湖北省武汉市华科附联考体2020-2021学年高二上学期期中数学试题

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湖北省部分重点中学2020-2021学年高二上学期联考数学试卷Word版含答案

数学试题考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.答复选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一卷〔共60分〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设集合{(,)|23}A x y x y =+=，{}2(,)|B x y y x ==，那么A B =〔〕2. 直线l 在x 轴上的截距是5-，在y 轴上的截距是6，那么直线l 的方程是〔〕3.假设关于x 的不等式242x x mx -+>的解集为{}|02x x <<，那么实数m 的值为〔〕 4. 假设向量1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，那么122a e e =+；1232b e e =-+的夹角为〔〕5.设圆M 的圆心为()3,5-，且与直线720x y -+=相切，那么圆M 的方程为〔〕6.在ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，ET xAB y AD =+〔,x y R ∈〕，那么x y +=〔〕7. 设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，那么以下命题正确的选项是〔〕．A ．假设a α∥，b α∥，那么a b ∥B ．假设a α⊥，a b ⊥，那么b α∥C ．假设a α⊥，a b ∥，那么b α⊥D ．假设a 与b 相交，且a //α，那么b //α8.圆22:4C x y +=上恰有三个点到直线:l y x b =+的距离等于1，那么实数b 的取值是〔〕A ，B ．2，C ．，2-D ．2-，29.实数a ，b ，c 满足a b c <<，且0a b c ++=，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A.222a b c <<B.22ab cb <C.ac bc <D.ab ac <10.在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA ，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =．那么线段BQ 的长度的最大值是()A ．2B ．4C ．6D ．前三个答案都不对11. 过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，那么以下结论错误的选项是〔〕A ．假设PA PB PC ==，90C ∠=︒，那么点O 是AB 的中点B ．假设PA PB PC ==，那么点O 是ABC ∆的外心C ．假设PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，那么点O 是ABC ∆的垂心D ．假设2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，那么四面体PABC 外接球的外表积为29π12.1x 满足334x x +=，2x 满足3335x x -=-，那么12x x +=()A.2B.3C.4D.前三个答案都不对第二卷〔共90分〕二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷及解析

湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.在空间直角坐标系中，点()1,3,5P -关于yOz 面对称的点的坐标是（） A.()1,3,5B.()1,3,5-C.()1,3,5--D.()1,3,5--2.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（） A.5B.3C.1D.1-3.如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（）A. B.C. D.4.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A.若,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交 B.若m //α,αβ⊥，则m β⊥ C.若,m αβα⊥⊥，则m //β D.若,m α⊥α//β，则m β⊥5.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB 两点，若2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A.3B.3C.2D.26.长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，底面ABCD 是正方形，则OA 与平面ABCD 所成角的大小为（） A.6π B.3π C.2π D.56π 7.已知椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0))的右焦点是F (3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B两点，若AB 中点M 的坐标为(1，-1)，则椭圆E 的方程为（）A.2211664x y += B.221189x y += C.2212718x y += D.2214536x y += 8.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.34C.57D.23第II 卷（非选择题）二、解答题9.如图，在三棱柱111ABC -中，AB AC =，D 为BC 中点，平面ABC ⊥平面11BCC B ，11BC B D ⊥.（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）求证：11AB BC ⊥.10.如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离. 11.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. （1）长轴是短轴的3倍且经过点A (3，0)；（2）过点，，且与椭圆221259y x +=有相同焦点.12.已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的离心率；（2）求证：OA OB ⊥.13.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 的体积为6，求二面角D -AE -C 的余弦值. 14.已知椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>．离心率为12，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．三、填空题222)4x y -+=截得的弦长为________. 16.22192x y +=的焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________.17.在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1是一个“堑堵”，其中AB =BC =BB 1=2，点D 是AC 的中点，则异面直线AB 1与BD 所成角的大小为________.四、新添加的题型18.已知动圆Р与圆C 1：22(3)1x y ++=外切，且与圆C 2：22(3)81x y -+=内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C ，则下列说法正确的是（）A.轨迹方程C 为2212516x y +=B.轨迹方程C 的焦距为3C.轨迹方程C 的长轴为10D.轨迹方程C 的离心率为3519.如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A.MN ∥平面ABDB.异面直线AC与BD所成的角为定值C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.三棱锥M-ACN体积的最大值为4820.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（）A.卫星向径的取值范围是[a-c，a+c]B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小21.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（）A.直线DD1与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D.点C和点G到平面AEF的距离相等22.已知正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球О的球面上，底面ABCD边长为2，E为PB 中点，∠AEC=90°，则侧棱PB=_______，球О表面积为_________.参考答案1.C【解析】1.关于谁对称谁不变，由此可直接得出结果.两点关于yOz 面对称，则纵坐标相同，竖坐标相同，横坐标互为相反数，所以点()1,3,5P -关于yOz 面对称的点的坐标是()1,3,5--. 故选：C. 2.A【解析】2.先根据圆的一般是方程得圆心为()1,2-，再根据直线过圆心即可求得a . 解：根据圆22240x y x y ++-=的一般式方程得圆心坐标为：()1,2-，由于直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，所以有320a --+=，解得5a =. 故选：A. 3.D【解析】3.利用线面平行的判定定理可判断A 、B 、C 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D 选项的正误.对于A 选项，如下图所示，连接CD ，在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，N 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//NQ CD ，//AB NQ ∴， AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于B 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于C 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于D 选项，如下图所示，连接BE 交MN 于点F ，连接QF ，连接CD 交BE 于点O ，若//AB 平面MNQ ，AB 平面ABE ，平面ABE 平面MNQ FQ =，则//FQ AB ，则EF EQBE AE=，由于四边形BCED 为正方形，对角线交于点O ，则O 为BE 的中点，M 、N 分别为DE 、CE 的中点，则//MN CD ，且MNBE F =，则12EF EN EO CE ==，1124EF OE BE ∴==，则14EF BE =，又12EQ AE =，则EF EQBE AE≠，所以，AB 与平面MNQ 不平行；故选：D. 4.D【解析】4.采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果. 若,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线,n 与α也可平行，故A 错若m //α，αβ⊥，m 也可以在β内，故B 错若,m αβα⊥⊥m 也可以在β内，故C 错若,m α⊥α//β，则m β⊥，故D 对故选：D 5.A【解析】5.由正三角形特点12||,||AF AF 用c 表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.2ABF 是正三角形，212||||33AF F F ∴==，1212||2||,||||2AF AF AF AF a ∴==+==e ∴=. 故选：A . 6.A【解析】6.求出球的半径2R =，进而可求得长方体1111ABCD A B C D -的体对角线长为24R =，设AB a ，可求得a =AC 的中点E ，可得出OE ⊥平面ABCD ，进而可知OAE ∠是直线OA 与平面ABCD 所成的角，求解即可.