综合检测题(人教A版)教学内容
第二章平面向量综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(08·湖北文)设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－11[答案] C[解析] ∵a ＋2b ＝(－5,6)，c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．λ>1B ．λ<1C ．λ<－1D ．λ<－1或－1<λ<1[答案] D[解析] 由条件知，a ·b ＝λ－1<0，∴λ<1，当a 与b 反向时，假设存在负数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝k 1＝－k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1λ＝－1. ∴λ<1且λ≠－1.3．在四边形ABCD 中，若AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|，且BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|，则该四边形一定是( )A ．平行四边形C ．菱形D ．正方形[答案] A[解析] 由AB →·CD →＝－|AB →|·|CD →|可知AB →与CD →的夹角为180°，∴AB ∥CD .又由BC →·AD →＝|AD →|·|BC →|知BC →与AD →的夹角为0°，∴BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．4．如果两个非零向量a 和b 满足等式|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a ，b 应满足( )A ．a ·b ＝0B ．a ·b ＝|a |·|b |C ．a ·b ＝－|a |·|b |D ．a ∥b[答案] B[解析] 由|a |＋|b |＝|a ＋b |知，a 与b 同向，故夹角为0°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos0°＝|a |·|b |.5．(08·湖南理)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直[答案] A[解析] AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋BD →＋BC →＋CE →＋BF →－BC →＝AB →＋13BC →＋BC →－23AC →－13AB →－BC →＝23(AB →－AC →)＋13BC →＝23CB →＋13BC →＝－13BC →，故选A.6．在▱ABCD 中，已知AC →＝(－4,2)，BD →＝(2，－6)，那么|2AB →＋AD →|＝( )A ．5 5B ．2 5D.85[答案] D[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →＝(－4,2)，b －a ＝BD →＝(2，－6)，∴b ＝(－1，－2)，a ＝(－3,4)，∴2AB →＋AD →＝2a ＋b ＝(－7,6)，∴|2AB →＋AD →|＝(－7)2＋62＝85.7．如右图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且E 、F分别为AB 、CD 的中点，则( )A.EF →＝12(a ＋b ＋c ＋d )B.EF →＝12(a －b ＋c －d ) C.EF →＝12(c ＋d －a －b ) D.EF →＝12(a ＋b －c －d ) [答案] C[解析] ∵EF →＝OF →－OE →＝12(OC →＋OD →)－12(OA →＋OB →) ＝12(c ＋d )－12(a ＋b )， ∴EF →＝12(c ＋d －a －b )． 8．在矩形ABCD 中，AE →＝12AB →，BF →＝12BC →，设AB →＝(a,0)，AD →＝(0，b )，当EF →⊥DE →时，求得|a ||b |的值为( ) A ．3B ．2 C.3 D. 2[答案] D[解析] 如图，∵EF →＝EB →＋BF →＝12AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0＋⎝⎛⎭⎫0，b 2＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.又∵DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋12AB → ＝(0，－b )＋⎝⎛⎭⎫a 2，0＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b ，∵EF →⊥DE →，∴a 24－b 22＝0，∴|a ||b |＝ 2. 9．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →取最小值，则P 点的坐标是( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] A[解析] 设P (x 0,0)，且AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)，∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1，∴x 0＝3时，AP →·BP →取最小值．10．(08·浙江理)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[答案] C[解析] 由(a －c )(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.11．(09·辽宁文)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b＝4＋4＋4×2×1×cos60°＝12，∴|a ＋2b |＝23，∴选B.12．设e 1与e 2为两不共线向量，AB →＝2e 1－3e 2，BC →＝－5e 1＋4e 2，CD →＝e 1＋2e 2，则( )A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、C 、D 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、B 、C 三点共线[答案] A[解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝－4e 1＋6e 2＝－2(2e 1－3e 2)＝－2AB →，∴AB →∥BD →，∵AB →与BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．与向量a ＝(－5,12)共线的单位向量为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－513，1213和⎝⎛⎭⎫513，－1213 [解析] ∵|a |＝13，∴与a 共线的单位向量为±a |a |＝±⎝⎛⎭⎫－513，1213. 14．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是边BC 的中点，则AD →·BC →＝________.[答案] 52[解析] 由已知得AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，∴AD →·BC →＝12(AB →·AC →)·(AC →－AB →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝12(9－4)＝52. 15．已知a ＋b ＝2e 1－8e 2，a －b ＝－8e 1＋16e 2，其中|e 1|＝|e 2|＝1，e 1⊥e 2，则a ·b ＝________.[答案] －63[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2e 1－8e 2a －b ＝－8e 1＋16e 2得， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3e 1＋4e 2b ＝5e 1－12e 2， ∴a ·b ＝(－3e 1＋4e 2)·(5e 1－12e 2)＝－15|e 1|2＋56e 1·e 2－48|e 2|2＝－63.16．已知OA →＝(k,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A 、B 、C 共线，则实数k ＝________.