高中数学《排列组合二项定理》重要公式

高中数学《排列组合二项定理》重要公式

1.排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．

注:规定1!0=. 2.排列恒等式

(1）1

(1)m m n n

A n m A -=-+; （2）1m

m

n n n A A n m -=

-; （3）1

1m m n n A nA --=;

（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n

A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-. 3.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 4.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 5.组合数公式

m n C

=

m n m

m

A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤). 6.组合恒等式

（1）1

1m

m n n n m C C m --+=; （2）1m m

n n n C C n m -=-; （3）11m

m n n n C C m

--=;

（4）

∑=n

r r n

C

0=n

2;

（5）1

121++++=++++r n r n r r r r r r

C C C C C . (6)n

n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)1

4205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1

321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r

n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n

n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .

7.组合数的两个性质

(1)m

n C =m

n n C - ;

(2) m n C +1-m n C =m

n C 1+.

注:规定10=n C .

8.排列数与组合数的关系

m m

n n

A m C =⋅！ . 9．单条件排列

以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）

1111---=m n n A A （着眼位置）1

1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k

m k n k k A A --种.

②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题

常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的

一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.

（3）两组元素各相同的插空

m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n

n m C A A 11

++=种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为

n n m C +.

10．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为

1111()![

(1)]2!3!4!!

n f n n n =-+-+-. 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234

(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

m m m m p

p

m

m m

m

f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--+

+--

12341224![1(1)(1)]p m p

m

m m m m

m

m

p m n n n n n

n

C C C C C C n A A A A A A =-+-+-

+-+

+-.

11．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m

n

n n

n n

n mn n

n mn n

mn n mn C C C C C N )

!()!

(22=

⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有

m

n n

n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n +

+n 个物体分给m 个人，物件

必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则