18.1_平行四边形复习
人教版 八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)
人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18， 故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。
初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)
18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
重点：平行四边形的概念和性质。
难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。
平行四边形专题详解
平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。
平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。
平行线间距离处处相等。
例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有 个平行四边形，可分别记作 。
例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。
例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。
如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
平行四边形性质1
与自身重合 两条对角线的交点是它的对 称中心
B D
O
A
C
平行四边形的对边相等， 对角相等.
学习探究
平行四边形的两组对边分别平行且相等 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。
平行四边形是中心对称图形
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC． AB=CD, AD=BC
∠A= ∠C, ∠B= ∠D
பைடு நூலகம்
12 , 在□ABCD中，若AD∶CD =3∶4,周长是42,则AB=__ （4 ） BC=___. 9
D
H
C
b
D
H
C
b
A
G
B
a
A
G
B
a
若a // b，作 AD // GH // BC，分 别交 b于D、H、C，交 a于A、 G、B.
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，
交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
D
A B
C
达标检测
（1） 在□ABCD 中∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ D ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
130° 50° （2 ） 若∠A+∠C=100°，则∠B=___ ,∠C=___. 在□ABCD中，
（3）在□ABCD中， 若AB+BC=10,则□ABCD的周长为 20 .
D
4 1 C
A
2
3 B
D
C
A
B
通过证明，知道 □ABCD 的结论：
• 边：AB=CD， AD=BC； ABC CDA . • 角： DAB BCD ，
18.1.1平行四边形的性质
OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
1
3C
∴ AB=CD，AB∥CD； ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4；
A4
O 2B
∴ △COD≌△AOB；
∴ OA=OC，OB=OD．
探究新知
平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分. A
符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
探究新知
平行四边形的性质
平行四边形的两组对边分别相等. A
D
几何语言：
B
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
在 ABCD中， AB＝CD，AD＝BC． （平行四边形的对边相等）
探究新知
素养考点 1 利用平行四边形边的性质求证线段的关系
例2 如图，在 ABCD中,E，F是对角线AC上的两
A 8cm
B
D 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
C
∵AB=8m
∴CD=8m
又AB+BC+CD+AD=36m,
∴ AD=BC=10m
探究新知
知识点 3 平行四边形角的特征
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记
录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?
探究新知
【思考】不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的 定义，证明其对角相等？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
A
D
∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°，
平行四边形知识归纳
第十八章平行四边形18.1 平行四边形1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形如右图平行四边形记作□ABCD平行四边形的性质平行四边形的判定2、平行四边形的性质及判定方法3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离。
4、平行四边形的对角线将其分成了面积相等的四个小三角形如左图，S △AOD= S △BOC= S △COD= S △AOB5、三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
数学符号语言：如右图，∵点D 、点E 分别为AB 、AC 的中点 ∴DE 为BC 的中位线 ∴DE ∥BC DE=1/2BC18.2特殊的平行四边形矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形是一类特殊的平行四边形。
2、矩形的性质及判定注：矩形具有平行四边形的所有性质。
（即对边相等且平行）矩形的性质 矩形的判定矩形的四个角都是直角 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90 ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∠A=90∴四边形ABCD 是矩形 矩形的对角线相等且互相平分对角线相等的平行四边形是矩形∵四边形ABCD 是矩形∴AC=BD∴OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD∴四边形ABCD 是矩形有三个角是直角的四边形是矩形3、如右图，可以观察出（1）S△AOD= S△BOC= S△COD= S△AOB（2）∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD∴OA=OC=OB=OD（等量代换）（3）一共有四个等腰三角形（4）一共有八对全等三角形4、如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
数学符号语言：∵在Rt△ACB中，CD为斜边AB上的中线，∠B=90∴CD=1/2AB菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
平行四边形知识点及经典例题
第十八章平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。
3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。
知识点训练1．(3分)如图，两X对边平行的纸条，随意穿插叠放在一起，转动其中一X，重合的局部构成一个四边形，这个四边形是________．2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，那么□ABCD的周长为cm.4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，那么较长的边的长度为cm.5．(4分)在□ABCD中，假设∠A∶∠B＝1∶5，那么∠D＝；假设∠A＋∠C＝140°，那么∠D＝．6．(4分)(2014·XX)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，那么□ABCD 的周长是．7．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，假设∠EAD ＝53°，那么∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．(8分)(2013·XX)如下图，在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．(4分)如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，假设△EBC的面积为10 cm²，那么△DCF的面积为。