[答案] －14[解析] AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)，AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴(1－k )·(－3)－(2k －2)·(1－2k )＝0，∴k ＝1或－14. ∵A 、B 、C 是不同三点，∴k ≠1，∴k ＝－14. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a ＝(1,1)，且a 与a ＋2b 的方向相同，求a ·b 的取值范围．[解析] ∵a 与a ＋2b 方向相同，且a ≠0，∴存在正数λ，使a ＋2b ＝λa ，∴b ＝12(λ－1)a . ∴a ·b ＝a ·⎣⎡⎦⎤12(λ－1)a ＝12(λ－1)|a |2 ＝λ－1>－1.即a ·b 的取值范围是(－1，＋∞)．18．(本题满分12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？[解析] (1)k a ＋b ＝k ×(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3×(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由10(k －3)＋(2k ＋2)(－4)＝0，解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得⎩⎨⎧ k ＝－13，λ＝－13.即当k ＝－13时，两向量平行． ∵λ＝－13，∴－13a ＋b 与a －3b 反向． 19．(本题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ，(1)求向量a 、b 的夹角的余弦值；(2)对非零向量p ，q ，如果存在不为零的常数α，β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p ，q 是线性相关的，否则称向量p ，q 是线性无关的．向量a ，b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式：cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210. (2)设存在不为零的常数α，β使得αa ＋βb ＝0， 那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．20．(本题满分12分)已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F .求证：DP ⊥EF .[证明] 以A 为原点，AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设正方形边长为1，则AB →＝(1,0)，AD →＝(0,1)．由已知，可设AP →＝(a ，a )，并可得EB →＝(1－a,0)，BF →＝(0，a )，EF →＝(1－a ，a )，DP →＝AP →－AD →＝(a ，a －1)，∵DP →·EF →＝(1－a ，a )·(a ，a －1)＝(1－a )a ＋a (a －1)＝0.∴DP →⊥EF →，因此DP ⊥EF .21．(本题满分12分)设直线l ：mx ＋y ＋2＝0与线段AB 有公共点P ，其中A (－2,3)，B (3,2)，试用向量的方法求实数m 的取值范围．[解析] (1)P 与A 重合时，m ×(－2)＋3＋2＝0，∴m ＝52. P 与B 重合时，3m ＋2＋2＝0，∴m ＝－43. (2)P 与A 、B 不重合时，设AP →＝λPB →，则λ>0.设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x,2－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝λ(3－x )y －3＝λ(2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ－2λ＋1y ＝2λ＋3λ＋1，把x ，y 代入mx ＋y ＋2＝0可解得λ＝2m －53m ＋4，又∵λ>0，∴2m －53m ＋4>0.∴m <－43或m >52.由(1)(2)知，所求实数m 的取值范围是－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 22．(本题满分14分)已知a ，b 是两个非零向量，夹角为θ，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)求b 与a ＋t b 的夹角．[解析] (1)|a ＋t b |2＝a 2＋2t a ·b ＋t 2b 2＝|b |2t 2＋2|a ||b |cos θ·t ＋|a |2.∴当t ＝－|a |cos θ|b |时，|a ＋t b |有最小值．(2)当t ＝－|a |cos θ|b |时，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝|a |·|b |cos θ－|a |cos θ|b |·|b |2＝0.∴b ⊥(a ＋t b )，即b 与a ＋t b 的夹角为90°.。
高中人教A版数学必修4：第二章 章末检测 Word版含解析
第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°， 同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。
数学人教A版必修4自我检测：1.2.1任意角的三角函数 含解析 精品
自我小测1．若5π4α=，则点P (cos α，sin α)在( )． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若lg(sin θ·tan θ)有意义，则θ是( )．A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第一或第四象限角D ．第一或第四象限角或在x 轴的非负半轴上3．如果角α的正弦线和余弦线相等，则α的值是( )．A. π4B. 5π4C. π4或5π4 D ．以上都不对 4．(2011江西高考，文14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin 5θ=-，则y ＝__________. 5．设α、β是第二象限角，若sin α＞sin β，则cos α__________cos β(从“＞”“＜”“≥”“≤”中选一个填空)．6．已知角α的终边上的点P 与A (m,2m )(m ≠0)关于x 轴对称，角β终边上的点Q 与A 关于y 轴对称，求sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值．7．利用单位圆，求使sin x ≥成立的x 的取值集合．8设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β都是不为零的实数，且满足f (2 010)＝－1，求f (2 012)的值．参考答案1答案：C解析：∵5π4α=的终边在第三象限，∴cos α<0，sin α<0，∴点P在第三象限，故选C.2答案：C解析：由lg(sin θ·tan θ)有意义，得sin θ·tan θ>0，∴sin0,tan0θθ>⎧⎨>⎩或sin0,tan0.θθ<⎧⎨<⎩当sin0tan0θθ>⎧⎨>⎩时，θ是第一象限角；当sin0,tan0θθ<⎧⎨<⎩时，θ是第四象限角，∴θ是第一象限或第四象限，故选C.3答案：D解析：由sin α＝cos α，∴tan α＝1，∴ππ4kα=+(k∈Z)．4答案：－8解析：根据题意sin0θ=<及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再5=-，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)，综上知y＝－8.5答案：>解析：借助于三角函数线帮助解决．如图，|NQ|>|MP|，∴|OM|>|ON|，∴cos α>cos β.6解：由题意知：点P 、Q 两点的坐标分别为(m ，－2m )、(－m,2m )，且OP OQ OA ===，∴sin cos sin cos tan tan αβαβαβ++2222164555m m m m -=+⋅=--+=-.7解：如图所示，作出值为2的正弦线M 1P 1和M 2P 2.易知11π3M OP ∠=，122π3M OP ∠=，∴满足sin x ≥x 的集合为π2π|2π2π,Z 33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 8解：依题可得f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＝－1.∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＝a sin[2π＋(2 010π＋α)]＋b cos[2π＋(2 010π＋β)]＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＝－1.。
