2014高考数学高分捷径：抓住试题的黄金规律

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2014年高考数学走出题海之黄金30题系列专题05 考前必做基础30题(理)(原卷版)Word版无答案

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设集合U={1, 2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M 等于( )(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){1,2,4} (D)U2．设全集为R,函数M,则∁R M 为( )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞) (C)(-∞,1] (D)[1,+∞)3．设全集U=R ，A={x|(2)21x x -<}，B={|ln(1)}x y x =-，则右图中阴影部分表示的集合为（）A ． {|1}x x ≥B ． {|1}x x ≤C ． {|01}x x <≤D ． {|12}x x ≤<4．已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m -1},且B≠∅,若A ∪B=A,则实数m 的取值范围是( )(A)-3≤m≤4 (B)-3<m<4 (C)2<m<4 (D)2<m≤45．函数ln x y x =的最大值为( ) A ．1e - B ．e C ．2e D ．1036．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.c b a <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<7．将函数()()cos2f x x x x R =+∈的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =（）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数8．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A.2log 3-B.3log 2-C.199．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( ) A ．[]1,1- B ．[2,0]- C ．[]0,2 D ．[]2,2-10．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a 2-b 2=bc,sinC=2sinB,则A=( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°11．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 712．若122=+yx ,则y x +的取值范围是__________.A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞13．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的__________.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（）A． BCD15．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，分析下列命题，其中正确的是（）．A ．a α⊥，b β⊂ ，a b αβ⊥⇒⊥B ．α∥β，a α⊥，b ∥βa b ⇒⊥C ．αβ⊥，a α⊥ ，b ∥a b β⇒⊥D ．αβ⊥，a αβ=，a b b β⊥⇒⊥16．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的体积为（）A ． 163πB ． 323πC ． 27D ． 27 17．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（） A. 12822=+y x B.161222=+y x C.141622=+y x D.152022=+y x 18．由直线1y x =+上的一点向圆22680x y x +-+=引切线，则切线长的最小值为（）A B ． C ．3 D19．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（）A ．90B ．75C ．60D ．4520．若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A ．180 B ．120 C ．90 D ．4521．若)21(3x x n -的展开式中第四项为常数项，则=n （）A.4B.5C.6D.722．以下四个命题：其中真命题为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程yˆ＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③23．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A ．310B ．35C ．12D ．14【答案】C【解析】24．运行右面框图输出的S 是254，则①应为( )．A ．n ≤5B ．n ≤6C ． n ≤7D ．n ≤825．如图是计算函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤-=3,232,02),ln(x x x x y x 的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是（）A.x y y x y 2,0),ln(==-=B.0,2),ln(==-=y y x y xC. )ln(,2,0x y y y x -===D.x y x y y 2),ln(,0=-==26．在复平面内，复数1i 12iz -=+对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限27．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数23i z+的实部是( ) A ．32 B．2C ．12-D ．12 28．如图，在ABC ∆中，已知045=B ,D 是BC 上一点，6,14,10===DC AC AD ,则_______=AB29．若函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．30．已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是．。

2014高考押题解析(数学)

2014高考前，你应该把握哪些？了解是高考取胜的基础，掌握是高考取胜的前提，有法是高考取胜的保证，掌握好这三点就能解开高考的胜利密码！一、了解是高考取胜的基础1. 试卷的构成a. 1—4题是概念型填空题；5—8题是运算型填空题；9—12题是方法型填空题；13—14题是能力型填空题。

