九年级数学月考分析
九年级下学期数学第一次月考分析

九年级数学(下)第一次月考试卷九年级下学期数学第一次月考分析第二单元物质的变化3月20日我校举行了九年级第一次月考,从此次月考情况来看,数学成绩喜忧各半。
喜的是优秀率较自己前不久举行的单元考试稳中有升,达到预期的目标。
忧的是合格率却较之前次单元考试有较大的滑坡,与预期目标差距较大。
通过这次月考充分暴露出相当部分学生对数学这门课程的学习抓得不紧,甚至有放松要求的迹象,造成成绩大幅度的下降。
答:水分和氧气是使铁容易生锈的原因。
一、月考成绩相关数据25、意大利的科学家伽利略发明了望远镜,天文学家的“第三只眼”是天文望远镜,可以分为光学望远镜和射电望远镜两种。
全级参考总人数:59 人。
数学试卷总分:120 分。
其中 102 分及其以上视为优秀,72 分及其以上视为合格。
答:如水资源缺乏,全球气候变暖,生物品种咖快灭绝,地球臭氧层受到破坏,土地荒漠化等世界性的环境问题。
优秀人数:5 人,优秀率:8.47%。
此项数据与命题预期目标相吻合。
合格人数:28 人,合格率:47.46%。
此项数据较预期减少 23%,差距较大。
最高分数:104 分。
二、数学试卷难度分析12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外,还要加入药物进行灭菌处理,这样才能符合我们使用的标准。
此次数学月考试卷总分共 120 分,其中填空和选择占到 54 分,计算(含简单的解答题)达到 39 分,综合题 27 分。
其中容易题比例达到 70%,稍难题比例在 15% 以上,较难题比例在 5% 左右,难题控制在 10% 以内。
整个试卷难度属于中性偏易。
7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中,有什么现象?过一会儿,取出铁钉,我们又观察到了什么现象?(P36)三、学生作答情况分析通过仔细阅读学生作答,发现达到优秀率的学生对于填空、选择、计算等基础知识掌握很牢固,极少出现丢分的现象。
丢分多出现在最后两道综合题上,主要原因是因为平时对综合题的练习不够,思路无法展开,导致做不出或者是思路出现错误。
2023-2024学年广东省东莞市瑞风实验学校九年级(下)月考数学试卷(6月份)+答案解析

2023-2024学年广东省东莞市瑞风实验学校九年级(下)月考数学试卷(6月份)一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中,与的和为0的是()A. B. C. D.2.海关总署网站3月7日消息,据海关统计,2024年前2个月,我国货物贸易进出口总值达到66100亿元人民币,同比增长将数据“66100”用科学记数法表示为()A. B. C. D.3.下列运算结果正确的是()A. B. C. D.4.下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B.C. D.5.中国向大海要水喝已成为现实.到目前为止我国已建成海水淡化工程123个,海水淡化能力每天超过1600000吨.数据1600000用科学记数法表示为()A. B. C. D.6.射击比赛中,某队员10次射击成绩如图所示,则该队员成绩单位:环的中位数为()A.2B.8C.D.97.的绝对值是()A.2024B. C. D.08.下列计算正确的是()A. B.C.D.9.如图所示,在中,D 为BC 中点为AB 上一点,,CE 和AD 相交于点F ,则()A.B.2C.3D.410.如果一个等腰三角形的顶角为,那么可求其底边与腰之比等于,我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图,在中,,,看作第一个黄金三角形;作的平分线BD ,交AC 于点D ,看作第二个黄金三角形;作的平分线CE ,交BD 于点E ,看作第三个黄金三角形……以此类推,第2024个黄金三角形的腰长是()A.B.C.D.二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11.单项式的次数是______.12.某小区新增了一家快递店,第一天揽件100件,第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,可列方程为______.13.分解因式:______.14.在直角中,,,,点P是内一点,满足,则PA的最小值为______.15.不等式组无解,则m的取值范围是______.16.如图,三角形纸片中,,,,折叠这个三角形,使点B落在AC的中点D 处,折痕为EF,那么BF的长为______.三、解答题:本题共8小题,共72分。
九年级数学第一次月考试卷分析

一、试题分析试题难度适宜,能重视考查基础知识、基本技能和数学思想方法。
部分题目可直接运用公式、定理、性质、法则解决,无繁难计算、证明,对教学有导向作用。
二、从学生得分情况上分析考试成绩比较理想,其中,我所代的(1)(2)班中120分以上20人,过差人数10人。
与以前相比较学生对知识的掌握较为牢靠。
运算仔细认真,分析解决问题的能力有所提高。
三、从学生的失分情况上分析教情与学情1.基础题和中档题的落实还应加强。
比如,学生必会,应该拿分的一些中档题得分情况并不理想。
这是因为我们在教学中对学习困难的学生关注不够,课堂密度小,双基的落实不到位。
2.学生数学能力的培养上还有待加强。
(1)审题和数学阅读理解能力较弱。
如第25题,学生根本就没有读懂题,也未考虑到应该分两种情况;还有第26题,其实在航海问题中,曾讲过这种类型,但学生根本就没有理解此题,造成思维混乱。
因而,无从下手;造成严重失分。
(2)计算能力较弱。
从所阅卷中可以看出,一部分学生的计算能力较弱。
比如,第21题与第22题,这是送分题,但学生因为粗心,或记错一个三角函数值而出错;另外,最基本的方程也未得满分。
(3)运用数学思想方法解决数学问题的能力还需加强。
试卷设置了一些涉及到开放性、探究性、应用性的问题,比如:第18题,第26题等;从阅卷和最后的得分情况可以看到学生的得分率都不高,学生所学知识较死,应变能力也不好。
这说明平时教学中,注重的只是告诉学生怎么解,而忽略了为什么这么解,也就是只有结果没有过程。
造成学生应变差,题目稍有变化,就不知如何下手。
学生不会综合运用所学知识结合数学思想去解决问题,这也是优秀率低的一个主要原因。
四、今后几点措施1.加强对课程标准的研究。
比如从试卷中体现出来的:立足基础性、注重能力性、感受时代性、强调应用性、渗透探究性、关注创新性、重视综合性、体验过程性。
特别指出的是考试过程也是学习过程。
2.加强对学生学习方法的指导和学习能力的培养。
2023-2024学年上海外国语大学附属中学九年级上学期9月月考数学试卷含详解

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13.在 Rt△ABC 中, ACB 90 , AB 10 , BC 8 , G 为 V ABC 的重心,过点 G 的直线截 V ABC ,交 AC 边于点 D ,交 BC 边于
点 E ,若 CDE 与V ABC 相似,则 BE 的长为
.
14.如图, ABC 中,点 D,E 分别为 AB, BC 中点, AQ 4QF ,则 DP : PQ : QC
1.
x1
x2
23 3
【分析】由题意易得 3 x 1 0 ,然后问题可求解. 2
【详解】解:
3 2
x
2 1
0
∴ 3 x 1 0. 2
∴
x1
x2
23 3
.
故答案为
x1
x2
23 3
.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
2. 2 5 5
【分析】根据等高三角形的面积之比等于底边之比,得到 SABH : SCAH 4 : 5 ,再利用相似三角形面积之比等于相似比的平
方,即可求出相似比. 【详解】解: 直角三角形 ABC , AH 为斜边 BC 边上的高, C H : B H 4 : 5 .
S ABH : SCAH 4 : 5 . ABH∽CAH .
ABH 和 CAH 的相似比的值为 4 2 5 . 55
故答案为: 2 5 . 5
【点睛】本题考查了三角形面积,相似三角形的性质,解题关键是掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方.
6. 2 a 3
【分析】先解不等式组,再根据整数解的情况列不等式组求解.
【详解】解:解不等式组得: a 2 x 4 .
∵不等式组只有 4 个整数解.
九年级数学月考试卷质量分析

九年级上册数学抽考试质量分析为了总结经验,吸取教训,取长补短,改进教学,提升质量,提高成绩,在全面评估xx学年度第x学期抽考质量检测九年级数学试卷、学生答题情况以及检测成绩后,做出如下总结剖析。
一、试题分析。
xx学年度第x学期抽考检测九年级数学试卷全卷分值100分,考试时间100分钟。
全卷共三道大题24道小题,包括10道单项选择题,8道填空题,6道解答题,实行线下考试、交叉阅卷。
全卷试题题量适宜,难度基本偏高,全面涉及到本学期目前教学的全部内容,重点考察一元二次方程、二次函数、概率、旋转等内容。
试卷内容比较灵活多样,对基础知识、生活实践、看图做题等都有考察,尤其是把课本知识融入生活实践中的这类题型,最能体现素质教育,同时也强调了数学教学与现实生活的紧密联系。
二、考情分析。
本人任教九年级(3)班数学教学,三率和为47.92:平均成绩35.92分,优秀率0.00,及格率12.00,未达到预期目标。
最高73分,最低9分,高低分之间相差近64分,相差悬殊,由此可知本班学生数学两极分化十分严重。
从学生答卷情况来看,大部分在平时能够重视数学课程,能够花功夫按时完成数学科目各项作业,课堂参与度高,对数学课程有兴趣,能够花时间预习复习数学课程的学生都取得了比较理想的成绩。
但总体而言,一是学生数学基础较差:如三分之一的学生不会解一元二次方程,三分之二会方法,但有的不会计算及化简等;二是学生思想问题、学习态度不端正;三是学生太懒了,依赖性太强。
三、教情分析。
1、紧扣书本内容适当拓展,巩固学生基础。
2、认真备课、备学生,预测教学中会遇到的问题,根据学生层次进行第二次备课,课上及时解决问题。
3、认真督促学生按时完成每节课课后作业,按时批改,对存在的问题耐心批改提示,必要时及时全班反馈。
4、通过适当的练习,掌握规律,做到熟能生巧。
本人充分利用练习课时间,对学生耐心讲解辅导。
通过分析质量检测成绩可以看出,以上教学措施基本正确有效。
2023-2024学年北京市海淀区中关村中学九年级(下)月考数学试卷(4月份)+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区中关村中学九年级(下)月考数学试卷(4月份)一、选择题:本题共8小题,每小题2分,共16分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2023年3月23日教育部召开新闻发布会,据介绍,去年我国在学研究生3653600人,比上年增长其中3653600用科学记数法表示正确的是()A. B. C. D.2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.如图,直线AB,CD相交于点O,于O,若,则不正确的结论是()A.B.C.D.4.下列结论中,正确的是()A.若,,则B.若,则,C.若,,则D.若,则5.若正多边形的一个内角是,则该正多边形的边数是()A.6B.12C.16D.186.在一个不透明的袋中装有1个黄球和1个红球,它们除颜色外没有其他区别,从袋中任意摸出一个球,然后放回搅匀,再从袋中任意摸出一个球,那么两次都摸到黄球的概率是()A. B. C. D.7.如果,那么代数式的值为()A. B.3 C. D.8.如图1,点O为正六边形对角线的交点,机器人置于该正六边形的某顶点处,柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行,柱柱同学将机器人运行时间设为t秒,机器人到点A 的距离设为y,得到函数图象如图2,通过观察函数图象,可以得到下列推断:①该正六边形的边长为1;②当时,机器人一定位于点O;③机器人一定经过点D;④机器人一定经过点E;其中正确的有()A.①④B.①③C.①②③D.②③④二、填空题:本题共9小题,共21分。
9.若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为.10.因式分解:______.11.分式方程的解是.12.如图,正比例函数与反比例函数的图象交于点A、B,若点A的坐标为,则关于x的不等式的解集是______.13.4月23日是世界读书日,这天某校为了解学生课外阅读情况,随机收集了30名学生每周课外阅读的时间,统计如下:阅读时间小时人数12864若该校共有1200名学生,试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为______人.14.如图,已知的直径CD垂直于弦AB,垂足为点E,,,则半径OA的长为.15.如图,,直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、若AD::1,,则CE的长为.16.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,有下列结论:①;②射线FE是的角平分线;③;④其中正确结论为是填写所有正确结论的序号17.计算:三、解答题:本题共11小题,共63分。
人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考(第二十一章至第二十三章)(解析版)
九年级上册数学第一次月考(考试范围:第二十一章至第二十三章)一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的.1. 在下面用数学家名字命名图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别,轴对称图形指的是延某条直线折叠,两边的图形能够完全重合;将图形旋转180°,能够与原图形重合的图形叫做中心对称图形,掌握定义是解题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.【详解】解:AB .不是中心对称图形,是轴对称图形,不符合题意;C .既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意;D .既是中心对称图形,又是轴对称图形,符合题意;故选:D .2. 方程23x x =的解为( )A. 120x x == B. 123x x == C. 123x x ==− D. 10x =,23x =【答案】D【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程,根据因式分解法计算即可得出答案.【详解】解:∵23x x =,∴230x x −=,的∴()30x x −=, ∴0x =或30x −=,解得:10x =,23x =,故选:D .3. 抛物线 ()2213y x =−−向左平移2个单位,再向上平移5个单位,所得的抛物线的解析式为( )A. ()2212y x =++B. ()2212y x =−+C. ()2212y x =+−D. ()2212y x =−− 【答案】A【解析】【分析】根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”,将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题.【详解】∵抛物线()2213y x =−−向左平移2个单位,再向上平移5个单位,∴所得的抛物线的解析式为()221235y x =−+−+,即()2212y x =++故选:A【点睛】熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键.4. 用配方法解一元二次方程2870x x −+=,方程可变形为( )A. 2(4)9x +=B. 2(4)9x −=C. 2(8)16x −=D. 2(8)57x +=【答案】B【解析】【分析】先将常数项移到等号的右边,在方程两边加上一次项系数一半平方,将方程左边配成一个完全平方式即可.【详解】解:x 2-8x +7=0,x 2-8x =-7,x 2-8x +16=-7+16,(x -4)2=9.故选:B .【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程,解答时熟练掌握配方法的步骤是关键.5. 如图,将OAB ∆绕O 点逆时针旋转60 得到OCD ∆,若4OA =,35AOB ∠= ,则下列结论不一定正确的是( )A. 60BDO ∠=°B. 25BOC ∠=°C. 4OC =D. //CD OA【答案】D【解析】 【分析】由题意△OAB 绕O 点逆时针旋转60°得到△OCD 知∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO ,可判断C 正确;由△AOC 、△BOD 是等边三角形可判断A 选项;由∠AOB=35°,∠AOC=60°可判断B 选项,据此可得答案.【详解】∵△OAB 绕O 点逆时针旋转60°得到△OCD ,∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=CO=4、BO=DO ,故C 选项正确;则△AOC 、△BOD 是等边三角形,∴∠BDO=60°,故A 选项正确;∵∠AOB=35°,∠AOC=60°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°,故B 选项正确;故选:D .【点睛】本题主要考查旋转的性质,解题的关键是掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质. 6. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么下列结论中正确的是( )A. ac >0B. b >0C. a +c <0D. a +b +c =0【答案】D【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知:a <0,c >0,∴ac <0,故A 错误;B.由对称轴可知:x =2b a −<0, ∴b <0,故B 错误;C.由对称轴可知:x =2b a −=﹣1, ∴b =2a ,∵x =1时,y =0,∴a +b +c =0,∴c =﹣3a ,∴a +c =a ﹣3a =﹣2a >0,故C 错误;故选D .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型. 7. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m ﹣1=0的两个根分别是x 1,x 2,且满足x 12+x 22=3,则m 的值是( )A. 0B. ﹣2C. 0 或﹣12D. ﹣2或0【答案】C【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到()1221x x m ++=-,121x x m =-,再由()22212121223x x x x x x ++=-=,然后整体代入即可得到关于m 方程,解方程即可得到m 的值.【详解】解:∵方程()22110x m x m +++-=的两个根分别是x 1,x 2,∴()1212211x x m x x m ++=-,=-, ∵22123x x +=,即()2121223x x x x +-=, ∴()()221213m m +---=, 解得m =0或m =﹣12, ∵方程()22110x m x m +++-=的两个根, ∴()()222141450m m m ∆++≥=--=, ∴m 为任意实数,方程均有实数根,当m =0, 5∆=>0;当 m =﹣12,6∆=>0 ∴m =0或m =﹣12均符合题意. 故选:C . 【点睛】本题考查根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键.8. 