人教版高中数学必修4第二章单元测试(一)- Word版含答案
12018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．向量()2,3=a ，()1,2=-b ，若m +a b 与2-a b 平行，则m 等于（ ） A ．2-B ．2C ．12D ．12-2．设向量()1,0a =，11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a b B．⋅=a bC ．-a b 与b 垂直D ．∥a b3．已知三个力()12,1=--f ，()3,2=-2f ，()4,3-=3f 同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4f ，则4f 等于（ ） A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,24．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，则++a b c 的模等于（ ） A ．0B．2+CD．5．若a 与b 满足1==a b ，60,〈〉=︒a b ，则+⋅⋅a a a b 等于（ ）A ．12B ．32C．1+D ．26．若向量()1,1=a ，()1,1-b =，()1,2-c =，则c 等于（ ） A ．1322-+a bB ．1322-a bC ．3122-a bD ．3122-+a b7．若向量()1,1=a ，()2,5=b ，()3,x =c ，满足条件()830-⋅=a b c ，则x ＝（ ） A ．6B ．5C ．4D ．38．向量()4,3BA =-，向量()2,4BC =-，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB 按向量()1,1=--a 平移后得到A B ''为（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7)10．若(),2λa =，()3,5-b =，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA AB ⋅等于（ ） A ．2 B ．－2C ．cos AB AD ．与菱形的边长有关12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（）A ．1213P P P P ⋅B ．1214P P P P ⋅C ．1215P P P P ⋅D ．1216P P P P ⋅此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量()2,1=-a ，()1,m =-b ，()1,2=-c ，若()+∥a b c ，则m ＝________． 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，2=a，=b a 和向量b 的数量积⋅a b ＝________．15．已知非零向量a ，b ，若1==a b ，且⊥a b ，又知()()234k +⊥-a b a b ， 则实数k 的值为________．16．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2=a ． （1）若=c ∥c a ，求c ； （2）若b ，且()()22+⊥-a b a b ，求a 与b 的夹角．18．(12分)已知2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为60°，53+=c a b ，3k =+d a b ，当实数k 为何值时， （1）∥c d ； （2）⊥c d ．319．(12分)已知1=a ，12⋅=a b ，()()12-⋅+=a b a b ，求： （1）a 与b 的夹角；（2）-a b 与+a b 的夹角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A --，()2,3B ，()2,1C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=，求t 的值．21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P．求证：（1）BE⊥CF；（2）AP＝AB．22．(12分)已知向量1OP 、2OP 、3OP满足条件123OP OP OP++=，1231OP OP OP===．求证：△P1P2P3是正三角形．42018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】()()()2,31,221,32m m m m m +=+-=-+a b ，()()()22,32,44,1-=--=-a b ，则21128m m -+=+，12m =-．故选D ．2．【答案】C 3．【答案】D【解析】根据力的平衡原理有30+++=124f f f f ，∴()()11,2=-++=423f f f f ． 故选D ． 4．【答案】D【解析】2222AB BC AC AC AC =++=+=+=a b c ．故选D ． 5．【答案】B【解析】由题意得213cos60122⋅+⋅=+︒=+=a a a b a a b ，故选B ．6．【答案】B【解析】令λμc =a +b ，则12λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，∴1232λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴1322=-c a b ．故选B ．7．【答案】C【解析】∵()1,1=a ，()2,5=b ，∴()()()88,82,56,3--=a b =． 又∵()830-⋅=a b c ，∴()()6,33,18330x x ⋅=+=．∴4x =．故选C ． 8．【答案】C【解析】∵()4,3BA =-，()2,4BC =-，∴()2,1AC BC BA =-=--，∴()()2,12,40CA CB ⋅=⋅-=，∴∠C ＝90°，且5CA =25CB =，CA CB ≠． ∴△ABC 是直角非等腰三角形．故选C ．9．【答案】B【解析】∵()()()3,51,22,3AB =-=，平移向量AB 后得A B ''，()2,3AB A B '='=． 故选B ． 10．【答案】A【解析】3100λ⋅=-+<a b ，∴103λ>．当a 与b 共线时，235λ=-，∴65λ-=．此时，a 与b 同向，∴103λ>．故选A ． 11．【答案】B 【解析】如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AO OB =+．()202CA AB CA AO OB ⋅=⋅+=-+=-，故选B ． 12．【答案】A【解析】根据正六边形的几何性质． 1213,6PP PP π〈〉=，1214,3PP PP π〈〉=，1215,2PP PP π〈〉=，12162,3PP PP π〈〉=． ∴12160P P P P ⋅<，12150P P P P ⋅=， 2121312121233cos 62PP PP PP PP PP π⋅=⋅=， 212141212122cos3PP PP PP PP PP π⋅=⋅=．比较可知A 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】－1【解析】∵()2,1=-a ，()1,m =-b ，∴()1,1m +=-a b ． ∵()+∥a b c ，()1,2=-c ，∴()()2110m ⋅--=-．∴1m =-． 14．【答案】3【解析】cos302cos303⋅︒=︒=a b =a b ． 15．【答案】6【解析】由()()222342122120k k k +⋅-=-=-=a b a b a b ，∴6k =． 16．【答案】12-【解析】因为点O 是A ，B 的中点，所以2PA PB PO +=，设PC x =， 则()101PO x x =-≤≤．所以()()211221222PA PB PC PO PC x x x ⎛⎫+⋅=⋅=--=-- ⎪⎝⎭．∴当12x =时，()PA PB PC +⋅取到最小值12-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】（1）()2,4=c 或()2,4--；（2）180°． 