9－14题以函数与C级考点为主。

b. 内容包括：三角计算、立体几何证明、导数应用、解几探究、实际应用、代数推理证明（数列与函数的综合论证）。

c. 必做题部分：容易题、中等题和难题的比是4∶4∶2，做好容易题和中等题就抓住了高考的80%，就等于抓牢本科线甚至抓牢本一线。

有难度部分：21(A，B，C，D) 题，4选2要当机立断；22题，中等要求要应对熟练； 23题，力求新意半易半难，力求抢分。

2. 如何成功解答填空题时刻提醒自己“正确率第一”、“再读一遍题”、“要重视回看”、“书写要规范”。

其中1至8题，尤其重要，不能轻易跳过；9至12题，认准一题是一题；13、14题，能猜就猜，及时跳过。

a. 方法型填空题b. 能力型填空题（估测缩小范围）二、掌握是高考取胜的前提1. 江苏高考趋向再梳理：a. 8个C级要求每年全部考查，其中平面向量的数量积或为容易题或为中档题，直线方程、两角和与差的三角函数为中档题，圆的方程为中高档题，等差数列、等比数列一般为难题、一元二次不等式、基本不等式或为容易题，或为难题。

b. 几乎每年必考的知识点：集合、复数、算法、概率、统计且为容易题。

对这些内容要重视但不要挖深，只要理解并能简单运用即可。

c. 在重点内容的考查上，突出三角（向量）计算、立体几何证明、导数应用、解几探究、代数推理证明（数列与函数的综合论证）、实际应用。

以三角（向量）为例，08年考察两角和与差的三角公式的运用；09年考察同角三角函数的基本关系式，两角和的三角函数公式，向量的平行与垂直；10年考察平面向量的线性运算与数量积；11年考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系式，余弦定理；12年考察向量的数量积，正弦定理，同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式；13年考察平面向量的运算，向量的数量积，三角函数的基本关系。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第九讲等差数列、等比数列

第九讲等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”．【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断．【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3，所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)．又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误．防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。

抓住高三复习的“黄金规律”

抓住高三复习的“黄金规律”高考复习经验谈：抓住高三复习的“黄金规律” 一份有效的考试卷其难度应该是遵循3：5：2的规律的，如果知道这个规律，我们在复习的时候，是不是可以利用这个规律呢？高考题的难度分布为30％的 ...高考复习经验谈：抓住高三复习的“黄金规律”一份有效的考试卷其难度应该是遵循3：5：2的规律的，如果知道这个规律，我们在复习的时候，是不是可以利用这个规律呢？高考题的难度分布为30％的简单题，50％的中等题，20％的难题。

这意味着基础题占了120分，它是复习中练题的主要部分，决不能厌烦它。

要知道，高考不仅考你对知识的掌握程度，还要考做题的速度，许多同学就是在高考时因时间不够，丢掉了平时能做出来的中等难度题才考砸的，这些教训值得大家三思。

鉴于此，建议大家多花时间在中等以下难度的题上。

做难题并非做得越多越好，只能根据自己的程度适量地做：这一是因为对大多数同学来说做难题感到很头疼，容易产生厌烦情绪；二是做难题过多太费时间；三是因为大多数难题是由中等难度题组成，基础题做熟练了，再来做难题会相对容易些。

“越是表面复杂的题越有机可乘”这句话非常有道理，高考的难题绝大部分就属于这种表面复杂的类型，它往往给出较多的条件，仔细分析条件的特点通常都能击破它。

做难题的关键在于平时总结，自己总结一些小经验、小结论并记牢是非常有用的，能力也提高得快，有余力的同学不妨试试。

时间分配：把80%的时间和精力用于80%的内容在复习迎考的阶段，不少同学的复习重点常会放在那20%甚至是10%的那部分内容上，我曾经听说有一所学校的高三月考内容是把历年来错误率最高的题目集中起来让学生做，结果当然是可想而知的，考出来的成绩个位数的也有，学生的信心大受打击。

其实这类错误率最高的题目大多属于10%的题目，假如我们把自己的注意力集中在这部分的内容上，明摆着是长考试威风，灭自己的志气。

而且与复习的策略也不利。

找准位置：80%的内容适合80%的学生的高考还牵涉到填志愿的问题，自己有没有机会冲一冲，跳起来摘一摘那高高挂起来的苹果；自己有没有必要去攻一攻那20%和10%的难题呢？那么弄清楚自己在所有考生中的相对位置也很重要。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第十一讲推理与证明

