第五章机械振动.ppt
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第5章 机械振动
dt 2
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0
x0＝Acos0
－
v0
＝Asin0
注意：
A＝
x02
(
v0
)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0
x0＝Acos0
－
v0
＝Asin0
注意：
A＝
x02
(
v0
)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
振动控制PPT课件
❖ 当f/f0=1时，动态放大系数D和传递系数T 最大，T=1。但在这个区域内发生共振现象， 隔振系统不但没有起到隔振作用反而放大了 振动的干扰，受隔振器阻尼系数Rm与系统临 界阻尼系数Rc之比的影响显著，如果在这个 区域内增加阻尼系数，可以大幅度降低隔振 器的动态放大系数和力的传递率。因此，共 振频率f0附近的范围被称为阻尼控制区。
F kx
k是弹簧的弹性系数，负号表示 力与位移的方向相反。
❖ 又由牛顿第二定律F＝ma（a为质量块的加 速度）代入上式得到如下运动方程：
m
d2x dt 2
kx
0
设t=0, x=x0，求解这个方程，则得
x x0 cosnt
ωn—系统的固有角频率 n k m
❖ 质量块的位移随时间作正弦规律的运动， 这种随时间作正弦或余弦规律的运动一般称 为简谐运动。
f0
f0 Rc
传递系数与频率比的关系曲线
❖ 描述隔振效果的另一个重要物理量是在一 个交变外力作用下的机器振幅，与同样大小 的静态外力作用下的机器静态下沉重之比值， 该比值称为放大系数
D
Ym F0
k
1
[1 ( f )2 ]2 4(( f )2 ( Rm )2
f0
f0 Rc
隔振系统的放大系数D与f/f0和Rm/Rc的值有关。
5.2.1 设备和房屋的振动
❖ 当建筑物外有车辆驶过时，地面振动可 以通过土壤和基础传给房屋结构而产生振动， 在适当的频率和振幅下还会以噪声形式出现。 当室内设备振动频率与结构的固有振动频率 吻合时，后者引起共振，它的振幅有时可使 玻璃、金属薄片出现叮当声。
❖ 室内的一些机械振动引起的噪声和一般空 气中噪声不同，它在建筑物内部能传输很远 距离，而衰减非常小。整个建筑物在风的作 用下也可能产生低频振动。
高中物理机械振动和机械波PPT课件
2
练习2：
有两个简谐运动：
x1
3a sin(4bt
4
)和x2
9a sin(8bt
)
2
它们的振幅之比是多少？它们的周期各是
多少 ？t =0时它们的相位差是多少？
五、简谐运动的几何描述—参考圆
匀速圆周运动在x轴上的投影为简谐运动。
五、简谐运动的几何描述—参考圆
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
t 1 t 2 1 2
同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同。
反相：频率相同、相差为π 的两个振子 振动步调完全相反。
练习1：
下图是甲乙两弹簧振子的 x – t 图象，两
振动振幅之比为_2__∶___1，频率之比为_1_∶___1 ，
甲和乙的相差为_____ 。
实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约 1 米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．
实验步骤
(1)用细线和金属小一个球制作单摆。 (2)把单摆固定悬挂在铁架台上，让摆球自然下垂，在单摆平衡位 置处作上标记。 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度 l′，用游标卡尺测出摆球的直径， 即得出金属小球半径 r，计算出摆长 l＝l′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5°)，然后放 开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成 30～ 50 次全振动所用的时间 t，计算出金属小球完成一次全振动所用时 间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T＝Nt (N 为全振动的次数).
解析 作一条过原点的与 AB 线平行的直线，所作的直线就是准确测
量摆长时所对应的图线．过横轴上某一点作一条平行纵轴的直线，则 和两条图线的交点不同，与准确测量摆长时的图线的交点对应的摆长
练习2：
有两个简谐运动：
x1
3a sin(4bt
4
)和x2
9a sin(8bt
)
2
它们的振幅之比是多少？它们的周期各是
多少 ？t =0时它们的相位差是多少？
五、简谐运动的几何描述—参考圆
匀速圆周运动在x轴上的投影为简谐运动。
五、简谐运动的几何描述—参考圆
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
t 1 t 2 1 2
同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同。
反相：频率相同、相差为π 的两个振子 振动步调完全相反。
练习1：
下图是甲乙两弹簧振子的 x – t 图象，两
振动振幅之比为_2__∶___1，频率之比为_1_∶___1 ，
甲和乙的相差为_____ 。
实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约 1 米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．
实验步骤
(1)用细线和金属小一个球制作单摆。 (2)把单摆固定悬挂在铁架台上，让摆球自然下垂，在单摆平衡位 置处作上标记。 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度 l′，用游标卡尺测出摆球的直径， 即得出金属小球半径 r，计算出摆长 l＝l′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5°)，然后放 开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成 30～ 50 次全振动所用的时间 t，计算出金属小球完成一次全振动所用时 间，这个时间就是单摆的振动周期，即 T＝Nt (N 为全振动的次数).
