人教版八年级上册数学 全等三角形(篇)(Word版 含解析)
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人教版八年级上册数学 全等三角形(篇)(Word 版 含解析)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,在四边形ABCD 中,BC CD = ,对角线BD 平分ADC ∠,连接AC ,2ACB DBC ∠=∠,若4AB =,10BD =,则ABC S =_________________.
【答案】10
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ,然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ,可得CB=CA=CD ,过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠,然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ,可得CF=DE ,再根据三角形的面积公式计算即得结果.
【详解】
解:∵BC CD =,∴∠CBD =∠CDB ,
∵BD 平分ADC ∠,∴∠ADB =∠CDB ,
∴∠CBD =∠ADB ,∴AD ∥BC ,∴∠CAD =∠ACB ,
∵2ACB DBC ∠=∠,2ADC BDC ∠=∠,∠CBD =∠CDB ,
∴ACB ADC ∠=∠,∴CAD ADC ∠=∠,
∴CA=CD ,∴CB=CA=CD ,
过点C 作CE ⊥BD 于点E ,CF ⊥AB 于点F ,如图,则152
DE BD ==,12
BCF ACB ∠=∠, ∵12BDC ADC ∠=
∠,ACB ADC ∠=∠,∴BCF CDE ∠=∠, 在△BCF 和△CDE 中,∵BCF CDE ∠=∠,∠BFC =∠CED =90°,CB=CD ,
∴△BCF ≌△CDE (AAS ),∴CF=DE =5,
∴11451022
ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=. 故答案为:10.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识,涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.
2.如图所示,ABC 为等边三角形,P 是ABC 内任一点,PD AB ,PE BC ∥,PF AC ∥,若ABC 的周长为12cm ,则PD PE PF ++=____cm .
【答案】4
【解析】
【分析】
先说明四边形HBDP 是平行四边形,△AHE 和△AHE 是等边三角形,然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.
【详解】
解:∵PD AB ,PE BC ∥
∴四边形HBDP 是平行四边形
∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm
∴∠B=∠A=60°,AB=4
∵PE BC ∥
∴∠AHE=∠B=60°
∴∠AHE=∠A=60°
∴△AHE 是等边三角形
∴HE=AH
∵∠HFP=∠A=60°
∴∠HFP=∠AHE=60°
∴△AHE 是等边三角形,
∴FP=PH
∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm .
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质,掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.
3.如图,在等边ABC ∆中取点P 使得PA ,PB ,PC 的长分别为3, 4, 5,则APC APB S S ∆∆+=_________.
【答案】936 【解析】
【分析】
把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ,连接PD ,根据旋转的性质知△APD 是等边三角形,利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形,∠BPD =90︒,由△ADB ≌△APC 得S △ADB =S △APC ,则有S △APC +S △APB =S △ADB +S △APB =S △ADP +S △BPD ,根据等边3S △ADP +S △BPD =34×32+12×3×4=364
+. 【详解】
将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ,连接PD
∴AD =AP ,∠DAP =60︒,
又∵△ABC 为等边三角形,
∴∠BAC =60︒,AB =AC ,
∴∠DAB +∠BAP =∠PAC +∠BAP ,
∴∠DAB =∠PAC ,
又AB=AC,AD=AP
∴△ADB ≌△APC
∵DA =PA ,∠DAP =60︒,
∴△ADP 为等边三角形,
在△PBD
中,PB =4,PD =3,BD =PC =5,
∵32+42=52,即PD 2+PB 2=BD 2,
∴△PBD 为直角三角形,∠BPD =90︒,
∵△ADB ≌△APC ,
∴S △ADB =S △APC ,
∴S △APC +S △APB =S △ADB +S △APB =S △ADP +S △BPD =3×32+12×3×4=936+. 故答案为:936+.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定,解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解.
4.我们知道,经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线,均能把三角形分割成两个三角形
(1)如图,在ABC ∆中,25,105A ABC ∠=︒∠=︒,过B 作一直线交AC 于D ,若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则BDA ∠的度数是______.
(2)已知在ABC ∆中,AB AC =,过顶点和顶点对边上一点的直线,把ABC ∆分割成两个等腰三角形,则A ∠的最小度数为________.
【答案】130︒
1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】 (1)由题意得:DA=DB ,结合25A ∠=︒,即可得到答案;
(2)根据题意,分4种情况讨论,①当BD=AD ,CD=AD ,②当AD=BD ,AC=CD ,③AB=AC ,当AD=BD=BC ,④当AD=BD ,CD=BC ,分别求出A ∠的度数,即可得到答