任意角的三角函数
任意角的三角函数
任意角的三角函数1．三角函数定义设点P (x ,y )是锐角α终边上的任意一点，,点P 到原点O 的距离是r （022≠+=y x r ）那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；2．三角函数的符号①正弦值yr 上正下负②余弦值xr 左正右负③正切值yx若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
3．三角函数线：三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示1．单位圆： 2．有向线段：有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATATα====．例1. 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。
例2. 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线并比较下列各组数的大小：（1）3π （2）56π （3）23π-例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角1︒ sin α≥21 2︒ tan α>33例4. 解不等式（1）1sin 2x <-； （2）1cos 2x >；4. 同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααααtan cos sin =例4 已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．例5．已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα例6. 化简：440sin 12-例7. 求证：（1）1sin 2cos sin 244-=-ααα （2）αααα2222sin tan sin tan ⋅=- （3）ααααcos sin 1sin 1cos +=-。
高中数学《任意角三角函数的定义》课件
二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
任意角的三角函数诱导公式
任意角的三角函数、诱导公式[基础归纳]1．设α是一个任意角，它的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆的交点为P(x ，y)．(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．三角函数的定义域如表所示：三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α {α|α≠π2＋kπ，k ∈Z}3.三角函数的值在各象限的符号如图所示．4．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin_α cos(α＋k·2π)＝cos_α tan(α＋k·2π)＝tan_α (其中k ∈Z)．5．已知角α的终边位置，角α的三条三角函数线如图所示．sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT.6．熟记各特殊角的三个三角函数值 角度α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°弧度α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π22π sin α 0 12 22 321 0 －1 0 cos α 1 32 2212 0 －1 0 1 tan α 0 331 3 不存在 0 不存在 0 （1）．三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．（2）．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x ，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 （1）．三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． （2）．对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 （1）．公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等． （2）．公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）．公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 知识要点四：三角函数线（1）．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．（2）．三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．7．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系式：tan α＝sin αcos α.8．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z}．知识要点一：公式的推导（1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，yx＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α＝tan α.（2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r.则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α.知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2(k ∈Z)时成立．（2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．（3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， cos α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用．如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，si n α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α，sin αcos α＝tanα 等．9．诱导公式二sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α. 10．诱导公式三sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α. 11．诱导公式四sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α.即α＋k·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．12．诱导公式五 13．诱导公式六 sin(π2－α)＝cos_α，cos(π2－α)＝sin_α. sin(π2＋α)＝cos_α，cos(π2＋α)＝－sin_α. 即π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．知识要点一：公式的记忆方法六组诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀来记忆．其中α＋2kπ(k ∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α可统一表示成kπ2±α(k ∈Z)的形式．当k 为奇数时，函数的名称要改变，由sin α变为cos α，cos α变为sin α；当k 为偶数时，函数的名称不变，这就是“奇变偶不变”的意思．还有，在记忆公式时要把α看成锐角(注意这里是为了记忆的方便，仅仅是看成锐角，而不是一定为锐角)，然后确定kπ2±α所在的象限，并结合函数的名称来确定符号，这就是“符号看象限”的意思．知识要点二：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角才罢了”．[典例解析]第一部分：任意角的三角函数【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．思路点拨：先求出点P 到原点的距离，再利用任意角三角函数的定义，求sin α，cos α，tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a|.若a>0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a<0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.变式训练11：角α的终边过点P(－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是( )(A)12 (B)－12 (C)－32 (D)32 解析：P(－8m ，－3)，cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45.