第十一讲推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理三段论直接证明与间接证明直接证明综合法分析法间接证明反证法数学归纳法数学归纳法的原理数学归纳法的应用1．(反证法)用反证法证明命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”时，假设的内容应为________．【解析】 “x ＝y ＝0”的否定是“x ，y 中至少有一个不为0”．【答案】 x ，y 中至少有一个不为02．(三段论推理)“三角函数是周期函数(大前提)，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数(小前提)，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数(结论)”，上面推理的错误是________．【解析】 y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2不是三角函数，故小前提错误．【答案】小前提错误 3．(归纳推理)观察下列不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， … …照此规律，第五个不等式为________．【解析】观察所给每个不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的底数与右端值的分母相同，且每行右端分数的分子构成以a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，故第5个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.【答案】 1＋122＋132＋142＋152＋162＜1164．(类比推理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝________.【解析】设四面体S －ABC 的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O－SAC＋V O －SBC ，即：V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得：r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】3VS 1＋S 2＋S 3＋S 45．(直接证明)在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是________(形状)．【解析】 ∵sin A sin C ＜cos A cos C ， ∴cos(A ＋C )＞0，即cos B ＜0， ∴∠B 为钝角，△ABC 为钝角三角形．【答案】钝角三角形【命题要点】 ①归纳等式；②归纳不等式.(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.【思路点拨】重点分析k 与n 2及n 的导数的关系，从而归纳出N (n ，k )，则N (10,24)可求．【自主解答】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝⎝⎛⎭⎫k 2－1n 2－⎝⎛⎭⎫k2－2n ，于是N (n ，24)＝11n 2－10n .故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 【答案】 1 0001．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．变式训练1 (2013·南昌模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.【解析】观察所给等式知，第n 个等式的右边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n 2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n2＋n2. 【答案】 (－1)n ＋1n2＋n 2【命题要点】 ①类比过程；②类比结论.(2013·金华模拟)在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB 2；类比此性质，如图3－3－1，在四面体P —ABC 中，若P A ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为________．图3－3－1【思路点拨】由直角三角形的高联想到空间四面体的高，连结CO 并延长构造直角三角形，充分利用直角三角形中的已知结论求解．【自主解答】连结CO 且延长交AB 于点D ，连结PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，由已知可得1h 2＝1PC 2＋1PD2.易知AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PD .在Rt △APB 中，由已知可得1PD 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2. 【答案】 1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 21．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．常见的类比的知识点：(1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题．通过类比得到的结论不一定正确．因此需要对结论加以证明．(2)等差数列与等比数列之间的类比等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m＋a n ＝a p ＋a q )；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n＝a p ·a q )．(3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比． (4)实数运算律与向量的运算律．变式训练2 (2013·无锡模拟)先阅读第①题的解法，再解决第②题： ①已知“a ＝(3,4)，b ＝(x ，y )，a·b ＝1，求x 2＋y 2的最小值．” 解：由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤5x 2＋y 2⇒x 2＋y 2≥125，故x 2＋y 2的最小值为125.②已知实数x ，y ，z 满足：2x ＋3y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________；【解析】设a ＝(x ，y ，z )，b ＝(2,3,1)，则a·b ＝1，由|a·b |≤|a |·|b |⇒1≤14 x 2＋y 2＋z 2⇒x 2＋y 2＋z 2≥114，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.【答案】 114【命题要点】 ①证明与数列有关的命题；②利用导数证明不等式；③证明立体几何问题.(2013·江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1) 若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.【思路点拨】 (1)利用a ，d 表示b n ，然后根据b 1，b 2，b 4成等比数列，得到a 与d 的关系，最后求S nk 与S k 的关系．(2)设出b n ，将b n 与S n 代入b n ＝nS nn 2＋c ，利用等式恒成立证明．【自主解答】 (1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有 ⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0，即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c＝0.1．