八年级全等三角形检测题(Word版 含答案)
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八年级全等三角形检测题(Word版含答案)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.
-
【答案】10310
【解析】
解:连接BD,在菱形ABCD中,
∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:
①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;
②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP
-;
最小,最小值为10310
③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;
-(cm).
综上所述,PA的最小值为10310
-.
故答案为:10310
点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
2.如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将
△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为______.
【答案】2.
【解析】
【分析】
【详解】
过点D作DF⊥B′E于点F,过点B′作B′G⊥AD于点G,
∵∠B=60°,BE=BD=4,
∴△BDE是等边三角形,
∵△B′DE≌△BDE,
∴B′F=1
B′E=BE=2,DF=23,
2
∴GD=B′F=2,
∴B′G=DF=23,
∵AB=10,
∴AG=10﹣6=4,
∴AB′=27.
考点:1轴对称;2等边三角形.
3.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长
_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD ,再证明
CAI≅BAJ,求出°
7830
∠=∠=,然后求出
1
2
IF FJ AF
==,,通过设FJ x
=求出x,即可求出AF的长.
【详解】
解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J
在CAE和BAD中
AC AB
CAE BAD
AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴CAE≅BAD
∴ICA ABJ
∠=∠
∴BFE CAB
∠=∠(8字形)
∴°
120
CFD
∠=
在CAI和BAJ中
°
90
ICA ABJ
CAI BJA
CA BA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
∴CAI≅BAJ
,AI AJ CI BJ ==
∴°60CFA AFJ ∠=∠=
∴°30FAI FAE ∠=∠=
在RtAIF 和RtAJF 中
°30FAI FAE ∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-
3
2x ∴=
2AF FJ =
AF ∴=
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
4.如图,在01A BA △中,20B ∠=︒,01A B A B =,在1A B 上取点C ,延长01A A 到2A ,使得121A A AC =;在2A C 上取一点D ,延长12A A 到3A ,使得232A A A D =;…,按此做法进行下去,第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________.
【答案】11()
802n -︒⋅.
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数.
【详解】
解:∵在△A 0BA 1中,∠B=20°,A 0B=A 1B ,
∴∠BA 1 A 0= 1801802022
B ︒︒︒
-∠-= =80°, ∵A 1A 2=A 1C ,∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角,
∴∠CA 2A 1= 108022
BA A ︒
∠= =40°; 同理可得,
∠DA 3A 2=20°,∠EA 4A 3=10°,
∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()
802n -︒⋅.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA 2A 1,∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数,找出规律是解答此题的关键.
5.如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC (AB>BC )为边,在直线AC 的同侧作等边ΔABD 和等边ΔBCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN. 以下结论:
①AE=DC ,②MN//AB ,③BD ⊥AE ,④∠DPM=60°,⑤ΔBMN 是等边三角形.其中正确的是__________(把所有正确的序号都填上).
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
①由三角形ABD 与三角形BCE 都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两条边对应相等,两个角相等都为60°,利用SAS 即可得到三角形ABE 与三角形DBC 全等即可得结论; ②由①中三角形ABE 与三角形DBC 全等,利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由∠ABD=∠EBC=60°,利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°,再由EB=CB ,利用ASA 可得出三角形EMB 与三角形CNB 全等,利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB ,再由∠MBE=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN 为等边三角形;可得∠BMN=60°,进行可得∠BMN=∠ABD ,故MN//AB ,从而可判断②,⑤正确; ③无法证明PM=PN ,因此不能得到BD ⊥AE ;