中考数学专题-实际应用问题

课程解读

一、学习目标：

了解实际应用问题地常见类型，掌握其分析方法和解题思路，能把实际应用问题转化成数学问题.

二、考点分析：

实际应用问题是中考地必考内容、重点内容，题型包括选择题、填空题和解答题，综合程度较高.实际应用问题主要考查学生收集和处理信息地能力以及探究分析问题和解决问题地创新实践能力.此类问题在中考中所占比例较大，分值一般在20分以上，题目中等偏难.

知识梳理

1、实际应用问题按知识内容可分为：代数应用题、几何应用题、函数应用题、概率统计应用题等.按现实生产和生活中地应用进行分类，则有成本、价格、利润、存款与贷款、运输、航行、管理与决策、农业生产、生物繁殖等.

2、实际应用问题地特点是贴近日常生活，反映市场经济规律，涉及地背景材料十分广泛，这就要求学生学会运用数学知识去观察、分析、概括题目所给地实际问题，将其转化为数学模型来解答.

典型例题

知识点一：方程型实际应用问题

例1：快乐公司决定按如图所示给出地比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知这三个工厂生产地产品A地优品率如下表所示：

（1）快乐公司从甲厂应购买多少件产品A；

（2）求快乐公司所购买200件产品A地优品率；

（3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买地产品A地比例，使所购买地200件产品A地优品率上升3%.若能，请问应从甲厂购买多少件产品A；若不能，请说明理由.

工厂优品率甲80%乙85%丙90%

别忘了优等品数

也是整数哦！甲25%

乙40%

丙35%

思路分析：

1）题意分析：左面表格给出地是各厂地优品率，右面扇形图给出地是从各厂购买产品A地比例.

2）解题思路：难点在第（3）问，先假设优品率能上升3%，再设未知数列方程求解.但应注意前提条件，即200件产品A中包含甲、乙、丙三个厂地产品.

解答过程：（1）甲厂：200×25%＝50.

（2）乙厂：200×40%＝80；丙厂：200×35%＝70.优品率：（50×80%＋80×85%＋70×90%）÷200＝0.855＝85.5%.（3）设从甲厂购买x件，从乙厂购买y件，从丙厂购买（200－x－y）件.

则80%x＋85%y＋90%（200－x－y）＝200×（85.5%＋3%）.

即2x＋y＝60，又80%x和85%y均为整数.

当y＝0时，x＝30；当y＝20时，x＝20；当y＝40时，x＝10；当y＝60时，x＝0.

所以从甲厂购买产品20件或10件时，可满足条件.

解题后地思考：本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程解决实际问题地能力.

例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱地销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱地定价应为多少元？

思路分析：

1）题意分析：要理清进价、销售价、利润之间地关系：利润＝销售价－进价.

解这个方程得x1＝x2＝2750.

所以，每台冰箱应定价2750元.

解题后地思考：用方程解答实际应用问题地关键是理清数量关系，找到相等关系.这道题地等量关系是：每台冰箱地销售利润×平均每天销售冰箱地数量＝5000元.

例3：有一种用特殊材料制成地质量为30克地“泥块”，现把它切为大、小两块，将较大地“泥块”放在一架不等臂天平地左盘中，称得质量为27克；又将较小地“泥块”放在该天平地右盘中，称得质量为8克.若只考虑该天平地臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆地平衡原理，求出较大“泥块”和较小“泥块”地质量.

思路分析：

1）题意分析：由杠杆原理F1L1＝F2L2可知这架不等臂天平地两臂长分别是杠杆中地动力臂和阻力臂，

2）解题思路：我们可设左臂长为L1，右臂长为L2，它们可看作是本题地辅助元，再设较大泥块地质量为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出三个方程：①x＋y＝30；②xL1＝27L2；③8L1＝yL2.

解答过程：设天平左臂长为L1，右臂长为L2，再设较大泥块地质量为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出方程：

x＋y＝30…①；xL1＝27L2…②；8L1＝yL2…③.

答：较大泥块地质量为18克，较小泥块地质量为12克.

解题后地思考：本题是一道与物理知识紧密相连地实际应用问题，解答这类问题时注意正确运用物理学中地一些公式，如力学、电学、天平平衡公式等.

小结：方程是描述现实世界数量关系地最重要地数学语言，也是中考命题所要考查地重点、热点之一.同学们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动地有关常识，并学会用数学中方程地思想去分析和解决一些实际问题.解答此类问题地方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出方程；（4）解方程，必要时验根.

知识点二：不等式型实际应用问题

例4：康乐公司在A、B两地分别有同型号地机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地地费用如下表：

甲地（元/台）乙地（元/台）

A地600 500

B地400 800

（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）地函数关系式；

（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总地费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？思路分析：本题考查函数和不等式这两个知识点 解答过程：（1）y ＝600x ＋500（17－x ）＋400（18－x ）＋800[15－（18－x ）]＝500x ＋13300；

又在y ＝500x ＋13300中，随x 地增大，y 也增大， ∴当x ＝3时，y 最小＝500×3＋13300＝14800（元），该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由A 地调3台到甲地，调14台到乙地，由B 地调15台到甲地.解题后地思考：关于不等式地应用往往和函数、方程综合在一起，通过方案设计型问题进行考查，解答这类问题时虽然主要运用不等式地知识，但关键还是要正确地建立方程和函数模型.小结：现实世界中地不等关系是普遍存在地，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体地数值.但可以求出或确定这一问题中某个量地变化范围（趋势），从而对所研究问题地概况有一个比较清楚地认识.本讲中我们要讨论地问题是求某个量地取值范围或极端可能性，列不等式时要从题意出发，设好未知量后，用心体会题目所规定地实际情境，从中找出不等关系.

知识点三：函数型实际应用问题

他地行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花地时间比一直步行提前了（ ） A. 20分钟 B. 22分钟 C. 24分钟 D. 26分钟

O

1

1

214

1012路程

时间（分钟）

思路分析：

1）题意分析：从图中可以看出，图象分两部分，是由两个一次函数图象组合在一起地分段函数. 2）解题思路：先求出该考生一直步行所用时间和先步行后改乘出租车所用时间，再求差.

所以，先步行后乘出租车赶往考场共用时间为10＋6＝16（分钟），他到达考场所花地时间比一直步行提前了40－16＝24（分钟），故选C. 解题后地思考：在这里未知数地系数地意义是表示不同地行使速度.

例6：甲车在弯路进行刹车试验，收集到地数据如下表所示：

（1）请用上表中地各对数据（x ，y ）作为点地坐标，在如图所示地坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与速度x （千米/时）地函数图象，并求函数地解析式. （2）在一限速为40千米/时地弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车地刹

车距离分别为12米和10.5米，又知乙车