专题14反比例函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021 年中考数学 专题 14 反比例函数及其应用 （知识点总结+例题讲解） 一、反比例函数、图像、性质： 1.反比例函数的概念： （1）定义：一般地，函数 y  k (k 是常数，k≠0)叫做反比例函数； x

（2）变形：反比例函数的解析式也可以写成 y=kx-1 或 xy=k(k≠0)的形式；

（3）自变量 x 的取值范围：x≠0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 【例题 1】下列函数是 y 关于 x 的反比例函数的是（ ）

A．y= 1 x−1 B．y= 1 x3 C．y=− 3 x D．y=− x 4

【答案】C 【解析】利用反比例函数定义进行分析即可． 解：A、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； B、不是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项不合题意； C、是 y 关于 x 的反比例函数，故此选项符合题意； D、不是 y 关于 x 的反比例函数，是正比例函数，故此选项不合题意；故选：C． 【变式练习 1】若 y = (a + 1)xa2 −2是反比例函数，则 a 的取值为（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．任意实数 【答案】A 【解析】先根据反比例函数的定义列出关于 a 的方程组，求出 a 的值即可． 解：∵此函数是反比例函数，∴ a + 1 ≠ 0 a2 − 2 =− 1 ，解得 a＝1．故选：A． 2.反比例函数的图象： （1）反比例函数的图像是双曲线； 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限； 它们关于原点对称； （2）反比例函数关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称；（对称中心：原点） （3）由于反比例函数中自变量 x≠0，函数 y≠0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 【例题 2】(2020•德州)函数 y= k和 y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图 x

象可能是( )

【答案】D 【解析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题． 解：在函数 y= k和 y＝﹣kx+2(k≠0)中， x

当 k＞0 时，函数 y= k的图象在第一、三象限，函数 y＝﹣kx+2 的图象在第一、二、四 x

象限，故选项 A、B 错误，选项 D 正确；

当 k＜0 时，函数 y= k的图象在第二、四象限，函数 y＝﹣kx+2 的图象在第一、二、三 x

象限，故选项 C 错误。

【变式练习 2】(2020•青海)若 ab＜0，则正比例函数 y=ax 与反比例函数 y  b 在同一平 x

面直角坐标系中的大致图象可能是( ) 【答案】B 【解析】根据 ab＜0 及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从 a＞0，b＜0 和 a ＜0，b＞0 两方面分类讨论得出答案． 解：∵ab＜0，∴分两种情况： (1)当 a＞0，b＜0 时，正比例函数 y=ax 的图象过原点、第一、三象限， 反比例函数 y  b 图象在第二、四象限，无选项符合． x

(2)当 a＜0，b＞0 时，正比例函数 y=ax 的图象过原点、第二、四象限，

反比例函数 y  b 图象在第一、三象限，故 B 选项正确；故选：B。 x

3.反比例函数的性质：

k 值 k＞0 k＜0

图像 象限 两个分支分别在第一、三象限 两个分支分别在第二、四象限 性质 每个象限内，y 随 x 的增大而减小 每个象限内，随 x 的增大而增大 （1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数 k 决定； （2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时， 应注意象限问题。 4.反比例函数中反比例系数的几何意义： （1）如下图，过反比例函数 y  k (k≠0)图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN， x

则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|； ∵ y  k ，∴xy=k，S =|k|

PMON

（2）|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 5.常见的与反比例函数有关的图形面积：

【例题 3】点 A（﹣3，y ）、B（﹣1，y ）、C（2，y ）都在反比例函数 y= −6的图象上， 1 2 3 x

则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3

【答案】C 【解析】分别把 A、B、C 各点坐标代入反比例函数 y= −6求出 y 、y 、y 的值，再比较大 x 1 2 3

小即可．

解：∵点 A（﹣3，y ），B（﹣1，y ），C（2，y ）都在反比例函数 y= −6的图象上， 1 2 3 x

∴y = −6 =2，y = −6 =6，y = −6 =−3，

1 −3 2 −1 3 2

∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C． 【变式练习 3】(2020•天津)若点 A(x ，﹣5)，B(x ，2)，C(x ，5)都在反比例函数 y= 10 1 2 3 x

的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是( )

x A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2

【答案】C 【解析】将点 A(x ，﹣5)，B(x ，2)，C(x ，5)分别代入反比例函数 y= 10，求得 x ，x ， 1 2 3 x 1 2

x3 的值后，再来比较一下它们的大小．

解：∵点 A(x ，﹣5)，B(x ，2)，C(x ，5)都在反比例函数 y= 10的图象上， 1 2 3 x

∴﹣5= 10，即 x ＝﹣2，2= 10，即 x ＝5；5= 10，即 x ＝2， x 1 x 2 x 3

∵﹣2＜2＜5，∴x1＜x3＜x2。 【例题 4】如图，过双曲线 y= 2在第一象限上的一支上的点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 AO，则△

x

OAB 的面积为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】利用反比例函数系数 k 的几何意义即可得出△OAB 的面积，即可得出答案． 解：∵过双曲线 y= 2在第一象限上的一支上的点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， x

∴S = 1|k|= 1 ×2＝1，故选：D． △AOB 2 2 【变式练习 4】(2020•湖北荆门模拟)如图，点 A 是反比例函数y= 2 (x＞0)的图象上任 x

意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y=  3 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ ABCD，其中 C、D x

在 x 轴上，则 S□ABCD 为( )

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D 【解析】解：设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入y= 2 得， a= 2 ，则x= 2 ，即 A 的横坐标是 2 ； x x a a

同理可得：B 的横坐标是：  3 。 a

∴AB= 2    3  = 5 。∴S 5 a  a  a □ABCD= ×a=5。故选 D。

a

 

二、反比例函数的解析式的确定：

1.反比例函数解析式的确定：待定系数法 由于在反比例函数 y  k 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的 x

一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析

式． 2.求反比例函数表达式的一般步骤： （1）设出函数的一般形式； （2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于 k 的方程； （3）解方程，求得 k 的值； （4）将所求得的 k 的值代入到函数表达式中。 【例题 5】（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A） 与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（ ）

A．I= 24 R B．I= 36 R C．I= 48 R D．I= 64 R

【答案】C 【解析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 解：设 I= K，把（8，6）代入得：K＝8×6＝48， R

故这个反比例函数的解析式为：I= 48．故选：C． R

【变式练习 5】如图，一次函数 y＝﹣x+1 的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数的图象交于点 C（﹣2，m）．

（1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴正半轴上，且与点 B，C 构成以 BC 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 P 点坐标．