如图,将一个小球从斜坡的点O 处抛出,小球的抛出路线可以用抛物线2142y x x =−刻画,斜坡可以用直线12y x =刻画.下列结论错误的是( )A. 小球落地点与点O 的水平距离为7mB. 当小球抛出高度达到7.5m 时,小球与点O 的水平距离为3mC. 小球与点O 的水平距离超过4m 时呈下降趋势D. 小球与斜坡的距离的最大值为49m 8【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质,令211422x x x −=,解得10x =,27x =,即可判断A ;把7.5y =代入2142y x x =−得2147.52x x −=,求解即可判断B ;将抛物线解析式化为顶点式即可判断C ;设抛物线上一点A 的坐标为21,42a a a−,作AB x ⊥轴交直线12y x =于B ,则1,2B a a ,表示出AB ,结合二次函数的性质即可判断D ,熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键. 【详解】解:令211422x x x −=,解得10x =,27x =, ∴小球落地点与点O 的水平距离为7m ,故A 正确,不符合题意; 把7.5y =代入2142y x x =−得2147.52x x −=, 解得:13x =,25x =,∴当小球抛出高度达到7.5m 时,小球与点O 的水平距离为3m 或5m ,故B 错误,符合题意; ∵()221144822y x x x =−=−−+, ∴抛物线的对称轴为直线4x =, ∵102−<, ∴当4x >时,y 随x 的增大而减小,∴小球与点O 的水平距离超过4m 时呈下降趋势,故C 正确,不符合题意;设抛物线上一点A 的坐标为21,42a a a−, 作AB x ⊥轴交直线12y x =于B ,则1,2B a a, , ∴2221117174942222228AB a a a a a a =−−=−+=−−+ , ∵102−<,∴当72a =时,AB 有最大值,最大值为498, ∴小球与斜坡的距离的最大值为49m 8,故D 正确,不符合题意; 故选:B . 9. 如图,抛物线2=23y x x −−与y 轴交于点A ,与x 轴的负半轴交于点B ,点M 是对称轴上的一个动点,连接AM ,BM ,则AM BM +的最小值为( )A. 2B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】设抛物线与x 轴的另一个交点为C ,连接MC ,AC ,根据解析式求得,A C 的坐标,根据轴对称的性质得出MB MC =,继而得出AM BM +取得最小值,最小值为AC 的长,勾股定理即可求解.【详解】解:如图所示,设抛物线与x 轴的另一个交点为C ,连接MC ,AC ,∵2=23y x x −−,令0y =,即2230x x −−=,解得:121,3x x =−=, ∴()3,0C ,令0x =,解得=3y −,∴()0,3A −,∵点M 是对称轴上的一个动点,∴MB MC =,∵AM BM AM CM AC +=+≥∴当,,A M C 三点共线时,AM BM +取得最小值,最小值为AC 的长,故选:D .【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值,掌握二次函数对称性是解题的关键. 10. 如图,在OAB ∆中,顶点(0,0)O ,(3,4)A −,(3,4)B ,将OAB ∆与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次旋转结束时,点D 的坐标为( )A. (10,3)B. (3,10)−C. (10,3)−)D. (3,10)−【答案】D【解析】 【分析】先求出6AB =,再利用正方形的性质确定(3,10)D −,由于704172=×+,所以第70次旋转结束时,相当于OAB ∆与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90°,此时旋转前后的点D 关于原点对称,于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标.【详解】解:(3,4)A − ,(3,4)B ,336AB ∴=+=,四边形ABCD 为正方形,6AD AB ∴==,(3,10)D ∴−,704172=×+ ,∴每4次一个循环,第70次旋转结束时,相当于OAB △与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次,每次旋转90°,∴点D 的坐标为(3,10)−.故选D .【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.二、填空题(每小题3分,共15分)11. 已知()211350mm x x +−+−=是关于x 的一元二次方程,则m 的值为______. 【答案】1−【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义:含有一个未知数,且未知数的最高次幂是2次的整式方程,特别注意二次项系数不为0,正确把握定义是解题关键.直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2,得出m 的值进而得出答案.【详解】解:由题意知:212m +=且10m −≠,解得1m =−,故答案为:1−.12. 图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,则这个位置是_______.【答案】③【解析】【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°后,能够与原来的图形完全重合,那么这个图形叫做中心对称图形,根据中心对称图形的定义和性质思考判断即可.【详解】当放置在①位置时,构成的图形不是中心对称图形,∴①不符合题意;当放置在②位置时,构成的图形不是中心对称图形,∴②不符合题意当放置在③位置时,构成的图形是中心对称图形,∴③符合题意当放置在④位置时,构成的图形不是中心对称图形,∴④不符合题意故答案为:③.【点睛】本题考查了拼图中的中心对称图形,熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键. 13. 抛物线()2223,=−−+y x ,当03x ≤≤时,y 的最小值与最大值的和是________.【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题,先根据解析式得到抛物线顶点坐标为(2,3),且抛物线开口向下,则y 的最大值为32x =,再根据自变量的取值范围推出当0x =时,函数有最小值,据此求出最小值即可得到答案.【详解】解:∵抛物线解析式为()2223,y x =−−+∴抛物线顶点坐标为(2,3),且抛物线开口向下,∴y 的最大值为3,离对称轴越远,函数值越小,且对称轴为直线2x =,∵2032−>−,∴当03x ≤≤时,当0x =时,函数有最小值,最小值为()220235y =−−+=−,∴y 的最小值与最大值的和是532−+=−,故答案为:2−.14. 《念奴娇·赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去浪淘尽,千古风流数人物. 而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为_____岁.【答案】36【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,根据“十位恰小个位三,个位平方与寿符”以及10×十位数字+个位数字=个位数字的平方,据此列方程可得答案,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【详解】解:设这位风流人物去世的年龄十位数字为x ,则个位数字为3x +,则根据题意:()()21033x x x ++=+,整理得:2560x x −+=,解得12x =,23x =,由题意,而立之年督东吴,则2x =舍去,∴这位风流人物去世的年龄为36岁,故答案为:36.15. 函数222y x ax =−−在12x −≤≤有最大值6,则实数a 的值是______.【答案】1−或72【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴为x a =,再分1a ≤−,1a 2−<<和2a ≥三种情况,分别利用二次函数的性质求解即可得. 【详解】二次函数222y x ax =−−的对称轴为22a x a −=−=, 由题意,分以下三种情况:(1)当1a ≤−时,在12x −≤≤内,y 随x 的增大而增大, 则当2x =时,y 取得最大值,最大值为224224a a −−=−,因此有246a −=,解得1a =−,符合题设;(2)当1a 2−<<时,在12x −≤≤内,当1x a −≤≤时,y 随x 的增大而减小;当2a x <≤时,y 随x 的增大而 增大, 则当1x =−或2x =时,y 取得最大值,因此有1226a +−=或22426a −−=, 解得72a =或1a =−(均不符题设,舍去); (3)当2a ≥时,在12x −≤≤内,y 随x 的增大而减小,则当1x =−时,y 取得最大值,最大值为12221a a +−−,因此有216a −=,解得72a =,符合题设; 综上,1a =−或72a =, 故答案为:1−或72. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,依据题意,正确分三种情况讨论是解题关键.三、解答题(本大题共8个小题,共75分)16. 解一元二次方程:(1)210150x x −+=(2)()()124x x −+=.【答案】(1)15x =+,25x =(2)13x =−,22x =【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握配方法和因式分解法是解此题的关键.(1)利用配方法解一元二次方程即可;(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.【小问1详解】解:∵210150x x −+=,∴21015x x −=−,∴210252515x x −+=−,∴()2510x −=,∴5x −=,∴15x =,25x =;【小问2详解】 解:∵()()124x x −+=, ∴2224x x x +−−=,∴260x x +−=,∴()()320x x +−=, ∴30x +=或20x −=,∴13x =−,22x =.17. 若关于x 的一元二次方程2420x x a −++=有两个不相等的实数根.(1)求a 的取值范围;(2)求当a 为正整数时方程的根.【答案】(1)a 的取值范围为2a <(2)若a 为正整数时,方程的根为1和3【解析】【分析】本题考查了根的判别式,解一元一次不等式和解一元二次方程,能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键.(1)根据判别式即可求出答案;(2)根据a 的范围可知,代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案.【小问1详解】解:∵关于x 的一元二次方程2420x x a −++=有两个不相等的实数根,∴()()22Δ444120b ac a =−=−−××+>,解得:2a <,∴a 的取值范围为2a <.【小问2详解】解:∵a 为正整数,∴1a =,∴原方程2430x x −+=, 即()()130x x −−=, 解得:11x =,23x =,∴若a 为正整数时,方程的根为1和3.18. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy ,△ABC 的三个顶点都在格点上,A 的坐标是(4,4),请回答下列问题:为(1)将△ABC向下平移六个单位长度,画出平移后的△A1B1C1,并写出点A的对应点A1的坐标;(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点A2的坐标;(3)判断△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称;若是,请画出对称中心M,并写出点M的坐标【答案】(1)图形见解析,A1(4,-2)(2)图形见解析,A2(-4,-4)(3)图形见解析,M(0,-3)【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C向下平移6个单位的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标;(2)根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的对应点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A2的坐标即可;(3)根据中心对称的定义判断,对称中心是各个对应点连线的交点.【详解】(1) 如图,△A1B1C1即为所求,点A的对应点A1的坐标:(4,-2)(2)如图,△A2B2C2即为所求,点A2的坐标(-4,-4)(3)如图,△A1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称,M (0,-3).【点睛】本题考查作图,旋转变换,平移变换,中心对称等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.19. 如图,隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成,矩形的长AB 为6m ,宽BC 为4m ,以DC 所在的直线为x 轴,线段CD 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.y 轴是抛物线的对称轴,最高点E 到地面距离为5米.(1)求出抛物线的解析式.(2)如果该隧道内设单行道(只能朝一个方向行驶),现有一辆货运卡车高4.5米,宽3米,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.【答案】(1)2119y x =−+ (2)这辆货运卡车能通过该隧道【解析】【分析】(1)抛物线的解析式为()20y ax bx c a ++≠,把()()()303001,,,D ,C ,E −代入计算即可; (2)把 4.5y =时代入(1)的解析式,求出x 的值即可求出结论.【小问1详解】解:根据题意得:()()()303001,,,D ,C ,E −,设抛物线的解析式为()20y ax bx c a ++≠, 把()()()303001,,,D ,C ,E −代入()20y ax bx c a ++≠ 得:193109310c a b a b = ++=−+=解得1901a b c =− = =, ∴抛物线的解析式为2119y x =−+; 【小问2详解】这辆货运卡车能通过该隧道,理由如下: 在2119y x =−+中,令45405..y =−=得: 210519.x =−+,解得:x =±,()28.49m x ∴=≈, 8493.> ,∴这辆货运卡车能通过该隧道.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是求出二次函数的解析式.20. 解决问题:邓州公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量,该品牌头盔7月份销售500个,9月份销售720个,且从7月份到9月份销售量的月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)若此种头盔的进价为30元/个,经市场预测,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%;(2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.【解析】【分析】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x ,根据“该品牌头盔7月份销售500个,9月份销售720个,且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可;(2)设该品牌头盔的实际售价为y 元/个,根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量,即可得出关于y 的一元二次方程,解之即可求出答案.【小问1详解】解:设该品牌头盔销售量月增长率为x ,由题意得:()25001750x +=, 解得:10.220%x ==,2 2.2x =−(不合题意,舍去), 答:该品牌头盔销售量月增长率为20%;【小问2详解】解:设该品牌头盔的实际售价应定为y 元/个,由题意得:()()30600104010000y y −−−=, 整理得:213040000y y −+=,解得:150y =,280y =,∵尽可能让顾客得到实惠,∴50y =,答:该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题,解题关键是准确理解题意,找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法.21. 已知二次函数 2y x bx c =++中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表: x 0 1 2 3 4y 5 2 1 2 5(1)求该二次函数的关系式.的的(2)当x 为何值时,y 有最小值? 最小值是多少?(3)若()1,A m y ,()2,B c y 两点都在该函数的图象上,当12y y <时,求m 的取值范围.【答案】(1)245y x x =−+(2)当2x =时,y 有最小值,最小值为1(3)15m −<<【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的对称性,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)利用待定系数法计算即可得出答案;(2)将二次函数解析式化为顶点式即可得出答案;(3)由(1)得出()25,B y ,将二次函数解析式化为顶点式即可得出抛物线的对称轴为直线2x =,抛物线开口向上,得出()25,B y 关于直线2x =对称的点的坐标为()21,y −,即可得解.【小问1详解】解:∵二次函数2y x bx c =++的图象经过点()0,5,()1,2,∴512c b c = ++=, 解得:54c b = =−, ∴该二次函数的关系式是245y x x =−+;【小问2详解】解:∵()224521y x x x −=+=−+,∴当2x =时,y 有最小值,最小值为1;【小问3详解】解:由(1)可得:5c =,即()25,B y ,∵()224521y x x x −=+=−+,∴抛物线的对称轴为直线2x =,抛物线开口向上,∴()25,B y 关于直线2x =对称的点的坐标为()21,y −,∵()1,A m y ,()2,B c y 两点都在该函数的图象上,12y y <,∴15m −<<.22. 如图,抛物线2y x mx =+与直线y x b =−+交于点()2,0A 和点B .(1)求m 和b 的值;(2)求点B 的坐标,并结合图象写出不等式2x mx x b +>−+的解集;(3)点M 是直线AB 上的一个动点,将点M 向左平移3个单位长度得到点N ,若线段MN 与抛物线只有一个公共点,直接写出点M 的横坐标x 的取值范围.【答案】(1)2m =−,2b =(2)点B 的坐标为()1,3−,不等式2x mx x b +>−+的解集为1x <−或2x >(3)12x −≤<或3x =【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数交点问题,熟练掌握以上知识点并灵活运用,采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键.