人教版A版高中数学选修4-4平面直角坐标系

[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出
其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然
后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
解 设变换为xy′′＝＝μyλ，x，μ>λ0>，0，可将其代入第二个方程， 得 λ2x2＋μ2y2＝1.与 4x2＋9y2＝36 比较，
将其变为346x2＋396y2＝1，即19x2＋14y2＝1，比较系数得
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸 缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研 究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面
直角坐标系中任意一点，在变换__φ_：___xy_′′＝__＝_μ_yλ_，x_，_μ_>_λ0_>_0_的作
法二 向量法：在▱ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 两边平方得A→C2＝|A→C|2＝A→B2＋A→D2＋2A→B·A→D， 同理得B→D2＝|B→D|2＝B→A2＋B→C2＋2B→A·B→C， 以上两式相加，得 |A→C|2＋|B→D|2＝2(|A→B|2＋|A→D|2)＋2B→C·(A→B＋B→A) ＝2(|A→B|2＋|A→D|2)， 即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
μλ＝＝1213. ，∴xy′′＝＝12y13，x，
＝2(|AD|2＋|BD|2)．
法二 延长AD到E，使DE＝AD， 连接BE，CE， 则四边形ABEC为平行四边形， 由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和 得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝ 2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．
(2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点． 把yx′′＝＝4yx， 代入 x′2＋y1′62＝1，得 x2＋y2＝1.故曲线 C 的 方程为 x2＋y2＝1.
方法技巧——求图形伸缩变换的策略
【示例】
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2
＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标
系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？ 提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到 P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横 向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时， 是纵向压缩变换．
自学导引
1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数 对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合． (2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建 立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关 系． (3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐 标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问 题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问 题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
点 A 和 B，根据两圆外切的条件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|. ∵|MA|＝|MB|， ∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2. 这表明动点 M 与两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，这里 a＝1，c＝3， 则 b2＝8，设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2 －y82＝1 (x<0)．
【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：
①尽量把点和线段放在坐标轴上．
②对称中心一般放在原点．
③对称轴一般作为坐标轴．
【变式1】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于
【思维导图】
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是
1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系， 并求动点 P 的轨迹方程．
[思维启迪] 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立
xy′′＝＝μyλ（x（μ>λ0>）0），其中区分变换的前后方向是关键．
【变式3】 (1)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经 过伸缩变换xy′′＝＝13y12x，后的图形． ①5x＋2y＝0；②x2＋y2＝1. (2)伸缩变换的坐标表达式为xy′′＝＝4yx.，曲线 C 在此变 换下变为椭圆 x′2＋y1′62＝1.求曲线 C 的方程．
B′－3，12，于是 x＝13×(－3)＝－1，y＝2×12＝1，∴B(－1， 1)为所求．
(3)设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)，
由上述可知，将x＝13x′代入 y＝6x 得 y＝2y′
2y′＝6×13x′，所以 y′＝x′，即 y＝x 为所求． (4)设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，由上述可知，
名师点睛
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方 法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一 个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几 何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数 方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法 应用于几何学的研究． 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问 题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
由已知|PM|＝ 2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设 P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或 x2＋y2－12x＋3＝0)．
[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意
义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
解 (1)设 A′(x′，y′)， 由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝y3x得到xy′′＝＝123yx，由于 A13，－2，于是 x′ ＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求． (2)设 B(x，y)，由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3x得到xy＝＝213yx′′，由于
坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝ 2|PN|， 即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为 |PO1|2－12＝ 2(|PO2|2－12)．设 P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简 整理可得．
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的 直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐 标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．
将x＝13x′代入 y＝2y′
x2－6y42 ＝1
得
x′9 2－4y6′4 2＝1，化简得x′9 2－y1′62＝1，
即x92－1y62 ＝1 为曲线 C′的方程，可见仍是双曲线，且焦点
F1(5，0)，F2(－5，0)为所求．
【反思感悟】 1.对于图形的伸缩变换问题，只需搞清新旧坐 标，区别 x，y 和 x′，y′. 2．平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换都是可逆变换， 可是，解题时仍需要注意三个方面：一是原来的点的坐标(x， y)(或原曲线的方程 f(x，y)＝0)，二是变换后的点的坐标(x′， y′)(或变换后曲线的方程 f(x′，y′)＝0)，三是伸缩变换关系式
解 法一 坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为
x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则 A(0，0)，设 B(a，0)，C(b，c)，
则 AC 的中点 Eb2，2c，由对称性知 D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
2．解析法解题步骤 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法 (1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变 换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解． (2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区 别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变 换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方 程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．
平面直角坐标系
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【课标要求】 1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用． 2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换． 3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．
【核心扫描】 1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点． 2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题． 3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)
题型二 用坐标法解决平面几何问题
【例2】
在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思维启迪] 解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立
平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证
明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．
题型三 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例3】 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3. x，
(1)求点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)点 B 经过 φ 变换得到点 B′－3，12，求点 B 的坐标； (3)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程； (4)求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ 变换后所得曲线 C′的焦点 坐标．
解
(1)①由伸缩变换xy′′＝＝13y12，x，
得xy＝＝32yx′′.，
将其代入 5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′＋
3y′＝0.
经过伸缩变换后，直线仍然是直线．
②将yx＝＝32yx′′，代入 x2＋y2＝1，
得到经过伸缩变换后的图形的方程是x′1 2＋y′1 2＝1. 49
【反思感悟】 本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行 四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运 用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证” 的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的 数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
【变式2】 已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝ |CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
证明 法一 以A为坐标原点O，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐标系 xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c， 所以|AD|2＋|BD|2
＝（a＋b）2＋c2＋（a－b）2＋c2
4
4
4
4
＝12(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2