切线的五个性质
几何中的切线性质
几何中的切线性质几何学是研究空间和形状的分支学科，其中切线是一个重要的概念。
切线是一条与曲线相切于一点的直线，它具有一些独特的性质。
本文将介绍几何中的切线性质，以及它们在实际生活和工程应用中的重要性。
一、切线的定义和操作方法在几何中，切线是一条直线与曲线在某一点处仅有一个公共点的直线。
切线的构造方法有多种，其中最常见的是使用切线与曲线的斜率。
对于一条曲线上的点P(x, y)，可以通过求解斜率等于曲线在该点处的导数来找到切线的斜率。
然后使用点斜式或一般式等方法构造切线。
最后，通过求解曲线与切线的交点找到切线方程。
二、切线的性质1. 切线与曲线在切点处垂直切线与曲线在切点处的相切点垂直于切线。
这一性质可以通过切线与曲线的斜率相乘等于-1来证明。
因为切线的斜率是曲线在切点处的导数，所以导数与切线的斜率相乘等于-1。
2. 切线的斜率等于曲线在切点处的斜率切线的斜率等于曲线在切点处的斜率。
这可以通过导数的定义来证明。
导数定义为曲线在某一点上的切线斜率。
3. 切线与曲线在切点处只有一个公共点切线与曲线在切点处仅有一个公共点，不会与曲线有额外的交点。
这一性质是切线的定义之一。
4. 切线与曲线的切点在曲线上切线与曲线的切点必定在曲线上。
这是因为切线与曲线在切点处有且只有一个公共点。
三、切线性质的应用切线性质在实际生活和工程应用中有着重要的作用。
以下是一些应用示例：1. 圆的切线圆的切线是从圆的外部过一点的直线，它与圆只有一个公共点。
圆的切线性质在几何构造和机械设计中广泛应用。
2. 行星轨道和行星之间的切线行星的轨道是椭圆，而行星之间的连接线是切线。
这一性质在天文学和航天工程中使用。
3. 斜面上的运动斜面上的物体在没有垂直分量的力影响下，只受到切向力的作用。
这一性质在机械工程和物理学中起着重要作用。
四、结论切线是几何学中一个重要的概念，具有独特的性质和应用。
切线与曲线在切点处垂直，切线的斜率等于曲线在切点处的斜率，切线与曲线在切点处只有一个公共点，并且切线与曲线的切点在曲线上。
直线与曲线的切线方程与性质
切线的斜率性质总结
切线的斜率等于该点处函数的导 数。
切线的斜率是唯一的，但切点可 以是多个。
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切线的斜率与切点处的函数值无 关。
在不同的切点处，切线的斜率可 能不同。
切线与法线的几何关系总结
切线在切点处的斜率等于法 线的斜率
切线与曲线在切点处的函数 值相等
03
直线与曲线的切线性质
切线的斜率性质
切线的斜率等于该点处函数的导数 切线的斜率等于过切点的函数图像的导数曲线在该点的斜率 切线的斜率与该点的函数值和导数值有关 切线的斜率是函数在该点的导数值的几何意义
切线与法线的几何关系
切线与法线垂直
切线在切点处的斜率等于 法线的斜率
法线通过切点，且在切点 处的切线斜率为无穷大
切线与抛物线的关系
切线方程与抛物 线方程的联立求 解
切线斜率与抛物 线对称轴的关系
切线与抛物线交 点的求解方法
切线与抛物线相 切的条件
切线与双曲线的联系
双曲线在切线方程中的应用
切线方程与双曲线离心率的关系
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
切线方程与双曲线渐近线的联系
切线方程与双曲线焦点距离的关 系
添加项标题
隐函数求导法：利用隐函数求导法则，求出切线的斜率，再根据 点斜式方程求出切线方程。
添加项标题
导数几何意义法：利用导数的几何意义，将切线方程与函数的一 阶导数联系起来，通过求解一阶导数得到切线方程。
利用几何意义求解切线方程
切线的定义：切线与曲线在某一点相切，没有公共点
切线方程的求解步骤：先求出切点坐标，再利用切线的定义求出切线的斜率，最后根据 点斜式求出切线方程
切线的性质定理
O A
E B C P
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵ OA是半径， l ⊥OA于点A ∴ l是⊙O的切线
l O A
常用方法：有交点，连半径，证垂直 无交点，作垂直，证半径
②过切点的半径.
切线垂直于半径
例1 如图，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与 AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切.
1.AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点
E，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点 D.试判断△AED的形状,并说明理由.
