高考文科数学专题复习导数训练题(文)
高考文科数学导数专题复习(最新整理)
考点一 导数的计算
【例 1】 求下列函数的导数：
( ) 1 1
(1)y＝exln x；(2)y＝x x2＋ ＋ ； x x3
( ) 1
1
1
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex ＝ ln x＋ ex.(2)因为 y＝x3＋1＋ ，
x
x
x2
( )1
2
所以 y′＝(x3)′＋(1)′＋ ′＝3x2－ .
【训练 2】(2017·威海质检)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直
线 l 的方程为( )A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
(2)∵点 (0， － 1)不 在 曲 线 f(x)＝ xln x 上 ， ∴设 切 点 为 (x0， y0).又 ∵f′(x)＝ 1＋ ln x， ∴
3
3
9
( )4 16a 8
1
－ ＝ － ＝0，解得 a＝ .
3 33
2
( ) ( ) ( ) ( ) 1
3
1
15
1
(2)由(1)得 g(x)＝ x3＋x2 ex 故 g′(x)＝ x2＋2x ex＋ x3＋x2 ex＝ x3＋ x2＋2x ex＝ x(x＋1)(x＋4)ex.令
2
2
2
22
2
g′(x)<0，得 x(x＋1)(x＋4)<0.解之得－1<x<0 或 x<－4.所以 g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).
xx
( ) ( ) 1
1
1
由 f′(x)＝0 有 x＝ ，当 x∈ 0， 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈ ，＋∞ 时，f′(x)>0，
高考文科数学求导练习题
高考文科数学求导练习题1. 求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 的导数。
2. 计算函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数值。
3. 确定函数 \( h(x) = \sqrt{x} \) 的导数，并解释其几何意义。
4. 求函数 \( k(x) = e^x \) 的导数，并验证其导数等于函数本身。
5. 计算函数 \( m(x) = \ln(x) \) 的导数，并讨论其在 \( x = 1 \) 处的值。
6. 求函数 \( n(x) = \sin(x) \) 的导数，并解释其在 \( x =\frac{\pi}{2} \) 处的导数值。
7. 计算函数 \( p(x) = \cos(x) \) 的导数，并讨论其在 \( x = 0 \) 处的导数值。
8. 求函数 \( q(x) = \tan(x) \) 的导数，并解释其在 \( x =\frac{\pi}{4} \) 处的导数值。
9. 计算函数 \( r(x) = \arcsin(x) \) 的导数，并讨论其在 \( x = \frac{1}{2} \) 处的导数值。
10. 求函数 \( s(x) = \arctan(x) \) 的导数，并解释其在 \( x =1 \) 处的导数值。
11. 计算函数 \( t(x) = \log_{10}(x) \) 的导数，并讨论其在\( x = 10 \) 处的导数值。
12. 求函数 \( u(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2 \) 的导数，并讨论其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
13. 计算函数 \( v(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 的导数，并讨论其在 \( x = 3 \) 处的导数值。
14. 求函数 \( w(x) = (x^2 + 1)^3 \) 的导数，并解释其几何意义。
15. 计算函数 \( x(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) 的导数，并讨论其在 \( x = 4 \) 处的导数值。
高考数学文科导数与函数训练复习专题
高考文科数学专题复习导数训练题一、考点回顾和基础知识1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义.2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用.3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.2.导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.3.求导数的四则运算法则：（为常数）0x )(x f y =x 0x x ∆y )()(00x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00)(x f y =0x x x ∆+0xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000x ∆x ∆)(x f y =A )('x f y =B A B B A ⊇''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=c*复合函数的求导法则：或4.几种常见的函数导数：I.（为常数）（）II.二、经典例题剖析考点一：求导公式 例1)(/x f 是1231)(3++=x x x f 的导函数，则=-)1(/f . 考点二：导数的几何意义例2. 已知函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是221+=x y ，则=+)1()1(/f f . 考点三：导数的几何意义的应用例3.已知曲线,23:23x x x y C +-=直线,:kx y l =且直线l 与曲线C 相切于点()(),0,000≠x y x 求直线l 的方程及切点坐标. 考点四：函数的单调性例4.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值. (1)求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间；(2)若对于任意的[],3,0∈x 都有)(x f <2c 成立，求c 的取值范围.考点五：函数的最值例5.已知a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=(1)求导数)(/x f ；(2)若,0)1(/=-f 求)(x f 在区间[]2,2-上的最值.考点六：导数的综合性问题例6. 设函数)0()(3≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图象在点())1(,1f 处的切线与直线076=--y x 垂直，导函数.12|)(min /-=x f (1)求c b a ,,的值；(2)求函数)(x f 的单调递增区间，并求函数)(x f 在[]3,1-上的最大值和最小值.例7．已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[]1,0上是增函数,在区间()()+∞∞-,1,0,上是减函数，又1322f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u )()())(('''x u f x f x ϕϕ=x u x u y y '''⋅=0'=C C x x cos )(sin '=1')(-=n n nx x R n ∈x x sin )(cos '-=x x 1)(ln '=e xx a a log 1)(log '=x x e e =')(a a a x x ln )('=例8．设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9．