河南宏力学校高三数学理科冲刺练习题(1)及参考答案

河南宏力学校高三数学理科冲刺练习题（1）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合{}|24x A x =≤，集合 {}|lg(1)B x y x ==-，则 A B 等于A ． (1,2)B ． (1,2]C ． [1,2)D ． [1,2]2．下面是关于复数iz -=12的四个命题:1p :2z =，2:p 22z i =，3:p z 的共轭复数为i +-1，4:p z 的虚部为1，其中真命题为 A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p3．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”；③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；④命题“,ln 0x R x x +∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x +∃∈-≤”．其中正确结论的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是 A ．24π+ B ． 20π+ C ． 224π+ D ．220π+（第4题） （第5题）5．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i 的结果为 A ．7 B ．9 C ．10 D ．116．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是 A ．[]2,1- B ．[]1,2- C ．[]3,2D ．[]3,1-7．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减 C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减8．定义：在数列{}n a 中，若满足d a aa a nn n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=20132015a aA ．2420151⨯-B ．2420141⨯-C ．2420131⨯-D ．242013⨯9．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间(),a b 上0)(<''x f 恒成立，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”；已知234236121)(x x m x x f --=在()1,3上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是 A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9 C ．)2,(--∞ D ．),2[+∞10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。

已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有A ．80 种B ．70 种C ．40 种D ．10种11．已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3231，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，C ．⎪⎭⎫⎝⎛132， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，， 12. 已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数 , 则()+-2c a ()2d b -的最小值为A ．8B ．10C ．12D ．18 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知向量a r＝(1，3)，b r＝(3，m )．若向量b r在a r方向上的投影为3，则实数m ＝14.已知dx x a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ03sin 2，则二项式52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 的系数为15．对于集合021},,,{a a a a n 和常数 ，定义：021********},,,{)(sin )(sin )(sin a a a a na a a a a a n n 相对为集合 -++-+-=ω 的“正弦方差”，则集合0}67,65,2{a 相对πππ的“正弦方差”为 。

16．已知动点P 在棱长为1的正方体ABCD 1111A B C D -的表面上运动，且(0PA r r =<<，记点P的轨迹长度为()f r .给出以下四个命题：①3(1)2f π=； ②f =； ③f =；④函数()f r 在(0,1)上是增函数，()f r 在上是减函数。

其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足b 2＋c 2＝bc ＋a 2.（1）求角A 的大小；（2）等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos A ＝1，且a 2，a 4， a 8成等比数列，求{4a n a n ＋1}的前n 项和S n .18.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。

对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表:（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P ，那么根据临界值表最精确的P 的值应为多少？请说明理由。

附：独立性检验统计量K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-, 其中n a b c d =+++，独立性检验临界表：19．（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为︒60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求二面角A BC E --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为M ，N ，|MN |＝423． （1）求抛物线E 的方程；（2）设A 、B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且94OA OB ⋅=（其中 O 为坐标原点）． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G 、D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值．21．（本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点． （1）求常数b 的值；（2）当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对于任意的正整数n ，不等式11111+⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn e n 恒成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E ． （1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅（2）求AD AE ⋅的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．河南宏力学校高三数学理科冲刺练习题（1）参考答案1---5 BCBAB 6---10ADCDC 11-12 DA 13．3 ； 14. -80； 15.21； 16. ①④17.解：(1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∴cos A ＝12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝π3. … 5分(2)设{a n }的公差为d ， 由已知得a 1＝1cos A＝2，且a 24＝a 2·a 8. ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )( a 1＋7d )． 又d 不为零，∴d ＝2. …………… 9分 ∴a n ＝2n . …………… 10分∴4a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. …………… 11 ∴S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.…………… 12分18. 解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘。

……………………2分………………………6分 所以3421131452211014250=⨯⨯+⨯+⨯=ξE ……………………8分 （2）=2K ()03.3331007525455510301545100))()()(()(22≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-d b c a d c b a bc ad n …………10分因为840.303.3706.2<<,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为10.0………………………………12分19. 解：（1）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接DO BO ,，则AC BO ⊥，AC DO ⊥，……………………2分又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么DO EF //，根据题意，点F 落在BO 上，∴︒=∠60EBF ，易求得3==DO EF ，…………4分∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE //，∴//DE 平面ABC ……6分 （2）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，∵EF ⊥平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角．…………9分EFG Rt ∆中，2130sin =︒⋅=FB FG ，3=EF ，213=EG ．∴1313cos ==∠EG FG EGF ．即二面角A BC E --的余弦值为1313.………12分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，可知平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =则，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022BE n BC n 可求得)1,3,3(2-=n ．………9分所以1313||||,cos 2121=⋅>=<n n n n n n ，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角A BC E --的余弦值为1313．……12分 20.解：（1）由已知得K (－p2，0)，C (2，0)．设MN 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|MR |＝223．由94OA OB ⋅=得：2121212()918164y y y y y y +=⇒=-或122y y =（舍去）， 即94182t t -=-⇒=，所以直线AB 过定点9(,0)2Q ；…………………7分(ⅱ)由(，=，令221(2)m mμμ+=≥，则S =μ的增函数， 故min88S =.当且仅当1m =±时取到最小值88 …………………12分21. 解：(1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. ……………2分(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+，22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++. ① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =；②当31-≥a 时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =；③当3121-<<-a 时，令aa m 12+-=，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减， 即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-. ……………8分(3) 对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式()⎪⎭⎫⎝⎛++<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n 11ln 1111ln 恒成立. 并且继续作如下等价变形 ()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛++<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n n n n n 11ln 11111ln 11ln 1111ln()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔q nn n p n n 0111ln 110111ln对于()p 相当于（2）中0=a ，情形，有()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.取1x n =，得：对于任意正整数n 都有0111ln <-⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 成立；对于()q 相当于（2）中1-=a 情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =.取1x n =，得：对于任意正整数n 都有0111ln 11>-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn n 成立.因此对于任意正整数n ，不等式11111+⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n e n 恒成立 ……………12分ADB ACE ∆∆∽，则ACADAE AB =， ∴AD AE AB AC 360⋅=⋅==. ------ ------10分23．解：圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θρθρsin ,cos ==y x 所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2= ………… 5分设),(11θρP ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得3,111πθρ== 设),(22θρQ ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得3,322πθρ==，所以2||=PQ ………10分 24.解：（1）当x < -2时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+， ()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-；当122x -≤≤时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--，()0f x >，即310x -->，解得13x <-，又122x -≤≤，∴123x -≤<-；当12x >时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-，()0f x >，即30x ->，解得3x >，又12x >，∴3x >. ……3分综上，不等式()0f x >的解集为1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. ……5分（2）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩∴min 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ……8分∵0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，∴2min 542()2m m f x ->=-，则汉室之隆，可计日而待也。