2 已知：如图，AB是⊙O的直径，过点P作⊙O 的切线PB与PC,B、C为切点,且 ∠AOC=∠ACO. (1)求∠ABC的度数; (2)若AB＝20，求BP的长. A
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
l ⊥OA
O
l A
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
∵ l是⊙O的切线，切点为A
（l与⊙O相切于点A）
∴ l ⊥OA
O l
A
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
O
切线
A
l
切线性质定理：
①圆的切线;
切线的性质
A
l
复习
切线的作法： (1)连接半径； (2)过半径的外端点作半径的垂线。
复习
切线的证法： (1)知切点，连半径，证垂直。
(2)不知切点， 作垂直，证半径（d=r)。
练习1：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°, AT=AB。 求证：AT是⊙O的切线。
B
C
T A
O
练习2、如图，AB是⊙O的直径， 直线PQ 过⊙O上的点C，∠BCP=∠A。 求证：PQ是⊙O的切线。 A O
C D E A O B
小结 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线的用法： 知切线，连半径，得垂直。
作业1：
.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点 E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断 △AED的形状,并说明理由.
作业2：
3、AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C， AE⊥CD，BC延长后与AE的延长线交于F， AF=BF，求∠A的度数。
切线的性质
复习回顾 1.切线的判定定理
2.切线的判定方法：
（１）定义
( 2 ) d=r
直线与圆相切
（３）切线的判定定理. 已知直线过圆上一点： (知切点，连半径，证垂直） 不明确直线是否过圆上一点： (不知切点，作垂直， 证半径d=r）
复习
切线的判定定理： 经过半径的外端点并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
A O
B C F E D
作业3：
如图，△ABC为等腰三角形，O是 底边的中点，⊙O与腰AB相切于点D。 求证：AC与⊙O也相切。 A D
B
O
C
切线的用法：
见切点 (知切线）， 连半径，得垂直。
例2： 如图，以O为圆心的两个同心圆， 大圆的弦AB是小圆的切线，切点为P。 求证：AP=BP。 O A P
切线的性质
切线的判定方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆
的切线。 2.利用d与r的关系作判断:到圆心的距离等于半径 （即d＝r）的直线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径；
2. 证切线常用的添辅助线方法有哪些？
C
A
O
B
D
4、已知，如图在⊙O中，AB为直径，AD为弦，
过B点的切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC，
则
45˚∠ABD= 。
A
O D
C
B
已知：AB是直径，AD是切线，判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之 间的关系
B
C
AD
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
AD
∵AB=8cm,AC=4cm. ∴∠B=30°
┐
C
B
∴∠A=60°
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
切线的性质
圆的切线： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
●O
┐
l
A
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
几何语言：
已知直线CD和⊙O相切，
●O
点A为切点 则OA⊥CD
C
┐
A
D
1、如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，
且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的
半径为
。
M
A
P
B
2.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，Ｐ
Ｃ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的
切线的性质
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？ 直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂 直，证半径）
O ●
A
B
又∵直线AB经过⊙O 上的A点 ∴直线AB是⊙O的切线
练 习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， A PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。
O E B P C
证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 A ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
l
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线 是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆 的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定和性质
切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。
而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。
今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。
先来说说切线的定义。
简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。
可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。
那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。
第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。
这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。
第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。
咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。
第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。
接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。
切线的性质可是非常重要和有用的。
首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。
其次，切线垂直于经过切点的半径。
这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。
还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。
想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。
切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。
而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。
再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。
切线的性质
2、已知：如图：AB是⊙O的弦， AC 切 ⊙ 于 点 A ， 且 ∠ BAC=54° ， 求∠OBA的度数。
例1、求证：经过直径的两端点的圆的切
线互相平行。
已知：如图，AB是圆
A
C
O的直径，直线
AC,BD分别是过点A,B
O
的圆O的切线。
求证 : AC BD
证明：如图，
D
B
∵AC、BD是⊙O的切线 AB 是⊙O的直径
求证：ＡＣ平分∠ＤＡＢ
D
C
A
B
O
变式训练（１） 已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ＡＣ平分∠ＤＡＢ，ＤＣ与⊙Ｏ切于的 点Ｃ，求证：ＡＤ⊥ＣＤ
D C
A
பைடு நூலகம்
B
O
• 变式训练（２）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的 直径，，ＣＤ与⊙Ｏ切于点Ｃ，ＡＤ ⊥ＣＤ于Ｄ，ＢＣ、ＡＤ的延长线交 于点Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ，求∠Ａ的度 数。
E
D
c
A
B
切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 3.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
1、按图填空：(口答) (1). 如果AB切⊙O于A， 那么 OA⊥ AB.
(2). 如果半径OA⊥AB， 那么AB是 ⊙O的切线
B A
O
(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点
求∠ABD的度数.