【解析】（1）∵∥c a ，∴设λ=c a ，则(),2λλ=c ．又=c ，∴λ＝±2，∴()2,4=c 或()2,4--． （2）∵()()22+⊥-a b a b ，∴()()220+⋅-=a b a b ．∵=a=b ，∴52⋅=-a b ．∴cos 1θ⋅==-a b a b ，∴180θ=︒．18．【答案】（1）95k =；（2）2914k =-． 【解析】（1）由题意得1cos602332⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．当∥c d ，λ=c d ，则()533++k λ=a b a b ．∴35λ=，且3k λ=， ∴95k =． （2）当⊥c d 时，0⋅=c d ，则()()5330k +⋅+=a b a b ． ∴()22153950k k +++⋅=a b a b ，∴2914k =-． 19．【答案】（1）45°；（2． 【解析】（1）∵()()222112-⋅+=-=-=a b a b a b b ，∴212=b，∴=b ，设a 与b 的夹角为θ，则1cos θ⋅===a ba b．∴45θ=︒． （2）∵1=a，=b ，∴222111212222-=-⋅=-⨯+=a b a a b +b ．∴-a b 又222115212222+=+⋅+=+⨯+=a b a a b b．∴+=a b ，设-a b 与+a b 的夹角为α，则()()1cos α-⋅+===-⋅+a b a b a b a b． 即-a b 与+a b ． 20．【答案】（1）（2）115t =-． 【解析】（1）()3,5AB =，()1,1AC =-，求两条对角线的长即求AB AC +与AB AC-的大小．由()2,6AB AC +=，得210AB AC += 由()4,4AB AC -=，得42AB AC -=（2）()2,1OC =--，∵()2AB tOC OC AB OC tOC -⋅=⋅-，易求11AB OC ⋅=-，25OC =，∴由()0AB tOC OC -⋅=得115t =-． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．()()()1,22,01,2BE OE OB =-=-=-，()()()0,12,2,21CF OF OC =----==，∵()()()12210BE CF ⋅=-⨯-+⨯-=，∴BE CF ⊥，即BE ⊥CF ． （2）设P (x ，y )，则(),1FP x y =-，()2,1CF =--， ∵FP CF ∥，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2． 同理由BP BE ∥，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2．解得65x =，∴85y =，即68,55P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴AP AB =，即AP ＝AB ． 22．【答案】见解析．【解析】证明∵1230OP OP OP ++=，∴123OP OP OP +=-， ∴()()22123OP OP OP +=-，∴222121232OP OP OP OP OP ++⋅=，∴1212OP OP ⋅=-，1212121cos 2OP OP POP OP OP ⋅∠==-⋅，∴∠P 1OP 2＝120°．同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即1OP 、2OP 、3OP 中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。
人教A版数学必修四第二章《平面向量》测试(4)(新人教A版必修4).docx
高中数学学习材料唐玲出品第二章《平面向量》测试（4）（新人教A 版必修4）班级： 学号： 姓名： 得分：一、 选择题（5分×12=60分）：1.已知4||,6||==AC AB ，则||BC 的取值范围为（ ）（A ）)8,2(（B ）]8,2[（C ）)10,2(（D ）]10,2[2.设)3,1(A ，)3,2(--B ，)7,(x C 若AB ∥BC ，则x 的取值范围是（ ）（A ）0（B ）3（C ）15（D ）183.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k)4.若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-73 5.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21) 6.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形7.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)8、如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ ）A ．0B ．4MEC ．4MD D ．4MF9、已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（ ）A ．)3,2(-B ．)9,2(-C ．)5,2(-D ．)0,2(10、已知032),,(),3,4(),2,5(=+-=--=-=c b a y x c b a 若则c 等于（ ） （A ）81,3⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）134,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭11、已知点A （2，3）、B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ ）（A ）2213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）（18，7）（C ）2213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或（18，7） （D ）（18，7）或（－6，1）12、已知向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋k b ，AC ＝l a ＋b （k ，l ∈R ），则AB 与AC 共线的条件是（ ）．（A ）k ＋l ＝0 （B ）k －l ＝0（C ）kl ＋1＝0 （D ）kl －1＝0二、 填空题（4分×4=16分）：13、设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b = 。
高中数学 第二章 平面向量学业水平达标检测 新人教B版
C．kl＋1＝0 D．kl－1＝0
解析：因为 与 共线，所以设 ＝λ (λ∈R)，即la＋b＝λ(a＋kb)＝λa＋λkb，所以(l－λ)a＋(1－λk)b＝0.因为a与b不共线，所以l－λ＝0且1－λk＝0.消去λ得1－lk＝0，所以kl－1＝0.
答案：D
8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是()
又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝ .
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6× ＋1＝12.
∴|3a＋b|＝2 .
方法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
∵|a|＝|b|＝1，∴x ＋y ＝x ＋y ＝1.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，
∴|3a－2b|＝ ＝3.
答案：A
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(－3，－4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析：因为c＝λ1a＋λ2b，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以 解得λ1＝1，λ2＝－2.
答案：B
6．已知向量a＝( ，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝ ，则b等于()
A. B.
C. D．(1,0)
解析：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋( － x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝ ⇒y＝ .
