高考数学基础与考点过关 第一章 集合与常用逻辑用语

基础与考点过关 第一章 集合与常用逻辑用语

第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～3页)

了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素. ④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．

1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为______________． 答案：{1，2} 解析：∵ x2－3x＋2＝0，∴ x＝1或x＝2.故集合为{1，2}． 2. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是______________． 答案：0和1 解析：由 x2＝x可解得x＝0或x＝1. 3. (必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是__________． 答案：7 解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴ 真子集有7个． 4. (必修1P10练习6改编)设A＝{x|2是____________． 答案：[3，＋∞) 解析：A＝{x|25. (必修1P10习题5改编)A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为____________． 答案：0或1 解析：当k＝0时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k＝0，解得k＝1，此时，集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k＝0或k＝1.

1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素． (1) 若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A. (2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、 无序性． 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． (4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形． (5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．

2. 两类关系 (1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”． ② 真包含关系：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．

③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等． (3) 简单关系 ① A⊆A； ② ∅⊆A； ③ 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C； ④ 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1

个，非空真子集有0，n＝0，2n－2，n≥1个． [备课札记] 1 集合的基本概念 1 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1.若－3∈A，试求实数a的值． 解：∵ －3∈A，∴ －3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 变式训练 已知集合A中有且仅有三个数1，0，a，若a2∈A，求a的值． 解：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴ a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a＝－1. 2 集合间的基本关系

2 已知A＝{－1，1}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}≠∅.若B⊆A，求实数a，b的值． 解：∵ B⊆A，A＝{－1，1}，B≠∅，∴ B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}．若B＝{－1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b＝0，此时a＝－2，b＝1.若B＝{1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且12－a×1＋b＝0，此时a＝2，b＝1.若B＝{－1，1}，则方程x2－ax

＋b＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b＝0，12－a×1＋b＝0，此时a

＝0，b＝－1.综上所述，当a＝－2，b＝1或a＝2，b＝1或a＝0，b＝－1时，B⊆A. , 3) 已知集合M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a为非零常数)．若M＝N，求q的值．

解：由题意，若a＋d＝aq，a＋2d＝aq2，则a(q－1)2＝0，q＝1(a≠0)．然而q＝1与集合中元素的

互异性矛盾，所以a＋d＝aq2，a＋2d＝aq⇒a(q－1)(2q＋1)＝0.因为a≠0，q≠1，所以q＝－12.故所求q的值为－12. 变式训练 已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求m的取值范围． 解：当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A，即m<2；当m＋1＝2m－1，即

m＝2时，B＝{3}，满足B⊆A，即m＝2；当m＋1<2m－1，即m>2时，由B⊆A，得

m＋1≥－2，

2m－1≤5，即2备选变式（教师专享） 一个含有三个实数的集合可表示为a，1，ba，也可表示为{a＋b，0，a2}，则a2 018＋b2 018＝________． 答案：1 解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，并且集合还需满足确定性、互异性、无序

性，所以ba＝0，得b＝0，此时{a，1，0}＝{a，0，a2}，即a2＝1，a≠1，故a＝－1，所以a2 018＋b2 018＝1. , 3 根据集合的关系求参数的取值范围) , 4) 已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：B⊆A可分为BA和B＝A两种情况，易知A＝{0，－4}． (1) 当A＝B＝{0，－4}时，∵ 0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，

∴ 16－8（a＋1）＋a2－1＝0，a2－1＝0， ∴ a＝1. (2) 当BA时，有B≠∅或B＝∅. ① 当B≠∅时，B＝{0}或B＝{－4}，∴ 方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴ Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，∴ a＝－1，∴ B＝{0}满足条件． ② 当B＝∅时，Δ<0，∴ a<－1. 综上，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1. 变式训练 已知集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C⊆B，求正数a的取值范围． 解：B＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0

即a≥12，即12≤a≤2；当a>2时，C＝{x|0≤x≤a2}，而C⊆B，则2a＋3≥a2，即 2

上，得 12≤a≤3. 备选变式（教师专享） 设集合A＝{1，2，3，„，10}，求集合A的所有非空子集元素的和． 解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，„，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋„＋10)×29＝28 160.

1. (2018·溧阳中学周练)已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个． 答案：6 解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，这样的集合共有6个． 2. 已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________________________________________________________________________． 答案：2 解析：直接解方程组可得两组解，即A∩B的元素个数为2.

3. 若x∈A，则1x∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝－1，0，12，2，3的所