高三数学第一轮复习《双曲线 》讲义

2013届高三数学第一轮复习《双曲线》讲义

要点梳理

1．双曲线的概念

平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫__双曲线______．这两个定点叫双曲线的__焦点______，两焦点间的距离叫___焦距_____．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；

(1)当___ a

(2)当___ a＝c _____时，P点的轨迹是_两条射线_______；

(3)当___ a>c_____时，P点不存在．

这里要注意两点：

(1)距离之差的绝对值．(2)2a<|F1F2|．

这两点与椭圆的定义有本质的不同：

①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2

a2－

y2

b2＝1

(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性质

范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±

b

a x y＝±

a

b x

离心率e＝

c

a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a

2＋b2

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线

的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的

半虚轴长

a、b、c

的关系

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

1．双曲线中a，b，c的关系

区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．

双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，

它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2，

若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1

cos θ．

2．渐近线与离心率

x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a

＝b 2

a 2

＝c 2－a 2

a 2

＝e 2－1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 3．与渐近线有关的性质：

焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b ．

共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线．

与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝t (t ≠0)．

已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为

“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的两条渐近线方程．

双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2

b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是

y ＝±a b x ．

实轴长和虚轴长相等的双曲线为___等轴双曲线_______，其渐近线方程为___ y ＝±x _____，离心率为__ e ＝2______． 4．直线与双曲线的位置关系：

直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点． 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．

基础自测

1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2

1．C [∵2x 2－y 2＝8， ∴x 24－y

28

＝1， ∴a ＝2，∴2a ＝4.]

2．已知双曲线x 22－y 2

b

2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，

点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→

等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4 3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3

3．B [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y

2b

2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称

轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2

(c 2a 2－1)＝b 4

a

2，∴y

＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b

2a

＝4a ，