(1)利用待定系数法计算即可得解;(2)由(1)可得:抛物线的解析式为22y x x =−,直线的解析式为2y x =−+,联立222y x y x x =−+ =−,求出点B 的坐标为()1,3−,再结合图象即可得出答案;(3)分类求解确定MN 的位置,进而求解.【小问1详解】解:将()2,0A 代入抛物线表达式2y x mx =+可得420m +=, 解得:2m =−,将()2,0A 代入直线y x b =−+可得:20b −+=, 解得:2b =;【小问2详解】解:由(1)可得:抛物线的解析式为22y x x =−,直线的解析式为2y x =−+, 联立222y x y x x =−+ =−, 解得13x y =− = 或20x y = =, ∴点B 的坐标为()1,3−,从图象看,不等式2x mx x b +>−+的解集为1x <−或2x >;小问3详解】解:如图:当点M 在线段AB 上时(不含A 点),线段MN 与抛物线只有一个公共点,∵M ,N 的距离为3,而A 、B 的水平距离是3,故此时只有一个交点,即12x −≤<, 如图,当线段MN P 时,线段MN 与抛物线只有一个公共点,∵()22211y x x x =−=−−, ∴抛物线的顶点()1,1P −, 在2y x =−+中,当1y =−时,21x −+=−,解得3x =; 综上所述,12x −≤<或3x =.23. 在等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形EBF 中,90ACB BEF ∠=∠=°,连接AF ,M 是AF 的中点,连接CM ,EM .【(1)观察猜想:图1中,线段CM 与EM 的数量关系是 ,位置关系是 .(2)探究证明:把EBF △绕点B 顺时针旋转一周,(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由.(3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为()6,0,点C 的坐标为()6,4,P 为平面内一动点,且2AP =,连接CP ,D 是CP 的中点,连接BD .请直接写出BD 的最值.【答案】(1)CM EM =,CM EM ⊥(2)成立,证明见解析(3)BD 的最小值为1−,最大值为1+【解析】【分析】(1)由直角三角形的性质得出12CM AM AF ==,12EM AM AF ==,从而得出CM EM =,由等边对等角得出MAC MCA ∠=∠,MAE MEA ∠=∠,由三角形外角的定义及性质得出2EMC BAC ∠=∠,最后再由等腰直角三角形的性质即可得出答案; (2)延长AC 到点G ,使CG AC =,连接BG ,FG ,延长FE 到点H ,使EH FE =,连接BH ,AH ,证明()SAS ACB GCB ≌,得出AB BG =,45BAC BGC ∠=∠=°,同理可得:BH BF =,90∠=°FBH ,证明HBA FBG ≌,得出AH FG =,HAB FGB ∠=∠,由三角形中位线定理可得12EM AH =,EM AH ∥,12CM FG =,CM FG ∥,得出EM CM =,由平行线的性质得出EMF HAF ∠=∠,MCA FGA ∠=∠,求出FMC FAC FGA ∠=∠+∠,即可得解; (3)连接AC ,BC ,由题意得出4AB =,4BC =,90ABC ∠=°,以AP 为斜边作等腰直角三角形AKP ,连接DK ,BK ,由等腰直角三角形的性质得出AK AP =,由(2)可得,DK BD =,DK BD ,同理可得:BD =,结合AB AK BK AB AK −≤≤+,得出当点K 在AB 线段上时,BK 取得最小值,即BD 取得最小值,当点K 在BA 的延长线上时,BK 取得最大值,即BD 取得最大值,即可得解.【小问1详解】解:∵90BEF ∠=°,∴18090AEF BEF ∠=°−∠=°,∵90ACB ∠=°,M 是AF 的中点, ∴12CM AM AF ==,12EM AM AF ==, ∴CM EM =,MAC MCA ∠=∠,MAE MEA ∠=∠,∴222EMC EMF CMF MAE MAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠,∵三角形ABC 是等腰直角三角形,∴45BAC ∠=°,∴90EMC ∠=°,即CM EM ⊥;故答案为:CM EM =;CM EM ⊥【小问2详解】解:成立,证明如下:如图,延长AC 到点G ,使CG AC =,连接BG ,FG ,延长FE 到点H ,使EH FE =,连接BH ,AH ,∵90ACB ∠=°,∴91800BCG A ACB CB ∠=−°=∠°∠=,∵CG AC =,BC BC =,∴()SAS ACB GCB ≌,∴AB BG =,45BAC BGC ∠=∠=°,∴18090ABG BAC BGC ∠=°−∠−∠=°,同理可得:BH BF =,90∠=°FBH ,∴HBA ABF FBG ABF ∠+∠=∠+∠,即HBA FBG ∠=∠,∴HBA FBG ≌,∴AH FG =,HAB FGB ∠=∠,∵EH EF =,M 是AF 的中点,CG AC =,∴EM 是AFH 的中位线,CM 是AFG 的中位线, ∴12EM AH =,EM AH ∥,12CM FG =,CM FG ∥, ∴EM CM =,EMF HAF ∠=∠,MCA FGA ∠=∠, ∴FMC FAC MCA FAC FGA ∠=∠+∠=∠+∠,∴90EMC EMF FMC HAF FAC FGA BAC BGC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=°,即CM EM ⊥;【小问3详解】解:如图,连接AC ,BC ,,∵点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为()6,0,点C 的坐标为()6,4,∴4AB =,4BC =,90ABC ∠=°,以AP 为斜边作等腰直角三角形AKP ,连接DK ,BK ,∵AK PK =,90AKP ∠=°,∴AP =,∴AK AP =,由(2)可得,DK BD =,DK BD ,同理可得:BD =, ∵AB AK BK AB AK −≤≤+,∴当点K 在AB 线段上时,BK 取得最小值,即BD 取得最小值,此时4BK ==−;1BD当点K在BA的延长线上时,BK取得最大值,即BD取得最大值,此时4BK=,=+;1BD综上所述,BD的最小值为1+.−,最大值为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、坐标与图形、三角形中位线定理等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.。
2023-2024学年上海市29校联考九年级上学期月考数学试题及解析
2023学年第一学期九年级数学学科素养测试(满分:150分 完成时间:100分钟)一、选择题:(本大题共6小题,每题4分,满分24分)1. 如果ABC DEF ∽△△(其中顶点A 、B 、C 依次与顶点D 、E 、F 对应)那么下列等式中,不一定成立的是( ) A. A D ∠=∠ B.A DB E∠∠=∠∠ C. AB DE =D.AB DEAC DF=【答案】C 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质,主要利用了相似三角形对应角相等,对应边成比例.根据相似三角形对应角相等,对应边成比例解答即可. 【详解】解:ABC DEF △∽△,A ∴、A D ∠=∠正确,故本选项错误;B 、A DB E∠∠=∠∠正确,故本选项错误; C 、AB DE =不一定成立,故本选项正确; D 、AB DEAC DF=正确,故本选项错误. 故选:C .2. 已知点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上,DE BC ∥,且:1:3ADE DBCE S S =△四边形,那么:AD DB 的值是( ).A.14B.13C.12D. 1【答案】D 【解析】【分析】由:1:3ADE DBCE S S =△四边形可得:1:4ADE ABC S S =△△ 再证ADE ABC △△∽可得12AD AB =,则AD BD =即可解答;掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.【详解】解:如图:∵:1:3ADE DBCE S S =△四边形 ∴()::1:4ADE ABCADE ADE DBCE S SS S S =+=△△△四边形∵DE BC ∥, ∴ADE ABC △△∽,∴12AD AB == 即AD BD =, ∴:1AD DB =.故选D .3. 如果抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限,且在y 轴的左侧是上升的,那么下列对其顶点的描述中,正确的是( ).A. 其顶点一定不在第一、二象限B. 其顶点一定不在第二、三象限C. 其顶点一定不在第三、四象限D. 其顶点一定不在第四、一象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知a<0、对称轴bx 02a=−>,然后根据对称轴确定顶点的可能位置即可;根据题意确定对称轴的位置是解题的关键.【详解】解:∵抛物线2y ax bx c =++不经过第二象限,且在y 轴的左侧是上升的, ∴a<0,对称轴bx 02a=−>, ∴顶点不可能在第二、三象限. 故选B .4. 已知在四边形ABCD 中,记AB a =,BC b =,CD c =,DA d =.如果向量a 、b 、c 、d 都是单位向量,那么下列描述中,正确的是( ) A. 向量a 与b 方向相同,且向量c 与d 方向相同 B. 向量a 与c 方向相同,且向量b 与d 方向相同 C. 向量a 与b 方向相反,且向量c 与d 方向相反D. 向量a 与c 方向相反,且向量b 与d 方向相反 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了向量的定义,根据题意作出图形,根据向量的定义及数形结合即可求解,熟练掌握向量的定义,利用数形结合思想解决问题是解题的关键. 【详解】解:如图:∴向量a 与c 方向相反,且向量b 与d 方向相反,故选D .5. 如图,在ABC 中,CD 是边AB 上的高,已知90ACB ∠=︒,1AB =.下列线段中,其长为sin 2A 的是( )A. BCB. ACC. BDD. AD【答案】C 【解析】【分析】本题考查正弦的定义,掌握sin A A ∠=的对边斜边是解题的关键.【详解】解:∵CD 是边AB 上的高,已知90ACB ∠=︒, ∴90A ACD ACD DCB ∠+∠=∠+∠=︒, ∴A DCB ∠=∠, 又∵sin BC A AB =,sin BDDCB BC∠=, ∴2sin sin sin =BC BDA A DCB BD AB BC=⋅∠⋅=, 故选C .6. 已知抛物线M :2y ax bx c =++的顶点为P ,抛物线N :2y ax bx d =−++的顶点为Q .命题1:如果点P 在抛物线N 上,那么点Q 也在抛物线M 上;命题2:如果点P 不在抛物线N 上,那么点Q 也不在抛物线M 上.下列说法中,正确的是( ) A. 命题1是真命题,命题2也是真命题 B. 命题1是真命题,命题2是假命题 C. 命题1是假命题,命题2是真命题 D. 命题1是假命题,命题2也是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知抛物线M 、抛物线N 开口方向相反,对称轴互为相反数,据此判断即可;根据二次函数的性质的抛物线M 、抛物线N 的关系是解题的关键.【详解】解:∵抛物线M :2y ax bx c =++的顶点为P ,抛物线N :2y ax bx d =−++的顶点为Q . ∴抛物线M 、抛物线N 开口方向相反,对称轴互为相反数;∴如果点P 在抛物线N 上,那么点Q 也在抛物线M 上;原说法是真命题; 如果点P 不在抛物线N 上,那么点Q 也不在抛物线M 上;即原说法是真命题. 故选A二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)7. 已知::1:3:6a b c =,30a b c ++=,那么−−=c b a ________. 【答案】6 【解析】【分析】设a n =,则3,6b n c n ==,然后代入30a b c ++=求得n ,进而求得a 、b 、c 的值,最后代入计算即可;掌握一元一次方程的应用是解题的关键.【详解】解:设a n =,则3,6b n c n ==,则3630n n n ++=,解得:3n =; ∴3,9,18a b c ===, ∴18936c b a −−=−−=. 故答案为6.8. 已知抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上,且开口向下,请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式:________.【答案】2y x =−(答案不唯一)【解析】【分析】先根据开口向下可知a<0,再根据顶点在y x =上,即2424b ac ba a−−=,整理得2240b b ac −−=,然后确定符合条件的值即可解答.【详解】解:∵抛物线2y ax bx c =++开口向下, ∴a<0,∵抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x =上,∴2424b ac b a a−−=,即2240b b ac −−=,如:当1a =−,0b c ==符合题意. 故答案为:2y x =−(答案不唯一). 9. 已知点()11,A y 和()22,By 在二次函数()220y axax c a =++<图像上,则12y y −________0.(填“>”、“<”或“=”) 【答案】> 【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质等知识点的理解和掌握,能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.根据二次函数的解析式得出图象的开口向下,对称轴是直线=1x −,根据1x >−时,y 随x 的增大而减小,即可得出答案. 【详解】解:()220y ax ax c a =++<,∴图象的开口向下,对称轴是直线212ax a=−=−, ∴1x >−时,y 随x 的增大而减小, 112−<<,21y y ∴<, 120y y ∴−>,故答案为>.10. 已知平面直角坐标系中点()3,4A 和()0,B b ,满足1tan 2ABO ∠=(O 为原点),那么b 的值为________.【答案】2−或10##10或2− 【解析】【分析】本题考查的是坐标与图形,锐角三角函数的应用,分当点B 在y 轴的正半轴上和负半轴上两种情况,分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可;清晰的分类讨论是解答本题的关键. 【详解】解:①如图:当点B 在y 轴的正半轴上时,则4BC b =−,∵1tan 2ABO ∠=, ∴12AC BC =,即3142b =−,解得:10b =;②如图:当点B 在y 轴的负半轴上时,则4BC b =−,∵1tan 2ABO ∠=,∴12AC BC =,即3142b =−+,解得:=2b −.故答案为2−或10.11. 平面直角坐标系中点()30A ,、()02B ,、()53C −,,设OA a =,OB b =,那么向量CO =________.(用向量a 、b 表示) 【答案】5332a b − 【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算:平面向量的加法法则,利用作平面直角坐标系更快速解题,掌握()CO OC =−是解题的关键【详解】解:依题意,如图所示:故()535353323232CO OC OA OB OA OB a b ⎛⎫=−=−−+=−=− ⎪⎝⎭ 故答案为:5332a b − 12. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向,那么轮船乙位于轮船甲的________.(注明方向) 【答案】南偏西35︒ 【解析】【分析】根据方位角的相对性进行解答即可;理解相对性是解题的关键. 【详解】解:∵轮船甲位于轮船乙的北偏东35︒方向, ∴轮船乙位于轮船甲的南偏西35︒. 故答案为:南偏西35︒.13. 已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直,那么其顶角的正弦值为________. 【答案】35##0.6 【解析】【分析】如图:过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG == 再根据直角三角形的性质可得112DG BC ==;根据三角形的重心是中线的三等分点可得3AG =;再运用等腰三角形的性质和勾股定理可得AB AC ==35BE CE ==,最后根据正弦的定义即可解答.【详解】解:如图:过B 作BE AC ⊥ 设2BC = 则1BG CG ==∵D 是重心,BD CD ⊥ ∴112DG BC ==∴BD CD === 22AD DG == 即3AG =∵AD 是中线 AB AC = ∴AG BC ⊥∴AB AC ====∵1tan 3BE AG ACB CE CF ∠=== ∴3BE CE =∵222BC CE BE =+∴()2223BC CE CE =+ 解得:5CE =∴3BE CE ==,∴3sin5BE BAC AB ∠===.故答案为35.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形重心的性质、正切、正弦的定义等知识点,掌握三角形的重心是中线的三等分点成为解题的关键.14. 已知菱形的周长为C ,其一个内角(锐角)的正切值为2,设其面积为S ,那么S 关于C 的函数关系式是________.(不必写出定义域)【答案】2S =【解析】【分析】本题考查正切的定义,菱形的性质和面积以及勾股定理.正切等于对边比邻边,菱形的四边长度相等.根据菱形的性质得出菱形的边长,由正切的定义得出2DEAE=,再由勾股定理得出DE 的长,由菱形的面积等于底乘以高即可求解.【详解】解:如图,四边形ABCD 是菱形,DE 是AB 边上的高,∵菱形的周长为C , ∴4C AB AD ==, ∵A ∠的正切值为2, ∴2DEAE=, ∴12AE DE =, 由勾股定理可得222AD AE DE =+,∴222142C DE DE ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得:10DE =,菱形面积为241040C S AB DE C C =⋅=⋅=,2.15. 已知一张等腰直角纸片,其底边长为3cm ,将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠,则折叠后重叠部分的面积为________2cm . 【答案】34【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例及三角形中位线的性质、勾股定理,熟知相关性质是正确解决本题的关键.过AC 中点E 作EF AB ∥,交CD 于F ,利用平行线分线段成比例求出重叠部分的上底、下底、高,再利用梯形面积公式即可求出.【详解】解:如图所示,3AB =,CD BE 、是中线,M 是重心,PQ 过点M 且PQ AB ∥,将CPQ 沿直线PQ 折叠,重叠部分是梯形GHPQ ,EF AB ∥,12EF FM BD DM ∴==, 3AB =,32BD AD CD ∴===,2AC BC ==, 34EF CF ∴==, 1142FM ,DM ∴==,1CM QM ∴==,2PQ =,CQ =2AQ ∴=, 1AG ∴=,同理1BH =,1GH ∴=,()11312224GHPQ S ∴=⨯+⨯=梯形.