已知),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=在()0,∞-上是增函数,[]3,0上是减函数,方程0)(=x f 有三个实根，它们分别是.,2,βα(1)求b 的值，并求实数a 的取值范围；(2)求证：βα+≥.25三、 方法总结 （一）方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述． （二）高考预测导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题． 四、强化训练1．已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．函数32312)(x x x f -=在区间[]6,0上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．94．三次函数x ax y +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ ） A ． 0>aB ．0<aC ．1=aD ．31=a 5．在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06．已知函数,)(23c bx ax x x f +++=当1-=x 时，取得极大值7；当1-=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值．7．设函数).()(23R x cx bx x x f ∈++=已知)()()(/x f x f x g -=是奇函数. （1）求c b ,的值；（2）求)(x g 的单调区间与极值.8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 9．已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'fx 是的导函数.(I)对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；(II)设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点. 10．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．(I)求()f x 的最小值()h t ； (II)若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．11．设函数).,(4)1(3)(23R b a b ax x a x x f ∈+++-= (I)若函数)(x f 在3=x 处取得极小值,21求b a ,的值；(II)求函数)(x f 的单调递增区间； (III) 若函数)(x f 在)1,1(-上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．12．已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意R x ∈，都有)(x f ≥,x 且当)3,1(∈x 时，有)(x f ≤2)2(81+x 成立．(I)试求)2(f 的值；(II)若,0)2(=-f 求)(x f 的表达式； (III)在(II)的条件下，若[)+∞∈,0x 时，)(x f >412+x m 恒成立，求实数m 的取值范围． 13．已知函数).,(4)(,6)23(213)(223R m a m x ax x g x x a x a x f ∈-+-=++-=(I)当[]3,0,1∈=x a 时，求()f x 的最大值和最小值；(II)当a <2且0≠a 时，无论a 如何变化，关于x 的方程)()(x g x f =总有三个不同实根，求m 的取值范围．例题参考答案例1 3；例2 3；例3 ⎪⎭⎫⎝⎛--=83,23,41x y ；例4 (1) ,4,3=-=b a 增区间为()()+∞∞-,2,1,；减区间为()2,1， (2) ()()+∞-∞-,91, ；例5 (1),423)(2/--=ax x x f (2).2750)34()(,29)1()(min max -===-=f x f f x f ； 例6 (1).0,12,2=-==c b a (2) ()().28)2()(,18)3()(;,2,2,min max -====+∞-∞-f x f f x f ； 例7解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． 2()33f x ax ax '∴=-，13332422a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，(21)(1)0x x x ∴--≥，102x ∴≤≤或1x ≥． 又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102m ∴<≤． 例8解：（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=． （Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---． 令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a>，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9解：(1))(,23)(2/x f b x ax x f +-= 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，所以当0=x 时，)(x f 取得极小值，.048,0)2(.0,0)0(/=+-∴==∴=∴c a f b f又方程0)(=x f 有三 实根，023)(.02/=+-=∴≠∴b x ax x f a 的两根分别为.32,021ax x == 又)(x f 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，)(/x f ∴>0在()0,∞-上恒成立，)(/x f <0在[]3,0上恒成立．由二次函数的性质知，a >0且a 32≥0,3∴<a ≤.92 故实数a 的取值范围为.92,0⎥⎦⎤⎝⎛ (2) βα,2, 是方程0)(=x f 的三个实根，则可设.2)22()2())(2)(()(23αβαββαβαβαa x a x a ax x x x a x f -+++++-=---= 又),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=有,21,1)2(-=+∴=++aa βαβα 0 <a ≤∴,92βα+≥.25强化训练答案： ADAAD6．解：b ax x x f ++=23)(2/.据题意，－1，3是方程0232=++b ax x 的两个根，由韦达定理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a∴c x x x x f b a +--=∴-=-=93)(,9,323，2,7)1(=∴=-c f ∴极小值25239333)3(23-=+⨯-⨯-=f 7．解：（1）∵()32f x x bx cx=++，∴()232f x x bx c'=++。
文科数学导数专题训练兼历年真题
高考文科数学专题复习导数训练题（文）1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 3、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x s i n )(c o s'-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 4、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 5、会用导数求单调区间、极值、最值6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．1.导数与单调性： 导数及其应用1) 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件； 2)利用导数判断函数单调性的步骤：①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。
高考数学经典题++导数文科(含答案!!)