解析 作一条过原点的与 AB 线平行的直线，所作的直线就是准确测
量摆长时所对应的图线．过横轴上某一点作一条平行纵轴的直线，则 和两条图线的交点不同，与准确测量摆长时的图线的交点对应的摆长
大学物理机械振动课件
03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用，使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移，振幅逐渐减小， 频率逐渐降低，直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中，系统受到的阻力 称为阻尼力，它与振动速度成正比， 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程，形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`，其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料，提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功，系统动能增加；阻尼 使系统能量耗散，系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中，外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅，避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义：在外来周期性力的持 续作用下，物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化，来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt
例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945
第五章 机械振动
cos 2 (t
0)
3、总能
E
Ek
EP
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
1 2
mv
2 max
4、动能和势能在一个周期内的平均值
cos 2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 1 cos 2
2
32
在一个周期 T 内的平均动能
Ek
1 T
T 0
1 2
kA 2
sin 2
(t
0
)dt
1
T
A A; B A; C 3 A; D 2 A
4
2
2
2
解： 1 mv 2 1 kx 2 1 kA2
2
2
2
而题知 1 mv 2 1 kx 2
2
2
1 kx 2 1 1 kA2
2
22
于是 x 2 A,即应选D
2
34
例： 一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振
动，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势
3过阻尼541弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程ptdtdt452受迫振动ptdtdt不讨论随机外力cospt只讨论谐和策动力f周期性外力用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作恒力作用552方程的解及其物理意义由微分方程理论上述方程的解为1自由振动的能量是外界一次性输入减幅振动有能量损耗有阻尼等幅振动能量守恒无阻尼2受迫振动过程中外界在不断地向振动系统补充能量的稳定受迫振动是由谐和策动力所维持也就不存在了与初始条件相关的a当其衰减完毕时的固有项就是由初始能量所维持563稳定的受迫振动说明此时振动方程的位相与初始条件无关其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差
《机械振动教学》课件
质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
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zjupgw@
(3) 当x = -0.06m时，设时刻为t1,
cos( t1 3) 1 2, t1 3 (2 3, 2 3)
因该时刻速度为负，应舍去 -2π/3 t1 3 2 3, t1 1s
设物体在t2时刻又第一次回到平衡位置，相位是3π /2 t2 3 3 2, t2 1.83 s
x1 A1 cos(t 10 )
A
x2 A2 cos(t 20 )
合位移： x x1 x2 A cos( t 0 )
2 A12 A2 2 A1 A2 cos(20 10 )
A1 sin 10 A2 sin 20 tg A1 cos 10 A2 cos 20
简谐振动的特征及其表达式
zjupgw@
振动方程(位移)： x A cos( t 0 )
待定常数： A，0
运动学特征
运动学特征还包括:
周期性：
dx 速度： v A sin( t 0 ) dt d2 x 加速度： a 2 2 A cos( t 0 ) dt
在任一时刻离开坐标原点位移为：
s
2 A12 A2 cos( t )
(2)
2010, 两个运动分量反相位，
A2 y x A1
相互垂直的简谐振动的合成
zjupgw@
几种特殊情况：
x y 2 1 (3) 2010/2，得 2 A1 A2
这是坐标轴为主轴的椭圆，质 点的轨迹是顺时针旋转。
zjupgw@
第二篇 机械振动和机械波
概述:
一种典型的周期运动； 振动与波涉及到物理学的各个领域，是 一种重要的物质运动形式； 力学中有机械振动与机械波，电学中有 电磁振荡和电磁波, ••• •••。
第五章 机械振动
zjupgw@
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位 移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
(2k 1) 时,两个振动反相； 0 时,称第二个振动超前第一个振动 ； 0 时,称第二个振动落后第一个振动
理解教材 P89,图5.2
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
zjupgw@
讨论II: 已知振动方程：x A cos( t 0 )，
问该方程与它的速度、加速度的相位关系?