解答本例第(2)小题时，把b n ＝nS nn 2＋c 转化为关于n 的等式是解题的关键，再利用多项式恒等列方程组证明．2．对充分必要条件的证明应分两步完成：一是证充分性；二是证必要性． 3．在证明与数列有关的命题时，要充分利用等差、等比数列的性质，及求和方法．变式训练3 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．【证明】 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列． (2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n .又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(2013·无锡模拟)已知数列{a n }满足关系式a n ＋1＝na n＋2，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：n ＋1≤a n ＜n ＋1＋1；(3)求证：n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜2(n ＋3－3)．【思路点拨】 (1)根据递推式和初始值求解即可；(2)根据已知的递推式a n ＋1＝na n＋2，使用数学归纳法进行证明；(3)根据(2)的结果进行证明．【自主解答】由题意，知a 2＝52，a 3＝145，a 4＝4314.(2)证明由a n＋1＝na n＋2及a1＝2，知a n＞0.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2满足1＋1≤a1＜1＋1＋1，成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，k＋1≤a k＜k＋1＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋1＝ka k＋2＞kk＋1＋1＋2＝k＋1＋1.a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2.下面用分析法证明：kk＋1＋2＜k＋2＋1.欲证kk＋1＋2＜k＋2＋1，只需证k＋k＋1＜(k＋1)k＋2，只需证(k＋k＋1)2＜[(k＋1)k＋2]2，只需证2k＋1＞0，此式显然成立．所以kk＋1＋2＜k＋2＋1成立．从而a k＋1＝ka k＋2≤kk＋1＋2＜k＋2＋1.由①②可知，对一切k∈N*，n＋1≤a n＜n＋1＋1成立．(3)证明由(2)，知1n＋1＋1＜1a n≤1n＋1，而1n＋1＋1≥1n＋1＋n＝n＋1－n，1n＋1＝2(n＋1)＋(n＋1)＜2n＋3＋n＋2＝2(n＋3－n＋2)，所以n＋1－n＜1a n＜2(n＋3－n＋2)，所以(2－1)＋…＋(n＋1－n)＜1a1＋1a2＋…＋1a n＜2(4－3)＋…＋2(n ＋3－n ＋2)，所以n ＋1－1＜1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜2(n ＋3－3)．1．本例中已知a n ＋1与a n 的关系，但无法求出a n ，故第(2)小题适合用数学归纳法证明，第(3)小题是有关和式的不等式，适合用不等式放缩证明．2．在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用上归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．变式训练4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)．证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．【解】 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明由(1)知当b ＝2时，a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.证明题是考查学生条理的逻辑思维能力、规范的书写运算能力的有效载体，它涉及到函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等知识，特别是不等式与数列知识的综合证明，命题形式灵活多样，需在复习备考过程中引起高度重视．利用放缩法证明不等式(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上．(1)求证：数列{S nn}是等差数列；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ； (3)设C n ＝T n 22n ＋3，求证：C 1＋C 2＋…＋C n >2027.【规范解答】 (1)证明 ∵点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1nx ＋n ＋1(n ∈N *)上，∴S n ＋1＝n ＋1n ·S n ＋n ＋1，2分两边同除以n ＋1，得S n ＋1n ＋1－S nn＝1.∴{S nn }是以3为首项，1为公差的等差数列.4分(2)由(1)可知，S nn ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，经检验，当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，于是b n ＝a n ·2a n ＝(2n ＋1)·22n ＋1，5分∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1＋(2n ＋1)·22n ＋1，①∴4T n ＝3·25＋…＋(2n －3)·22n －1＋(2n －1)·22n ＋1＋(2n ＋1)·22n ＋3.②两式相减，解得：T n ＝(23n ＋19)·22n ＋3－89.8分 (3)证明 ∵C n ＝T n 22n ＋3＝2n 3＋19－19·(14)n，9分∴C 1＋C 2＋…＋C n ＝23·n (n ＋1)2＋19·n －19·14[1－(14)n ]1－14＝3n 2＋4n 9－127＋127·(14)n >3n 2＋4n 9－127≥79－127＝2027.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不能利用(S n ，S n ＋1)在直线上来推导{S nn }相邻项的关系；(2)错位相减求和操作不当致误；(3)因{C n }的通项公式比较复杂不会恰当的进行变形．防范措施 (1)注意{S nn}是一个数列，整体代换寻找递推关系式；(2)运用错位相减法应注意以下三点：①错位，即幂指数相同的项要对齐；②差的符号；③新等比数列的项数；(3)与和式有关的不等式，有两种处理方式，一是先求和，再证明结论成立；二是若不易求和，可用放缩法转化和式，再求和证明．1．观察下列等式1＝13＋5＝85＋7＋9＝217＋9＋11＋13＝409＋11＋13＋15＋17＝65……按此规律，第12个等式的右边等于________．【解析】观察等式右边的数1＝1×1,8＝2×4,21＝3×7,40＝4×10,65＝5×13，每一个数为等式的序号与以1为首项，公差为3的等差数列相应项的乘积，故第12个等式的右边为12×(1＋11×3)＝408.【答案】4082．△ABC内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A、B、C三个顶点，共2 017个点，把这 2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为________．【解析】三角形内部每增加一个点，可比原来多出2个三角形，设三角形内部n个点，形成小三角形的个数为a n，则a n＋1＝a n＋2，且a1＝3，数列{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而a2 014＝3＋(2 014－1)×2＝4 029.【答案】 4 029。