故答案为:34.16. 已知在ABC 中,5AB =,4BC =,3CA =,G 是其重心,那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形的面积是________. 【答案】2 【解析】【分析】如图:延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = 根据题意可证四边形CGBE 是平行四边形,即CE BG =、BE CG =,最后根据三角形的重心将三角形三等分以及等底等高即可解答;掌握三角形的重心是三角形的中线的三等分点是解答本题的关键.【详解】解:如图:延长AG 交BC 于D 再延长GD 使得DE DG = ∵AD 是中线, ∴21,,33CD BD AG AD GD AD ===, AG GE = ∴四边形CGBE 是平行四边形, ∴CE BG =,BE CG = ∵AG GE =,∴那么以GA 、GB 、GC 为三边的三角形为BEG ∵111342333BCGABCSS ==⨯⨯⨯=, ∴平行四边形CGBE 的面积为24BCGS =,∴122BEGCGBE SS ==. 故答案为2.17. 如图,将矩形ABCD 分别沿AE 、DF 折叠,恰好使点B 、C 重合于形内点G 处,如果EFG 与ADG △的面积比为1:4,那么:AB AD =________.【答案】58【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题,勾股定理,相似三角形的性质与判定,过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ,交BC 于点M ,证明EGM GAN ∽得出12EG EM MG AG NG AN ===,设,EM x MG y ==,分别表示出,MN AB ,得出43y x =,进而表示出,AB AD ,即可求解. 【详解】如图所示,过点G 作MN AD ⊥交AD 于点N ,交BC 于点M ,依题意,,AG AB DG DC ==, 又AB CD =, ∴AG GD =,∴GAD GDA ∠=∠,则BAG CDG ∠=∠, ∵折叠, ∴AGEB ∠=∠,DGFC ∠=∠,∴360180BAG BEG B AGE ∠+∠=︒−∠−∠=︒,又180BEG MEG ∠+∠=︒, ∴MEG BAG ∠=∠, ∵90EGA ∠=︒∴90EGM AGN ∠+∠=︒∴90GAN AGN EGM ∠=︒−∠=∠ ∴EGM GAN ∽ 同理可得MGF NDG ∽∵EFG 与ADG △的面积比为1:4, ∴12EG EM MG AG NG AN === 设,EM x MG y == ∴2,2NG x AN y ==,∴EG =AB AG ==∴222BC BE EM x =+= ∴2AB MN MG NG y x ==+=+∴2y x =+ 解得:43y x =∴410233AB x x x =+=,1623AD BC x x === ∴58AB AD = 故答案为:58.18. 如图,直线123l l l ∥∥,等边ABC 的三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上,如果直线1l 、2l 间的距离与直线2l 、3l 的距离之比为1:2,那么AB 与直线1l 夹角的正切值是________.【答案】5【解析】【分析】本题考查旋转性质,等边三角形的性质,解直角三角形,过点C 作2CD l ⊥于点D ,然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ,过点E 作3FG l ⊥于点F ,交1l 于点G ,过点B 作1BH l ⊥于点H ,设BH a =,得到12EF EC a ==,然后求出正切值即可. 【详解】解:过点C 作2CD l ⊥于点D ,然后把CDB 绕点C 顺时针旋转60︒得到CEA ,过点E 作3FG l ⊥于点F ,交1l 于点G ,过点B 作3BH l ⊥于点H ,设BH a =,则2CD a =,则2CE CD a ==,90FCD CDB FEC ∠=∠=∠=︒,60ECD ∠=︒,3FG a = ∴30ECF ∠=︒, ∴12EF EC a ==, ∴32EG FG EF a a a =−=−=,又∵90ECF FEC GEA FEC ∠+∠=∠+∠=︒, ∴30GEA ∠=︒∴2cos cos303EG a EA a GEA ===∠︒,∴3AC a ===,又∵等边ABC , ∴3AB AC a ==,∴3AH a ===,∴tan 5BH BAH AH∠===,故答案为:5. 的三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19. 计算:()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒. 【答案】7 【解析】【分析】本题考查了实数的运算,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键,将特殊角的三角函数值代入并结合零次幂的性质计算即可. 【详解】解:()043tan 30tan 60cot 60cos701sin 60cos 45︒︒+︒+︒−−︒︒431=+−⎝⎭114=−61=+− 7=.20. 如图,在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,2AD =,4BC =,3AB =,BE CD ⊥,垂足为E .(1)设AB a =,AD b =,求作向量EC 分别在AB 、AD 方向上的分向量; (2)求sin ABE ∠的值.【答案】(1)见解析 (2)79【解析】【分析】(1)如图:作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形.可以得到2MN AD ==、1BM CN ==,再根据三角函数可得43CE =,进而可得49EC CD =,再根据向量的和差可得DC a b =+,即4499EC a b =+,据此作图即可; (2)如图:如图:设AM 与BE 交于点H ,由等腰梯形的性质可得1BF =,再根据勾股定理可得AM =BE =4HM =、BH =AH =;再根据三角函数可得HI =73AI =,进而得到23BI =,最后根据正弦的定义即可解答. 【小问1详解】解:如图:作,AM BC DN BC ⊥⊥ 则四边形AMND 是矩形.∴2MN AD == ∴1BM CN ==∴1cos 3CE NC C BC DC ∠=== 即143CE =,即43CE = ∴49CE CD = 即49EC CD = ∵AD BC ∥,2BC AD = ∴22BC AD b ==,∴2DC DA AB BC b a b a b =++=−++=+, ∴4499EC a b =+ ∴向量EC 在AB 、AD 的分向量分别为4499a b 、;作图见图:小问2详解】解:如图:设AM 与BE 交于点H ,∵等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥,2AD =,4BC =, ∴1BF = ∴AM ==BE ==∵4tan 43HM CE EBC BM BE ∠====即14HM =,解得:4HM =;∴BH ==∴AH AM MH =−= 如图:作HIAB ⊥∴1sin 3HI BM BAM AH AB ∠=== 即173HI =,解得:HI = 同理可得:73AI =,∴72333BI =−=,∴712sin 39IH ABE BH ∠===.【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角函数、向量等知识点,正确作出辅助线、灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键.【21. 已知函数2423y x x =++.(1)试着通过列表、描点、连线的方式,画出其图像的草图; (2)根据所画草图,请写出该函数的三条图像特征.【答案】(1)见解析 (2)①函数图像的对称轴为=1x −;②当1x >−,y 随x 的增大而减小;③函数图像无限靠近x 轴,但不会和x 轴相交(不唯一合理即可). 【解析】【分析】(1)根据列表、描点、连线的步骤画出函数图像即可;掌握作图步骤是解题的关键; (2)根据函数图像,总结归纳性质即可;掌握数形结合思想是解题的关键. 【小问1详解】 解:①列表如下:②描点、连线如下:【小问2详解】解:由(1)所得图像可得如下性质:①函数图像的对称轴为=1x −;②当1x >−,y 随x 的增大而减小;③函数图像无限靠近x 轴,但不会和x 轴相交(不唯一合理即可).22. 小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度.如图所示,他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α,然后他沿AC 前进了10米到达点F 处,再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β.已知1tan 3α=,sin 13β=,测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处.求建筑AB 的高度.【答案】31.5 【解析】【分析】延长BE BG ,分别交MN 的延长线于M N '',,MM '于CD 相交于H ,设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,然后在Rt MM B '和Rt MN B '中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=,由sin 13β=可得tan 4β=,进而得到()2104BM x =+,据此列方程解得35x =,最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键.【详解】解:如图:延长BE BG .分别交MN 的延长线于M N '',,MM '于CD 相交于H ,设m NH x = 则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+在Rt MM B '中,()1·tan 2103BM MM x α==+'; Rt MN B '中,·tan BM MN β'=, ∵sin 13β=,∴cos 3β=,∴tan 4β=,∴()2104BM x =+,∴())122021034x x +=+,解得:35x =+,∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=+⎣⎦.答:建筑AB 的高度为()31.5m +.23. 如图,正方形纸片ABCD .现对纸片做如下操作:第一步,对折纸片,使边AD 与BC 重合,得到折痕EF ;第二步,将BCF △折叠,得到折痕BF ;第三步,将ABP 折叠,使顶点A 落在折痕BF 上点Q 处.(1)求证:点P 恰为线段AD 的黄金分割点;(2)现有矩形纸片ABCD ,其中AB BC <,如图所示.请你借助这张纸片,设法折出一个30︒的角.要求写出折纸的步骤(可仿照上面的表述),并在图中画出各步骤的折痕位置,注明30︒角的位置,不需要证明.【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】【分析】本题考查折叠作图,黄金分割点的定义,勾股定理,掌握黄金分割的比值是解题的关键.(1)先运用勾股定理得到2BF =,然后在Rt QPF 和Rt DGF 中,运用2222FQ PQ DF DP +=+解题计算即可证明;(2)先对折矩形,然后再折叠,使得点A 落在第一次的折痕上,即可得到30︒角. 【小问1详解】 证明:如图,连接PF ,设正方形ABCD 的边长为1,则12DF =.在Rt BCF 中,2BF ==,则12QF BF BQ =−=−. 设AP PQ x ==,则1PD x =−, 在Rt QPF 和Rt DGF 中,有2222FQ PQ DF DP +=+, 即()222211122x x ⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=, 解得512x √−=, 即点P 是AD 的黄金分割点(AG GD >); 【小问2详解】方法如图所示:第一步:对折矩形纸片ABCD ,使 AD 与BC 重合,得到折痕EF ,把纸片展平;第二步:再一次折叠纸片,使点A 落在EF 上,落点为点N ,并使折痕经过点B ,得到折痕BM ,同时,得到线段BN .则30ABM MBN NBC ∠∠∠===︒.24. 如图,直线1l :122y x =+与x 、y 轴的交点为A 、B ,点P 是该直线上位于第一象限内的一点,满足12PB BA =.(1)以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB (不含点A 、B )有交点,求a 的取值范围; (2)将直线1l 平移得到直线2l ,直线2l 与x 、y 轴的交点为C 、D ,且使BC CD ⊥,问:直线1l 平移到直线2l ,至少需要平移多少距离?(3)如果(1)中抛物线2y ax bx c =++与直线2l 在抛物线对称轴右侧的交点为Q ,当PQA △与PQB △相似时,求此时抛物线的表达式.【答案】(1)108a −<<(2 (3)2129y x =−+ 【解析】【分析】(1)根据题意可得:a<0、0b =、()()4,0,0,2A B −,然后求出抛物线过临界点时的a 的取值,进而完成解答;确定a 、b 的取值范围是解答本题的关键; (2)设平移后的直线2l 的解析式为:212y x t =+;BC 的解析式为3y kx b =+,根据垂直直线的关系可得2k =−,进而确定(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭;再根据点C 在2l 上可得4b t =−,则0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭;再运用勾股定理列方程可得2b =,然后确定()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭,最后根据两点间距离公式即可解答;明确各直线间的关系是解题的关键; (3)设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据题意和勾股定理可得()2,3P ;再根据PQA PQB ∽可得3PA PQ AQ PB BQ PQ ===;设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭,根据两点间距离公式可得3=,解得:3n =或92n =(舍),即Q 的坐标为()3,1;再结合(1)、(2)即可解答;灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键. 【小问1详解】解:∵以B 为顶点的抛物线2y ax bx c =++与线段AB (不含点A 、B )有交点, ∴抛物线的开口一定向下,即a<0;且对称轴为y 轴,则02ba−=、0b =, 当0x =时,1222y x =+=;当0y =时,4x =−, ()()4,0,0,2A B −;当2y ax bx c =++恰好过()0,2B 点时,则2c =,()220y ax a =+<;当2y ax bx c =++恰好过()()4,0,0,2A B −两点时,有0162a =+,即18a =−; 综上,a 的取值范围为108a −<<. 【小问2详解】解:设平移后的直线2l 的解析式为:212y x t =+;BC 的解析式为3y kx b =+, ∵BC CD ⊥, ∴112k =−,即2k =−, ∴32y x b =−+,∴(),0,0,2b C D t ⎛⎫⎪⎝⎭由点C 在2l 上,则1022b t ⨯+=,解得:4b t =−,即0,4b D ⎛⎫− ⎪⎝⎭,在Rt BCD 中有222BC CD BD +=,即2222422244b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得:2b =,∴()11,0,0,2C D ⎛⎫− ⎪⎝⎭21122y x =−∴平移距离BC ==【小问3详解】 解:设1,22P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ∵12PB BA =, ∴2BA PB =∴=,解得:2a =,即()2,3P ; ∵PQA PQB ∽∴3PA PQ AQPB BQ PQ=== 设Q 的坐标为11,22n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭3=,解得:3n =或92n =(舍), ∴Q 的坐标为()3,1,(1)可得由22y ax =+,则192a =+,解得:19a =−. ∴抛物线表达式为:2129y x =−+;25. 如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,O 是边AC 的中点,点D 位于边AB 上,连接DO 并延长交BC 的延长线于点E ,过点D 作DF BC ⊥,垂足为F .(1)当DE AB ⊥时,求tan AED ∠的值; (2)当EA AB ⊥时,求证:2DF DA DB =⋅;(3)作射线OP ,使其平行于BC ,且在AC 的右侧.试问:在射线OP 上是否存在点Q ,使得OQD OQE ∠=∠如果存在,请求出OQ 的长;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)1241(2)见解析 (3)4 【解析】【分析】(1)由中点的性质可得32OA OC ==,再直角三角形可得65OD =、910AD =、158OE = 进而得到12340ED =;最后根据正切的定义即可解答; (2)如图:延长EA FD 、相交于G ,根据平行线等分线段定理可得,,OA EO CO EODG ED DF ED==再说明GD DF =,可得sin ADG DG ∠=;再说明sin DF B DB ∠= 则B G ∠=∠;然后可得AD DF DG BD =,再结合GD DF =即可证明结论;(3)如图:作AI BC ∥交BD 延长线于I ,过O 作射线OP 交AB 于G ,,连接CG 交DF 于H DF 与OG 交于J ,再证DJG HJG ≌可得,DJ JH DG HG ==,进而说明DQO EQO ∠=∠,即H 在EQ上;再根据平行线等分线段定理可得GQ HG DGCE CH AD==;然后再说明OG CQ =即可解答. 【小问1详解】解:∵O 是边AC 的中点,3AC = ∴32OA OC ==∵DE AB ⊥,∴346sin 255BC OD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯= 339cos 2510AC AD OA CAB OA AB =⋅∠=⋅=⨯=631553cos cos 282OC OC OE COE AOD ===÷=∠∠∴1561238540ED =+= ∴912312tan 104041AD AED DE ∠==÷=. 【小问2详解】解:如图:延长EA FD 、相交于G , ∵AC GF ∥∴,,OA EO CO EODG ED DF ED == ∴OA CODG DF=, ∵OA OC = ∴GD DF = ∵EA AB ⊥, ∴sin ADG DG∠=在Rt DFB △中,sin DFB DB∠= 则B G ∠=∠ ∴AD DFDG BD= ∵GD DF =, ∴AD DFDF BD= 即2DF DA DB =⋅. 【小问3详解】解:如图:假设Q 存,作AI BC ∥交BD 延长线于I ,过O 作射线OP 交AB 于G ,,连接CG 交DF于H DF 与OG 交于J ,∵OG AC ⊥ AG CG = OG BC ∥ ∴G 是AB 的中点,∴,AG CG BG AGO CGO ==∠= ∵DF OP ⊥ JG GJ = ∴DJG HJG ≌ ∴,DJ JH DG HG ==∴DQ HQ = DQO HQO ∠=∠ 又∵DQO EQO ∠=∠ ∴H 在EQ 上, ∵CE QG ∥ ∴GQ HG DGCE CH AD == ∵AI OG ∥ ∴OG DG AI AD= 则OG GQAI CE = ∵,AO CO AI CE =∥ ∴AI CE = ∴OG CQ = ∴12OG AO OB AC == 即12OG OB = ∴24OQ OG BC ===.【点睛】本题主要考查了中点的性质、解直角三角形、三角函数、平行线等分线段定理、全等三角形的判定与性质等知识点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.,。
