古典概率模型 高考数学真题解析 高考数学复习

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的事件A中元素个
数的探求．另外在确定元素个数时，(x，y)可以看成是有 序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如 (1,2)与(2,1)相同．
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考点自测
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(
0
1
2
3
7 21 7 1 P 24 40 40 120 7 21 7 1 9 X 的数学期望 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 24 40 40 120 10 (2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为 事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1， “恰好取出 2 件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3 件一等 品”为事件 A3.由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且
对于古典概型与统计的综合问题，要注意认真
审题，将问题成功转化为古典概型．而确定元素个(试验 结果)数时，常用枚举法．
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【训练3】 (2013· 烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学
生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整 数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：
＝25 个； 于是， 个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 20＋25＝45 个．其中，个位数是 0 的有 C1 5×1＝5 个．于 5 1 是，所求概率为 ＝ . 45 9
答案
D
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解决古典概型的关键是：求出所有的事件含 元素个数，并且确定构成事件的元素个数．一般涉及“至
(2)用 N 表示“B1，C1 不全被选中”这一事件，则其对立 事件 N 表示“B1，C1 全被选中”这一事件，由于 N 包含 C1 3＝3 3 1 个基本事件，所以 P( N )＝ ＝ ，由对立事件的概 18 6
1 5 率公式得 P(N)＝1－P( N )＝1－ ＝ . 6 6
求较复杂事件的概率问题，可将所求事件转化 成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率， 进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公
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2 C1 3 3C3 A＝ A1∪A2∪ A3，而 P(A1)＝ 3 ＝ ， P(A2)＝ P(X＝ 2) C10 40
7 1 ＝ ，P(A3)＝P(X＝3)＝ ，所以取出的 3 件产品中一 40 120 等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋ 3 7 1 31 P(A3)＝ ＋ ＋ ＝ . 40 40 120 120
答案
B
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4．(2011· 新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自 参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相 同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(
1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
)．
解析
甲、 乙两人都有 3 种选择， 共有 3×3＝9(种)情况，
解析 类： 第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为 A，则 P(A)＝
3 A4 1 4A3 ＝ . A6 5 6
相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两
第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为 B，
3 3 ①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为 2C1 3A3A3.
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37＋45＋73＋78＋88 故 x 甲＝ ＝64.2， 5 32＋48＋65＋67＋80 x 乙＝ ＝58.4.则 x 甲> x 乙． 5
由此可知，乙居民小区的空气质量要好一些．
(2)由茎叶图知，甲居民区5天中有3天空气质量未超标， 有2天空气质量超标．
记未超标的3天的样本数据为a，b，c，超标的2天为m，n.
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②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为
2 2 A3 3A3A2， 3 3 3 2 2 2C1 A A ＋ A 2 3 3 3 3A3A2 ∴P(B)＝ ＝ ， 6 A6 5
1 2 3 ∴P＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ . 5 5 5
答案 3 5
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[审题视点] 由列举法求古典概型的概率．
解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，
1 1 共有 C1 3C3C2＝18 种，用 M 表示“A1 恰被选中”这一事
6 1 1 件，则包含的结果共有 C1 C ＝ 6 种，因而 P ( M ) ＝ ＝ . 3 2 18 3
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则从5天中抽取2天的所有情况为：(a，b)，(a，c)，(a， m)，(a，n)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)， (m，n)，基本事件数为10.