2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题05 三角函数

1.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为。

2．函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈（0，2π）的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .3．要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π 个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度 4．设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π.(1)求ϕ；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；5．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则tan2α= .6．已知-2π<x<0，sinx+cosx=51，(1)求sinx-cosx 的值；(2)求x x x x x cot tan 2cos 2sin 22sin 322++-的值．7．已知6sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=0，α∈[2π，π]．求sin(2α+3π)的值．8．在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0． (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?9．若0<x<2π，则2x 与3sinx 的大小关系为 ( )A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关2．【错误答案】填[0，3]∵f(x)=⎩⎨⎧∈-∈]2,(,sin ],0[,sin 3πππx x x x∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k 有交点，∴k ∈[0，3]．【正确解答】选C 将函数y=2sin(2x+4π)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4π)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4π+4π)=2 cosx的图像．故选C ．4．【错误答案】(1)∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴ 4π+ϕ =k π+2πkZ ．∴ ϕ=k π+4π ，∵-π<ϕ<0，∴ ϕ=-43π．5．【错误答案】填±43∵513cos 22cos sin 2sin cos cos sin sin )2sin(sin 3sin 2=+=∙+=+=αααααααααααα ∴.432tan 5532cos 2sin 2tan .53)54(1212sin ,542cos ,582cos 222±=∴±==∴±=-±=-±=∴=∴=ααααααααco f【正确解答】解法1 (1)由sinx+cosx=51，平方得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251即2sinxcosx=-2524．∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524= . 又∵- 2π<x<0，∴sinx<0，∴cosx>0，sinx-cosx<0．∴sinx-cosx=57．(2)125108)512)(2512()sin cos 2(cos sin cos sin cos sin 1sin cos 1sin cos cos sin 1sin sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322222=--=--∙=∙++--=++-=++-x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x解法2 (1)联立方程⎪⎩⎪⎨⎧sin sin 22x x 由①得slnx=51-cosx ，将其代入②，整理得25cos 2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-53或(cosx=54)∵-2π <x<0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin x x 故sinx-cosx=-57 ( 2 )x x x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 3222++-=++-=sinxcosx(2-cosx-sinx)=.125108)53542(54)53(-=+-⨯-7．【错误答案】由已知得(3sin α+2cos α)(2sin α-cos α)=0⇒3sin α+2cos α=0或2sin α-cos α=0．∴tan α=-32或tan α=21又∵sin(2α+3π)=sin2αcos 3π+cos2α·sin 3π=sin αcos α+23(cos 2α-sin 2α) =.tan 1tan 123tan 1tan cos sin sin cos 23cos sin cos sin 222222222αααααααααααα+-⨯++=+-++α将tan α=-32代入上式得sin(2α+3π)=3265136)32(1)32(123)32(1)32(222+-=-+--+-+- 将tan α=21时代入上式得10334)21(1)21(123)21(121)32sin(222+=++++=+πα即103343265136)32sin(++-=+或πα【易错点点睛】上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，∵α∈(2π,π)，tan α<0，∴tan α=21应舍去，因此原题只有一解．