因为长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，解得2R =，所以，长方体1111ABCD A B C D -的体对角线长为24R =，设AB a ，12AA =，四边形ABCD 4=，解得a =取AC 的中点E ，连接OE ，如下图所示：易知球心O 为1AC 的中点，所以，1//OE CC ，且1112OE CC ==， 1CC ⊥平面ABCD ，则OE ⊥平面ABCD ，所以，OAE ∠是直线OA 与平面ABCD 所成的角，在Rt OAE △中，2OA =，1OE =，2OEA π∠=，1sin 2OE OAE OA ∴∠==， OAE ∠为锐角，则6OAE π∠=，因此，OA 与平面ABCD 所成角的大小为6π. 故选：A. 7.B【解析】7.设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即求.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：B ． 8.C【解析】8.根据题意，求得112,,PF F Q F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果.根据题意，作图如下：由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --= ，23||2a cQF +=由221cos cos F PQ F PF ∠=∠ 即22222222211222122PF PQ F QPF PF F F PF PQPF PF +-+-=，整理得2271250c ac a -+=，则()()570a c a c --=，得57e =故选：C .9.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】9.（1）连接1A B 交1AB 于点O ，连接OD ，由题中条件，证明1//OD A C ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据题意，由面面垂直，得到AD ⊥平面11BCC B ，得到1AD BC ⊥，再由线面垂直的判定定理，证明1BC ⊥平面1AB D ，进而可得11AB BC ⊥. （1）证明：连接1A B 交1AB 于点O ，连接OD ，∵111A B C ABC -是三棱柱， ∴四边形11ABB A 是平行四边形， ∴O 为AB 中点， ∵D 为BC 中点， ∴1//OD A C ，∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ； ∴1//A C 平面1AB D ；(2）∵AB AC =，D 为BC 中点， ∴AD BC ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11BCC B BC =，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面11BCC B ；∵1BC ⊂平面11BCC B ，∴1AD BC ⊥，∵11BC B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ⊂平面1AB D ，1B D ⊂平面1AB D ， ∴1BC ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ， ∴11AB BC ⊥.10.（1）证明见解析；（2【解析】10.（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF ⊥平面BCD ；（2）首先作辅助线，取AC 的中点M ，连结EM ，首先证明ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离. （1）F 是斜边BD 的中点， ∴FC=12BD=1 ∵E ，F 是AD 、BD 的中点， ∴EF=12AB=1，又∵ ∵EF 2+FC 2=EC 2 ∴EF ⊥FC又∵AB ⊥BD ，EF ∥AB ∵EF ⊥BD ，又BD∩FC=F ∴EF ⊥平面BCD ∴平面EFC ⊥平面BCD (2）取AC 的中点M ，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°， ∴AD=∵=12AD ， ∴ΔACD 为直角三角形且∠ACD=90°，∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ， ∴AC∩BC=C ，又∵AC ，BC ⊂面ABC ， ∴DC ⊥面ABC ，又E ，M 分别为AC ，AD 中点， ∴EM ∥CD ∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=2∴S ΔFCD =111222⨯= ∵VE-FCD =13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，，∴SΔECD =1222=，设点F 到平面CDE 的距离为h ，∵V E-FCD =V F-ECD ，1163=，解得h=3即点F 到平面CDE 的距离为3. 11.（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）221204x y +=.【解析】11.（1）分椭圆焦点在x 轴上和椭圆焦点在y 轴上两种情况，分别设所求椭圆的标准方程运用待定系数法，代入已知条件可求得椭圆的标准方程；(2）由已知椭圆的方程求得焦点的坐标，设该椭圆方程为22221y x a b+=(a >b >0)，代入已知的点，解之可得答案.（1）若椭圆焦点在x 轴上，设所求椭圆的标准方程为22221x y a b+=(a >b >0)，∵长轴是短轴的3倍，∴a =3b ，又∵椭圆经过点A (3，0)，∴2222301a b+=，得到a =3，∴b =1，所以2219x y +=；若椭圆焦点在y 轴上，设所求椭圆的标准方程为22221y x a b+=(a >b >0)∵长轴是短轴的3倍，∴a =3b ，又∵椭圆经过点A (3，0)，∴2222031a b +=，得到b =3，∴a =9，∴221819y x +=，所以椭圆的标准方程为.2219x y +=或221819y x +=.(2）椭圆221259y x +=的焦点为(0，±4)，设该椭圆方程为22221y x a b+=(a >b >0)，因此2216a b -= ①∵椭圆过，22531a b+=(a >b >0) ②，联立①②式，解得a 2=20，b 2=4. 因此该椭圆方程为221204x y +=.12.（12）证明见解析.【解析】12.（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，求出a 、c ，进而可求得椭圆C 的离心率；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两点的坐标，计算出0OA OB ⋅=；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立.（1）将椭圆C 方程化为标准形式221443x y +=， 24a ∴=，243b =，22248433c b a =-=-=，则2a =，c = 因此，椭圆C的离心率为323c e a ===；（2）若切线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为1x =±，联立椭圆C 的方程可解得：()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --. 此时0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥成立；若切线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线l 与圆22:1O x y +=相切，则1=，化简得221k m +=，联立2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得到()222316340k x kmx m +++-=，由韦达定理可得122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+， ∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++，将122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+代入上式得： ()222222234613131m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++，又∵221k m +=，所以()2222424242222223463466320032323232m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=-+===----，OA OB ∴⊥.综上所述，OA OB ⊥一定成立. 13.（1）证明见解析；（2）14.【解析】13.(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a，根据24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===可得2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ， OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，13111323P ABCD ABCDV SPA a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E，)C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥，得1020y z y ⎧+=⎪+=，令y =1,x z =-=-(1n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41n n n n n n ⋅===+⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 14.