10．(4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，那么S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比拟11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，以下说法正确的选项是( )A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF ＝60°，那么□ABCD的周长为__．14．(2013·XX)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，那么∠DAE的度数为。
八年级数学下册《平行四边形》专题复习测试试卷及答案解析(精品)
专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。
2021备考 平行四边形专题一 43题 解析
《18.1平行四边形》专题一1．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( D)A. 4∶3∶3∶4B. 7∶5∶5∶7C. 4∶3∶2∶1D. 7∶5∶7∶52．在□ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则□ABCD 的周长是（ C ）A．22 B．20 C．22或20 D．183．在□ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（ D ）A．3 B．5 C．2或3 D．3或54.如图，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形还需要条件( D)A. AB＝DCB. ∠1＝∠2C. AB＝ADD. ∠D＝∠B5．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（ B ）A. 4＜α＜16B. 14＜α＜26C. 12＜α＜20D. 以上答案都不正确6．如图，设M是平行四边形ABCD边上任意一点，设△CMB的面积为S2, △CDM的面积为S，△AMD的面积为S1,则有（A）．A. S=S1+S2B. S>S1+S2C. S<S1+S2D. 不能确定7．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ D ）A. OE＝DCB. OA=OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE8．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是________顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是：，顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是：9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且2，则平行四边形ABCD的周长是__8___．10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是______①②④___．11．如图，△ABC中，如果AB＝30，BC＝24，AC＝27，DN∥GM∥AB，EG∥DF∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为___81_____．12.能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD13．如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（ C ）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为（ D ）A．6 B．8 C．2 2 D．4 215．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ B ）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ B ）A．7 B．8 C．9 D．1017．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 2 ．18.如图，□ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．19．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．20.梯形中位线定理是几何学的一个定理，是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半已知：如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 边上的中点， 求证：EF ∥AD ，且EF=21（AD+BC ） 证明：连接AF 并延长交BC 的延长线于G 。
人教版八年级数学下册18.1.1 平行四边形的性质(第2课时)
D
C
O
A
B
探究新知
考点 2 利用平行四边形对角线的性质求线段的相等
如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且
与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
10
C
10
6 16
O
10
8
12
A
10
B
探究新知 知识点 3 平行四边形中有关图形的面积
如图，EF过 ABCD的对角线AC , BD的交点O，△AOE
与△COF的面积有何关系？四边形AEFD与四边形BCFE的面
积有何关系？
A
D
E
O
●
F
B
C
探究新知
解：△AOE与△COF面积相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
B
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个
三角形的周长之差等于邻边边长之差.
巩固练习
如图，□ABCD的两条对角线相交于点O, 已知
AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.
探究新知
考点 1 利用平行四边形对角线的性质求线段的值 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC , BD相交于点O，
△边A的O长B．的周长比△DOA的周长长5cm，求这D 个平行四边形各C
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F B
C
E
典例剖析
题组 A：有关平行四边形的边问题. 例5 如图，在周长为 20 的□ABCD 中，AB≠AD， 对角线 AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交 AD 于 E，则 △ABE 的周长为（ D ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 A E D O
B C
考点解析： （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）经过线段中点并且垂直与这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线； （3）线段垂直平分线上点到这条线段两个 端点的距离相等.
典例剖析
题组 B：有关平行四边形的角问题. 例6 如图，在□ABCD 中，CE⊥AB，垂足为 E， 如果∠A=115°，则∠BCE= 25 °.
A E B C D 考点解析： （1）平行四边形的邻角互补； （2）直角三角形的两个锐角 互余.
典例剖析
题组 B：有关平行四边形的角问题. 例7 如图，在□ABCD 中，∠ABC=60°，AE⊥AD 交 BD 于点 E. 若 DE=2DC，则∠DBC= 20° . A 作△ADE 的中线 AF.
周长、面积等取值范围． 3．掌握数学的思想方法，会利用其构造解题思路． • 学习重点： 平行四边形的性质、判定及三角形中位线定理的复 习与应用．
知识梳理
知识点1 平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. ★平行四边形的定义既可作为性质定理，又可作为 判定定理. 知识点2 多边形的内角和公式： （n-2）×180°（n≥3 且 n 为正整数）. ★四边形的内角和为 360°. 知识点3 平行四边形的面积公式： 平行四边形的面积等于它的底和高的积.
知识梳理
知识点4 平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行（定义）； （2）平行四边形的对边相等； （3）平行四边形的对角相等； （4）平行四边形的对角线互相平分. ★平行四边形的性质是研究平行四边形角或边的 重要依据. ★利用平行四边形可以求角的度数，线段的长度， 也可以证明线段相等，角相等，线段互相平分等问题.
王牌例题
例1 如图，已知点 D、E、F 分别在△ABC 的边 BC、AB、AC 上，且 DE∥AF，DE=AF，H 在 FD 的延 长线上，DH=DF. 求证：AH 与 ED 互相平分. A 证明：连接 AD、EH ∵ DE∥AF，DE=AF E F ∴ 四边形 AEDF 是□ ∴ AE∥DF，AE=DF ∵ DH=DF D C B ∴ 四边形 AEHD 是□ H ∴ AH 与 ED 互相平分
考点解析： 利用“线段的中点”构造 全等三角形.
