古典概型建立概率模型
第2节古典概型第二课时建立概率模型
§3.2.2建立概率模型(高洁陕西师范大学 710062)【教材版本】北师大版【教材分析】《建立概率模型》是高中数学北师大版必修3第三章概率第二节古典概型的第二课时．古典概型是一种理想的数学模型，也是一种最基本的概率模型，通过建立概率模型将问题转化为不同的古典概型来解决，更直观的理解概率的意义．【学情分析】学生在学习了古典概型特征及概率公式后，已经了解了古典概型的意义，掌握了概率的计算公式，本节课从建立概率模型来进一步加深对其的理解．【教学目标】1．知识与技能会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．以学生动手为主要形式，通过解决具体问题来感知用模型来解决概率问题的思路，体会建立概率模型的意义．2．过程与方法这节课在解决概率的计算上，教师通过鼓励学生尝试列表和画出树状图等方法，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑,也符合培养学生的数学应用意识的新课程理念．3．情感、态度与价值观树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观察来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．【重点难点】将实际问题转化为数学问题，建立概率模型，并解答．【教学环境】1．多媒体课件．2．多媒体教室．[教学设计]教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾新课铺垫正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等．掌握古典概型的概率计算公式：基本事件的总数））包含的基本事件的个数(()(nmAp老师——提问．学生——思考后回答．激发学生的求知欲，引出课题．发散探究建立模型例题袋里装有２个白球和２个红球,这４个球除了颜色外完全相同,４个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率．模型1：4 人按顺序依次从中摸出一个球的所有结果，可用树状图直观表示出来：老师评析:法(一)：利用树状图列出了试验的所有可能结果(共24种),可以计算4个人依次摸球的任何一个学生自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生事件的概率;法(二)：利用试验结果的对称性,只考虑前两个人摸球的情况,所有可能结果减少为12种;法(三)：只考虑球的颜色,对2个白球不加区分,所有可能结果减少6种;法(四)：只考虑第二个人摸出的球的情况,所有可能结果变为4种,该模型最简单！掌握知识，发展思维能力．总共有24种结果，而第二个摸到红球的结果共有12种：=P)A(=12245.0/模型2：利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情况：这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到白球的结果有6种：=PA(=)125.0/6模型3：只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个球所有可能结果：模型3的所有可能结果数为6，第二个摸到白球的结果有3种：5.06/3)(==AP模型4：只考虑第二个人摸出的球情况,他可能摸到这4个球中的任何一个，第二个摸到白球的结果有2种:5.04/2)(==AP例题分析灵活应用建立适当的古典概型解决下列问题:(1)口袋里装有100个球,其中有1个白球和99个黑球,这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球,求第81个人摸到白球的概率.分析:我们可以只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个,这100个球出现的可能性相同,且第81个人摸到白球的可能结果只有1种,因此第81个人摸到白球的概率为100/1.(2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最后一个人中奖的概率.分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能找到100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结果只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为100/1.老师——提出问题．学生——思考讨论．利用数形结合，建立模型，培养学生的发散思维．拓展例题提高认识例题：把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.4个球放到3个杯子的所有放法：因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为老师——给出题目，引导学生思考．学生——思考、讨论、交流，说出看法．进一步使学生升华对古典概型的认识，使学生的思维有层次，有程序．培养概括综合能力．作业布置能力升华课本167页习题1；链接高考：甲乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布),求: (1)平局的概率是_________;(2)甲赢的概率是_______.利用课余时间完成作业．学生巩固所学知识．【专家点评】本教学设计的突出特点有：（1）复习旧知，引入新知；（2）多角度解析引例，有利于培养学生发散思维能力；（3）深刻把握课标，有效化解难点。
3.2.2 建立概率模型 课件 (北师大必修3) (2)
【规范解答】任取一个正整数，则该数的平方的末位数字
就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的平方的末位数字，
所有的结果为0、1、4、9、6、5，共有6种情况，故任取一
个正整数，该数的平方的末位数字是1的概率为 1 .
6
构建不同的概率模型解决问题
古典概率模型问题的解决方法 古典概率模型具有很强的实用性，同现实生活的联系也很 紧密，是近几年高考的热点内容，考查的形式灵活多样.解 决这类问题，首先要判定它是否属于古典概型，其关键仍 然是通过列举法去分析每个基本事件发生的个数，以及事 件A所包含的基本事件的个数，最后应用公式求解.
数，列表如下：
由表可知共有6×6=36种结果.
(2)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的面的点数，则点数之
和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4）， （4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6）， （6,3），（6,6）共12种. （3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率： P=
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）； （3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得P(A)=
10 5 = . 12 6
【审题指导】弄懂“传了三次”是怎么一回事及不重不漏列
出所有的基本事件是解答本题的关键，本题的基本事件可用 树状图全部列出，再观察所求事件包含的基本事件即可 .