高中数学经典一轮复习质检题（导数部分）一、选择题：（每小题5分，计50分）1.函数,已知在时取得极值,则=( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2．设，若，则（）A.B.C.D.3．函数是减函数的区间为（）A．B．C．D．（0，2）4.设函数则（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数5．已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时（）A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<06.设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )A．1 B．C．D．7．在区间上的最大值是（）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)48．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（）9．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）（A）(，) （B）(，2) （C）(，) （D）(2，3)10.设是函数f(x)的导函数，y=的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（）二、填空题：(每小题5分,计20分)11.曲线在点(1，一3)处的切线方程是________________.12.曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为 .13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_____________;14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4）（2，0），（6，4），则f(f(0))= ____ ; 函数f(x)在x=1处的导数f′（1）= ______15.曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是_________;三、解答题：(16,17,18,,19,小题各12分, 20题13分，21题14分)16.已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a.（I）求f(x)的单调递减区间；（）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．17.设函数，已知是奇函数。
全国高考卷文科导数专题汇编(带答案)
导 数 专 题题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________.2. (2015全国I 文14)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则a = .3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .4.(2009，全国卷1) 已知函数42()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。
【解】（1）366'()464()f x x x x x x =-=- 当6(,)2x ∈-∞-和6(0,2x ∈时，'()0f x <； 当6(x ∈和6()x ∈+∞时，'()0f x > 因此，()f x 在区间6(,2-∞-和6(0,2是减函数， ()f x 在区间6(2-和6)+∞是增函数。
（Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =，即 4230000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 2200(1)(2)0x x +-=解得 02x =- 或 02x =因此切线l 的方程为 22y x =- 或 22y x =。
题型2 判断函数的单调性、极值与最值5.（2013全国II 文11）.已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ∃∈，0()0f x =B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D. 若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =6.（2013全国I 文20）已知函数()()2e 4x f x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为44y x =+. （1）求a b ，的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.7（2013全国II 文21）已知函数2()e xf x x -=. （1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围. 【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝－e －xx(x －2)．① 当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x)＜0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2. (2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为y ＝f ′(t)(x －t)＋f(t)．所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令h(x)＝2x x+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[22，＋∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[223+，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[223+，＋∞)． 8. (2015全国II 文21)已知函数()()=ln +1f x x a x -.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.题型3 函数零点和图像交点个数问题9.（2011全国文10）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）. A.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭10.（2011全国文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）.A.10个B.9个C.8个D.1个11. (2014全国I 文12)已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (1,)+∞C. (,2)-∞-D. (,1)-∞-12. （2014新课标Ⅱ文21）已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）求证：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.【解】（1）1,200-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=a a f k B x A af a x x x f ax x x x f AB 所以即则轴交点为，切线与设切点， （2）仅有一个交点与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(122322322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k xx x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<题型4 不等式恒成立与存在性问题13. (2010，全国卷1) 已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ （I ）当16a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 【解】（Ⅰ）()()()241331f x x ax ax '=-+- 当16a =时，()22(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值.