含绝对值函数的最值问题.docx

专题三：含绝对值函数的最值问题

1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求

实数d的取值范围.

不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G

即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所

以分如下情况讨论：

①当00X^Vxe［O,a］恒成立

•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增

•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 0

0 V Q W —

2

②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立

由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减

/.只需"(x)min =力(1 +。)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2

vV6-2<- A V6-2

2 2

③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立

a 兰-2 - 或a 工- 2

2.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截

距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.

【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.

⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.

当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，

当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,

3 7

所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.

2

因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*

2 L -

+ 00 上单调递增.

a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x

+ 3=5的较小根，故Z(a)=

—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a

②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a

+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=

—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=

•\ 当 a V — 8

-4--71^2Q ,(-8 < a <0).

时丿(°)= - J"-8a =

.，在

亠 74 - 2a - 2

(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2

。 2

调递减，•・・当a =-8时J(a)取得最大值

L*!. 2a a

厂 4_-/6_8a ,(Q 一g), vE + 4在上单

3・设函数f(x) = a? +% +3(a < 0),对于给定的负数a, 有一个最

大的正数畑,使得在整个区间[0,/(a)] ±, 不等式1/(兀)I W5

都成立.问

a 为何值时丿(a)最大？求出这个最大值，证明你的结论.

图2

4 •已知 /(x) = x|%-a|-2,当兀 w[O,l ]时,/(%) < 0 恒成立，

求a 的取值范围.

解分类讨论①当«<0 时，

函数人久)=X 1 - rw: - 2在 [0,1]上

是增函数，

由[/(%)]“” = /( 1)=

1 - a —2<0得-1 < a < 0 ・

② 当0 WaWl 时』(幻=

\x 2-ax\-2f 由函数/&)的 图像(如

图3)可知，满足条

件▼则’A a \门，得OW Q W

1 ~ 1 < a < 0. ③ 当 a > 1 时,/*( r ) =

- x

r/(l)<0 < J a \ a ♦得 1 V a < M T )<0

3•综上』的取值范围是< a < 3<+处-2.其图像对称轴*二

>* •满足条件■则/(*)_ <0,即

5.已知函数f(x) = x2 +2x x-a\,其中Q G R .

(I ) •求函数.f(x)的单调区间；

(II)若不等式4S/(兀)516在xw［l,2］上恒成立，求d的取值范围.

一(X(x<(3)

21.解：(I ) /(x) = < a、/ 心

3(x--)2-— (x > a)

I 3 3

当a AO时,/(工)在(一叫a)和上；递増，•/ f(a) = d,则/(x)在7?上递增3

当a<0时，/'(*)在(一乂()和(2+乂)上逸增，在在仏f)上递减 ......... :^、爲&分V

3 a

(II〉由题意只需

首先由(I〉可知，/(x)在XW［1,21上恒也聂

. . 1 5

则几匕任)=/(1) = 1 + 2|1-^|>4. a<--^a>

其次，当时，/(x)在尺上逆堵，故<^(^) = .\2) = 4^-4<16,解得彳冬^5“

当时，/(x)在［1：2］上递増，故入&) = /(2) = 12 —4aM16,解得—lWaM—；“

1 5

综上：-IWaS-—或二SaS5 ........................ 15 分“