一元一次方程培优提高习题精选

一元一次方程培优提高习题精选

例题1．关于x的方程ax﹣6＝2x，通过代值检验发现当a＝0时，方程的解为x＝﹣3；当a＝1时，方程的解为x＝﹣6；当a＝2时，方程无解．试讨论a与方程的解有什么关系？

解：化简方程ax﹣6＝2x，得（a﹣2）x＝6，

当a≠2时，有唯一解x＝，

当a＝2时，方程无解．

例题2．已知：（a+2b）y2﹣+5＝0是关于y的一元一次方程：

（1）求a，b的值．

（2）若x＝a是﹣+3＝的解，求丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|的值．解：（1）∵（a+2b）y2﹣+5＝0是关于y的一元一次方程，

a+2b＝0，a+2＝1，

a＝﹣3，b＝；

（2）把x＝a＝﹣3，代入，m＝26，

丨5a﹣2b丨﹣丨4b﹣2m|＝|5×（﹣3）﹣2×|﹣|4×﹣2×26|

＝18﹣46

＝﹣28．

例题3．已知m，n是有理数，单项式﹣x n y的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．

（1）分别求m，n的值．

（2）若该方程的解是x＝3，求t的值．

（3）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请直接写出整数t的值．解：（1）由题意得：n＝2，m＝﹣1；

（2）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0，

当x＝3时，3m﹣3t+n+2＝0，

∵n＝2，m＝﹣1，

∴﹣3﹣3t+2+2＝0，

t＝；

（3）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0，

∵n＝2，m＝﹣1，

∴﹣x﹣xt+4＝0，

x＝

t＝＝﹣1，

∴t≠﹣1，x≠0

∵t是整数，x是整数，

∴当x＝1时，t＝3，

当x＝4时，t＝0，

当x＝﹣1时，t＝﹣5，

当x＝﹣4时，t＝﹣2，

当x＝2时，t＝1，

当x＝﹣2时，t＝﹣3．

例题4．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．

请根据上述规定解答下列问题：

（1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；

（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．

解：（1）∵方程3x＝m是和解方程，

∴＝m+3，

解得：m＝﹣．

（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，

∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，

解得m＝﹣3，n＝﹣．

习题精练：

1．一元一次方程都可以变形为形如ax＝b（a，b为常数，且a≠0）的方程，称为一元一次方程的最简形式．

关于x的方程ax＝b（a，b为常数，且a≠0）解的讨论：

当a≠0时，是一元一次方程，有唯一解x＝；

当a＝0，且b＝0时，它有无数多个解，任意数都是它的解；

当a＝0，且b≠0时，它无解，因为任何数都不可能使等式成立．

讨论关于当x的方程（a﹣4）x＝2的解．

2．阅读下列文字后，解答问题：

我们知道，对于关于x的方程ax＝b，当a不等于0时，方程的解为x＝；当a等于0，b也等于0时，所有实数x都能使方程等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a 等于0，而b不等于0时，没有任何x能满足方程使等式成立，此时，我们说方程无解．根据上述知识，判断a，b为何值时，关于x的方程a（4x﹣2）﹣3b＝8x﹣7的解为全体实数？a，b为何值时，无解．

3．【阅读理解】如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数．例如，0.333…，写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如，0.1666…、0.0456456456…，它们可分别写作、，像这样的循环小数称为混循环小数．

【问题探究】

小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化为分数，解决方法是：设x＝，即x＝0.333…，将方程两边都×10，得10x＝3.333…，即10x＝3+0.333…，又因为x＝0.333…，所以10x＝3+x，所以9x＝3，即x＝，所以＝．

尝试解决下列各题：

（1）把化成分数为．

（2）请利用小明的方法，把纯循环小数化成分数．

【问题归纳】

循环小数中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节，例如0.333…、

0.0456456456…的循环节分别为“3”、“456”．其实，把纯循环小数化为分数时，分数的

分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；；．

请直接写出以下纯循环小数化为分数的结果：＝，＝．【问题拓展】

小丽在对混循环小数研究时发现，所有混循环小数都可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．例如：．

请把混循环小数化为分数．

4．已知关于x的方程的两个解是；

又已知关于x的方程的两个解是；

又已知关于x的方程的两个解是；

…，

小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．

关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．

（1）关于x的方程的两个解是x1＝和x2＝；

（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？

5．阅读理解：

若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m ＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，