8．【错误答案】设S 为十字形的面积，则S=2xy=2sin θ· cos θ=sin2θ(4π≤θ<2π)．(2)当sin2θ=1即θ=4π时，S 最大，S 的最大值为1．【易错点点睛】上面解答错在面积S 的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x 的正方形面积．【正确解答】 (1)设S 为十字形的面积，则S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ(4π<θ<2π)(2)解法1S=2sin θcos θ-cos 2θ=sin2θ-21cos 2θ21)2sin(25--=ϕθ,其中)2s i n (,55a r c c o s ϕθϕ-=当=1，即2θ-ϕ=2π时，S 最大．∴当θ=552214ARCCOS +π时，S 最大，S 的最大值为215-．解法2 ∵S=2sin θcos θ-cos 2θ，∴S′=2cos 2θ- 2sin 2θ+2sin θ·cos θ=2cos2θ+sin2θ．令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0，可解得θ=212+πarctan(-2)．∴当θ=212+πarctan(-2)时，S 最大，S 的最大值为215-．易错起源1、三角函数的图象和性质例1．求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间.【错误答案】 x x x x y cos sin 32cos sin 44+-=.22).62sin(22sin 32cos 2sin 3)cos )(sin cos (sin 2222πππ==-=+-=+-+=T x x x x x x x x 故该函数的最小正周期当6,.2262πππππ-=∈-=-k x Z k k x 即时，函数y 有最小值-2.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数单调递增. ∴函数递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y= sinx ，y=cosx ，y=tanx 为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+6π)，y=sin(6π-2x)， y=logsin(2x+4π))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+6π， 6π-2x ，2x+4π,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y=Asin(ωx+ϕ)与y=sinx 图像间的关系：由y=sinx 图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移．要注意顺序不同，平移单位也不同．易错起源2、三角函数的恒等变形例2．若函数f(x)=2sin)2sin(42cos 1xa x x-++πcos(π-2π)的最大值为2，试确定常数a 的值．【错误答案】∵f(x)xaxxsin21sin4sin22+==xa sin)2121(+∵sinx的最大值为1，∴22121=+a．∴a=3由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，以便发现角、三角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及其使用范围。

2014高考数学必考点解题方法秘籍函数与导数1 理

（Ⅲ）当 x [1, 4] 时，不等式 f ( x) g ( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。
2,1 上的最大值是 5，最（a 0）例 5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ax 2ax b 在区间
3 2
小值是－11. （Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；
2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍：函数与导数 1
题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 f ( x) 0 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；
'
不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例 5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 f ( x) g ( x) 恒成立
3、解：(1)法一:(导数法)
∴ f ( x) 在[0,1]上增，∴ f ( x) 值域[0,1]。
0, x 0 2x f ( x) 2 , x (0,1] x 1 1 1 x x2 法二: , 复合函数求值域.
2
f ( x)
法三:
2 x 2 2( x 1) 2 4( x 1) 2 2 2( x 1) 4 x 1 x x)
7、解：∵
3 3 x2 x2 3 2 2 a ，∴由 a 有 x a ，即切点坐标为 (a, a ) ， (a,a )
∴切线方程为 y a 3( x a ) ，或 y a 3( x a ) „„„„„„„„2 分整理得 3 x y 2a 0 或 3 x y 2a 0