江苏省天一中学(实验学校)2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷时间:120分钟 总分:150分一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列方程中,是一元二次方程的有( )①21x x +=;②22340x xy −+=;③211x x −=;④20x =;⑤233x x +=.A. 1个;B. 2个;C. 3个;D. 4个. 【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键;因此此题可根据“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”,据此问题可求解.【详解】解:①21x x +=是一元二次方程;②22340x xy −+=不是一元二次方程;③211x x−=不是一元二次方程;④20x =是一元二次方程;⑤233x x +=是一元二次方程;所以是一元二次方程的有3个; 故选C . 2. 若一元二次方程230x x a −+=的一个根为2x =,则a 的值为( )A. 2B. 2−C. 4D. 4− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解,此题比较简单,需要同学们熟练掌握.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立,最后转化成解a 的一元一次方程.【详解】解:把2x =代入方程230x x a −+=可得460a −+=, 解得2a =,故选:A .3. 如图,若点D 是线段AB 的黄金分割点(AD BD >),6AB =,则AD 的长是( )A. 3B. 1C. 9−D. 3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了黄金分割.根据黄金分割的定义可得6AD =,即可求解. 【详解】解:∵点D 是线段AB 的黄金分割点(AD BD >),6AB =,∴63AD ==−. 故选:D4. 方程2230x x −−=配方后可化成()2x m n +=的形式,则m n +的值为( ) A. 5B. 4C. 3D. 1 【答案】C【解析】【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法.先将常数移项到右边,再在左边配成完全平方即可.【详解】解: 2230x x −−= 223x x ∴−=2214x x ∴−+=2(1)4x ∴−=1,4m n ∴=−=3m n ∴+=.故选:C .5. 如图,已知12∠=∠,那么添加下列的一个条件后,仍无法判定ABC ADE △△∽的是( )A AB AC AD AE = B. B D ∠=∠ C. AB BC AD DE = D. C AED ∠=∠【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定,两组角分别对应相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似,据此逐一判断即可.【详解】解:∵12∠=∠,.∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠,∴DAE BAC ∠=∠, 添加条件AB AC AD AE=,结合DAE BAC ∠=∠,可以根据两组对边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽,故A 不符合题意;添加条件B D ∠=∠,结合DAE BAC ∠=∠,可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽,故B 不符合题意; 添加条件AB BC AD DE=,结合DAE BAC ∠=∠,不可以得到ABC ADE △△∽,故C 不符合题意; 添加条件C AED ∠=∠,结合DAE BAC ∠=∠,可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽,故D 不符合题意;故选:C .6. 若关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根,则k 的取值范围是( ) A. 54k ≥ B. 54k > C. 54k >且1k ≠ D. 54k ≤且1k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出10k −≠且()214110k ∆=−×−×≥,求解即可得到答案.【详解】解: 关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根, ()210Δ14110k k −≠ ∴ =−×−×≥, 解得:54k ≤且1k ≠, 故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义,一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系:①0∆>,方程有两个不相等的实数根,②0∆=,方程有两个相等的实数根,③0∆<,方程没有实数根.7. 下列各组图形中,一定相似的是( )A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可.【详解】解:A 、任意两个正方形的对应角相等,对应边的比也相等,故一定相似,故此选项符合题意; B 、任意两个矩形对应角相等,但对应边的比不一定相等,故不一定相似,此选项不符合题意, C 、任意两个菱形的对应边的比相等,但对应角不一定相等,故不一定相似,此选项不符合题意; D 、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等,对应角也不一定相等,故不一定相似,此选项不符合题意;故选:A .【点睛】本题考查的是相似图形的概念,掌握对应角相等,对应边的比相等的多边形,叫做相似多边形是解题的关键.8. 如图,在ABC 中,D 是AC 的中点,点F 在BD 上,连接AF 并延长交BC 于点E ,若31BF FD =::,=10BC ,则CE 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 103【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理,过点D 作DH AE ∥,交BC 于H ,根据平行线分线段成比例定理得到32BE EC =,计算即可. 【详解】解:过点D 作DH AE ∥,交BC 于H ,则1CH CD HE DA ==,3BE BF EH FD==, ∴32BE EC =, ∵=10BC ,∴=4CE ,故选:B .9. 《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步=10尺)时,此时踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长?”若设秋千绳索长为x 尺,则可列方程为( ).A. ()222101x x +=+B. ()222110x x ++=C. ()222104x x +=−D. ()222410x x −+= 【答案】D【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 x 尺,根据题意可得 ()4AO x =−尺,利用勾股定理可得方程,即可求解.【详解】解:设秋千的绳索长为x 尺,则OA OB x ==尺由题意可知:1AC =尺,5BD CE ==尺,则4AE =尺,则()4OEx =−尺,由勾股定理可得:222OE BE OB +=,则可列方程为:()222410x x −+=.故选:D . 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用,关键是正确理解题意,表示出 OE 的长,掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.10. 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,P 是BC 边上一动点(不含B 、C 两点),将ABP 沿直线AP 翻折,点B 落在点E 处;在CD 上有一点M ,使得将CMP 沿直线MP 翻折后,点C 落在直线PE 上的点F 处,直线PE 交CD 于点N ,连接MA ,NA .则以下结论中正确的是.( )①CMP BPA ∽△△;②CNP 的周长始终不变:③当P 为BC 中点时,AE 为线段NP 的中垂线;④线段AM:⑤当ABP ADN △△≌时,2BP =−.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠,∠∠,则由平角的定义可得90CPM APB ∠+∠=°,再由正方形的性质得到90C B ∠=∠=°,则可证明CMP BPA ∽△△,据此可判断①;由折叠的性质可得AE AB PB PE ==,,90AEP B ∠=∠=°,则90AD AE AEN D ==°=,∠∠,证明()HL ADN AEN ≌,得到DN EN =,再根据三角形周长公式可得CNP 的周长CD CB =+,据此可判断②;设DNNE x ==,则2CN x =−,由勾股定理得()()222121x x +−=+,解得23x =,即32DN =,NE PE ≠,据此可判断③;设PB x =,则2PC x =−,由相似三角形的性质得到CM PC PB AB =,即22CM x x −=,则()()2211121222CM x x x =−−=−−+,则当1x =时,CM 有最大值12,此时DM 有最小值32,又由AM ==DM 最小时,AM 最小,据此可判断④;由全等三角形的性质得到DNPB PE EF ===,设DN PB PE EF m ====,则2NC PC m ==−,2PN m =,由勾股定理得,()()()222222m m m −+−=,解得2m =−+2m =−−,中2BP =−+,据此可判断⑤.【详解】解:由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠,∠∠,∵180CPM FPM APE APB +++=°∠∠∠∠,∴90CPM APB ∠+∠=°,的∵四边形ABCD 是正方形,∴90C B ∠=∠=°,∴CMP BPA ∽△△,故①正确;∵四边形ABCD 是正方形,∴90AD AB D B =∠=∠=°,,由折叠的性质可得AE AB PB PE ==,,90AEP B ∠=∠=°, ∴90AD AE AEN D ==°=,∠∠,又∵AN AN =,∴()HL ADN AEN ≌,∴DN EN =,∴CNP 的周长4CN CP PN CN NE CP PE CN DN CP PB CD CB =++=+++=+++=+=, ∴CNP 的周长始终不变,故②正确:当P 为BC 中点时,则1PE PB PC ===,设DNNE x ==,则2CN x =−, 在Rt PCN △中,由勾股定理得222CN PC PN +=,∴()()222121x x +−=+, 解得23x =, ∴32DN =, ∴NE PE ≠,∴AE 不为线段NP 的中垂线,故③错误;设PB x =,则2PC x =−,∵CMP BPA ∽△△, ∴CM PC PB AB=,即22CM x x −=, ∴()()2211121222CM x x x =−−=−−+, ∴当1x =时,CM 有最大值12, ∴此时DM 有最小值32,∵AM ==∴当DM 最小时,AM 最小,∴52AM =最小值,故④错误; ∵ABP ADN △△≌,∴DNPB PE EF ===, 设DNPB PE EF m ====,则2NC PC m ==−,2PN m =, 在Rt PCN △中,由勾股定理得222CN PC PN +=,∴()()()222222m m m −+−=,解得2m =−+2m =−−,∴2BP =−+,故⑤正确;∴正确的有①②⑤,共3个,故选:B .【点睛】本题主要考查了勾股定理,正方形与折叠问题,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,二次函数的最值问题等等,熟知正方形的性质和折叠的性质是解题的关键. 二、填空题(共83分,第18题第1空1分,第2空2分,共24分) 11. 已知23a b =,则b a =_______. 【答案】32 【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质,直接根据比例的性质求解即可. 【详解】解:∵23a b =, ∴32b a =, 故答案为:32. 12. 关于x 的方程 222310mm x x 是一元二次方程,则m 的值为______.【答案】-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义,列出关于m 的一元二次方程和一元一次不等式,即可求解.【详解】∵ 222310m m x x 是一元二次方程,∴20m −≠,222m −=,解得2m =−,故答案为:-2.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.13. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9,这两个三角形的周长的和是100cm ,那么较小的三角形的周长为______cm .【答案】40【解析】【分析】根据相似三角形的性质,即可解答.【详解】解: 两个相似三角形的面积之比为4:9,∴这两个三角形的周长之比为2:3,设两个三角形的周长分别为2k ,()30k k ≠,又 这两个三角形的周长的和是100cm ,23100k k ∴+=,解得20k =,故较小的三角形的周长为:()222040cm k =×=, 故答案为:40.【点睛】本题考查了相似三角形性质,熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键.14. 若α,β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为____.【答案】12【解析】【详解】试题解析:∵α为22510x x −−= 的实数根,∴22510,αα−−= 即2251αα=+, 223551355()31ααββααββαβαβ∴++=+++=+++,∵α、β为方程22510x x −−=的两个实数根,的51,22αβαβ∴+==−, ∴25123553()112.22ααββ++=×+×−+= 故答案为12.点睛:一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是12,.x x 则1212,.b c x x x x a a +=−= 15. 电脑病毒传播快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有121台电脑被感染,若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑,则x =__________.【答案】10【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑.则经过一轮感染,1台电脑感染给了x 台电脑,这(1)x +台电脑又感染给了(1)x x +台电脑.等量关系:经过两轮感染后就会有121台电脑被感染,然后可列方程进行求解.【详解】解:每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑,列方程得:1(1)121x x x +++=,221200x x +−=解得:112x =−(舍去),210x =. 答:每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑.故答案为:10.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中传播问题,题目比较典型,能够正确表示每轮感染中,有多少台电脑被感染,是解决此题的关键.16. 已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x −−=+,其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长,如果方程有两个相等的实数根,则ABC 的形状为______.【答案】直角三角形【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,勾股定理逆定理,一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系:①0∆>,方程有两个不相等的实数根,②0∆=,方程有两个相等的实数根,③0∆<,方程没有实数根.原方程可以化为()220a c x bx a c +++−=,由题意得出()()()2240b a c a c ∆=−+−=,推出222a b c =+,即可得解.【详解】解:原方程可以化为:()220a c x bx a c +++−=, ∵方程有两个相等的实数根,∴()()()2240b a c a c ∆=−+−=,∴222a b c =+,∴ABC 为直角三角形,故答案为:直角三角形.17. 如图,ABC ADE ∽△△,90BAC DAE ∠=∠=°,3AB =,4AC =,点 D 在线段BC 上运动,P 为线段DE 的中点,在点D 的运动过程中,CP 的最小值是_______.【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质,三角形斜边上的中线性质,熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键.利用ABC ADE ∽△△,90BAC DAE ∠=∠=°,判定出ABD ACE ∽,通过相似三角形的性质可得到90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠,由P 为线段DE 的中点推出12CP DE =,再利用相似三角形的比值关系求出DE 的长即可.【详解】解:∵ABC ADE ∽△△, ∴AB AC AD AE=, ∵90BAC DAE ∠=∠=°,∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠,∴BAD CAE ∠=∠, ∴ABD ACE ∽,∴ABD ACE ∠=∠,∵90ABD ACB ∠+∠=°,∴90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠,∵P 为线段DE 的中点, ∴12CP DE =, ∴当DE 最小时CP 最小, 又∵DE AD BC AB=, ∴AD DE BC AB=×,BC 与AB 都为定值,即AD 最小时,DE 最小,则AD BC ⊥时符合题意,AD 为BC 边上的高,在Rt BAC 中,3AB =,4AC =,则:5BC, ∵1122ABC S AB AC BC AD =×=× ,即:1134522AD ××=××, 解得:125AD =, ∵AB AC AD AE=, ∴125543AD DE BC AB =×=×=, ∴114222CP DE ==×=; 故答案为:2.18. 