初中几何变换

【例1】 ∆ABC 中， ∠A , ∠B , ∠C 的对边长分别为 a , b , c ．如果b < (a + c) ．求证：∠B < (∠A + ∠C ) ．

1 1

2 2

B

A

C

E

D

【例2】 图中是一副三角板， 45︒ 的三角板 Rt ∆DEF 的直角顶点 D 恰好在 30︒ 的三角板 Rt ∆ABC 斜边 AB

的中点处， ∠A = 30︒ ，∠E = 45︒ ，∠EDF = ∠ACB = 90︒ ， DE 交 AC 于点 G ， GM ⊥ AB 于 M ． （1）如图 1，当 DF 经过点 C 时，作 CN ⊥ AB 于 N ，求证： AM = DN ． （2）如图 2，当 DF ∥ AC 时， DF 交 BC 于 H ，作 HN ⊥ AB 于 N ，（1）的结论仍然成立，请

你说明理由．

F E

C

C

E

F G

G H

A

M D

N B

A

M D

N

B

图1

图2

【例3】 在正方形 ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点 E 、G 、F ，且 EF ⊥DG ．求证：EF = DG ．

A D

E

F

B

G C

【例4】 在正方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 C D 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求

证： EG = FH ．

A H

D

G

E

B

F C

【例5】 如图所示，在 ∆ABC 的边 BC 上取两点 D 、 E ，且 BD = CE ，求证： AB + AC > AD + AE ．

⑴请你在 BC 边上分别取两点 D 、 E ( BC 的中点除外)，连结 AD 、 AE ，写出使此图中只存在

．．

A

B D E

C

【例6】 如图，已知 ∆ABC

．．． 两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明 AB + AC > AD + AE ．

A

A

B D

E C

B C

⑴

【例7】 ∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得 CN = BM ，

连 AN 、 CM 交于 P 点．试求 ∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．

A

M

P

B

N C

【例8】 如图所示，设 ABCD 是矩形，K 为矩形所在平面上的一点，连接 KA 与 KD 均与 BC 相交．由点 B

向直线 DK 引垂线，由点 C 向直线 AK 引垂线，二垂线相交于 M ，求证 MK ⊥ AD ．

K

F

E B M

C

A

D

【例9】 如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，以两腰 AB ，CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF ，

连接 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M ．求证：点 M 为 EF 的中点．

==F

l

E

M

F

G A D

H

B C

【例10】已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF．∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60︒．且

AD BE C=2．求证：S

∆OAB +S

∆OCD

+S

∆OEF

<3．

B

A

C O

F

E

D

【例11】如图所示，在六边形ABCDEF中，AB∥E D，AF∥CD，BC∥FE，AB=ED，AF=CD，BC=FE．又知对角线FD⊥BD，FD=24厘米，BD=18厘米．请你回答：六边形ABCDEF的

面积是多少平方厘米？

B

A C

F D

E

【例12】如图，正方形ABCD内一点P，∠P AD=∠PDA=15︒，连结PB、PC，请问：∆PBC是等边三角形吗？为什么？

A D

P

B C 【例13】在∆ABC中，AB=AC，P是∆ABC内任意一点，已知∠APC>∠APB，求证：PB>PC．

A

P

B C 【例14】P为等边∆ABC内一点，∠APB=113︒，∠APC=123︒，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

A

P

B C

【例15】如图所示，P为正方形ABCD内一点，若P A=a，PB=2a，PC=3a(a>0).

求：⑴∠APB的度数；⑵正方形的边长.

A D

P

B C

【例16】如图所示，P是等边∆ABC内部一点，PC=3，P A=4，PB=5，求∆ABC的边长.

B

P

A C 【例17】如图，P是等边∆ABC外的一点，P A=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．

B

P C

A

【例18】已知：∆ABC中，∠A≥120︒，P是不与A重合的定点，求证P A+PB+PC>AB+AC．

A

B C

P

【例19】在凸四边形ABCD中，∠ABC=30︒，∠ADC=60︒，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2．

A

60︒D

30︒

B C

【例20】如图所示，在∆ABC中，∠BAC=120︒，P是∆ABC内部一点，试比较P A+PB+PC与AB+AC 的大小关系.

A

P

B C 【例21】如图所示，∆ABD是等边三角形，在∆ABC中，BC=a，C A=b，问：当∠ACB为何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？

C

A B

D

【例22】已知O是∆ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120︒；P是∆ABC内任一点，求证：P A+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）

C

O

P

A B 【例23】A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P、Q两个交通枢纽，并建设公路连接AP、BP、PQ、Q C、Q D，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？

A D

Q

P

B C