答案：B
7．向量a与b不共线， ＝a＋kb， ＝la＋b(k，l∈R)，且 与 共线，则k，l应满足()
人教版高中数学必修4第二章单元测试(二)- Word版含答案
2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．45︒2．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1．3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（ ） A ．8B ．6C ．8-D ．6-5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ；②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ；④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4-B ．4C ．125-D ．1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（ ）A ．点M 在线段AB 上B ．点B 在线段AM 上此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，()13AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．610．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（ ） A ．23B ．79 C ．89D ．111．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（ ） A ．45-B ．35-C ．0D ．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a⊙b ＝mq －np ．下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，则λ＝________．14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．15．已知向量a ＝(6,2)，14,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA MB ⋅的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图所示，以向量OA =a ，OB =b 为边作AOBD ，又13BM BC =，13CN CD =，用a ，b 表示OM 、ON 、MN ．18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求：（1）(a －2b )·(a ＋b )；（2）|a ＋b |；（3）|3a－4b|．19．(12分)已知)1=-a，12⎛=⎝⎭b，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－k a＋t b，且x⊥y，试求2k tt+的最小值．20．(12分)设()6,3OC =．在线段OC上是否存在点M，使MAOB =，()3,1OA =，()2,5⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA=a，OB=b，OP m=a，OQ n=b．求证：113 m n+=．2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】31sin cos 23αα⨯=，sin 21α=，290α=︒，45α=︒．故选D ．2．【答案】C【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，||+-=a b a b ． ∴0⋅a b =．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴0⋅<a b ，∴()()()()221320m m m m -+++-<，即23280m m -<-，∴423m -<<．故选A ．4．【答案】A【解析】∵()1,1AD BC AC AB ==-=--，∴()()()1,12,43,5BD AD AB =-=---=--，∴()()1,13,58AD BD ⋅=--⋅--=．故选A ． 5．【答案】C【解析】∵()22-=⋅-=a b a a b a ，∴3⋅a b =，∴31cos ,·162a b ⋅〈〉===⨯a b a b ，∴,3a b π〈〉=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ， 所以③错误；若⋅⋅a b =a c ，则()0-=a b c ，所以()⊥-a b c ，所以④正确， 即正确命题序号是①④，所以B 选项正确． 7．【答案】A【解析】向量a 在向量b 上的投影为12cos ,43a b ⋅⋅〈〉=⋅==-=-a b a b a a a b b ． 故选A ． 8．【答案】B【解析】∵()()1OM OB OA OA OB OA λλλ=+-⋅=+-，∴AM AB λ=，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B ． 9．【答案】C【解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S ADS S AP==△△△△． ∵()1233AP AB AC AD =+=，∴32AD AP =，∴32AD AP =．∴3ABC ABP S S =△△．故选C ． 10．【答案】B【解析】2224133393AP AC CP AC CR AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，故有417939m n +=+=．故选B ． 11．【答案】B【解析】由已知得435=--b a c ，将等式两边平方得()()22435=--b a c ，化简得35⋅=-a c ．同理由534--c =a b 两边平方得a ·b ＝0，∴()35=⋅+=⋅-⋅a b c a b +a c ．故选B ． 12．【答案】B【解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确．对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】2【解析】∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴()()(),22,32,23λλλλλ=++++a b =． ∵向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2． 14．【答案】7【解析】∵()222222125552511310134920⎛⎫==+-⨯+-⨯⨯--⋅=⎝=⨯- ⎪⎭a b a b a b a b ．∴|5a －b |＝7．15．【答案】2390x y --=【解析】设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有()()()23,12,30AP x y ⋅+=-+⋅-=a b ，整理化简得2390x y --=． 16．【答案】8-【解析】设()2,OM tOP t t ==，故有()()()2212,752,152012528MA MB t t t t t t t ⋅=--⋅--=-+=--， 故当t ＝2时，MA MB ⋅取得最小值8-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OM =+a b ，2233ON =+a b ，1126MN =-a b ．【解析】BA OA OB =-=-a b ．∴11153666OM OB BM OB BC OB BA =+=+=+=+a b ．又OD =+a b ．1122226333ON OC CN OD OD OD =+=+==+a b ，∴221511336626MN ON OM =-=+--=-a b a b a b ．18．【答案】（1）12；（2）（3）【解析】（1）1cos1204242⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=-⎪⎝⎭a b a b．(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．（2）∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴+=a b．（3）|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34-=a b19．【答案】74 -．【解析】由题意有2==a，1=b．∵1102⋅=-=a b，∴⊥a b．∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－k a＋t b)＝0．化简得334t tk-=．∴()()222117432444k tt t tt+=+-=+-．即2t=-时，2k tt+有最小值为74-．20．【答案】存在，M点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】设OM tOC=，t∈[0,1]，则()6,3OM t t=，即M(6t,3t)．()26,53MA OA OM t t=-=--，()36,13MB OB OM t t=-=--．若MA⊥MB，则()()()()263653130MA MB t t t t⋅=--+--=．即45t2－48t＋11＝0，13t=或1115t=．∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】1417,,2⎛⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】由向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，得()()121212122727t tt t+⋅+<+⋅+e e e ee e e e，即(2t e1＋7e2)·(e1＋t e2)<0．整理得：()222112222770t t t++⋅+<e e e e．(*)∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1，∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0．解得：172t-<<-．当向量2t e1＋7e2与e1＋t e2夹角为180°时，设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2) (λ<0)．对比系数得27ttλλλ=⎧⎪=⎨⎪<⎩，∴14tλ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴所求实数t的取值范围是1417,,2⎛⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭．22．【答案】见解析．【解析】证明如右图所示，∵()()1122OD OA OB=+=+a b，∴()2133OG OD==+a b．∴()111333PG OG OP m m ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ．PQ OQ OP n m =-=-b a ． 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG PQ λ=．∴1133m n m λλ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a b b a ，∴11033m m n λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a +b ． ∵a 与b 不共线，∴103103m m n λλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由①②消去λ得：113m n +=．。