（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析.【解析】14. （1）由题意有12c e a ==，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有2a =，即可写出椭圆方程；（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有()12221228km 344m 334x x k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，已知34OM ON k k =-应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明OMN 的面积是否为定值；（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=，（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k m k m km x x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-==，原点O 到l的距离d =，2OMNMN Sd ∴=⋅==15.【解析】15.求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．直线方程一般式为0x -=，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为1d ==，圆半径为2r，所以弦长为==．故答案为：16.23π【解析】16.根据椭圆的定义可得22PF =，结合122F F c ==12F PF 中利用余弦定理求解即可.由椭圆22192x y +=可得:3a =,b =c =根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==, 可得2264PF a +==，解得:22PF =.在三角形12F PF 中由余弦定理:22212121212164281cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯, 所以1223F PF π∠= 故答案为: 23π. 17.3π【解析】17.取11A C 的中点F ，连接AF ，则BD ∥1B F ，从而得1AB F ∠或其补角为异面直线AB 1与BD 所成角，然后在1AB F △求解即可解：取11A C 的中点F ，连接AF ，则BD ∥1B F ，从而得1AB F ∠或其补角为异面直线AB 1与BD 所成角，因为AB =BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，BD 在平面ABC 内，所以1AA ⊥BD ，因为1AA AC A =所以BD ⊥平面11AAC C ，所以BD AF ⊥，所以1B F AF ⊥，因为AB =BC =BB 1=2，所以11B F AB =所以1111cos 2B F AB F AB ∠===，所以13AB F π∠=，故答案为：3π18.ACD【解析】18.根据圆的位置得出动点P 到两个定点12(3,0),(3,0)C C -的距离之和为10，再由椭圆的定义得点P 在以两定点12(3,0),(3,0)C C -为焦点，10为长轴长的椭圆上.求得椭圆的标准方程，根据椭圆的几何性质可判断得选项.圆C 1：22(3)1x y ++=的圆心()13,0C -，半径11r =，圆C 2：22(3)81x y -+=的圆心()23,0C ，半径29r =，设点(),P x y ，动圆的半径为()>0r r ，则由题意得12||1,||9PC r PC r =+=-，所以12||||10PC PC +=，即动点P 到两个定点12(3,0),(3,0)C C -的距离之和为10. 又因为121210||||>6PC PC C C =+=，所以点P 在以两定点12(3,0),(3,0)C C -为焦点，10为长轴长的椭圆上.所以设此椭圆的轨迹方程为C 为22221x y a b+=，这里5a =，3c =，则22216b a c =-=，因此，动圆圆心P 所在的曲线方程为：2212516x y +=.所以轨迹方程为C 的焦距为6，轨迹方程为C 的长轴长为10，轨迹方程为C 的离心率为35，故选：ACD.19.ABD【解析】19. 利用线面平行判定定理判断A 选项，利用线面垂直的性质判断B 选项，利用垂直的转化通过反证法可说明C 选项，利用等积法说明D 选项.选项A ，因为// MN BD ，MN ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以//MN 平面ABD ，故选项A 正确；选项B ，取AC 中点O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，且AC OD ⊥，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，为定值，故选项B 正确；选项,C 若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，而OBD 是以OB 和OD 为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项C 不正确；选项D ，M ACN N ACM V V --=，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，此时()max 1111=22434448ACM ABC N ACM OD S S V -===⋅⋅=△△，，故选项D 正确. 故选：ABD.20.AD【解析】20.根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 不正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确.故选：AD .21.BC【解析】21.对选项A ，假设1DD AF ⊥，从而得出1DD ⊥平面AFM ，而AM 与1DD 不垂直，故A 错误；对选项B ，取11B C 的中点N ，连接1A N ，GN ，易证平面1//A GN 平面AEF ，从而得到1//A G 平面AEF ，故B 正确；对选项C ，连接1AD ，1FD ，得到平面1AD FE 为平面AFE 截正方体所得的截面，再计算其面积即可得到C 正确；对选项D ，利用反正法即可得到D 错误；对选项A ，如图所示：取1DD 中点M ，连接AM ，MF ，容易得出1DD FM ⊥假设1DD AF ⊥，则1DD ⊥平面AFM ，从而得出1AM DD ⊥由于AM 与1DD 不垂直，所以AF 与1DD 不垂直，故A 错误.对选项B ，取11B C 的中点N ，连接1A N ，GN ，如图所示：因为1//A N AE ，//GN EF ，所以由面面平行的判定定理得出平面1//A GN 平面AEF .因为1AG ⊂平面1A GN ，所以1//A G 平面AEF ，故B 正确. 对选项C ，连接1AD ，1FD ，如图所示：因为1//AD EF ，所以平面1AD FE 为平面AFE 截正方体所得的截面.1AD ==EF ==12D F AE ===，所以四边形1AD FE 为等腰梯形=，119228AD FE S ⎛=⨯+= ⎝. 故C 正确.对选项D ，连接CG 交EF 于H ，如图所示：假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 必过CG 的中点而H 不是CG 的中点，则假设不成立，故D 错误.故选：BC22.323π【解析】22.设底面ABCD 的中心为点M ，连接ME 、MB 、PM ，可知PM ⊥平面ABCD ，分析正四棱锥P ABCD -的结构特征，求出PM 的长，设球O 的半径长为R ，列方程解出R 的值，利用球体的表面积公式可求出球O 的表面积.如下图所示，设底面ABCD 的中心为点M ，连接ME 、MB 、PM ，由于四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以，PM ⊥平面ABCD ，易知PBA PBC ∠=∠，AB BC =，BE BE =，ABE CBE ∴∆≅∆，AE CE ∴=，90AEC ∠=，AEC ∆是等腰直角三角形，则222AE CE AC ===⨯=， M 为AC 的中点，2AC ME ∴=， PM ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，PM BM ∴⊥，E 为PB 的中点，则2PB ME AC ===12BM AC ==，由勾股定理得PM =易知球心在直线PM 上，设球O 的半径为R ，则OM R =，由勾股定理得222OM AM OA +=，即)222RR +=，解得3R =.因此，球O 的表面积为2232443R πππ=⨯=⎝⎭.故答案为：323π.。