所以(2)12f -=-是()f x 的极小值.14.（2012全国文21）设函数()f x 满足()e 2xf x ax =--. （1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.【解】（I ）函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f′（x ）=e x ﹣a ，若a≤0，则f′（x ）=e x ﹣a≥0，所以函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）=e x ﹣a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增． （II ）由于a=1，所以，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1=（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x+1故当x ＞0时，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0等价于k ＜（x ＞0）①令g （x ）=，则g′（x ）=由（I ）知，函数h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x ∈（0，α）时，g′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g′（x ）＞0；所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g′（α）=0，可得e α=α+2所以g （α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2.15.（2013全国II 文12）.若存在正数x 使2()1xx a -<成立，则a 的取值范围是（ ） .A.(,)-∞+∞B.(2,)-+∞C.(0,)+∞D.(1,)-+∞ 16. （2014新课标Ⅰ文21）设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-()1a ≠，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为0.（1）求b ；（2）若存在01x ≥，使得()01af x a <-，求a 的取值范围.17. （2014新课标Ⅱ文11）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞题型5 利用导数证明不等式18.（2011全国文21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解】（Ⅰ）221(ln )()(1)x a x b x f x x x +-'=-+，由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=x x x 11ln ++，所以)1ln 2(111ln )(22xx x x x x f x ---=--，考虑函数，则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='，所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得ln ()1x f x x >-，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得ln ()1x f x x >-，从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.19.（2015，全国卷1）设函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+. 【解】（I ）()f x 的定义域为0+，，2()=20xaf x e x x. 当0a时,()0f x ，()f x 没有零点； 当0a 时，因为2x e 单调递增，ax单调递增，所以()f x 在0+，单调递增.又()0f a ,当b满足04a b且14b 时，(b)0f ,故当0a 时，()f x 存在唯一零点.题型6 导数在实际问题中的应用。
高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案
高考文科数学题型复习《导数与函数的单调性》真题汇总含答案1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为( )．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -【答案】C解析：依题可知，()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立，显然0a >，所以1e x x a≥， 设()()e ,1,2xg x x x =∈，所以()()1e 0xg x x =+>'，所以()g x 在()1,2上单调递增，()()1e g x g >=，故1e a ≥，即11e ea -≥=，即a 的最小值为1e -． 故选：C ．2．(2014高考数学课标2文科·第11题)若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是 ( ) A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】D解析：∵函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴1()0f x k x '=-≥恒成立。
∴1k x≥恒成立，∵(1,)x ∈+∞，∴[1,)k ∈+∞。
∴选D 。
3．(2015高考数学陕西文科·第9题)设()sin f x x x =-，则()f x =( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 【答案】B解析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数； ()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数． 故答案选B4．(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析一】()21cos2cos 03f x x a x '=-+对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立，即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立 构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值， 故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得1133a-．故选C ． 【解析二】用特殊值法：取1a =-，()1sin 2sin 3f x x x x =--，()21cos2cos 3f x x x '=-- 但()22011033f '=--=-<，不具备在(),-∞+∞单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．。
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高考文科数学专题复习导数训练题（文） 1
考点一：求导公式。