∴m ＝12. 故选A.【例2】 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4. 解：(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°＞0，cos 191°＜0， ∴tan 191°－cos 191°＞0.(2)∵π2＜2＜π，π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0. ∴sin 2cos 3tan 4＜0.变式训练21：若θ是第二象限角，则sin (cos θ)cos (sin 2θ)的符号是什么？解：∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k ∈Z)，∴－1＜cos θ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1＜sin 2θ＜0.∴sin(cos θ)＜0，cos(sin 2θ)＞0. ∴sin (cos θ)cos (sin 2θ)＜0.变式训练22：若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α的终边所在象限． 解：∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k ∈Z)，∴kπ<α<π2＋kπ(k ∈Z)．当k 为偶数，设k ＝2m(m ∈Z)有：2mπ<α<2mπ＋π2(m ∈Z)；当k 为奇数，设k ＝2m ＋1(m ∈Z)有：2mπ＋π<α<2mπ＋3π2(m ∈Z)．∴α为第一或第三象限角．又∵cos α<0，∴α的终边在第三象限【例3】 求下列各式的值 (1)a 2sin(－1350°)＋b 2tan 405°－(a －b)2tan 765°－2abcos(－1080°)；(2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.解：(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b)2tan(2×360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b)2tan 45°－2abcos 0°＝a 2＋b 2－(a －b)2－2ab ＝0.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos 125π·tan 0＝sin π6＝12.变式训练31：求值： (1)sin(－1320°)cos 1110°＋cos(－1020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－233π)＋tan 174π；(3)已知tan α＝13，且0＜α＜π2，求sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)的值．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(3)由tan α＝13可设α的终边上一点为(3x ，x)，x>0，∴sin α＝x 10x 2＝1010，cos α＝3x 10x 2＝31010，∴sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α－4π)＝sin α·cos αtan α＝1010×3101013＝910.【例4】 求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1；(2)y ＝lg(3－4sin 2 x) 解：(1)如图(1)．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为[－π3＋2kπ，π3＋2kπ](k ∈Z)．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x>0，∴sin 2x<34， ∴－32<sin x<32.∴函数定义域为(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)∪(2π3＋2kπ，4π3＋2kπ)(k ∈Z)，即(－π3＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z)．变式训练41：利用单位圆解不等式(组)(1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.解：(1)原不等式可化为3tan α>－3，即tan α>－33， 则不等式的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{α|kπ－π6<α<kπ＋π2，k ∈Z}．(2)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧2sin x>2，cos x ≤12.即⎩⎨⎧sin x>22，cos x ≤12.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x|2kπ＋π3≤x<2kπ＋34π，k ∈Z}．【例5】 求函数y ＝cos x·tan x 的定义域． 解：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，tan x ≥0，x ≠π2＋kπ，或⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤0，tan x ≤0，x ≠π2＋kπ，⇒x ∈[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z ，即定义域为[2kπ，π2＋2kπ)∪(π2＋2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z.第二部分：同角的三角函数的基本关系【例1】 已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＜0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． 当α为第二象限角时，sin α＝1－cos 2α＝ 1－(－35)2＝45，tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.解：(1)原式＝3cos α－sin αcos α3cos α＋sin αcos α＝3－tan α3＋tan α＝3－33＋3＝(2)原式＝2sin 2α－3si n αcos αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．解：由sin α＋cos α＝15①两边平方易得sin αcos α＝－1225<0，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－1225)＝75②由①②解得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.变式训练31：已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin xcos x ＋cos 2x ＝125，即2sin xcos x ＝－2425，∴(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝4925.又∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x －cos x<0，∴sin x －cos x ＝－75.【例4】 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解：原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练41：若tan θ＝2，则sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________．解析：∵tan θ＝2，∴sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ(1－sin θ)－sin θ(1＋sin θ)(1＋sin θ)(1－sin θ)＝－4.【例5】 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋s in α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练51：证明：1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ.证明：∵1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)＋2sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ， ∴1－2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ1＋2sin θcos θ. 【例6】 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cos A －7的值．