【规范解答】依据题意画出树状图如图所示：
………………………………………………………………8分 由上图可知，共有27种结果，其中经过三次传球球仍传回 到甲的手中有6种结果，故所求概率为 6 2 . ………12分
北师大版必修三 建立概率模型 课件(35张)
(1)注意放回与不放回的区别． (2)在古典概型下，当基本事件总数为 n 时，每个基本事件发生的概率均为n1，要求事 件 A 的概率，关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 所包含的基本事件数 m，再由古 典概型概率公式 P(A)＝mn 求事件 A 的概率．
3．编号分别为 A1，A2，…，A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如 下：
丙)，(乙，丙)共 3 种；甲被选中的可能结果是(甲，乙)，(甲，丙)，共 2 种，所以 P(“甲
被选中”)＝23. 答案：C
3．从集合 A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为 k，从集合 B＝{－2，－3，4}中随 机选取一个数记为 b，则直线 y＝kx＋b 不经过第二象限的概率为________． 解析：依题意 k 和 b 的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2，4)，(3，－2)，(3， －3)，(3，4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4，4)，共 9 种，当直线 y＝kx＋b 不经过 第二象限时，应有 k>0，b<0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3， －3)，共 4 种，所以所求概率为49. 答案：4
上”包含的基本事件的个数共有( )
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
解析：符合要求的基本事件是(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，
(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)．
答案：C
3．下列概率模型： ①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中 0 环，1 环，2 环，…，10 环； ③某小组有男生 5 人，女生 3 人，从中任选 1 人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短； ⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优” 或“差”． 其中属于古典概型的是________．
古典 几何概率模型
A1 ⊂ A2 ⊂ ⋅⋅⋅ An ⊂ ⋅⋅⋅
令A =
∪A
n =1
∞
n
，称 A 为 An 的极限。 由定义可以看出， A
仍是一个事件，其概率大小为
P( A) = lim P( An )
n →∞
证明： 类似地，假设 A1 , A2 , ⋅⋅⋅ 是一列单调减少的事件，即
A1 ⊃ A2 ⊃ ⋅⋅⋅ An ⊃ ⋅⋅⋅
受离散情形的启发， 我们可以认为
P ( A) = ∑ P ({x})
x∈ A
但一个基本的数学问题出现了：这是一个不可数项和， 同时每个和项为 0。
这时， 我们定义 P ( A ) 为 A 的面积与单位圆面积的比 率。
对一般的 A ，我们怎么定义 P ( A) 呢？这里，我们需要考虑下 列问题：
(1) A 形状
（ =（ ） （ 3. 如果 A ， B 不相交，那么 P A + B） P A + P B） (可加性 可加性)； 可加性
4. 如果 A ⊂ B ，那么 P ( A) ≤ P ( B ) (单调性 单调性)。 单调性
例
1. 约会问题: 两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到 者等候另一人 20 分钟，过时离去. 求两人会面的概 率.
容易知道 P(A)的有如下基本性质：
（ = 规范性 1. P (∅) = 0 ， P Ω） 1 (规范性 规范性)； （ ） 非负性 2. 0 ≤ P A ≤ 1 (非负性 非负性)； （ = （ ） （ (可加性 3. 如果 A ， B 不相交，那么 P A + B） P A + P B） 可加性 可加性)；
A ∈F 时， 定义
| A| P( A) = |Ω|
高一数学必修课件古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型
预期收益计算
结合概率和游戏规则，计 算玩家的预期收益，为游 戏设计提供参考。
案例分析
以具体的游戏为例，如抛 硬币、掷骰子等，演示如 何运用古典概型进行公平 性分析。
风险评估与决策制定
风险识别
利用概率论识别潜在的风 险因素，并分析其发生的 可能性。
风险量化
通过概率计算，对风险进 行量化评估，为决策提供 依据。
PART 06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
古典概型的定义
古典概型是一种基于等可能性的概率 模型，其中每个基本事件发生的可能 性是相等的。
古典概型的特征
古典概型具有有限性和等可能性两个 基本特征。有限性指的是基本事件的 总数是有限的，等可能性则是指每个 基本事件发生的概率是相等的。
易错难点剖析
PART 04
建立概率模型解决实际问 题
随机现象描述与建模
随机现象
在一定条件下，并不总 是出现相同结果的现象
。
随机试验
在相同条件下可以重复 进行的试验或观察。
样本空间
随机试验所有可能结果 的集合。
事件
样本空间的子集，即某 些特定结果构成的集合
。
概率模型构建步骤
01
02
03
04
确定样本空间
明确随机试验所有可能的结果 。
程理论
随机过程理论是现代概率论的重要分支之一，主要研究随机现象的动态演化规律。该理论 在金融、物理、生物等领域有着广泛的应用。
大数据背景下的概率统计
随着大数据时代的到来，概率统计在数据分析、机器学习等领域的应用越来越广泛。现代 概率论的发展也更加注重与大数据技术的结合，为相关领域提供更加准确、高效的分析方 法。
1-4古典概率模型
N ( S ) 10 10 10 103
N ( A) 6 6 4
例6（类似P12--例4 抽样问题）设有N件产品，其中有M件不合 格品。现从中任取n件，求其中恰有m件不合格品的概率.