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记“5 天中抽取 2 天，恰有 1 天空气质量超标”为事件 A， 可能结果为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c， 6 3 n)，基本事件数为 6.则 P(A)＝ ＝ . 10 5
解析 由题意得 an＝(－3)n 1， 易知前 10 项中奇数项
－
为正， 偶数项为负， 所以小于 8 的项为第一项和偶数 6 3 项，共 6 项，即 6 个数，所以 p＝ ＝ . 10 5
答案
3 5
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考向一
简单古典概型的概率
【例1】►(2012· 广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位 数中任取一个，其个位数为0的概率是
1 A. 5
Fra Baidu bibliotek解析
(
)．
2 B. 5
3 C. 5
4 D. 5
从袋中任取两球有 C2 满足两球颜色为一 6＝15 种，
1 C1 C 2 3＝6
白一黑的有
6 2 种，概率等于 ＝ . 15 5
答案
B
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3．(2013· 温州模拟)从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2
1 A. 6 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3
)．
解析
甲、乙、丙三名同学站成一排共有 6 种站法，甲在
1 中间共有 2 种站法，故甲站在中间的概率为 . 3
答案
C
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2．(2012· 安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其 中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球， 两球颜色为一白一黑的概率等于
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考向三 古典概型与统计的综合问题
【例3】►(2013· 潍坊一模)PM2.5是指大气中直径小于或等
于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月 29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标
准》，其中空气质量等级标准见下表：
PM2.5日均值 空气质量等级
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；
[80,90)，12；[90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85分以上学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“ 二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助 成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42 分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在
考向二 古典概型与互斥、对立事件的概率的综合问题
【例2】►(2013· 南昌模拟)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓
韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，
组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
式求解．
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【训练2】 (2013· 苏州模拟)在10件产品中，有3件一等品，4件
二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C3 10，从
个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是(
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5
)．
解析
从 5 个数中任取 2 个不同的数有：(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 有 10 种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)， 4 2 (3,5)，故所求概率为：P＝ ＝ . 10 5
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2.性质
(1)0≤P(A)≤1(概率总是[0，1]中的数)
(2)P(Ω)＝1(必然事件的概率为1) (3)P(∅)＝0(不可能事件的概率是零
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【助学· 微博】 一个判定标准
试验结果有限且等可能．
两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验．
求恰有1天空气质量超标的概率．
[审题视点] (1)求出平均数，根据平均数判断． (2)列出从5天抽取2天的所有元素个数及“恰有1天空气质量超 标”的元素数．
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解
(1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙
居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.
4 A. 9 1 B. 3 2 C. 9 1 D. 9
(
)．
[审题视点] 分类讨论，利用排列、组合知识求出事件 中元素个数数，由古典概型概率公式求得．
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解析
由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数
分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有
1 1 C1 若个位数为偶数时， 这样的两位数共有 C1 5C4＝20 个； 5C5
甲、乙两人参加同一兴趣小组共有 3 种情况．∴甲、乙 3 1 两人参加同一兴趣小组的概率 P＝ ＝ . 9 3
答案
A
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5．(2012· 江苏)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，
－3为公比的等比数例，若从这10个数中随机抽取一个 数，则它小于8的概率是________．
同一小组的概率．
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样本频率分布表 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计
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频数 2 3 14 15
第4讲 古典概率模型
【2014年高考会这样考】
1．考查古典概型概率公式的应用． 2．考查古典概型与互斥事件、对立事件的交汇．
3．考查古典概型与统计的交汇．
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考点梳理
1.古典概型 设试验的全集Ω有n个元素，且每个元素发生的可能性相
同．当Ω的事件A包含了m个元素时，称P(A)＝_______为 事件A发生的概率，简称为A的概率,我们把上述定义描述 的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．
k(单位：微克)
k≤35 35<k≤75
一级
二级 超标
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k>75
某环保部门为了解近期甲、乙两居民
区的空气质量状况，在过去30天中分 别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为
样本，样本数据如茎叶图所示(十位为
茎，个位为叶)． (1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并 由此判断哪个小区的空气质量较好一些； (2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，
10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为
3 k Ck C 3 7 ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一
－
3 k Ck 3C7 等品的概率为 P(X＝k)＝ ， k＝0,1,2,3.所以随机变量 C3 10
－
X 的分布列是
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X
多”、“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑求其对
立事件的概率，从而简化运算．
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【训练1】 (2012· 重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、 数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表 上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ________(用数字作答)．