解：因为sin A ＝45，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±35，当cos A ＝35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×35－7＝6；当cos A ＝－35时，5sin A ＋815cos A －7＝5×45＋815×(－35)－7＝12－16＝－34.故所求的值为6或－34.变式训练61：已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形，还是钝角三角形？解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，sin Acos A ＝－1225.(2)由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．第三部分：三角函数的诱导公式 【例1】 求下列三角函数式的值．(1)sin 1320°；(2)cos(－316π)；(3)tan(－945°)．解：(1)法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.(2)法一：cos(－31π6)＝cos 31π6＝cos(4π＋7π6)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.变式训练11：计算下列各式的值： (1)sin 600°＋tan 240°；(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°. 解：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.(2)sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 2 15°＋cos 2 15°＝1.【例2】 已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值．解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α是第一或第四象限角． ①若α是第一象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝－1－cos 2α＝－32.②若α是第四象限角，则sin(2π－α)＝－sin α＝1－cos 2α＝32. 变式训练21：已知sin(π3－α)＝12，则cos(π6＋α)＝________.解析：∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12.【例3】 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.证明：原式左边＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)·cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α·(－sin α)·cos αcos α·(－cos α)·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原式得证．变式训练31：已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，证明： (1)cos A ＋cos(B ＋C)＝0；(2)sin B ＋C 2＝cos A 2.证明：(1)∵A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＋C ＝π－A ，∴cos A ＋cos(B ＋C)＝cos A ＋cos(π－A)＝cos A －cos A ＝0；(2)∵B ＋C 2＝π－A 2＝π2－A 2，∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A 2.。
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
1.2 任意角的三角函数
b
a
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创新方案系列丛书
1 2．已知角 α 的终边与单位圆交于 P(x， )，则 cos α ＝ 2 ________． 1 3 3 2 解析：由 x ＋4＝1，得 x＝± 2 ，故 cos α＝x＝± 2 . 3 答案：± 2
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创新方案系列丛书 考点3 三角函数值的符号问题
角函数值．
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1．求下列三角函数值． 17π 47π 17π (1)sin－ ； (2)cos ； (3)tan－ . 6 3 4
47π π π 1 解：(1)sin－ 6 ＝sin－8π＋6＝sin ＝ ； 6 2 π 17π π 2 (2)cos ＝cos4π＋4＝cos ＝ ； 4 4 2 17π π (3)tan－ 3 ＝tan－6π＋3 ＝tan
1 解析：由三角函数定义知，sin α＝－2. 1 答案：－2
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5．cos 6²tan 6的符号为________(填“正”、“负”或“不确
定”)．
3π 解析：∵ <6<2π，∴6 是第四象限角． 2 ∴cos 6>0，tan 6<0，则 cos 6· tan 6<0. 答案：负
解析：②③④均错，①正确．
答案：A
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2．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是( A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 )
D．第四象限角
解析：由tan x>0，得α为第一、三象限角．而α为第三象限角时，
高中数学精品课件：任意角三角函数
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－12， 23)，那么 sin α＝ 23，cos α＝－12； 同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin α＝y0，cos α＝x0.( × ) (4)α∈(0，π2)，则 tan α>α>sin α.( √ ) (5)α 为第一象限角，则 sin α＋cos α>1.( √ )
B.k·360°＋94π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋54π(k∈Z) 解析 与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z) ，
但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
1 2 3 4 5 解析答案
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长
解析答案
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角：
解
2R＋Rα＝10 由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)，α＝12.
故扇形圆心角为12.
解析答案
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ 解 由已知得，l＋2R＝20. 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10，α＝2.
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三角函数任意角的三角函数
两角差余弦公式
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
两角和与差的正弦公式
两角和正弦公式
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
两角差正弦公式
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
两角和与差的正切公式
对于任意角α，有以下基本 公式
sin²α+cos²α=1， 1+tan²α=sec²α， 1+cot²α=csc²α
04
05
两角和与差的 倍角和半角公 三角函数公式 式
sin(α+β)=sinαcosβ+cos αsinβ。 cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ
sin(2α)=2sinαcosα， cos(2α)=cos²α-sin²α， tan(2α)=(2tanα)/(1tan²α)
三角函数的图象与性质
01
三角函数的图象是在单位圆上点的轨迹，具有周期nx的图象是一条波形曲线，具有周期性，最小正周期为2π；余弦 函数y=cosx的图象也是一条波形曲线，也具有周期性，最小正周期为2π；正切 函数y=tanx的图象是一条直线，没有周期性。
交流电
交流电的电压和电流是时间的周期函数，可以用三角函数来 表示。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和稳定性分析需要用到三角 函数的知识。
THANK YOU.