2014高考数学-(知识整合+方法技巧+例题分析)函数与方程拿分题训练

2014高考数学-(知识整合+方法技巧+例题分析)函数与方程拿分题训练D22210255c ac a b ++=≥10ac ＋2·5a ·c ＝20ac∴acb42≥ 故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b 2是a 、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

练习1 已知关于x 的方程 2x －（2 m －8）x +2m－16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________。

答案：17{|}22m m -<<； 2 已知函数 32()f x ax bx cx d=+++的图象如下，则（）（A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈(C) (1,2)b ∈ (D) 答案：A.3 求使不等式)lg(xy ≤a lg ·yx 22lg lg +对大于1的任意x 、y 恒成立的a 的取值范围。

Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：例2 已知tt f 2log )(=，t ∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m ，不等式xm mx x 4242+>++恒成立，求x 的取值范围。

x2 1y 0解析∵t ∈[2，8]，∴f(t)∈[21，3] 原题转化为：2)2()2(-+-x x m >0恒成立，为m 的一次函数（这里思维的转化很重要）当x ＝2时，不等式不成立。

∴x ≠2。

令g(m)＝2)2()2(-+-x x m ，m ∈[21，3] 问题转化为g(m)在m ∈[21，3]上恒对于0，则：⎪⎩⎪⎨⎧>>0)3(0)21(g g ；解得：x>2或x<－1评析首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。

在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。

2014年高考山东卷数学试题解析与点评【山东师大附中】--王介花

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二、逐题分析2014山东理科数学
2014年山东高考理科数学试题共有21个题，其中 1-10 题为选择题， 11-15 题为填空题， 16-21 题为解答题。下面逐题分析所考知识点和解题的思想方法。
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【思考感悟】本题是复数题，主要考查共轭 2 复数的概念、复数乘法的运算和 i 的运算。并考查了函数与方程的思想方法。
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【思考感悟】本题是一个小应用题。考查的知识点是频率分布直方图的相关知识，包括：（1）小矩形的面积表示频率； n （2）频率的计算公式： n
f
N
N
f
；
（3）本题还考查了学生面对超长的题干如何有效地提取信息、处理信息的能力和识图的能力。
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【思考感悟】本题的亮点在于：（1）方程的根转化为函数的交点；（2）绝对值函数的图像；
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【思考感悟】对于二项式定理的问题，历年来高考出题都是常规题，解决二项式定理的问题的突破点是抓住二项展开式的通项公式。4546 Nhomakorabea47
【答案】b 2 10 .
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【思考感悟】此题上述解法的关键是：（1）正确理解“对称函数”的定义；（2）数形结合；（3）抓住恒成立问题的分界点。
知识点对应的题目是“次次做、次次错”。
例如：圆锥曲线的基本性质的问题、新概念的问题、解答题中的导数题或者圆锥曲线的问题等。建议同学们在备考中会的题一分必争，不会的题直接放弃。切不可被一直出错的题打击了自信心。
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本节完，谢谢聆听
祝愿
所有的高三学子在学习中更上一层楼——
王介花:123640704@. /u/3925196670

2014高考数学必考点解题技巧秘籍解三角形理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解三角形说明：本资料适于针对学生对本单元存在问题，纠错后的平行题练习 A 型，是二边一角，多数用正弦定理的题型，先断解的个数为好 B 型：两个定理同时运用的简易题C 型：乘法公式转化，用余弦定理与求面积公式的变式D 型；有一定演变能力的，运算能力，切化弦，适于理科学生 N 型；求取值范围的题型H 型：函数与三角形交汇命题，值得关注 F 型：方程思想 A-1型已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a,b,c 若a=c=26+且75A ∠=o ，则b=A.2 B ．4＋．4—A-2型在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b 。