如图①②,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(),点(,0)M t 是横轴上的一点,点N 在y 轴上,且90MPN ∠=°,0t ≤≤.(1)如图①,当0t =时,PM PN=_______;(提示:过点P 作x 轴垂线,垂足为H ,交过点N 作y 轴的垂线于点G )(2)连接MN ,设MN 的中点为T ,在点M 从0t =这个时刻走到t =这个时刻的过程中,点T 所走过的路线长是_______.【答案】 ①.②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容.(1)过P 作PH x ⊥轴于点H ,过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ,证PGN MHP ∽即可得解;(2)连接OT ,PT ,则OT PT =,所以点T 在点T 在线段PO 的垂直平分线上,从而发现当0t ≤≤时,点T 在DE 上运动,求出DE 长度即可.【详解】解:(1)过P 作PH x ⊥轴于点H ,过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ,则90MPN PGN MHP ∠=∠=∠=°,()P ,3PH ∴=,GN MH ==,90MPN ∠=° ,90GPN MPH ∴∠+∠=°,90GPN PNG ∠+∠=° ,MPH PNG ∴∠=∠,90PGN MHP ∠=∠=° ,∴PGN MHP ∽,∴PM P M H PG PN N H G ===∴9PG ==,∴12ON GH PH PG ==+=,(2)如图,连接OT ,PT ,ON 的中点E ,过P 作PH x ⊥轴于点H ,则3PH =,OH =90MPN MON ∠=∠=° ,MN 的中点为T ,12MT NT MN ∴==, ∴点T 在线段PO 的垂直平分线上,设线段PO 的垂直平分线交x 轴于点D ,则OD DP =,DH OH OD DP =−=∵Rt PDH △中,222PD DH PH =+,∴()2223PD DP =+,解得OD DP ==当0t =时,M 与原点重合,此时90OPN ∠=°,得到12MN ON ==,此时点T 与ON 的中点E 重合,162OE ON ∴==,∴DE =,当t=时,OM=,此时HM OM OH =−=∴(22222336OP OP PH =+=+=,22222312MP HM PH =+=+=,∴(222248OP MP OM +==,∴90OPM NPM °∠=∠=,即此时点N 与原点重合,T 与D 重合,∴当0t ≤≤时,点T 在DE 上运动,点T所走过的路线为线段DE ,DE =即在点M 从0t=这个时刻走到t =这个时刻过程中,点T 所走过的路线长是故答案为:三、解答题(共10小题,共96分)19. 按要求解下列方程:(1)23610xx +−=(配方法)的(2)2650x x −+=(3)290x −−=(公式法)(4)()()()2243225x x x x +−−=+.【答案】(1)12x x =(2)1215x x ==,(3)12x x ==(4)12162x x =−=−, 【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程:(1)先把二次项系数化为1,再把常数项移到方程右边,接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方,再解方程即可;(2)把方程左边利用十字相乘法分解因式,然后解方程即可;(3)利用公式法解方程即可;(4)先把原方程化成一般式,再利用因式分解法解方程即可.【小问1详解】解:∵23610x x +−=, ∴21203x x +−=, ∴2123x x +=, ∴24213x x ++=,∴()2413x +=,∴1x +=解得12x x = 【小问2详解】解:∵2650x x −+=,∴()()150x x −−=, ∴10x −=或50x −=,解得1215x x ==,; 【小问3详解】解:∵290x −−=,∴19a b c =−=−,,∴(()2419480∆=−−××−=>,∴x解得12x x ==【小问4详解】解:∵()()()2243225x x x x +−−=+,∴()()22246944210x x x x x x ++−−+=+∴22242436442100x x x x x ++−+−−−=,∴218320x x ++=, ∴()()2160x x ++=, ∴20x +=或160x +=,解得12162x x =−=−,. 20. 化简再求值:2221111a a a a a −− ÷−− −+,其中a 是方程280x x −−=的根. 【答案】21−a a ,18【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值,一元二次方程解的定义,先把小括号内的分式通分化简,再把除法变成乘法后约分化简,再根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到280a a −−=,即28a a −=,据此可得答案. 【详解】解:2221111a a a a a −− ÷−− −+()()22121111a a a a a a −−−+÷+−+ ()()222111a a a a a a −−÷+−+ ()()()21112a a a a a a −+⋅+−− ()11a a =− 21a a=−, ∵a 是方程280x x −−=的根,∴280a a −−=,∴28a a −=,∴原式18=. 21. 已知关于x 的方程2(2)20x k x k −++=(1)求证:无论k 取任何实数,方程总有实数根;(2)若等腰ABC 的一边3a =,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式,等腰三角形的周长.(1)证明Δ0≥即可得到无论k 取任何实数,方程总有实数根;(2)先解方程得到2x =或x k =,再根据等腰ABC 分情况计算即可.【小问1详解】证明:()()22Δ24122k k k =−+−××=− , 无论k 取何值,2(2)0k −≥,∴Δ0≥,∴无论k 取任何实数,方程总有实数根;【小问2详解】解:2(2)20x k x k −++=. (2)()0x x k ∴−−=,2x ∴=或x k =, ∵3a =,两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根,∴ABC 的三边长为2,3,k ,∴当2k =时,等腰ABC 的为2,3,2,此时周长3227a b c =++=++=;当3k =时,等腰ABC 的为2,3,3,此时周长3328a b c =++=++=;综上所述,ABC 的周长为7或8.22. 如图,在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ,请按要求画线段.(1)在图1中,过点O 画一条格点线段PQ (端点在格点上),使点P ,Q 分别落在边AD ,BC 上,且PQ 与FG 的一边垂直.(2)在图2中,仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ,EG 上一点N ,连结MN ,使△EMN 和△EFG 的相似比为2:5.(保留作图痕迹)【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意找到格点,P Q ,画出线段PQ 即可【小问1详解】如图所示,PQ 即为所求,【小问2详解】如图所示,取格点,J K,连接OJ交EF于点M,连接OK交EG于点N连接MN,则MN即为所求,//EO JFMOE MHF∴∽∴23 OE MEJF MF==同理23 ENNG=,EM ENE EMF EG∴=∠=∠EMN EFG∴∽∴25 EMEF=.【点睛】本题考查了相似变换作图,掌握平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定是解题的关键.23. 如图,在平行四边形ABCD中,E是边AD的延长线上一点,连接BE交CD于点F,交对角线AC于点G.(1)若12DE AD ==,,求CF DF的值; (2)求证:BCF EAB ∽ .【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】【分析】本题考查几何综合,涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识,熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.(1)由平行四边形性质,结合三角形相似的判定与性质即可得到答案;(2)由平行线性质得到EAB BCD ∠=∠、AD BC ∥,结合平行线性质得到E CBE =∠∠,利用相似三角形的判定定理即可得证.小问1详解】解:在平行四边形ABCD 中,2BC AD ==,AD BC ∥,DEF CBF ∴∽△△,221CF BC DF DE ∴===; 【小问2详解】证明:由(1)知AD BC ∥,则E CBE =∠∠,在平行四边形ABCD 中,EAB BCD ∠,∴BCF EAB ∽ .24. 济南市公安交警部门提醒市民:“出门戴头盔,放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量,四月份售出375个,六月份售出540个,且从四月份到六月份月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率;(2)经市场调研发现,此种品牌头盔如果每个盈利10元,月销售量为500个,若在此基础上每个涨价1元,则月销售量将减少20个,现在既要使月销售利润达到6000元,又要尽可能让顾客得到实惠,那么该品牌头盔每个应涨价多少元?【答案】(1)头盔销售量的月增长率为20%;(2)该品牌的头盔每个应涨价5元.【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x ,根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,得出关于x 的一【元二次方程,解之取其正值即可;(2)设头盔每个涨价m 元,根据“月销售利润达到6000元”,得出关于m 的一元二次方程求解,根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可.【小问1详解】解:设头盔销售量的月增长率为x ,根据题意得:()23751540x +=,解得10.2x =,2 2.2x =−(舍去), ∴头盔销售量的月增长率为20%;【小问2详解】解:设头盔每个涨价m 元,根据题意得:()()10500206000m m +−=, 整理得215500m m −+=,解得15m =,210m =(舍去), 答:该品牌的头盔每个应涨价5元25. 材料1:法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠−的两根1x ,2x 有如下的关系(韦达定理):12b x x a+=,12c x x a⋅=; 材料2:如果实数m 、n 满足210m m −−=、210n n −−=,且m n ≠,则可利用根的定义构造一元二次方程210x x −−=,将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根.请根据上述材料解决下面问题:(1)①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ,2x ,则12x x +=_______,12x x ⋅=_______.②已知实数a ,b 满足:2430a a +−=,2430b b +−=(a b ≠),则11a b+=_______. (2)已知实数m 、n 、t 满足:2411m m t −=+,2411n n t −=+,且0m n <<,求(1)(1)m n ++的取值范围.【答案】(1)①1.5, 2.5−;②43(2)()()5119m n <++<【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系,根的判别式.(1)①根据根与系数的关系解答;②根据题意,得到实数a ,b 是方程 2430x x +−= 的两个根,根据根与系数的关系进行求解即可; (2)根据根与系数的关系,m ,n 是方程24110x x t −−−=的解,进而得到(1)(1)16m n mn m n t ++=+++=−−,再根据根与系数的关系和根的判别式求出t 的范围,即可.【小问1详解】解:① 一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ,2x ,12 1.5x x ∴+=,12 2.5x x ⋅=−, 故答案为:1.5, 2.5−;② 实数a ,b 满足:2430a a +−=,2430()b b a b +−=≠, a ∴,b 是方程2430x x +−=的解, ∴aa +bb =−4,3ab =−, ∴1143a b a b ab++==; 故答案为:43; 【小问2详解】解: 实数m 、n 、t 满足:2411m m t −=+,2411n n t −=+m ∴,n 是方程24110x x t −−−=的解,4m n ∴+=,11mn t =−−, (1)(1)16m n mn m n t ∴++=+++=−−0m n << ,∴()Δ1641110t =−××−−>,110mn t =−−>,解得1511t −<<−,569t ∴<−−<,5(1)(1)9m n ∴<++<.26. 每到三月就会让人想起那句:“西湖美景,三月天哪”,雷峰塔是杭州西湖的标志性景点,为了测出雷峰塔的高度,初三学生小白设计出了下面的测量方法:已知塔前有一4米高的小树CD ,发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上,测得57BD =米,D E 、之间有一个花圃无法测量,然后在E 处放置一个平面镜,沿BE 后退.退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像,此时 2.4EG =米,测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米,求出塔高AB .【答案】塔高AB 为42米【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质和判定,根据题意得到FGE CDE ∽ ,利用相似三角形的性质得出DE ,再证明ABE CDE ∽△△,利用相似三角形的性质,即可得出AB .【详解】解:由题知CED FEG ∠=∠,CD BG ⊥,FG BG ⊥,∴90FGE CDE ∠=∠=°,∴FGE CDE ∽ , ∴FG EG CD DE=, 2.4EG =米, 1.6FG =米,4CD =米, ∴1.62.44DE =, 解得:6DE =米,AB BG ⊥,∴90ABE CDE ∠=∠=°,∴AB CD ∥,∴ABE CDE ∽△△, ∴AB BE CD DE=, 57BD =米,∴57663BE BD DE =+=+=米,∴6346AB =, 解得:42AB =米,答:塔高AB 为42米.27. 阅读感悟:已知方程2210x x +−=,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y ,则2y x =.所以2y x =. 把2y x =代入已知方程,得221022y y +⋅−=. 化简,得2440y y +−=,故所求方程为2440y y +−=.这种利用方程的代换求新方程的方法,我们称为“换元法”.请用阅读材料提供的“换元法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式.解决问题:(1)已知方程230x x −−=,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.则所求方程为:______;(2)方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠−≥,,的两个根与方程______的两个根互为倒数. (3)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−,求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠的两个实数根.【答案】(1)2310y y −−=(2)20cy by a ++=(3)2025和2022【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程,理解题意,熟练掌握换元法是解此题的关键.(1)仿照例子,写出已知方程和所求方程的根的关系,进行替换,化简可得所求方程;(2)仿照例子,写出已知方程和所求方程的根的关系,进行替换,化简可得所求方程;(3)由(2)可得:关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数,可求出关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根,即可得解.【小问1详解】解:设所求方程的根为y ,则1y x =+, 1x y ∴=−,把1x y =−代入已知方程得:()()21130y y −−−−=,化简得:2310y y −−=,故答案为:2310y y −−=;【小问2详解】解:设所求方程的根为y ,则1y x =, 1x y∴=, 把1x y =代入已知方程得:2110a b c y y ++=, 化简得:20cy by a ++=,故答案为:20cy by a ++=;【小问3详解】解:()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠ , ()()2202420240c y b y a ∴−+−+=, 由(2)可得:关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数, 12024y x−∴=, 关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−, ∴关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为1和2−, ∴20241y −=或20242y −=−,解得:2025y =或2022y =, ∴关于y 的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为2025或2022.28. 如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ,AB 与CD 相交于点E ,线段OA ,OC 的长是一元二次方程218720x x −+=的两根(OA OC >),5BE =,43OB OA =. (1)求点A 、点C 的坐标;(2)求直线CD 的解析式;(3)在x 轴上是否存在一点P ,使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(12,0)A ,(6,0)C −;(2)483y x =+;(3)存在,1(3,0)P ,2(19,0)P 【解析】 【分析】(1)用因式分解法求解一元二次方程,即可求解;(2)根据相似三角形求得点E 的坐标,再用待定系数法求解即可;(3)分两种情况进行讨论,当90EPC ∠=°和90CEP ∠=°时,利用相似三角形的性质,分别求解即可.【详解】解:(1)解方程218720x x −+=得,16x =,212x =,∵ OA OC >,∴12OA =,6OC =,∴(12,0)A ,(6,0)C −(2)作EF y ⊥于F∵5BE =,43OB OA =,∴412163OB =×=,∴20AB∵EF OA ∥∴BEF BAO △∽△,∴EFBF BE AO BO BA==,即5121620EF BF == ∴3EF =,4BF =,16412OF =−=,∴(3,12)E设直线CD 的解析式为y kx b =+∴60312k b k b −+= += ,解得438k b = = ∴设直线CD 的解析式为483y x =+(3)存在满足条件的点P 使得点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似,由题意可得:(0,8)D,15CE ==,10CD =∵90COD ∠=°,DCO ECP ∠=∠当90EPC ∠=°时,COD CPE △∽△,此时(3,0)P当90CEP ∠=°时,COD CEP △∽△ 则OC CD CE CP =,即61015CP=,解得25CP = 19OP CP OC =−=∴(19,0)P综上,(3,0)P 或(19,0)P【点睛】此题考查了一次函数与几何的应用,涉及了相似三角形的性质,待定系数法求解函数解析式,解题的关键是掌握一次函数和相似三角形的有关性质.。