D
பைடு நூலகம்
C
N
典例剖析
题组 C：三角形的中位线定理. 例9 如图，DE 是△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，AF⊥BF 于 F. 若 AB=5，BC=8，则 EF= 1.5 .
A D 考点解析： E （1）三角形的中位线平行于第三 边，且等于第三边的一半； F （2）直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半. C
A
B
典例剖析
题组 A：有关平行四边形的边问题. 例2 如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长与△BOC 的周长相差 3cm，则 AD 的 2cm 或 8cm . 长为
D O A B C
考点解析： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角线互相 平分. 思想方法：分类讨论.
八年级
下册
18.1 平行四边形 （第6课时）
课件说明
• 前面五节课我们学习了平行四边形的定义、性质与 判定，平行线间的距离及三角形的中位线定理. 本 节课我们就根据前面所学习的内容，分成平行四边 形的边，角和三角形的中位线三个题组进行复习. 巩固学生对本节课知识的掌握和运用能力.
课件说明
• 学习目标： 1．理解平行四边形的定义、性质与判定，掌握其运 用的方法解决周长、面积及角等问题． 2．灵活运用三角形的中位线定理，学会利用其解决
王牌例题
例2 如图，AD=DC，AE=EB，BD=DM，CE=EF. 求证：F、A、M 三点共线.
F E B A M
D
证明：连接 AM、CM、AF、BF ∵ AD=DC，BD=DM C ∴ 四边形 ABCM 是□ ∴ AM∥BC 同理 AF∥BC ∴ F、A、M 三点共线
王牌例题
例3 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别 在边 BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF. （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD. 证明：（1）∵ △ABC 是等边三角形 A ∴ ∠B=60° ∵ ∠EFB=60° E F ∴ ∠B=∠EFB ∴ EF∥BC ∵ DC=EF D C ∴ 四边形 EFCD 是平行四边形 B
典例剖析
题组 A：有关平行四边形的边问题. 例3 如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，如果 AB=12，BD=10，AB=m ，则 m 的取值范围是 （ C） B. 2＜m＜22 D C A. 10＜m＜12 C. 1＜m＜11 D. 5＜m＜6 O
A B 考点解析： （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）三角形的三边关系. 思想方法：转化思想.
典例剖析
题组 A：有关平行四边形的边问题. 例1 如图，已知在□ABCD 中，AD=5cm， AB=3cm，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E，则 EC 的长 度是（ B ） A. 1cm B. 2cm E C D C. 3cm D. 4cm
考点解析： （1）平行四边形的对边平行； （2）平行四边形的对边相等； （3）等腰三角形的判定定理： “等角对等边”.
知识梳理
知识点6 三角形的中位线： （1）三角形的中位线定义：三角形任意两边中点 的连线叫做三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边的一半. ★三角形的中位线与三角形的中线是一种不同的 线段，要注意区分. ★利用三角形的中位线定理可以计算线段长度， 线段等量关系及证明线段平行.
王牌例题
例3 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别 在边 BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF. （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD. 证明：（2）又∵AB=AC A ∴ △AEB≌△ADC ∴ AE=AD E F
B
D
C
B
典例剖析
题组 C：三角形的中位线定理. 例10 如图，在矩形 ABCD 中，R、P 分别是 DC、 BC 上的点，E、F 分别是 AP、PR 的中点，当点 P 在边 BC 上从点 B 向 C 移动而 R 不动时，则下列结论成立的 是（ C ） D A. 线段 EF 的长度逐渐增大 A R B. 线段 EF 的长度逐渐减小 E F C. 线段 EF 的长度不会改变 D. 线段 EF 的长度不能确定 B C P 连接 AR AR 是定长，不变量
B
E
F C
考点解析： D （1）平行四边形的对边相等； （2）直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半. 思想方法：转化思想.
典例剖析
题组 B：有关平行四边形的角问题. 例8 如图，在□ABCD 中，BC=2AB，DE⊥AB， M 是 BC 的中点，∠BEM=50°，则∠B=（ A ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 135° A E B 延长 EM 到 N，使 MN=EM， M 连接 DM、CN.
王牌例题
例3 如图，△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别 在边 BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF. （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD. 证明：（2）连接 BE A ∵ BF=EF，∠EFB=60° ∴ △BEF 是等边三角形 E F ∴ BE=EF，∠EBF=60° ∵ DC=EF，∠ACB=60° ∴ BE=DC，∠EBF=∠ACB D C B
典例剖析
题组 A：有关平行四边形的边问题. 例4 如图，在□ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥DC， 垂足分别为 E、F. 如果∠EAF=30°，AE=3cm， AF=2cm，则□ABCD 的周长为 20cm .
A D 考点解析： （1）平行四边形的对边相等； （2）在直角三角形中，30°角 所对的直角边是斜边的一 半.
知识梳理
知识点5 平行四边形的判定定理： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形的平行四边形. ★平行四边形的判定要根据题目的已给条件选择简 单的方法.