在解三角形中，三角函数可以用于求角度、长度 等，例如利用余弦定理求三角形面积： S=1/2bcsinA。
在微积分中，三角函数可以用于求函数的积分和 导数等，例如求圆的面积：A=πr²。
任意角的三角函数及诱导公式
任意角的三角函数及诱导公式基本知识点：1.三角函数定义在α的终边上任取一点(,)P a b ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .；利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2叫做α的余弦,记做cos α,（3叫做α的正切,记做tan α, 2.常用的同角三角函数的基本关系式1cos sin 22=+αα ααα222cos 1sec tan 1==+ αααcos sin tan =3.诱导公式：(1)ααπsin )2sin(=+k ， ααπc o s )2c o s(=+k ， ααπtan )2tan(=+k (2)ααπsin )sin(-=+， ααπcos )cos(-=+， ααπt a n )t a n(=+ (3)ααπsin )sin(=-， ααπcos )cos(-=-， ααπtan )tan(-=- (4) ααsin )sin(-=-， ααc o s )c o s(=-， ααt a n )t a n (-=- (5)ααπcos )2sin(=-, ααπsin )2cos(=-, ααπcot )2tan(=- (6)ααπcos )2sin(=+, ααπsin )2cos(-=+, ααπcot )2tan(-=+(7)ααπcos )23sin(-=+, ααπsin )23cos(=+, ααπcot )23tan(-=+典型例题练习：1. 已知0cot cot tan tan cos cos sin sin =+++αααααααα，确定)2tan(sin )sin(cos αα⋅的符号？2. 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)32sin π与54sin π；(2)32tan π与54tan π；(3) 32cos π与54cos π3. 若20πα<<，证明：(1)1cos sin >+αα；(2)αααtan sin <<4. 化简：1sec 1sec 1sec 1sec )sin 1sin 1sin 1sin 1(+---+⋅+---+αααααααα5. 已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：(1)ααααcos sin cos 3sin +-； (2)2cos sin sin 2++ααα6. 化简下列各式：(1)400sin 12- (2)10sin 110sin 10cos 10sin 212---(3)ααααααcos sin 1cos sin 2cos sin 1+++++7. 证明：ααααααααcos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+8. 已知ππ-<<-x 23，化简：22)2tan 1()2tan 1(x x -++9. 已知ααcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两个根。
任意角三角函数计算公式
任意角三角函数计算公式
三角函数是数学中非常重要的一类函数，任意角三角函数是其中的一种。
任意角三角函数指的是在单位圆上，以圆心为起点，将角度绕一周后所得的点与$x$轴正半轴之间的夹角。
任意角三角函数的计算可以使用以下公式：
1. 正弦函数：$sintheta = y$
2. 余弦函数：$costheta = x$
3. 正切函数：$tantheta = dfrac{y}{x}$
4. 余切函数：$cottheta = dfrac{x}{y}$
5. 正割函数：$sectheta = dfrac{1}{costheta} = dfrac{x}{1}$
6. 余割函数：$csctheta = dfrac{1}{sintheta} = dfrac{y}{1}$
任意角三角函数的计算公式可以帮助我们快速准确地计算任意
角下的三角函数值。
在实际中，这种计算方式经常被运用到物理、工程等领域的计算中。
- 1 -。
任意角三角函数的定义与概念
任意角三角函数的定义与概念
任意角三角函数，指的是相对于普通三角函数，其定义范围不限于角度范围0-360度，而是可以用一元函数来表示任意角度。
这类函数具有广阔的实用价值，主要是用于弧度转换和空间数学，以及各种数学运算上的应用。
任意角三角函数通常分为两大类：第一类是根据任意角度的定义而求得的三角函数，例如正弦函数、余弦函数和正切函数；第二类是由任意角度下的矩形三角函数推得的新函数，例如反正切函数、反余弦函数和反正弦函数。
这些函数可以用与任意角度相关的参数表示，也可以用其他参数表示。
正如三角函数有其独特的性质一样，任意角三角函数也有其特有性质。
首先，它们的最大值和最小值均为1，而其他三角函数则没有这种特征。
其次，与普通三角函数不同的是，任意角三角函数的定义域是一个整体，即角度值可以从0到2π
自由变化，不会受任何限制。
此外，它们在求解特定参量的相应值时，只需要将相应的值与参量的弧度值求积即可。
例如，在给定参量θ时，求出sinθ,cosθ与tanθ，只需要将θ当做弧度值并做乘法运算即可。
任意角三角函数在实际应用中也有其重要用处，可以分析圆周运动中的变换关系，计算图形坐标并解决复杂的数学问题。
而三角函数方程在太阳能发电、通信信号处理、人工智能、重力力学等领域都有所应用。