湖北荆州2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年10月学情监测试卷九年级数学(本试卷共4页,满分120分,考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效,作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔.一、选择题(共10题,每题3分,共30分,在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1. 方程224135x x x +−=+化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A. 2和1B. 2和7C. 1和6−D. 1和4 【答案】A【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式,根据()200ax bx c a ++=≠进行判定即可求解. 【详解】解:根据题意,2243150x x +−−−=,整理得,2260x x +−=,∴二次项系数和一次项系数分别为21,,故选:A .2. 若方程220x kx −+=的一个根是2−,则k 的值是( )A. 1−B. 1C. 3−D. 3 【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解,根据题意,把2x =−代入计算即可求解.【详解】解:根据题意,把2x =−代入得,()()22220k −−−+=,解得,3k =−,故选:C .3. 一元二次方程2530x x −+=的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 只有一个实数根【答案】B【解析】 【分析】本题考查了根的判别式,根据方程的系数结合根的判别式即可得出0∆>,从而得出方程有两个不相等的两个实数根,掌握“当0∆>时,方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.【详解】解:∵方程2530x x −+=,∴()2Δ5413130=−−××=>,∴方程有两个不相等的两个实数根.故选:B .4. 对于二次函数()22y x =−−,下列说法错误的是( )A. 它的图象的开口向下B. 它的图象的对称轴是直线2x =C. 当2x =时,y 取最大值D. 当2x >时,y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质,根据二次函数顶点式的解析式()2y a x h k =−+进行分析即可求解.【详解】解:已知二次函数顶点式()22y x =−−,10−<,图象开口向下,顶点坐标为()2,0,对称轴为xx =2, ∴A 、B 选项正确,不符合题意;当xx =2时,函数有最大值,最大值为0,故C 选项正确,不符合题意;当xx >2时,y 随x 的增大而减小,故D 选项错误,符合题意;故选:D .5. 若抛物线()22110ya x a −−+经过原点,则a 的值是( ) A. 1±B. 1C. 1−D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质,将()0,0代入解析式求出a 的值,再根据二次项系数不能为0对a 的值进行取舍,即可得出答案.【详解】解: 抛物线()22110y a x a −−+经过原点()0,0,∴210a −+=,解得1a =±,当1a =时,二次项系数10a −=,不合题意,∴1a =−,故选C .6. 用配方法解方程2640x x −+=时,变形结果正确的是( )A. ()2314x −=B. ()235x −=C. ()2640x −=D. ()2632x −= 【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键.先移项化为264x x −=−,可得2695x x −+=,再进一步求解即可.【详解】解:∵2640x x −+=,∴264x x −=−,∴2695x x −+=,∴()235x −=,故选:B .7. 有一种“微信点名”活动,需要回答一系列问题,并将问题和自己答案在朋友圈中发布,同时还规定“@”一定数量的其他人,邀请他们也参与活动,小智被邀请参加一次“微信点名”活动,他决定参与并按规定“@”其他人,如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人,且从小智开始算起,转发两轮后共有111人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”x 人,则可列出的方程为( )A. 2111x =B. 21111x +=C. 21111x x ++=D. ()21111x += 【答案】C的【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,理解题意,根据从小智开始算起,转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可.【详解】解:设参与该活动后规定“@”x 人,则可列出的方程为:21111x x ++=,故选:C .8. 某抛物线的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得图象的解析式为()232y x =−−,则原抛物线的解析式为( )A. ()211y x =−+B. ()251y x =−+C. yy =(xx −1)2−5D. ()255y x =−− 【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移,根据平移规律“左键右键,上加下减”即可求解.【详解】解:A 、()()22121332y x x =−−+−=−−,符合题意; B 、()()22521372y x x =−−+−=−−,不符合题意;C 、()()22125338y x x =−−−−=−−,不符合题意; D 、()(22525378y x x −−−−−−,不符合题意; 故选:A .9. 若a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根,则2202446a a −+的值是( )A. 2025B. 2026C. 2022D. 2023【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解,以及已知式子的值,求代数式的值等知识内容,难度较小,正确掌握相关性质内容是解题的关键.依题意,把x a =代入22310x x −+=,得2231a a −=−,再把2231a a −=−代入()222024462024223a a a a −+=−−中计算,即可作答. 【详解】解:∵a 是关于x 的方程22310x x −+=的一个根,∴把x a =代入22310x x −+=,得2231a a −=−,∴()()2220244620242232024212026a a a a −+=−−=−×−=, 故选:B .10. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ,与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间(不包括这两点),对称轴为直线2x =−.下列结论:①0abc >;②0a b c −+>;③若点11,2M y − 、点25,2N y −是函数图象上的两点,则12y y >;④3255a −<<−;其中正确的结论是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次含图象的性质,根据图象与x 轴交于点()1,0A ,对称轴为直线2x =−,可得另一个交点为()5,0−,4b a =,根据二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间(不包括这两点),可得23c <<,由此可得5c a =−,分别代入计算,再根据二次函数图象的增减性即可求解.【详解】解:二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象与x 轴交于点()1,0A ,对称轴为直线2x =−, ∴另一个交点为()5,0−,22b x a=−=−, ∴4b a =,∴a b ,同号,即0ab >, ∵二次函数与y 轴的交点B 在()0,2与()0,3之间(不包括这两点), ∴23c <<,∴0abc >,故①正确;当xx =1时,0y a b c =++=,且4b a =,∴50a c +=,则5c a =−,∵23c <<,∴253a <−<,则3255a −<<−,即0a <, ∵4580abc a a a a −+=−−=−>,∴0a b c −+>,故②,④正确;∵对称轴为2x =−,0a <,∴当2x <−时,y 随x 的增大而增大;当2x >−时,y 随x 的增大而减小;即离对称轴越远,值越小,∵()5113222222 −−−=−−−= ,, ∴12y y <,故③错误;综上所述,正确的有①②④,故选:D .二、填空题(共5题,每题3分,共15分)11. 抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为________.【答案】(2,1)−−【解析】【分析】根据二次函数的解析式的顶点式即可得.【详解】抛物线2(2)1y x =+−的顶点坐标为(2,1)−−,故答案为:(2,1)−−.【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.12. 已知方程2320x x −−=的两根分别为1x ,2x ,则1212x x x x ++的值为_________.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了根与系数的关系,对于()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ,则1212b c a x x x x a+=−=,. 利用根与系数的关系得到12x x +,21x x 的值,然后代入计算即可.【详解】解:∵方程2320x x −−=的两个根分别为1x ,2x ,∴123x x +=,122x x =− ∴1212231x x x x =−++=+. 故答案为:1.13. 加工爆米花时,爆开且不糊颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y 与加工时间x (单位:min )满足函数表达式20.2 1.52y x x =−+−,则最佳加工时间为________min .【答案】3.75的【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式2b x a=−直接计算即可. 【详解】解:∵20.2 1.52y x x =−+−的对称轴为()1.5 3.75220.2b x a =−=−=×−(min ), 故:最佳加工时间为3.75min ,故答案为:3.75. 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用,涉及求顶点坐标、对称轴方程等,记住抛物线顶点公式是解题关键. 14. 如图,某涵洞的截面是抛物线形状,抛物线在如图所示的平面直角坐标系中,对应的函数解析式为2516y x =-,当涵洞水面宽为12m 时,涵洞顶点O 至水面的距离为_________m .【答案】454【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用,根据题意,()()6,06,0A B −,,代入计算即可求解.【详解】解:根据题意,12AB =,∴()()6,06,0A B −,,把xx =6代入得,25456164y =−×=−, ∴顶点O 至水面的距离为45m 4, 故答案为:454 . 15. 已知关于x 的一元二次方程()()2530x x n −−−=的两个实数根为1x ,2x ,且213x x =,则n 的值为__________.【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,先化为一般形式,根据一元二次方程根与系数的关系可得128x x +=,21215x x n =−,结合已知条件得出122,6x x ==,进而根据21526n −=×,即可求解. 【详解】解:()()2530x x n −−−= ∴228150x x n −+−=∴128x x +=,21215x x n =− 又∵213x x =∴148x =,∴122,6x x == ∴21526n −=×解得:n =故答案为:.三、解答题(共9题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16. 解下列方程:(1)2310x x −+=;(2)22150x x +−=.【答案】(1)1x =,2x =(2)15x =−,23x =【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法,因式分解法,公式法和配方法是解题的关键. (1)运用公式法求解;(2)运用因式分解法求解.【小问1详解】解:∵1,3,1a b c ==−= ∴()2341150∆=−−××=>,∴x ,∴1x =2x = 【小问2详解】解:()()530x x +−=∴50x +=,30x −=, ∴15x =−,23x =.17. 已知关于x 的方程260x kx −+=有两个实数根α,β,其中3α=−,求另一个根β和k 的值.【答案】2β=−,5k =−【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程的两根12x x ,,1212b c x x x x a a+=−=,即可求解. 详解】解:∵6αβ=,3α=−,∴2β=−,∵k αβ+=, ∴325k =−−=−.18. 已知函数231y x x =−−+.(1)该函数图象的开口方向是________;(2)求出函数图象的对称轴和顶点坐标;(3)当x 取何值时,y 随x 的增大而减小?【答案】(1)向下 (2)对称轴是32x =−,顶点坐标是313,24 − (3)32x >−【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数开口方向,增减性,顶点坐标和对称轴是解题的关键.【(1)根据10a =−<,即可判定抛物线的开口方向; (2)根据1a =−,3b =−,1c =,结合顶点坐标公式进行求解即可; (3)根据0a <时,二次函数的增减性进行求解即可.【小问1详解】解:∵10a =−<,∴函数图象的开口方向是向下;小问2详解】解:∵1a =−,3b =−,1c =, ∴33222b a −−=−=−−, 244913444ac b a −−−==−, ∴函数图象的对称轴是32x =−,顶点坐标是313,24 − ; 【小问3详解】解:∵开口向下, ∴当32x >−时,y 随x 的增大而减小. 19. 已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k −−+−=有两个实数根1x ,2x . (1)求实数k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使得2212129x x x x +−=成立?若存在,请求出k 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)14k ≥−(2)存在,2k =【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系, (1)根据一元二次方程有两个实数根可得240b ac ∆=−≥,由此即可求解; (2)运用一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=−,12c x x a =,乘法公式的变形,代入求值即可. 【小问1详解】【解:根据题意得()()2221420k k k ∆=−−−−≥ , 解得,14k ≥−; 【小问2详解】解:根据题意得1221x x k +=−,2122x x k k =−, ∵2212129x x x x +−=, ∴()212121229x x x x x x +−−=,即()2121239x x x x +−=, ∴()()2221329k k k −−−=,整理得2280k k +−=, ∴()()240k k −+=,且14k ≥− 解得,12k =,24k =−(不符合题意,舍去), ∴2k =.20. 阅读下列材料:为解方程4260x x −−=,可将方程变形为()22260x x −−=,然后设2x t =,则()222x t =,原方程化为260t t −−=①,解①得12t =−,23t =.当12t =−时,22x =−无意义,舍去;当23t =时,23x =,解得x =1x =2x =;这种方法称为“换元法”,则能使复杂的问题转化成简单的问题.利用换元法解方程()()2227180x xx x −+−−=. 【答案】12x =,21x =−【解析】【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程,设2x x t −=,于是原方程化为27180t t +−=,求解t ,再进一步求解即可.【详解】解:设2x x t −=,于是原方程化为27180t t +−=,∴()()290t t −+=, 解得12t =,29t =−;当2t =时,22x x −=,∴220x x −−=,∴()()210x x −+=, 解得12x =,21x =−;当9t =−时,29x x −=−,∴290x x −+=,此时2(1)4190=−−××<△,方程无解,故原方程的解为12x =,21x =−.21. 如图,抛物线2y x bx c =++与直线1y x =−交于点()1,A m −和(),2B n .(1)求抛物线的解析式;(2)根据图象直接写出不等式21x bx c x ++>−的解集.【答案】(1)24y x x =−−(2)1x <−或3x >【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,函数与不等式的关系等知识.(1)先求出点A 、B 的坐标为()1,2−−,()3,2,再代入2y x bx c =++即可求解;(2)根据函数与不等式的关系结合图象即可求解.