(完整版)四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定方法都有哪些
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初三 关于圆 四点共圆
四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
四点共圆的性质：
（1）同弧所对的圆周角相等
（2）圆内接四边形的对角互补
（3）圆内接四边形的外角等于内对角
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
四点共圆的判定定理：
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。
那末这四点共
圆）
我们可都可以用数学中的一种方法；反证法开进行证明。
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。
那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，
若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
四点共圆的性质
四点共圆的性质
四点共圆是一个几何性质，指的是一个平面上任意取四个点，如果这四个点共面且在同一个圆上，那么这四个点就满足四点共圆的性质。
四点共圆的性质是几何学中常见的定理之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。
四点共圆的充要条件
要证明四个点共圆，通常需要证明它们在同一个圆周上。
四点共圆的充要条件可以表述为：四个点共圆的充分必要条件是存在一个圆使得这四个点都在这个圆周上。
举例说明
举一个例子来说明四点共圆的性质。
假设有四个点A、B、C、D，它们共面且在同一个圆周上。
我们可以通过连结这四个点，构成四条弦，然后验证这四条弦是否有一个公共圆。
如果这四条弦有一个公共圆，那么就证明了这四个点共圆。
四点共圆的应用
四点共圆的性质在几何学中有广泛的应用。
在解决圆周问题和几何证明中，常常需要利用四点共圆的性质来简化问题或者证明。
另外，在工程和建筑等领域，四点共圆的性质也有重要的应用，例如在设计曲线和轨道时的定位和调整。
总结
四点共圆的性质是几何学中重要的定理，它描述了四个点在同一个圆周上的几何关系。
通过充分必要条件的分析和具体例子的讲解，我们可以更好地理解四点共圆的性质以及其在实际应用中的价值。
在学习几何学和解决实际问题时，我们可以灵活运用四点共圆的性质，提高问题的解决效率和准确性。
四点共圆怎么判定
四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。
扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。
直径：d。
圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。
圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。
半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。
圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
圆的周长：C=2πr或c=πd。
半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。
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四点共圆问题
摘要：本篇文章主要介绍了以下几个方面的内容：一是四点共圆的判定；二是四点共圆的证明；三是四点共圆的应用与构造；四是提供了一些实际的例题供大家练习和巩固。
Part1四点共圆的判定1、定点定长：若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆.如图，OA=OB=OC=OD，即以O为圆心，OA为半径画圆，此时A、B、C、D四点共圆。
2、同侧张角相等，则四点共圆．若平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆．3、异侧张角互补，则四点共圆．若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC+∠ADC=180°，则A、B、C、D四点共圆．其余描述方式：①四边形对角互补；②四边形外角等于内对角．4、圆幂定理的逆定理①四边形ABCD的对角线AC、BD交于H，若AH·CH=BH·DH，则A、B、C、D四点共圆.②四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ，若PA·PB=PD·PC ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.5、托勒密定理逆定理：凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形四个顶点四点共圆．凸四边形ABCD 中，若AC·BD=AB·CD+AD·BC ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.Part2四点共圆的证明1、如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦，且CD AB ⊥于K ．E 为劣弧AC 上的一点，连接AE 交DC 延长线于F ．求证：E 、F 、B 、K 四点共圆．【解析】连接BE 、BF ，∵AB 是O ⊙的直径，∴90AEBBEF∠=∠=︒，H F E D C B A ∵CD AB ⊥，∴90FKB ∠=︒， ∴E 、F 、B 、K 四点共圆．2、AD 、BE 、CF 是ABC △的三条高，相交于垂心H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？【解析】（1）A 、E 、H 、F 四点共圆，圆心是AH 的中点；（2）B 、D 、H 、F 四点共圆，圆心是BH 的中点； （3）C 、D 、H 、E 四点共圆，圆心是CH 的中点； （4）A 、B 、D 、E 四点共圆，圆心是AB 的中点； （5）B 、C 、E 、F 四点共圆，圆心是BC 的中点； （6）A 、C 、D 、F 四点共圆，圆心是AC 的中点．3、如图，AD 为ABC △中BC 边上的高线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：B 、C 、F 、E 四点共圆．【解析】∵AD BC ⊥，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴2AD AE AB =⋅，AE AB AF AC ⋅=⋅，∴AE AB AF AC ⋅=⋅，∴B 、E 、F 、C 四点共圆．4、如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 边上，已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 也四点共圆．【解析】（1）∵A 、E 、P 、F 四点共圆，∴AFP CEP ∠=∠，∵C 、D 、P 、E 四点共圆，∴BDP CEP ∠=∠，FE DCBAP FEDCBAA∴AFP BDP ∠=∠，∴B 、D 、P 、F 四点共圆．Part3.1四点共圆的应用四点共圆的性质：①同弧所对的圆周角相等； ②圆内接四边形的对角互补； ③圆内接四边形的外角等于内对角。
第13讲 四点共圆(教师版)
第13讲 四点共圆知识导航定义如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”性质⑴同弧所对的圆周角相等⑵圆内接四边形的对角互补⑶圆内接四边形的外角等于内对角如图，若四点共圆，则，，.常用判定⑴若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆⑵若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆⑶共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆经典例题如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，．求证：、、、四点共圆．一、四点共圆的判定方法例题1答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用证明见解析连接、、、、、、分别是、、、的中点，，，又，四边形是矩形，、、、四点共圆．如图，，，且、相交于．为延长线上的一点，．求证：、、、四点共圆．例题2答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用证明见解析． ∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴、、、四点共圆．答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用如图，在正中，点，分别在边，上，且，，相交于点．求证：，，，四点共圆．证明见解析．∵在正中，，又∵，，∴≌，∴，∴，，，四点共圆．例题3经典例题答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：圆内接四边形综合、是以为直径的半圆上的两点，，在直径上，且，求．连接，，、、、四点共圆，，，，，，，．如图，、分别是正方形的边、的中点，、相交于，求证：．二、四点共圆的应用例题4例题5证明见解析．方法一：连接，、是、的中点，，，，即，、、、四点共圆，，，很明显，，．≌方法二：连接，∵、是、的中点，∴≌，∴，∴，即，∴、、、四点共圆，标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用∴，，很明显，∴，∴．答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆中证明与计算 > 题型：四点共圆的应用如图，是正方形的边上的一点，过点作的垂线交的外角平分线于点，求证：．证明见解析．连接、．∵，，∴．又∵，∴、、、四点共圆，∴，∴．例题6例题7答案解析标注【题型】 圆 > 与圆有关的位置关系 > 圆幂定理 > 题型：相交弦定理如图，在等腰中，，．若，求．．以为圆心，长为半径作，则点在上，延长交于，∵，∴点在上，∴，∵，，∴，，∴，∴．古希腊人在争论、证明和创新方面的成就和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。
四点共圆
四点共圆
定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四点共圆。
判定定理
判定1 ：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆
判定2 ：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆
判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：（1）∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
（2）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
（3）∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
（4）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）
（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
（6）EB*EA=EC*ED（割线定理）
（7）EF²= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
四点共圆基本性质及证明精编版
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC （边长a<b<c）。
把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。
于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
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四点共圆的判定与性质
一、四点共圆的判定
（一）判定方法
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
C
A
D
C
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理）。
已知四边形ABCD，若AB×CD+BD×AC=AD×BC，则A、B、C、D四点共圆。
（三）例题
1
2
3
二、四点共圆的性质
1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。
2、圆内接四边形的对角互补。
3、圆内接四边形的外角等于内对角。