2020-2021高二数学上期中试卷及答案(6)

2020-2021高二数学上期中试卷及答案(6)一、选择题1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（）A ．0B ．2C ．4D ．144．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 7．下面的算法语句运行后，输出的值是（）A．42B．43C．44D．458．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是A．？B．？C．？D．？9．已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．2310．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．712．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 为_______．14．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________； 16．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．17．已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 18．执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .19．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y的值为__________．20．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是_______．三、解答题21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差()x c o1011131286就诊人数y(个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验；（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-nn ，ˆ-ˆu ανβ= . 22．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 23．已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14．（1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的球标号为b ．①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,4]内任取2个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>+恒成立”的概率． 24．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“d ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.25．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表：（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 26．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.2．C解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 3．B解析：B 【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．4．B解析：B 【解析】【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…，由此能求出n 的最小值．【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1，现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…，解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ．【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．B解析：B【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误；由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．C解析：C【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图 7．C解析：C【解析】【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解.【详解】由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能，因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =，故选：C【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为，第1次循环，，，第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题． 9．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<， ∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．10．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差11．A解析：A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;应填答案解析：12【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当2,135S i ==<,则执行运算132,222S i =-==;继续运行: 325,3236S i =-==;继续运行: -----;当35i =时;12S =,应填答案12． 14．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴= 【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题. 15．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1【解析】A ，B ，C成等差数列，所以2213sin sin 3b B R R B π=∴===⇒= 16．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（，故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.17．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.3 5.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =.故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】试题分析：由程序框图第一次循环时第二次循环时第三次循环时第四次循环时退出循环输出考点：程序框图解析：4【解析】试题分析：由程序框图，第一次循环时，1,1k S ==，第二次循环时，22,112k S ==+=，第三次循环时，23,226k S ==+=，第四次循环时，24,63156k S ==+=>，退出循环，输出4k =．考点：程序框图．19．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y +++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= . 点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．20．【解析】因为公共汽车每5分钟发车一次当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到则他候车时间会超过3分钟所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为解析：35【解析】因为公共汽车每5分钟发车一次，当乘客在上一辆车开走后两分钟内达到，则他候车时间会超过3分钟，所以候车乘客候车时间超过3分钟的概率为5-23=55P =。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