2020年高中数学 必修4 第二章检测A 习题(人教A版)
第二章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点A (0,1),B (3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D .(1,4)解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)-(0,1)=(3,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A . 答案:A2.已知A (1,2),B (3,-1),C (3,4),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.11 B .5 C .-1 D .-2解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2-3×2=-2. 答案:D3.已知向量a =(1,m ),b =(m ,2),若a ∥b ,则实数m 等于 ( ) A.-√2 B.√2 C.-√2或√2 D.0解析:由a ∥b 知1×2-m 2=0,即m=√2或-√2.答案:C4.已知向量a ,b 的夹角为3π4,且a =(-1,1),|b |=2,则|2a +b |=( ) A.1 B.√2 C.2D.4解析:因为a =(-1,1),所以|a |=√2.又因为a ,b 的夹角为3π4,|b |=2,所以|2a +b |2=4|a |2+|b |2+4|a ||b |cos 3π4=8+4-4√2×2×√22=4,所以|2a +b |=2,故选C . 答案:C5.在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是 ( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B . 答案:B6.已知边长为3的菱形ABCD ,∠DAB=π3,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-√33B.-6+3√32C.-92D.92解析:DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(32AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32×22-32-12×2×3cos π3=-92,故选C . 答案:C7.下列说法正确的个数为( ) ①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ②已知向量a =(6,2)与b =(-3,k )的夹角是钝角,则k 的取值范围是k<9; ③向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34)能作为平面内所有向量的一组基底; ④若a ∥b ,则a 在b 上的投影为|a |.A .1B .2C .3D .4解析:①正确;②由a ·b <0,得k<9,由a ∥b ,得k=-1,此时,a =-2b ,∴k<9,且k ≠-1,故②错;③∵e 1=4e 2,∴e 1与e 2共线,不能作为基底;④由a ∥b ,若a 与b 同向,则a 在b 方向上的投影为|a |,若a 与b 方向相反,则a 在b 方向上的投影为-|a |. 答案:A8.在△ABC 中,已知D 为边AB 上的一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A .23B .13 C .-13 D .-23解析:∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ=23. 答案:A9.已知向量a 与向量b 的夹角为120°,若向量c =a +b ,且a ⊥c ,则|a ||b |的值为( ) A .12B .2√33C .2D .√3解析:∵c =a +b ,a ⊥c ,∴a ·c =0,即a ·(a +b )=a 2+a ·b =|a |2+|a ||b |cos 120°=|a |2-12|a ||b |=0,∴|a |2=12|a ||b |,∴|a ||b |=12.答案:A10.设a ,b 是非零向量,若函数f (x )=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线,则必有( ) A.a ∥bB.a ⊥bC.|a |=|b |D.a =b解析:f (x )=(x a +b )·(a -x b )=x a 2-x 2a ·b +a ·b -x b 2=-x 2a ·b +(a 2-b 2)x+a ·b , 因为函数f (x )的图象是一条直线,所以a ·b =0. 又a ,b 是非零向量,所以a ⊥b . 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.答案:√512.已知向量a =(1,3),b =(-2,m ),若a 与a +2b 垂直,则m 的值为 . 解析:a+2b =(1,3)+(-4,2m )=(-3,3+2m ),∵a ⊥(a +2b ),∴a ·(a +2b )=0, ∴-3+3(3+2m )=0,解得m=-1.答案:-113.已知a =(1,2),b =(-2,log 2m ),若|a ·b |=|a ||b |,则正数m 的值等于 . 解析:∵|a ·b |=|a ||b |,∴a ∥b ,∴log 2m=-4,∴m=2-4=116.答案:11614.设O ,A ,B ,C 为平面内四点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,且a+b+c =0,a ·b=b ·c=c ·a =-1,则|a|2+|b|2+|c|2= .解析:(a+b+c )2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a ·b+b ·c+c ·a )=|a|2+|b|2+|c|2-6=0,则|a|2+|b|2+|c|2=6. 答案:615.如图,在▱ABCD 中,P 在对角线AC 上,且AP=13AC ,用基底BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:-23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在平面直角坐标系xOy 中,点A (16,12),B (-5,15). (1)求|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |;(2)求∠OAB.解:(1)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(16,12),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-21,3), ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√162+122=20, |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-21)2+32=15√2. (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-16,-12)·(-21,3)=300, 则cos ∠OAB=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=20×152=√22, 又∠OAB ∈[0,π],故∠OAB=π4.17.(8分)在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,已知▱ABCD 的三个顶点A (2,3),B (-1,-2),C (-2,-1).(1)求对角线AC 及BD 的长;(2)若实数t 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求t 的值. 解:(1)设顶点D 的坐标为(x ,y ).在▱ABCD 中,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(3,5)=(x+2,y+1),所以x=1,y=4,所以顶点D 的坐标为(1,4),所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10. (2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-5),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1),(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=6+5+5t=0,所以t=-115. 18.(9分)设向量a =(cos α,sin α)(0≤α<2π),b =(-12,√32),a 与b 不共线.(1)证明向量a +b 与a -b 垂直;(2)当两个向量√3a +b 与a -√3b 的模相等时,求角α. (1)证明a +b =(-12+cosα,√32+sinα),a -b =(12+cosα,sinα-√32),(a +b )·(a -b )=cos 2α-14+sin 2α-34=0, ∴(a +b )⊥(a -b ).(2)解由题意知(√3a +b )2=(a -√3b )2,得a ·b =0,∴-12cos α+√32sin α=0,得tan α=√33.又0≤α<2π,得α=π6或α=7π6.19.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角θ的余弦值.解:以直角边所在直线为x 轴、y 轴建立如图平面直角坐标系,则A (4,0),B (0,6), 设AF ,BE 分别为OB ,OA 边上的中线,则E (2,0),F (0,3). 因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-6), 所以cos θ=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-13√1050. 所以两中线所成钝角的余弦值为-13√1050. 20.(10分)(1)已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,求a 与b 的夹角θ.(2)设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3),在OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上是否存在点M ,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵(2a -3b )·(2a +b )=61,∴4a 2-4a ·b -3b 2=61. 又|a |=4,|b |=3,∴a ·b =-6.∴cos θ=a ·b |a ||b |=-12,∴θ=120°.(2)设存在点M ,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6λ,3λ)(0<λ≤1), ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-6λ,5-3λ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-6λ,1-3λ).∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, ∴45λ2-48λ+11=0,解得λ=13或λ=1115,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)或OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(225,115). ∴存在M (2,1)或M (225,115)满足题意.。