【小问1详解】解:把()1,A m −和(),2B n 代入1y x =−,得112m =−−=−,21n =−,∴3n =,∴()1,2A −−,()3,2B ,把()1,2A −−,()3,2B 代入2y x bx c =++,得12932b c b c −+=− ++=, 解得14b c =− =−, ∴抛物线的解析式为24y x x =−−;【小问2详解】解:求不等式21x bx c x ++>−的解集可以看作当抛物线24y x x =−−的图象位于直线1y x =−的上方时求自变量x 的取值范围,∴由图象得不等式21x bx c x ++>−的解集为1x <−或3x >.22. 羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种,发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+≠.某次发球时,羽毛球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下:请根据上述数据,解决问题:(1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系()()20y a x h k a =−+≠; (2)已知羽毛球场的球网高度为1.55m ,当发球点距离球网5m 时,羽毛球能否越过球网?请说明理由. 【答案】(1)()225042727y x =−−+,50 m 27(2)能,理由见解析【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用,理解题意是解本题的关键;(1)先求解抛物线的对称轴与顶点坐标,再设设抛物线的关系式为()250427y a x =−+,再代入0x =,23y =即可得到答案; (2)把5x =代入()225042727y x =−−+可得169y =,再比较即可. 【小问1详解】解:根据表格中的数据可知,当2x =时,149y =,当6x =时,149y =, ∴点142,9 与146,9关于抛物线的对称轴对称, ∴抛物线的对称轴为直线2642x +=,根据表格中的数据可知,当4x =时,5027y =, ∴抛物线的顶点坐标为504,27, 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为50m 27;设抛物线的关系式为()250427y a x =−+,把0x =,23y =代入得:()225004327a =−+, 解得:227a =−, ∴抛物线的关系式为()225042727y x =−−+.【小问2详解】解:把5x =代入()225042727y x =−−+得:225016(54)27279y =−−+=, ∵161.559>,∴羽毛球能越过球网.23. 一人一盔安全守规,一人一带平安常在!某摩托车配件店经市场调查,发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y (件)与售价x (元)的相关信息如下: 售价x (元)100 110 120 130 …销售量y(件)180160 140 120 … (1)试用你学过函数来描述y 与x 的关系,这个函数可以是_______(填“一次函数”或“二次函数”),直接写出这个函数解析式为______;(2)若物价局规定,该头盔最高售价不得超过140元,当售价为多少元时,月销售利润达到5600元? (3)若获利不得高于进价的60%,那么售价定为多少元时,月销售利润达到最大? 【答案】(1)一次函数,2380y x =−+ (2)120元 (3)128元【解析】【分析】本题主要考查一次函数,二次函数,一元二次方程的运用,(1)根据表格信息可得当售价x 增大时,销售量y 逐渐减小,可得这个函数是一次函数,运用待定系数即可求解;(2)根据题意得()()8023805600x x −−+=,解一元二次方程,结合题意取值即可; (3)设利润为w 元,则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−,根据获利不得高于进价的60%,即获利不得高于808060%128+×=(元),可得80128x ≤≤,结合二次函数图象的性质即可求解. 【小问1详解】解:根据表格信息,当售价x 增大10时,销售量y 减小20,∴这个函数是一次函数,设该一次函数解析式为()0y kx b k =+≠,把100180x y =,,110160x y =,代入得, 100180110160k b k b += +=, 解得,2380k b =− =, ∴一次函数解析式为2380y x =−+, 的当120x =时,2120380120y =−×+=,符合题意, ∴该函数是一次函数,解析式为2380y x =−+; 【小问2详解】解:根据题意得()()8023805600x x −−+=, 解得1120x =,2150x =,∵物价局规定,该头盔最高售价不得超过140元,∴150x =不合题意舍去,答:当售价为120元时,月销售利润达到5600元;【小问3详解】解:设利润为w 元,则2(80)(2380)254030400w x x x x =−−+=−+−, ∴当54013524b x a =−=−=−时,w 取最大值, ∵获利不得高于进价的60%,即获利不得高于808060%128+×=(元), ∴80128x ≤≤,∵20−<,∴当135x ≤时,w 随x∴当128x =时,w 最大,答:售价定为128元时,月销售利润达到最大.24. 如图1,抛物线22y ax x c =−+与x 轴交于点()30A −,和B ,与y 轴交于点()0,3C .(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标;(2)如图2,若P 是线段OA 上一动点,过P 作y 轴的平行线交抛物线于点H ,交AC 于点N ,设点P 的横坐标为t ,ACH 的面积为S .求S 关于t 的函数关系式;当t 取何值时,S 有最大值,求出S 的最大值;(3)若P 是x 轴上一个动点,过P 作直线PQ BC ∥交抛物线于点Q ,随着P 点的运动,在x 轴上是否存在这样的点P ,使以B P Q C ,,,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)223y x x =−−+,()1,4−; (2)23922S t t =−−,32t =−时,S 有最大值,最大值是278;(3)存在,P 点坐标为()1,0−或()2−−或()2−+.【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标; (2)求出直线AC 的函数解析式,用含t 的式子表示出点N H 、的坐标,得出NH ,再根据12AHN CHN S S S HN OA =+=×× 求出S 关于t 的函数关系式,最后根据二次函数的性质解答即可求解; (3)求出B 点坐标,得到OB 的长,再分CQ BP ∥、点P 在点A 的左侧,CP BQ ∥和当点P 点A 的右侧,CP BQ ∥三种情况,画出图形解答即可求解.【小问1详解】解:把()3,0A −,()0,3C 代入22y ax x c =−+得,9603a c c ++= =, 解得13a c =− = , ∴该抛物线的解析式为223y x x =−−+, ∵()222314y x x x =−−+=−++,∴该抛物线的顶点坐标为()1,4−;【小问2详解】 解:设直线AC 的函数解析式为y kx b =+,把()3,0A −,()0,3C 代入得, 033k b b=−+ = ,解得13k b = =, ∴直线AC 的函数解析式为3y x ,把x t =代入3y x 得,3y t =+,∴(),3N t t +,∵点P 的横坐标为t ,∴PH y ∥轴,∴点H 的横坐标为t ,∴()2,23H t t t −−+, ∴()222333HN t t t t t =−−+−+=−−, ∴()22211393327332222228AHN CHNS S S HN OA t t t t t =+=××=×−−×=−−=−++ , ∵302−<, ∴当32t =−时,S 有最大值,最大值为278; 【小问3详解】解:存在,理由如下:把0y =代入223y x x =−−+得,2023x x =−−+,解得13x =−,21x =,∴()1,0B ,∴1OB =,如图,当CQ BP ∥时,四边形BCQP 为平行四边形,∴CQ PB =,把3y =代入223y x x =−−+得,2233x x −−+=,解得10x =,22x =−,∴()2,3Q −,∴2CQ =,∴2BP =,∴211OP =−=,∴()1,0P −;如图,当点P 在点A 的左侧,CP BQ ∥时,四边形BCPQ 是平行四边形,过点Q 作QM x ⊥轴于M ,则90∠=∠=°QMP COB , ∵四边形BCPQ 是平行四边形,∴PQ BC =,PQ BC ∥,∴QPM CBO ∠=∠, ∴()AAS QPM CBO ≌,∴1MP OB ==,3MQOC ==, ∴点Q 的纵坐标为3−,把=3y −代入223y x x =−−+得,2323x x −=−−+,解得11x =−21x =−(不符合,舍去),∴点P 的横坐标为2−−∴()2P −;如图,当点P 在点A 的右侧,CP BQ ∥时,四边形BCPQ 是平行四边形,过点Q 作QN x ⊥轴于N ,则90QNP COB ∠=∠=°,同理可得()2P −+;综上,点P 的坐标为()1,0−或()2−或()2−.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,求二次函数图象的顶点坐标,二次函数与几何图形,二次函数的性质,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,坐标与图形,正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键.。
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九年级数学月考分析第一篇:九年级数学月考分析九年级数学第一次月考质量分析一、试卷分析1、试题满分为120分,共有25道题,分选择题、填空题、解答题三大题型。
选择题有10题,每小题3分共30分;填空题7题,每小题3分共21分;解答题有8题共69分。
2、我认为试题难易程度比例比较适中,试卷内容数与代数占65分;空间与图形占45分;统计与概率占10分;3、难度难度适中。
二、学生存在的主要问题第一、学生对一些数学基本概念和几何定理不能很好的理解和掌握,像填空题、选择题大多考查的是最基础性的知识点,第二,学生分析问题,解决问题能力差。
学生学习态度不端正、思想及学习行为懒散是考试成绩不佳的客观因素,另外学生基本功不扎实普遍存在,没有数学能力特别强的学生,尖子生培养难度很大。
第三,学生普遍答题习惯不好,表现在书写潦草,答题不规范,结构不完整,喜欢丢三落四。
第四、其次是这次月考试卷内容以中考命题为标准,有许多知识内容覆盖了整个初中的数学内容,大部分学生对以前的知识内容几乎遗忘,造成解题错误。
三、今后整改措施1、注重基础知识,在复习备考中,回归教材,以本为本。
2、注重能力培养。
依托专题复习,强化学生能力,培养整个初中阶段的数学知识体系。
3、搞好模拟配套训练,以点带面,进一步培养学生分析问题解决问题的能力。
通过考试,提高实效,培养学生应考能力。
4、规范学生答题,强调书写,强调解题格式,以免无谓丢分。
这里还有一个使我头痛而难以解决的问题。
大部分学生中出现低分段的层次,尖子生几乎没有,而那些低分学生又听不进去,学无所获。
面对以上的问题,我正在思考和反思,希望能找到一个恰当的高效的解决问题的方法。
既能大面积提高学生的及格率和优秀率,又能大幅降低学生的低分率,把学校的教学质量提高到一个新的台阶。
第二篇:九年级第二次月考数学质量分析2017年九年级数学第二次月考质量分析一、试题简评这次试题是一套九年级上册教材的综合试题,涵盖初中数学的五大部分内容,即“方程与不等式、函数、图形变换、几何与图形、统计与概率”,试题按照代数63分约占42%,几何74分约占49%,概率13分约占9%,基本上是中考命题结构(代数42%、几何43%、统计与概率15%),其中统计未出现;按本册教材内容大致是:二十一章24分、二十二章37分、二十三章21分、二十四章55分、二十五章13分;且各部分都穿插了前面的知识,整体体现了新课程标准和考试标准的思想和理念,基本上每个试题都来源于其他省市近几年的中考或中考模拟题,无原创试题,题量适中,难易梯度设计基本合理。
但在试卷制作中有小失误,这在与第一次比较上有提升,这次只有20题第(2)问叙述有失误、26题字母的标识不很清楚共两处,总的来说不影响大局。
二、试卷简析这次九年级参考人数988人,试卷满分150分,0分答卷14人,最高分133分,120至133分之间没有,整体平均分约48.5分,难度系数0.32,及格人数98人,60分以下618人。
从学生答卷情况来看,第一大题选择题36分均分18.7,难度体现在12小题,然而学生得分率却达到49%,学生得分率最低的却体现在8小题22%、5小题25%、7小题34%,这标志着12小题在选题或组合上有待思考;第二大题24分均分6.2分,得分率26%,难度体现在18小题最短路径以及多知识点的融合;第三大题:19小题两个8分均分3.5分,得分率43%,主要考查学生解方程的熟练程度,两个方程预设做题时间不能超越一分钟,柳曦婷第一小题用公式法解至少多用30秒以上,中考中这就是时间,还比如选择题第8小题学生应在读完题后就应直接得出答案,只需30秒,但大部分同学做不起,不会做,这来源于平时知识积累不够或教师在讲解知识时中考引领不够(比如张冰冰、王子豪、汪宾、柳曦婷、李涛等上等生错误);20小题作图题是解答题九个小题中得分率最高的一题,6分均分近4分得分率为60%,但不按要求作答居多,题中要求作出图形用阴影表示,大多数只有连接的主要线条;21、22、24得分率在30%左右,主要表现书写不严谨,排版不规范;23小题是概率问题,是中考必考题,得分率接近50%,失误主要表现在画树状图不规范,同时穿插方程知识后学生没完全理解题意;从19-24这五个小题是中考中的基础题,易得——属固定模式类型;25、26、27小题相对来说是一个难点,25、27得分率都只在5%左右,均分不到1分,26题得分率在12%均分接近2分,这三个题是一个开放性的问题,综合知识的运用,学生有时找不到纽带串,所以失分率很高,我们前20名表现也很突出,前三名邹木雨25、27丢失一半的分,黎红万25、26丢失一半的分,27未做,唐顺业25、26失分超一半,27不完整,其他的更多。
三、存在的问题学生层面:1、基础知识掌握不扎实。
2、课堂听课应该不专注,老师所讲知识点没有记下来或记不住。
3、学生计算能力差、不熟练,时间把握不好,不能合理运用。
4、审题不严谨,观察图形不仔细。
5、答题粗糙,不细心,书写格式不规范,不完整,逻辑不严密,试卷空间利用不合理,乱涂乱画。
6、缺乏克服困难,勇于探索的精神和良好的答题品质。
教师层面:1、引领不够。
主要体现在知识点中考引领与生活中的数学引领。
2、强化不够。
主要体现在重点、考点、热点。
四、改进的方向根据这次考试中两个层面的问题,在今后的教学中,我们应从以下几方面着手:1、加强基础知识和基本技能的教学,引导学生认真审题、识图、作图、规范解题书写格。
2、关注上等生、关心中等生、关爱学困生,特别是学困生,有广阔的提升空间,认真做好他们的思想工作,转变学习态度、方式,为我校平均成绩的提升努力。
3、重视特优生的学法和解法的指导引领,让其尽可能的不失分,不丢分。
4、重视研究:研究“两标一本”课标、考标和教材;研究中考题过去走势、做中考题、制题命题;研究学生好、中、差;研究命题人习惯、喜好学生;学生研究重难点、困惑。
加强课标和考标的学习,特别是2018年考标,研究中考,聚五寻规。
特别是,解答题中19至24小题的强化训练,仿真模拟,让学生定位,同时关注开放性、主观性试题的演变,让我们每一位老师都熟悉中考,用十九中商劫老师的一句话来说就是:让我们每一位老师备课做到“海纳百川”,使教材从厚到薄,从薄到活;上课做到“感动他人之前先感动自己”。
5、学生研究中考的重难点,分析困惑。
认真收集、整理纠错本。
注重解题技巧,方法,特别是课外知识、阅读材料、学习活动等中的一些公式、规律等。
比如杨辉三角,直角三角形内切圆半径等。
6、初三教研以月考分析交流为主题开展活动。
五、建议希望学校关心关注九年级的每一个班级、每一位老师、每一名学生,他们都直接影响着城关中学2018年的中考!谢谢!以上是针对这次考试谈到的一些肤浅认识和看法,如有不正之处,敬请在座的各位批评指正!九年级数学组2017年10月26第三篇:九年级数学第一次月考质量分析第一次月考九年级上册数学质量分析(2018--2019学年第一学期)一、考试成绩分析二、试卷分析本次考试试卷题量同中考题量,难易程度偏低,第1—23题全部是课本上的练习题,较全面的反应了学生第一个月的学习基本情况。
1、考查范围:九年级上册第二十一章一元二次方程,第二十二章二次函数。
2、考试题型分析:第一题选择题:主要考查学生对数学基本概念和计算的掌握情况,都是很直接的,只有第7小题是综合性的,14个小题共42分;第二题填空题:主要考查学生对二次根式基本概念、运算和一元二次方程基本概念、解法的掌握情况,4个小题共20分;第三题解答题:主要考查学生解一元二次方程掌握情况,第22、23两题是综合性题,实验班学生完成比较好,这部分 5个题共58分。
3、学生容易失分的题目及原因:第3题;对二次函数的概念不清;第5题是一个难题,要求学生能根据语言的描述转化为数学问题;第7题:根据已知条件来确定正确的图形,好多同学都没有选对;第13题:没有理解“二次函数的图像性质”的含义;第15题:这是一套有理数的运用题目,有的同学不会根据可能出现的情况分类讨论;第19题:很多同学不能根据一元二次方程的题型选择适当方法解方程。
三、本次考试反映出的问题1、做题策略欠佳。
突出表现在解决问题中,此次的解决问题全是考查一元一次方程和二次函数,由于学生概念不清、运算能力差、分析问题不够全面、不会运用数学知识有解决实际问题,导致了分数考不高。
2、运算不熟练。
运算是本章学习的重中之重,相当一部分的同学连最基本的运算都不会,数学必需从运算做起,只有会算了,才能去分析其它的问题。
四、措施1、培养学习学习数学兴趣,注重对学生基本运算能力的培养。
2、培养学生认真做题的习惯,注意培养学生解题的一些策略。
灵活的处理试题。
平时的练习和单元测试中重视这方面的提示。
这次考试反映了一些问题,通过对试卷的分析,总结了一些教训。
以这次考试为一个新的起点,努力在下次测试中会有大的进步!第四篇:九年级数学下学期第一次月考质量分析(推荐)下学期第一次月考质量分析九年级数学朱航鹭此次月考是一测之后的又一次大型测试,题型与中考一样,共分为选择、填空、解答题,满分120分。
题目难度适中,可以考查到学生的学习水平,是一次值得分析的一次考试,有助于老师对学生下一步的辅导进行改进。
一、成绩分析从上表中可以看出,八班作为信息班,没有拿到更多的高分,甚至还出现了54分的超低分,综合平均分来说,与二班相差近三分,这是不能忽视的一点。
七班作为重点班,也没有取得令人满意的成绩,尤其是优秀率上,没有一个优秀的学生,而低分率却有。
二、原因分析在这一个月当中,对于每个班的学生来说,我都注重去抓基础,每天都有基础的课堂检测题,大概需要十分钟的时间,需要批改反馈,本想着会有效果,却发现不明显。
可能对于现在的九年级来说,更多的是综合性的思维与解题能力,如果还是在基础知识上下更多的功夫,就有点失去重心了。
对于学生课堂效率这一块,我觉得课堂容量还不够大,学生似乎学习的兴趣并不浓厚,这与我备课不够充分有关。
每节课的模式局限于讲题做题,学生的疲惫之感多于学习兴趣,有时候会觉得自己很累,又是讲又是写,学生却没有真正学到东西,或者说听不懂。
在作业方面,七班能够做到每天的上交批改,但是流于形式,作业质量不高,很多的应付现象,所以评讲习题时会有不少的困惑,花费很多的时间。
八班的作业一星期最多上交一次,评讲之前并不知道学生的情况,评讲的针对性就很弱。
抓不住学生的易错点是很浪费时间的。
培优方面做得不够好,有许多优秀的学生仅仅完成老师布置的任务,就没有主动的去思考更多的题目,也就是没有足够的去关注他们,他们的主动性就不高,当然不会有更好的成绩。
有时候总想都关注到,其实是做不到的。
三、改进措施接下里为数不多的时间里,我将做如下改进:1.做好课前的备课工作,争取做到学生的练习题自己都要亲自做一遍,提前对学生的易错点进行估计,对学生的做题速度和时间进行估算,精细安排好上课的各项环节。