以上就是任意角三角函数的定义与概念。
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任意角的三角函数
1任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点(,)Pxy，设(0)OPrr
则sinyr ；cosxr；tanyx
2三角函数的定义域
三角函数 定义域
xysin
R
xycos
R
xytan
Zkkxx,
2
3同角的三角函数关系22sinsincos1,tancos
题型一：由三角函数的定义求值
例1已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），
求2sin+cos的值．
2确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）sin（－π4 ） （3）tan（－672°） （4）tan11π3
练习：
1设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________
2已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________
3若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．
4点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点的坐标
为________．
题型二：利用终边计算三角函数
例1(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的
值．
例2已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，求cosα，tanα的
值．
练习1若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为_______
2已知角的终边与函数)0(,0125xyx决定的函数图象重合，求
sin1tan
1
cos
=
题型三：讨论象限角的三角函数
例1设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tanα2 ②sinα2 ③cosα2 ④cos2α
2若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角．
3函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域为________．
4已知sin112，则为第几象限角
练习
1若π02，则点(cos,sin)Q位于第_____象限
2已知角的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33，则角的最小正角是（ ）
3若是第二象限的角，且|cos|cos22，则2是第________象限角
题型四：利用同角三角函数求值
例1已知51cossin，且0．
（1）求cossin、cossin的值；
（2）求sin、cos、tan的值．
2已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值．
3已知sincos2，则1tantan的值为_________
4化简02000170cos110cos10cos10sin21
练习：
1若cosα＝－35，α∈(π2，π)，则tanα＝________.
2若sinθ＝－45，tanθ>0，则cosθ＝________.
3已知sinx＝2cosx，则5sinx－cosx2sinx＋cosx＝______.
4已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.
5已知1sincos0tan5，（，），则__________
6已知tan1tan1，求下列各式的值：
（１）cossincos3sin；（２）2cossinsin2
作业
1若sin0,tan0，则是第 象限的角；若sintan0，则是第
象限的角；若tantan，则是第 象限的角
2若是第三象限的角，则点Q(cos,sin)在第 象限
3已知35cos，且角在第一象限，那么2在第____________象限
4已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα<0，则
k的值为________
5已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
6利用三角函数线解不等式
（1）sin0x （2）cos0 （3）1cos2
7.是第一象限角，43tan，则sin
8化简21sin1180的结果是
9已知3,,sin25，则tan=
10若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos
2
α＝_________________
11若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.
12在ABC中，2sin3cosAA，A_________ .
13已知0，1sincos5，则sincos________．
14已知sin3cos0，则22sin23sincos的值为_________.
15已知2sincos3，(0,)，求tan及33sincos的值。