解法sin cos 3cos sin A C A C =，sin()4cos sin A C A C ∴+=，sin()sin A C B +=，化角为边，得到c bc a c b b ⨯-+=24222，化简得，22222()b b c a =+-，)(2222c a b -=，24b b =，4b =。

A-3型（易题）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==.（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.A-4 2010山东．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =，2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为．【答案】6π【解析】由2cos sin =+B B 得B B cos sin 21+=2，即B 2sin =1，因为0<B<π，所以B=45°，又因为2,2==b a ，所以在△ABC ，由正弦定理得：45sin 2sin 2=A ，解得21sin =A ，又b a <，所以A<B=45°，所以A=30°A-5 型设ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为ａ、ｂ、ｃ，3cos()cos 2A C B -+=，2b ac =，求B 。

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一份有效的考试卷其难度应该是遵循3：5：2的规律的，如果知道这个规律，我们在复习的
时候，是不是可以利用这个规律呢？高考题的难度分布为30％的简单题，50％的中等题，20％
的难题。这意味着基础题占了120分，它是复习中练题的主要部分，决不能厌烦它。要知道，
高考不仅考你对知识的掌握程度，还要考做题的速度，许多同学就是在高考时因时间不够，
丢掉了平时能做出来的中等难度题才考砸的，这些教训值得大家三思。鉴于此，建议大家多
花时间在中等以下难度的题上。做难题并非做得越多越好，只能根据自己的程度适量地做：
这一是因为对大多数同学来说做难题感到很头疼，容易产生厌烦情绪；二是做难题过多太费
时间；三是因为大多数难题是由中等难度题组成，基础题做熟练了，再来做难题会相对容易
些。“越是表面复杂的题越有机可乘”这句话非常有道理，高考的难题绝大部分就属于这种表
面复杂的类型，它往往给出较多的条件，仔细分析条件的特点通常都能击破它。做难题的关
键在于平时总结，自己总结一些小经验、小结论并记牢是非常有用的，能力也提高得快，有
余力的同学不妨试试。时间分配：把80%的时间和精力用于80%的内容在复习迎考的阶段，不
少同学的复习重点常会放在那20%甚至是10%的那部分内容上，我曾经听说有一所学校的高三
月考内容是把历年来错误率最高的题目集中起来让学生做，结果当然是可想而知的，考出来
的成绩个位数的也有，学生的信心大受打击。其实这类错误率最高的题目大多属于10%的题
目，假如我们把自己的注意力集中在这部分的内容上，明摆着是长考试威风，灭自己的志气。
而且与复习的策略也不利。找准位置：80%的内容适合80%的学生的高考还牵涉到填志愿的问
题，自己有没有机会冲一冲，跳起来摘一摘那高高挂起来的苹果；自己有没有必要去攻一攻
那20%和10%的难题呢？那么弄清楚自己在所有考生中的相对位置也很重要。你先要考虑的是
你所在的学校属于什么性质的，市重点、区重点还是普通高中，你的学校在全市或全区的排
名位置在哪里，然后再考虑你在学校的位置，两者结合起来考虑，你大致可以推断出你在全
体考生的位置是否在70%左右，还是优秀的20%，还是出类拔萃的10%，然后，你就可以安排
你的复习策略，主攻哪一部分的内容。其实，在复习时，如果你能很好地管好那80%的内容，
然后再挑战一下20%的那部分。对于学习成绩中等的同学来说，在高考最后复习阶段，一定
要舍得抛弃难题。之前模拟考试的有些卷子整体难度大，有利于提高水平；但对于高难度的
题，一般则采取搁置的态度。以基础和中等难度的题为主，保证做题的准确、速度，在这个
基础上适当再做些难题以应考试之万一。