解: 记事件Am {n件产品中恰有m件不合格品}
解: N ( S ) 10, N ( A) 1
N ( A) 1 P ( A) N ( S ) 10
N ( B) 6
N ( B) 6 P( B) N ( S ) 10
N (C ) 3
N (C ) 3 P (C ) N ( S ) 10
例2 将一枚硬币抛三次. (1)设事件A1表示"恰好出现一次正面", 求P ( A1 ). (2)设事件A2表示"至少出现一次正面",求P ( A2 ).
a P( B) ab
(1)放回抽样时：
袋中始终有a+b个球，每个人取出白球的机会相等.
(2)不放回抽样时：
k个人从a b只球依次取一球的取法:
k (a b) (a b 1) ... (a b k 1) Aa b
事件B {第i个人取到白球}总取法有: a Pakb11
n n n 故事件B的放法总数有: C N n ! AN . (或N ( N 1)...( N n 1) AN )
n AN N! P ( B) n n N N ( N n)!
n=6时, P(B)=0.01543
例9（盒子模型应用- 生日问题）设每人生日在365天的可能性相 同。求：(1) n（n<=365）个人生日各不相同的概率； （2）n个人中至少有两个人生日相同的概率。
概率论-古典概率模型
所以
P(e ) 1 ,i 1,2,,n
i
n
若事件 A 包含 k 个基本事件 ,即
A ei1 ei2 eik
则有
P(A) P ei1 P ei2 P eik
k n
A包含的基本事件数 S中的基本事件总数
例1 将一枚硬币抛掷三次.
i 设事件 A1 为 "恰有一次出现正面 " ,求 PA1 . ii 设事件 A2 为 "至少有一次出现正面 " ,求 PA2 .
因为抽取时这些球是完
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
全平等的，我们没有理由认
为10个球中的某一个会比另
一个更容易取得 . 也就是说，
10个球中的任一个被取出的
机会是相等的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
2
1 7
98345106
定义 1 若随机试验满足下述两个条件 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点
(2) 每个样本点出现的可能性相同 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
记 B={摸到红球} , P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 动态
当我们要求“摸到红球”的概 率时，只要找出它在静态时相应的 比例.
Ca1 Ca1b
a
a b
（2）作不放回抽样
k个人各人取一只球，每种取法是一个基本事件.
由乘法原理知，k个人各人取一只球有
(a
b)(a
b
1)
(a
b
k
1)
《建立概率模型》课件(北师大版必修3)
问题导入：
1.单选题是标准化考试中常用的题型. 如果考生不会做,他从4个备选答案中 随机地选择一个作答,他答对的概率 1/4 是____.
2. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集 中任取一个, 这个集合恰是集合 ８/32 {1,2,3} 的子集的概率是____.
3.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积 为偶数与出现数字之积为奇数的概率 27/36 9/36 分别是_____、______.
2 1
模型2 利用试验结果的对称性,因为是计算“第二个人摸 到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人摸球的情 况,
2 1 1 2 2
1
1 2 1
1 2 2 2
2 1 1
这个模型的所有可能结果数为12，第二个摸到红球的结果有6种：
P(A)=6/12=0.5
模型3 只考虑球的颜色，4个人按顺序摸出一个 球所有可能结果
(2)100个人依次抓阄决定1件奖品的归属,求最 后一个人中奖的概率.
分析:只考虑最后一个抓阄的情况,他可能抓到 100个阄中的任何一个,而他抓到有奖的阄的结 果只有一种,因此,最后一个人中奖的概率为 1/100.
小结： 一般来说,在建立概率模型时把什么 看作是基本事件,即试验结果是人为规定 的,也就是说,对于同一个随机试验,可以根 据需要,建立满足我们要求的概率模型。
3.2.2 建立概率模型
温故知新：
1.古典概型的概念 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次 试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能 性相同。 2.古典概型的概率公式
m( A包 含 的 基 本 事 件 数 ) P( A) n( 基 本 事 件 总 数 )
3.列表法．
一般来说,在建立概率模型时把什么看作是 基本事件,即试验结果是人为规定的,也就是说,对 于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们 要求的概率模型