高中人教B版数学必修四 第二章 平面向量检测(B) 含解析
第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a与b共线;③向量相等;④若非零向量是共线向量,则A,B,C,D四点共线.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①④解析:根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故②错误;向量互为相反向量,故③错误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故AB与CD也可能平行,即A,B,C,D四点不一定共线,故④错误.故选A.答案:A2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,),若a⊥b,则tan x等于()A.-B.C.D.-解析:由a⊥b可得a·b=0,即sin x+cos x=0,于是tan x=-.答案:A3.若点M是△ABC的重心,则下列各向量中与共线的是()A. B.C. D.3解析:A中,=2,与不共线;B中,,与不共线;D中,3显然与不共线;C中,=0,0∥,故选C.答案:C4.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,若A,B,C三点共线,则()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1解析:∵A,B,C三点共线,∴,∴存在m∈R,使得=m,∴∴λμ=1,故选D.答案:D5.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)解析:如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3=(-6, 21),故选A.答案:A6.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=m a+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于()A.-2B.-1C.1D.2解析:由已知得c=(m+4,2m+2).因为cos<c,a>=,cos<c,b>=,所以.又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.答案:D7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则等于()A. B.- C. D.-解析:设AB的中点为P.∵AB=,∴AP=.又OA=1,∴∠AOP=.∴∠AOB=.∴=||||cos=-.答案:B8.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b等于()A.12B.8C.-8D.2解析:由已知得|a|cos<a,b>==4,于是a·b=4×3=12.答案:A9.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b的夹角为()A.150°B.120°C.60°D.30°解析:设|a|=m(m>0),a,b的夹角为θ.由题设,知(a+b)2=c2,即2m2+2m2cos θ=m2,得cos θ=-.又0°≤θ≤180°,所以θ=120°,即a,b的夹角为120°,故选B.答案:B10.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,点P是BC的中点,设=α+β(α,β∈R),则α+β等于()A. B.C. D.解析:建立如图所示的坐标系,B(3,0),D(0,1),C(1,1).∵点P为BC的中点,∴P.∵=α+β,∴=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),∴3β=2,α=,∴α+β=.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k=.解析:a-c=(3-k,-6).由(a-c)∥b,得3(3-k)=-6,解得k=5.答案:512.在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=λ,则λ=.解析:由已知得=2,即λ=2.答案:213.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.解析:=()·()=||2-=4-0+0-2=2.答案:214.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=.解析:建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).∵c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即∴=4.答案:415.已知向量的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ,且,则实数λ的值为.解析:∵,∴=0,∴(λ)·=0,即(λ)·()=λ-λ=0.∵向量的夹角为120°,||=3,||=2,∴(λ-1)||||cos 120°-9λ+4=0,解得λ=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在▱OADB中,设=a,=b,.试用a,b表示.解:由题意知,在▱OADB中,)=(a-b)=a-b, 则=b+a-b=a+b,)=(a+b),则(a+b)-a-b=a-b.17.(8分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:∵a=(cos α,sin α),∴|a|==1.(2)证明∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,∴a+b与a-b互相垂直.18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)因为c∥a,a=(1,2),所以可设c=λa=(λ,2λ).又|c|=2,所以λ2+4λ2=20,解得λ=±2.所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)依题意,得(a+2b)·(2a-b)=0,即2|a|2+3a·b-2|b|2=0.又|a|2=5,|b|2=,所以a·b=-,所以cos θ==-1,而θ∈[0,π],所以θ=π.19.(10分)在△ABC中,,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求的最小值.解:(1)设向量+2与向量2的夹角为θ,||=||=a,∵,∴=0,∴(+2)·(2)=2+5+2=4a2,|+2|==a,同理可得|2|=a,∴cos θ=.(2)∵,||=||=,∴||=1.设||=x(0≤x≤1),则||=1-x,而=2,∴·()=2=2||||cos π=-2x(1-x)=2x2-2x=2,当且仅当x=时,取得最小值-.20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=|的最小值为-,求实数m的值.(1)证明∵,∴),即.∴.又AC,AB有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)解:由(1)得),∴,∴=2,∴=2.(3)解:=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).∵x∈,∴cos x∈[0,1].∴||=|cos x|=cos x.∵=2,∴=2().∴3=2=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),∴.∴f(x)=|=1+cos x+cos2x-cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-相矛盾,即m<0不合题意;当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=-,得m=±(舍去);当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=>1.综上所述,实数m的值为.。
2020-2021高中人教版数学必修4作业：第二章 平面向量 章末质量检测 Word版含解析
章末质量检测(二) 平面向量 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在⊙O中，向量OB→，OC→，AO→是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：由图可知OB→，OC→，AO→是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C
2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB→＋2BC→等于( ) A．5 B．(－1,5) C．(6,1) D．(－4,9)
解析：AB→＝(2,3)，BC→＝(－3,3)，∴AB→＋2BC→＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D 3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A.π3 B.π2
C.2π3 D.3π4 解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3. 答案：C 4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：AB→∥BC→，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B. 答案：B 5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( ) A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0) C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