湖北省武汉市华中师大一附中2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．42．直线2(1)20x m y ++−=与直线320mx y +−=平行，那么m 的值是( ) A ．2B ．3−C ．2或3−D ．2−或3−3．如图，椭圆2221(1)x y a a +=>与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，点P 是过左焦点F 1且垂直x 轴的直线与椭圆的一个交点，O 为坐标原点，若AB //OP ，则椭圆的焦距为( )AB ．C ．1D ．24．在空间直角坐标系中，已知A (1, 0, 1)，B (1, 1, 1)，1(0,0,)2C ，则点A 到直线BC 的距离为( )A ．B ．C ．3D ．55．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线AB 过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若△F 2AB 为正三角形，该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．D ．6．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是( )A ．这个多面体有8个面和12条棱B ．这个多面体有6对棱互相平行C ．这个多面体有4对面互相垂直D7．己知椭圆C 的焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=8．过直线4x y +=上一动点M ，向圆22:4O x y +=引两条切线，A 、B 为切点，则圆22:(3)(3)1C x y ++−=的动点P 到直线AB 距离的最大值为( )A ．1B ．6C ．8D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得．．．．．．2．分．，有选错的得0分． 9．以下四个命题正确的有( )A 0y a −+=()a ∈R 的倾斜角为60︒B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y −=的距离都等于1 C ．直线230x y −+=关于原点对称的直线方程为230x y +−=D ．经过点(1, 1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +−=10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒，米，则该正四棱锥的( )A ．底面边长为6米B ．侧棱与底面所成角的正弦值为C ．侧面积为平方米D ．体积为立方米11．已知椭圆22:184x y C +=上有一点P ，F 1、F 2分别为其左右焦点，12F PF θ∠=，△F 1PF 2的面积为S ，则下列说法正确的是( )A ．若2S =，则满足题意的点P 有4个B ．若60θ=︒，则S =C ．θ的最大值为90︒D ．若△F 1PF 2是钝角三角形，则S 的取值范围是12．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 、F 分别为棱A 1D 1、AA 1的中点，G 为面对角线B 1C 上一个动点，则( )A ．三棱锥1A EFG −的体积为定值B ．线段B 1C 上存在点G ，使平面EFG //平面BDC 1 C ．当134CG CB =时，直线EG 与BC 1所成角的余弦值为13D ．三棱锥1A EFG −的外接球半径的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则该圆锥的高为________． 14．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，D 是BC 的中点，E 是A 1C 1上一点，A 1B //平面B 1DE ，则11A EEC 的值为________．15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值(01)λλλ>≠且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0, 3)，圆22:()(24)1C x a y a −+−+=.若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，则实数a 的取值范围是_____．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，F 为椭圆的右焦点，A 为椭圆上的一个动点，直线22:0l bx ay a b +−−=，记点A 到直线l 的距离为d ，则||d AF −的最小值为_______．（用a 或b 表示）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的三个顶点(,)A m n , (2,1)B ,(2,3)C −.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）若BC 边上中线AD 的方程为20()x y t t −+=∈R ，且△ABC 的面积为4，求点A 的坐标.18．（本小题12分）已知圆22:1O x y +=和点()1,4M −−. （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =−截得的弦长为8的圆M 的方程；19．（本小题12分）如图，在三棱锥A BCD −中， AB AD =，O 为BD 的中点，OA CD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ;（2）若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，三棱锥B ACD −，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且右焦点为(1,0)F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交y 轴于点P . 若PA mAF =，PB nBF =，求m n +的值.21．（本小题12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，2AD DC ==，4AB =，现将△ADC 沿AC 翻折成直二面角P AC B −−.（1）证明：CB PA ⊥；（2）记△APB 的重心为G ，若异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为14，在侧面PBC 内是否存在一点M ，使得GM ⊥平面PBC ，若存在，求出点M 到平面P AC 的距离；若不存在，请说明理由.22．（本小题12分）P 为圆22:(2)36A x y ++=上一动点，点B 的坐标为(2, 0)，线段PB 的垂直平分线交直线AP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹方程C ；（2）如图，（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为A 1和A 2，M 、N 为曲线C 上异于A 1、A 2的两点，直线MN 不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S ，若直线A 1S 与直线A 2N 相交于点T ，直线OT 与直线MN 相交于点R ，证明：在曲线C 上存在定点E ，使得△RBE 的面积为定值，并求该定值．【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．14． 12 15．1205a ≤≤. 16．1126b a −或(2)15a −或11(6b（以上三个答案只需写出其中一个）四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）∵()2,1B ，()2,3C −，∴BC 的斜率为311222−=−−−，点斜式设直线方程为11(2)2y x −=−−，∴BC 边所在直线的一般方程为240x y +−=. …………………………4分（2）由题知，BC 中点()0,2D ，代入中线AD 方程20x y t −+=，得4t =.∵(),A m n 点在中线AD 上，把A 点坐标代入240m n −+=①， ……………………6分点A 到直线240x y +−=的距离为dBC =∵ABC的面积等于11422BC d ⋅⋅=，化简得244m n +−=②， ……8分联立①②，求得23m n =⎧⎨=⎩或21m n =−⎧⎨=⎩，所以，点A 的坐标为()2,3或()2,1−. ……………………10分18．（本小题满分12分）解：（1）当切线的斜率不存在，直线方程为1x =−，为圆O 的切线； ……………………2分当切线的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k −+−=，∴圆心O1=，解得158k =，∴直线方程为158170x y −−=综上切线的方程为1x =−或158170x y −−=. ………………………………6分（2）点()1,4M −−到直线2120x y −−=的距离为d ==∵圆被直线212y x =−截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=. ………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以OA BD ⊥，又OA CD ⊥且BD CD D ⋂=，所以OA ⊥平面BCD ，又OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ……………………4分（2）又1112OCD S ∆=⨯⨯，所以BCD S ∆，由OA ⊥平面BCD故1133B ACD A BCD BCD V V S OA −−∆⋅⋅====所以OA =2 ……………………6分取OD 的中点F ，因为OCD ∆为正三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF 与BC 交于点M ，则OM OD ⊥，所以OM ，OD ，OA 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OM ，OD ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(0B ，1−，0)，1,0)2C ，(0D ，1，0)，A （0,0,2），14(0,,)33E ，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =，设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，又3344(,,0),(0,,)2233BC BE ==，所以由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30244033y y z +=⎨⎪+=⎪⎩，令x =1y =−，1z =，故(3,1,1)n =−， ………10分所以||5|cos ,|||||5m n m nm n ⋅<>==，所以平面BCD 与平面BCE. ………12分（说明：用几何法作答同样给分） 20．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得1b c ==，故椭圆的方程为22143x y += …………………………2分（2）1︒若直线l 垂直y 轴，则22,3m n =−=−， ∴83m n +=−…………………………4分 2︒若直线l 不垂直y 轴，则设直线l 的方程为1x ty =+，联立椭圆方程，消x 可得22(34)690t y ty ++−=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434t y y y y t t +=−=−++ ……6分由PA mAF =可得111()(0)y m y t−−=−，∴111m ty =−−，由PB nBF =同理可得211m ty =−−， ∴2121212261111128342()22293334ty y t m n t y y t y y t t −+++=−−+=−−⋅=−−⋅=−−=−−+………………12分（说明：最后一步求m n +时如果没有写过程，或者过程不完整扣2分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结CE .∵4AB =，2CD =，∴//AE DC ，AE DC =，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴2CE AD ==，∴CE AE EB ==，∴90ACB ∠=︒，即CB CA ⊥.……………………2分又平面PAC ⊥平面ACB ，且两平面的交线为AC ，∴CB ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴CB PA ⊥. ………………4分（Ⅱ）取AC 的中点O ，连结OE ，则//OE CB .∴OE AC ⊥，且OP AC ⊥，∴OC ，OE ，OP 两两互相垂直.以O 为原点，OC ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设(0)OC a a =>，则(),0,0C a，(P ，(),0,0A a −，()B a ，∴(,0,PC a =，()2AB a =.由异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为14，得22124244PC AB a a PC AB ⋅===⨯⋅，解得1a =. ………6分所以A (-1,0,0), B(1, ，0)，C (1,0,0)，P(0,0,所以重心G 3………7分假设在侧面PBC 内存在一点M ，设(0,0,1)PMPB PC λμλμλμ=+≥≥+≤，得(,)M λμ+ …………9分由MG ⊥平面PBC ，得00MG BC MG PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11,36λμ==， ……………………11分所以存在点M ，此时点M 到平面P AC的距离为=………………………12分（说明：用几何法作答同样给分）22．（本小题满分12分）解：（1）直线BP 的垂直平分线交直线AP 于点Q ∴ BQ PQ =，+64AQ BQ AQ PQ AB ∴=+=>=∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且26,24a c ==∴3,2a c == ,∴点Q 的轨迹方程为22195x y +=． ……………………………4分（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，直线MN 的方程为(0,0)x my n m n =+≠≠，与椭圆方程联立，得22,1.95x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得222(59)105450m y mny n +++−=，则22=180(5m 9)0,∆−+>n 由根与系数的关系得212122210545,5959mn n y y y y m m −+=−=++，由（1）知12(3,0),(3,0),A A − 设00(,)T x y由1,,T S A 三点共线得0101=33y y x x +−，由2,,T N A 三点共线得0202=33y y x x −−， 0000001212121212121222333333112(3)()2(3)22(3)96.3x x x y y y x x y y my n my n y y m n y y y y m n y y mn m n n m n +−=+−−=++−+−=+=+−++=+−=−−−=+则………………………………………………………………………………………8分所以OT 的斜率0033y n k x m+==，则直线OT 的方程为3.3n y x m += 联立直线OT 与直线MN 的方程，可得3,33n y x x m x my n+⎧=⎪=−⎨⎪=+⎩得，……………………………………10分因此R 在定直线:3l x =−上，使得RBE ∆的面积为定值的点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线与椭圆C 的交点，此时E 的坐标为5(2,)3或5(2,)3−，RBE ∆的面积15255236RBE S ∆=⨯⨯=．……12分。