例1. ()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是 。 解析：2'2xxf，所以3211'f 答案：3 考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 。 解析：因为21k，所以211'f，由切线过点(1(1))Mf，，可得点M的纵坐标为25，所以251f， 所以31'1ff 答案：3 例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 。 解析：443'2xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的切线方程为：025yx 考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点00,yx00x，求直线l的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则0000xxyk。由点00,yx在曲线C上，则02030023xxxy， 2302000xxx
y
。又263'2xxy， 在00,yx处曲线C的切线斜率为263'0200xxxfk
， 26323020020xxxx，整理得：03200xx，解得：2
30x
或00x（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23。 考点四：函数的单调性。
例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。 解析：函数xf的导数为163'2xaxxf。对于Rx都有0'xf时，xf为减函数。由
Rxxax01632
可得012360aa，解得3a。所以，当3a时，函数xf对Rx为减
函数。
当3a时，98313133323xxxxxf。 由函数3xy在R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。 当3a时，函数xf在R上存在增区间。所以，当3a时，函数xf在R上不是单调递减函数。 综合（1）（2）（3）可知3a。 答案：3a 考点五：函数的极值。
例6. 设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。 （1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围。 解析：（1）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，
．，解得3a，4b。
（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx。 当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx。所以，当1x时，()fx取高考文科数学专题复习导数训练题（文） 2
得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc。则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc。因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立， 所以 298cc，解得 1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，。 答案：（1）3a，4b；（2）(1)(9)，，。 考点六：函数的最值。
例7. 已知a为实数，axxxf42。求导数xf'；（2）若01'f，求xf在区间2,2上的最大值和最小值。
解析：（1）axaxxxf4423， 423'2axxxf。
（2）04231'af，21a。14343'2xxxxxf 令0'xf，即0143xx，解得1x或34x， 则xf和xf'在区间2,2上随x的变化情况如下表：
x 2 1,2 1 34,1 34 2,34 2
xf' ＋ 0 — 0 ＋
xf 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0
291f，275034f。所以，xf在区间2,2上的最大值为275034f，最小值为2
9
1f
。
答案：（1）423'2axxxf；（2）最大值为275034f，最小值为291f。 考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12。（1）求a，b，c的值； （2）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值。 解析： （1）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx，即33axbxcaxbxc
∴0c，∵2'()3fxaxb的最小值为12，∴12b，又直线670xy的斜率为16，因此，'(1)36fab，∴2a，12b，0c．
（2）3()212fxxx。 2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下： x (,2) 2 (2,2) 2 (2,)
'()fx 0 0
()fx 增函数 极大 减函数 极小 增函数
所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)，∵(1)10f，(2)82f，(3)18f，∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。 答案：（1）2a，12b，0c；（2）最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。 4 强化训练 一、选择题
1. 已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A．1 B．2 C．3 D．4
2. 曲线1323xxy在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ） A．43xy B．23xy C．34xy D．54xy 高考文科数学专题复习导数训练题（文） 3
3. 函数)1()1(2xxy在1x处的导数等于 （ D ） A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在的解析式可能为 （ A ） A．)1(3)1()(2xxxf B．)1(2)(xxf C．2)1(2)(xxf D．1)(xxf 5. 函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（ D ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5
6. 函数32()31fxxx是减函数的区间为( D ) （Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2) 7. 若函数cbxxxf2的图象的顶点在第四象限，则函数xf'的图象是（ A ）
8. 函数231()23fxxx在区间[0,6]上的最大值是（ A ） A．323 B．163 C．12 D．9 9. 函数xxy33的极大值为m，极小值为n，则nm为 （ A ） A．0 B．1 C．2 D．4
10. 三次函数xaxxf3在,x内是增函数，则 （ A ）
A． 0a B．0a C．1a D．31a 11. 在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A．3 B．2 C．1 D．0
12. 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 二、填空题
13. 曲线3xy在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为__________。
14. 已知曲线31433yx，则过点(2,4)P“改为在点(2,4)P”的切线方程是______________ 15. 已知()()nfx是对函数()fx连续进行n次求导，若65()fxxx，对于任意xR，都有()()nfx=0，则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨． 三、解答题
17. 已知函数cbxaxxxf23，当1x时，取得极大值7；当3x时，取得极小值．求这个极小值及cba,,的值． 解：baxxxf23'2。 据题意，－1，3是方程0232baxx的两个根，由韦达定理得
3313231ba
∴9,3ba ∴cxxxxf9323 ∵71f，∴2c 极小值25239333323f ∴极小值为－25，9,3ba，2c。