解析：由题意知， a＋b＝1，3，a－b＝3，－3，解得 a＝2，0，b＝－1，3. 答案：C 6．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝( ) A．±5 B．±10 C．±12 D．±13 解析：由题意得|a|＝52＋x2＝13， 所以52＋x2＝132，解得x＝±12. 答案：C 7．下列说法正确的是( ) A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行 B．终点相同的两个向量不共线 C．若|a|>|b|，则a>b D．单位向量的长度为1 解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小． 答案：D
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人教版数学必修四第二章自我检测
一、选择题(第1题)
1、在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )、
A、与共线
B、与共线
C、与相等
D、与相等
2、下列命题正确的是( )、
A、向量与是两平行向量
B、若a，b都是单位向量，则a＝b
C、若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝a ＋b ，其中 a，b∈R，且a＋b＝1，则点C的轨迹方程为( )、
A、3x＋2y－11＝0
B、(x－1)2＋(y－1)2＝5
C、2x－y＝0
D、x＋2y－5＝04、已知a、b是非零向量且满足(a－
2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )、
A、
B、
C、
D、5、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝( )、
A、λ(＋)，λ∈(0，1)
B、λ(＋)，λ∈(0，)
C、λ(－)，λ∈(0，1)
D、λ(－)，λ∈(0，)
6、△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则＝( )、
A、＋
B、－
C、＋
D、＋
7、若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a的模为( )、
A、2
B、4
C、6
D、1
28、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )、
A、三个内角的角平分线的交点
B、三条边的垂直平分线的交点
C、三条中线的交点
D、三条高的交点
9、在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )、
A、平行四边形
B、矩形
C、梯形
D、菱形(第10题)
10、如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥则相等向量是( )、
A、与
B、与
C、与
D、与
二、填空题
11、已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝、
12、已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝、
13、已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于、
14、给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a －b)，则实数m等于、
15、已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的、
16、设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c, ＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是、
三、解答题
17、已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第18题)
18、如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求、
19、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)、(第19题)
20、已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、参考答案
一、选择题(第1题)
1、B解析：如图，与，与不平行，与共线反向、
2、A解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对、若＝，可能A，B，C，D 四点共线，故C不对、两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对、
3、D解析：提示：设＝(x，y)，＝(3，1)，
＝(－1，3)，a ＝(3a，a)，b ＝(－b，3b)，又a＋b ＝(3a－b，a＋3b)，∴ (x，y)＝(3a－b，a＋3b)，∴ ，又a＋b＝1，由此得到答案为
D、4、B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，∴ a2＝b2，即|a|＝|b|、∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ、解得cos θ＝、∴ a与b的夹角是、5、A解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)、6、D解析：如图，∵＝，∴ ＝＋＝＋、 (第6题)
7、C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－
72、而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴ |a|2－
2|a|－96＝－72，解得|a|＝
6、8、D解析：由·＝·＝·，得·＝·, 即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可证⊥，∴ O是△ABC的三条高的交点、9、C 解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||、∴ 四边形ABCD 为梯形、
10、D解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量、
二、填空题
11、－、解析：A，B，C三点共线等价于，共线，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－
4，5)，又 A，B，C三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－、
12、－
1、解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)，∴ ＝(2，0)，又a＝，∴ 解得∴ x＝－
1、
13、－
25、解析：思路1：∵ ＝3，＝4，＝5，∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，
∴ ·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2＝－＝－
25、思路2：∵ ＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，∴
cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝、 D(第13题)根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－
9、∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－
25、
14、、解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)、∵ (a ＋mb)⊥(a－b)，∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝、(第15题)
15、答案：重心、解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又＋＝－，∴ ＝2＝－、O是△ABC的重心、
16、答案：平行四边形、解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d －c，∴＝、∴ 四边形ABCD为平行四边形、
三、解答题
17、λ＜－
1、解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x －2，y－3)、＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)、∵ ＝＋λ，∴ (x －2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)、∴ 即(第18题)要使点P在第三象限内，只需
解得λ＜－
1、
18、＝(，2)、解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，＝(－4，－3)，＝(－3，－5)、又 D是BC的中点，∴ ＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝(－，－4)、又 M，N分别是AB，AC的中点，∴ F是AD的中点，∴ ＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)、
19、证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a、(第19
题)∴ ·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b、又⊥，且＝，∴ a2＝b2，a·b＝0、∴ ·＝0，∴⊥、本题也可以建平面直角坐标系后进行证明、
20、分析：思路1：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1)，∴ |2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－4cos
θ、又4sin θ－4cos θ＝8(sin θcos－cos θsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，∴ |2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为
4、思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离、|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4、。