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棱AC上的动点，则 MEF的周长的最小值为（） 2020-2021学年度上学期华科附联考体期中考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分一 1. 直线x-JEy + α = 0, aeR的倾斜角为（）

π π 2π TX 5π A. — B. — C.—— D.—— 6 3 3 6

2. 若直线ax + by = ∖^圆F + y2 = 1相交，则Pab）与圆的位置关系为（）

A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.以上都有可能

2 2 3. 若椭圆—+ ⅛ = 1的左焦点为斥（70）,则加=（）

25 nr

A. 2 B. 3 C. ±3 D. 9 4. 下列说法正确的是（）

A. 若P为异而直线/,加外任意一点，则过点P有且仅有一条直线与/,加都平行.

B. 若异而直线/,加分别与〃？，/所在的平而α, 0相交，则交线至少与/,川中的一条相交一

C. 若平而α丄平而了，且平而0丄平面了，则α∕∕0. D. 若直线/与平而α相交但不垂直,1110、则α, 0不可能垂直.

5•在正四而体P-ABC中，D, E, F侧棱AB, BC, CA的中点，下列说法不正确的是（）

A. BCII^PDF B.而PDE丄而ABC

C. ^PDF^PAE D. DF 丄而 ∕¼E 6. 已知片，竹是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若P片丄PF2,且ZPΛ^=60o,则椭圆C的离

心率为（）

A. 1-— B. 2-y∕3 C. D.的-1 2 2 棱AC上的动点，则 MEF的周长的最小值为（）

7. 如图，在正三棱锥ABC-AlBI C冲，AB = 4, AAl=4√3, D, F分别是棱AE, ∕½的中点，E为3 C. 2√7+2√3+4 8. 一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水而在容器

中形成的所有可能的形状是( ) ①三角形②菱形③五边形④正方形⑤正六边形

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.住每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知直线/过P(l,2),且A(2,3), B(4,-5)到直线/的距离相等，则/的方程可能是( )

A. 4x + y-6 = 0 D. 2x + 3y-7 = 0 10.如图，在正四棱柱ABCD-AQCQ中，AB = √2A41> E, F分别是棱AB, BC的中点，异而直

线AQ与GF所成角的余弦值为加，则( )

B.直线AE与直线GF共而

D.直线AE与直线QF异面

Si A. 10 B. 2√7+4 D. 4√3 + 2

A. B.③④⑤ C.②④⑤ D. 0X5) B. x + 4y-6 = 0 C. 3x+2y-7 = 0

=T2 3 11.已知两圆 G： χ2 + y2=r2t c2: (x-a)2+(y-b)2=r2 , (r>0)交于不同的两点 A(Xlj )， B(x2,.y2)^则下列说法正确的是( )

A- Λ(x1-x2)+^(,y1-y2) = O B. 2ΛΛI + 2by} =a~ +b

C. xl+x2= 2a D- yl + y2 =b 12.已知椭圆C： 4 + 4 = 1(6/>/?>0), P是该椭圆在第一象限内的点，F1,化分别为椭圆的左右焦 Cr Iy

点，ΔFxPF1的角平分线交X轴于点M ,且满足Md=4OM,则该椭圆的藹心率可能是( ) A. 1 B.丄

8 4

二.填空题：本大题共4小题，共20分.

