直线和抛物线的位置关系

例 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点 1或 x 0或 y x 1 的直线的方程是y __________________________.
k
练习：
1、求过定点（0，2），且与抛物线y2＝4x相切 的直线方程.
说明：（1）联立方程组，结合判别式求解
N
M
. .
P
B M
..
F (1,0)
x3
练习 在抛物线y2=2x上求一点Ｐ,使
Ｐ到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最 小
PA PF PA PB
A, P, B三点共线时，
1 7 3 ( ) 2 2
Y
（ PA PB ） min AB
B B
O
P
F
A 3,2
解：设M ( x1, y1 ), N ( x2 y2 ), MN中点( x0 , y0 )
2 y x 1 1 y1 y2 由 相减得： x1 x2 2 x1 x2 y 2 x2 1 2 x0 k y0 4 9 又y0 kx 0 2
2 2
x 5 x 9 ( x 0)
2
5 11 当x 时， | PC |min 2 2 11 | PQ |min 1 2
另解： 设直线4 x 3 y m 0与抛物线相切
O
.
F
x
y 2 64x y2 3y m 0 4 x 3 y m 0 16
由 0得 : m 36
五 真题小改
4、已知抛物线y x 2上存在两个不同的点M , N 关于 9 直线y k x 对称，求k的范围. 2
4、抛物线y 2 x和圆( x 3)2 y2 1上最近两点间的距离为？ y 分析：如图， P Q 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q A | PQ || PA | . C x O F | PQ | 最小值时，连线必经过 圆心
设P( x, y), C (3,0)
| PC | ( x 3) y
X
判断直线与双曲线位置关系的方法
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
二、讲授新课：
问题：你能说出直线与抛物线位置关系吗？
y
x F
判断直线与抛物线位置关系的方法一： 把直线方程代入抛物线方程
（2）注意斜率不存在的情形
2、顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x－y－4＝0 所得弦长为 3 5 ，求抛物线方程.
说明： （1）联立方程组，结合韦达定理求解 （2）直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
例、正三角形的一个顶 点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线 y 2 2 px（p 0 ）上，求这个 正三角形的边长 .
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦 的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
1.已知M为抛物线 y 2 4 x 上一动点，F为抛物线 的焦点，定点P(3,1),则 MP MF 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
因为x轴垂直于AB，且AOx 30 ，所以
o
y1 3 o t an30 . x1 3 y x1 ， 2p y1 2 3 p. | AB | 2 y1 4 3 p.
2 1
四、例题：
1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的 距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 )，
则y0 64x0
2
y0 2 将x0 代入得： 64
2
4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y
y0 2 3 y0 46 y 48y0 16 46 0 , ( y0 R ) d 16 80 5 当y0 24时, d min 2 此时P(9,24)
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
判断位置关系方法二 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物 线相交(一个 交点)
判别式大于 0，相交
判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
问题：已知直线 l：y＝kx＋1 和抛物 2 线 C：y ＝4x，试判断当 k 为何值时， l 与 C 有： ① 一个公共点；②两个不同公共点； ③没有公共点.
y A
O
B
x
解：如图，设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上，且坐标分别为（ x1，y1 ）、（x2，y2 ），则 y12 2 px1，
2 1 2 2 2 y2 2 px2 . 2 2 又 | OA || OB | ，所以：x12 y12 x2 y2 ，
即：x x 2 px1 2 px2 0， （x1 x2 ）（x1 x2 2 p） 0. x1 0，x2 0， 2 p 0， x1 x2 . 由此可得 | y1 || y2 | ，即线段AB关于x轴对称.
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M
y

P

N
.
O
F
A
x
1 2 x0 2 4 4 要使直线MN与抛物线有两交点， k
六 、巩固练习 已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点 为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线 l的方程.
说明：中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法