相位差：
x2 A2 cos( t 20 )
( t 20 ) ( t 10 ) 20 10
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
zjupgw@
讨论I:
(a)当 (b)当 (c)当 (d)当
2k 时,
两个振动同相；
§5-1
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
X
O动的特征及其表达式
zjupgw@
弹簧振子：
简谐振动的特征及其表达式
zjupgw@
回复力：
F kx
F k a x m m
动力学特征:
k 设： m
2
dx a 2 2 x dt
2
d2 x 2 x 0 二阶常微分方程: 2 dt
M mgl sin mgl
d M mgl g 2 2 dt J ml l
2
l
T
gm
O
令： g l ， T 2 2 l g
2
d 2 0 m cos( t 0 ) 2 dt
2
zjupgw@
x 0.12cos(0.5 3)m 0.104 m v 0.12 sin(0.5 3)m s 1 0.18 m s 1 a 0.12 2 cos(0.5 3)m s 2 1.03 m s 2
简谐振动的矢量图示法
因此从 x = -0.06m处后又一次回到平衡位置的间隔 t t2 t1 0.83 s 另解：从 t1时刻到t2时刻所对应的相差为：
3 2 2 3 5 6
t 0.83s
zjupgw@
4.几种常见的简谐振动
(1) 单摆 请看演示 重物所受合外力矩：
上述结果对任一谐振系统均成立。
简谐振动的能量
zjupgw@
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
EP
E 1 2 kA 2
O
Ek
t
x
O
x A cos t
t
§5-3 同方向的简谐振动的合成
zjupgw@
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
x0 A cos 0 , v0 A sin 0 ,
A x02 (v0 / )2 v0 0 arctg( ) x0 问题： 在 - ~+ 间，一个 x值对于两个0 值, 如何确定之？
答： 可以通过 v0 A sin 0 来确定取舍: v0 0, 0 ( ,0); v0 0, 0 (0, )
zjupgw@
2.振幅、周期、频率和相位
(1)振幅:
2 A x0 (v0 / )2
由初始条件确定
(2)周期和频率
周期：
x A cos( t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ] T 2 T 2
频率：单位时间内物体所作完整运动的次数。
dx v ?, dt dv d 2 x a 2 ? dt dt
v A sin( t 0 ) vm cos( t 0 / 2)
a 2 A cos( t 0 ) =am cos( t 0 )
速度的相位比位移的相位超前 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 。
当 t t0 k
2
时， x x0 , v v0 , a a0
简谐振动的特征及其表达式
zjupgw@
4
位移、速度、加速度与时间的关系:
x
请看振动演示
2
t
v
t
a
t
简谐振动的特征及其表达式
zjupgw@
常量 A 和 0 的确定： x A cos( t 0 ) 由初始条件： t 0时，有： x x0 , v v0
zjupgw@
讨论：
(1) 当 20102k (k=0 及 正负整数)，cos(20-10)=1, 有
A1
A2
X
AMax A1 A2
O
A1
同相迭加，合振幅最大。 (2)当 2010(2k+1) (k=0及 正负整数), cos(20-10)= -1, 有
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
zjupgw@
同方向同频率的两个简谐振动的合成
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旋转矢量图示法
A2
A A1 A2
20
A1
O
x1
10
X
x
x2
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
Amin A1 A2
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
X
O
A2
(3) 通常情况下，合振幅介于 AMax和Amin 之间.
§5-4 相互垂直的简谐振动的合成
x A1 cos(t 10 ) y A2 cos(t 20 )
消时间参数，得
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相位之差为 ( t 2 ) ( t 1 ) 2 1
简谐振动的矢量图示法
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例5-1 一物体沿X轴作简谐振动，振幅A=0.12m, 周期T=2s。当 t=0时, 物体的位移x=0.06m, 且向X轴正向运动。 求: (1) 简谐振动表达式; (2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度; (3) 当物体从x=－0.06m向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置 所需时间。
0.12cos 0 0.06
简谐振动的矢量图示法
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(2) 由简谐振动表达式可计算得到: dx v 0.12 sin( t 3) (m s 1 ) dt dv a 0.12 2 cos( t 3) (m s 2 ) dt 代入：t =T/4=0.5 s 可得
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3. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 A 在纸平面
内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角 频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度 A 旋转的角速度
振幅A
O
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ω
A
x A cos 2 t 0
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
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(3)相位和初相位
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
初相位
0 ：t=0 时的相位。
相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动：
x1 A1 cos( t 10 )
1 T 2 ～单位时间内转动的圈数
角频率：
2 T 2 ～单位时间内转动的角度
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
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对于弹簧振子，因有
2
k m，得:
k m
m 1 T 2 , 1/ T k 2
2 x A cos t 0 T
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x2 y2 x y 2 2 cos(20 10 ) sin 2 (20 10 ) A12 A2 A1 A2