C. - D.-

2 4

13. 已知直线/： x-y = 0, ∕1: 2x-y-2 = 0,则厶关于/对称的直线方程为 ____________ .

14. __________________________________________________________________ 如果圆的

方程为x2 + y2+kx + 2y + k2=O,则当圆的而积最大时的圆心坐标为 _____________________________ . 15. 如图，在正方体ABCD-AiBIClD｝中，点E, F，G分别是A1B1, B1C1, Bd的中点，给出下列5 个推断：

① FG//平而 AAXDxDX ②EF//平而BeS ③ FG//平而 BC1D1; ④平而EFG//平而BClDl: ⑤平而EFG//平面Λ1C1B 其中推断正确的序号是

16. 已知圆Cy (x-l)2+(y-l)2=2, C2： (x-4)2+(j-2)2 = 1,过原点。作一条射线与圆Cl相交于

点A,在该射线上取点3,使得∖OA[∖OB∖ = 2.圆C?圆周上的点到点D的距离的最小值为扌，则满足该条件的点D所形成的轨迹的周长为 ____________ : ∖BD∖的最小值为 ________ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17. 已知6(1,0)为正方形的中心，且这个正方形的一条边所在的直线方程为3x+y-5 = 0,求这个正方形

其它三条边所在的直线的一般方程. 18. 在正方体ABCD-AIBGR中，P为底IffiA1B1C1D1的中心.

(1) 求证：平而AIPC丄平面AxBD .

(2) 求二面角P_A、B_B］的余弦值.

19∙已知椭圆“ ⅞÷⅛=1∙

(2)若直线y =丄x + nι交椭圆C于A(Xl川)，B^yl)两点，且3Λ1X2+4y1y2 = 0 ,试求/MOB的而

积.

20. 已知点A(-10J), B(4,7), C(-l,0), D(I9O),直线/： y = x + 3. (1) 求圆心在直线/上，且过A, B两点的圆的标准方程

(2) 若动点M满足里q = √∑,求点M的轨迹方程E、；

IMDl ^

(3) 若圆心为0的动圆与厶，耳均相切，求点。的轨迹方程.

21. 已知圆C： (Λ- + 3)2+(y + 4)2=4,直线/过定点A(-l,0). (1) 若/与圆相切，求/的方程；

(2) 若/与圆相交于PQ两点，PQ线段中点为M,又/与厶：x + 2y-2 = 0交点为N,求证：IAMl ∙∣∕W∣ 为定值• 22.已知椭圆C： ^ + * = l(d>b>0)过点p(l,∣｝离心率e = L

(1) 求椭圆C：

(I)求与方程E焦点相同，且过0 的椭圆方程

C (2) 设A, B是椭圆C上的两个动点，O是坐标原点，若OA丄OB,证明：直线/,佃与以原点为圆心的

某个左圆相切，并求这个定圆-

2020-2021学年度上学期华科附联考体期中考试 ⅛ 一些 M* 咼一毂字値卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分- 1-5： AACBB 6-8： DBC 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分•在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要求•全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. AC 10. BCD II ABD 12. BCD 二、填空题：本大题共4小题，共20分-

13. x-2y + 2 = 0 14. (0,-1) 15.①③⑤ 16. 3；F或兀； W 或迸二

三、解答题：本大题共6小题，共70分- 17. 【答案】设另外的三条边所在的直线一般方程为3x+y + Cl= 0或3y-x + C = 0,

设点G(l,0)到直线3x + y-5 = 0的距离为〃，贝IJ |3 + 0-5|_ 2 Fr-而，

点G(I,O)到另外三条边所在直线距离也为d,则_L = ILt ACl=-ι,

. 2 ∣-1 + C∣ 直线方程为3x+y-I = 0, I— = — , ∙"∙C = 3或 1. √Γδ 屁

直线方程为3y-x + 3 = O和3y-x + l = 0. 18. 【答案】(1)证明：(1)连接AC,显然平而APC与平而A.CXCA是同一个平而，由正方体的性质得AC丄BD, AA丄而ABCD,又BD在而ABCD中，∙∙∙AA丄BD,又AC交AAl于点A, :∙ BD丄平面AxPC. '：Br)U 平而 AXBD . •••平而AIPC丄平而AXBD .

(2)设正方体的棱长为1,并以D为原点，如图建立空间宜角坐标系，连接恥，

Z 1 1 则A(IQO), A(gl), B(I丄0), P -,-J

易知平而的法向S^ = (LO,0),设平而AlBP的法向量瓦=(%b,c), nλ ・ A1B = ZJ-C = O ----- 1 1 IL ・ AxB = -a——b + c = 0

取 Z? = 1 ♦得 H? =(—1,1,1)，

・・・求二而角—的余弦值为芈

19. 【答案】解：(1)由题意得：椭圆E的焦点为(-1,0)和(1、0),

M=(O 丄一1),