C
B
解：∵ AB为直径
∴∠ABC=90°
BC为切线
∠ADB=90°
∵ △ABC为直角三角形 AD=DC
∴△ABD为等腰直角三角形
∴AD=DB ∠ADC=90°
∴∠ABD=45°
切线与弦的性质
切线与弦的性质几何学中，切线和弦是圆的两个重要概念。
切线是与圆相切并且只与圆相交于一个点的直线，而弦则是连接圆上的两个点的线段。
在本文中，我们将讨论切线和弦的性质，包括它们的定义、关系以及一些重要的定理。
切线的性质首先，我们来讨论切线的性质。
切线与圆相切于一个点，因此它与圆的切点是切线的特殊性质。
我们可以得出以下定理：定理1：过圆上一点有且仅有一条切线。
证明：设圆心为O，半径为r，P为圆上的一点，射线OP交切线于点Q。
根据勾股定理，我们可以得到OP² = OQ² + PQ²。
当Q在线段OP的延长线上时，OQ > OP，此时OQ² > OP²，与OP² = OQ² + PQ²矛盾。
因此，Q必须在OP的反向延长线上，即Q是切线与圆的切点。
因此，通过圆上一点只存在一条切线。
定理2：切线与半径的夹角是直角。
证明：根据切线的定义，切线与圆相切于一个点。
而半径是连接圆心与圆上任一点的线段，因此切线与半径的夹角是直角。
弦的性质接下来，我们将讨论弦的性质。
弦连接圆上任意两个点，因此它有以下重要性质：定理3：圆上的两个弦所对应的弧长相等。
证明：设AB和CD是圆上的两个弦，O是圆心。
根据圆的定义，AO和BO分别是半径，CO和DO分别是半径。
由于AO = BO，CO = DO，以及AO = CO，我们可以得到△AOB ≌△CDO，根据三角形的对应边相等定理，我们可以得到∠AOB = ∠CDO。
由于∠AOB是圆心角对应的弧AB所对应的角，同样地，∠CDO是圆心角对应的弧CD所对应的角。
因此，弧AB和弧CD的长度相等。
定理4：弦的中点连线垂直于半径。
证明：设弦AB与弦CD的中点分别为E和F，连接圆心O与E、F。
由于AE = BE，CE = DE，以及AE = CE，我们可以得到△AOE ≌△COE，根据三角形的对应边相等定理，我们可以得到∠AOE =∠COE。
切线的判定及性质
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
（有交点，连半径，证垂直）
半径）
（无交点，作垂直，证
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
再见 教科书第60页第3、
6题
2
M
A
D
O
E
N
4.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外
一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA。
若∠P=400，当∠B等于_2_5_0_时，PA与⊙O
A
相切。
PC
O
B
B
解：∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=450
O
∴∠BAC=900
即AB⊥AC
C
A
∵ AB是⊙O的直径
∴ AC是⊙O的切线
（1）证明 ：连接OC ∵CD是切线， ∴OC⊥CD, ∵BD⊥DF, ∴OC∥BD, ∴∠OCB=∠CBD, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBD=∠OBC ∴BC平分∠ABD.
切线的性质和判定
切线的性质和判定
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
切线的定义：直线与圆只有一个公共点时， 这条直线叫做圆的切线。
（1）根据切线的定义，和圆只有一个公共点的 直线是圆的切线。
（2）根据数量关系，到圆心的距离等于半径的 直线是圆的切线。
l PA
这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾。
所以假设OA与l不垂直不成立。
圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理:
圆的切线 垂直于过切点的半径。
切线 得出 垂直
定理的几何符号表达： O.
∵ 直线 l 切⊙O于点A
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切线的五个性质
直线与圆相切是直线与圆的三种位置关系中最重要的一种，也是初三数学的重要内容，它是在点与圆的位置关系之后学习的，它有五个性质，下文将逐一证明。
直线与圆相切指的是直线和圆只有1个交点这种情况。
它有以下五个性质：
（1）切线和圆只有1个交点；
（2）直线垂直于过切点的半径；
（3）圆心到直线的距离（通常用d表示）d=r；
（4）经过圆心且垂直与切线的直线一定经过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必须过圆心。
以上五条性质中，第（2）（3）两条性质最重要，第（2）条性质经常在解题时使用。
性质（1）可以由直线与圆相切的定义得到。
性质（2）可由性质（1）推出。
因为直线与圆相切，所以直线与圆只有一个交点，即切点。
把切点和圆心连接起来，等到一条半径，现在只需证明这条半径与直线垂直即可。
因为直线与圆只有一个交点，所以出了切点以外，直线上的点都在圆外，由点与圆的位置关系的知识可知，这些点到圆心的距离都大于半径r，所以切点是直线上到圆心距离最短的点。
又由连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短可知：该半径与直线垂直。
故直线垂直于过切点的半径。
这条性质的证明，笔者在其它文献中尚未见过，证明的关键是使用了“垂线段最短”这个结论，利用这条结论完成几何证明也较少见。
由性质（2）立刻就可以得到性质（3）。
根据性质（2）和过平面上一点有且只有一条直线与已知直线的垂直，可得性质（4）（5）。