二次函数及其图像特征
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数图象的特征
二次函数图象的特征二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且 a ≠ 0。
二次函数图象的特征包括图像开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式、零点以及函数值的变化规律等方面。
下面将依次进行论述。
1. 图像开口方向二次函数图象的开口方向与二次系数a的正负有关。
当a > 0时，图象开口向上；当a < 0时，图象开口向下。
2. 顶点坐标二次函数图象的顶点坐标可通过计算公式得到。
顶点的x坐标为x= -b/(2a)，顶点的y坐标为y = f(x) = -D/(4a)，其中D为判别式。
3. 对称轴二次函数图象的对称轴是过顶点的一条直线。
对称轴的方程可通过顶点的x坐标得到，即x = -b/(2a)。
4. 判别式判别式是用来判断二次函数图象与x轴的交点个数及开口方向的重要指标。
判别式的计算公式为D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，图象与x轴有两个交点，开口方向由a的正负决定；- 当D = 0时，图象与x轴有一个交点，开口方向由a的正负决定；- 当D < 0时，图象与x轴没有交点。
5. 零点二次函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标。
要计算二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法。
当判别式D > 0时，函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，函数有一个重根；当D < 0时，函数没有实数根。
6. 函数值的变化规律对于二次函数来说，开口向上的函数图象在顶点处取得最小值，开口向下的函数图象在顶点处取得最大值。
根据顶点坐标的y值，可以确定函数的最值。
以上就是二次函数图象的特征，包括图像开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式、零点以及函数值的变化规律等方面。
通过对这些特征的了解，我们可以更好地理解和分析二次函数的图像。
二次函数与图像特征
二次函数与图像特征二次函数是一种常见的数学模型，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将介绍二次函数的基本特征以及与之相关的图像特征。
一、二次函数的基本特征1. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0的解。
根据求根公式，二次函数的零点可以通过x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来计算。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是x轴的垂直平分线，其方程为x = -b/(2a)。
对称轴将二次函数分成两个对称的部分。
3. 领域：二次函数的定义域可以是整个实数集，即(-∞, +∞)；值域则取决于a的正负性。
当a>0时，二次函数的值域为[y_min, +∞)，其中y_min是二次函数的最小值。
当a<0时，二次函数的值域为(-∞, y_max]，其中y_max是二次函数的最大值。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次系数a的正负性。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
2. 最值：二次函数的最值即是函数曲线的顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是函数的最小值；对于开口向下的二次函数，顶点是函数的最大值。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标值，纵坐标可通过代入计算得到。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对称轴是图像的轴对称线。
这意味着，如果在对称轴上存在一个点(x, y)，那么对称轴上也存在一个点(-x, y)。
4. 切线与切点：二次函数曲线上任意一点处的切线是该点处曲线的斜率所确定的直线。
切点是切线与曲线的交点。
5. 趋势线：除了二次函数的准确图像外，还可以通过趋势线来近似表示二次函数的变化趋势。
趋势线是通过二次函数的多个点来拟合得到的，可以用于预测二次函数在未知区域的函数值。
结论二次函数的图像具有独特的特征，包括开口方向、最值、对称性、切线与切点以及趋势线等。
二次函数的像特征
二次函数的像特征二次函数是指含有二次项的代数函数，即形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a不等于0。
二次函数具有很多特征，包括顶点、对称轴、开口方向和图像的平移等。
接下来将详细介绍二次函数的像特征。
一、顶点的坐标二次函数的图像为抛物线，其中的顶点是最重要的特征之一。
要确定二次函数的顶点坐标，可以利用公式x = -b / (2a)来计算。
通过求得的x值代入二次函数，即可得到对应的y值，从而确定顶点的坐标。
二、对称轴二次函数的图像具有对称性，对称轴是图像的中轴线。
对称轴的公式为x = -b / (2a)，与顶点的x坐标相同。
对称轴将图像分为两个对称的部分，任意一点关于对称轴对称的点的函数值相等。
三、开口方向二次函数的开口方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，二次函数的图像向上开口；当a小于0时，二次函数的图像向下开口。
四、图像的平移通过改变二次函数的系数b和c，可以实现对图像的平移。
系数b的改变会使图像沿水平方向平移，系数c的改变会使图像沿竖直方向平移。
具体来说，当b增大时，图像向左移动；当b减小时，图像向右移动；当c增大时，图像向上移动；当c减小时，图像向下移动。
通过了解这些二次函数的像特征，我们可以更好地理解和分析二次函数的图像。
在解决实际问题时，可以根据这些特征来帮助我们作出准确的判断和决策。
总结二次函数的像特征包括顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的平移。
顶点是抛物线的最高或最低点，通过x = -b / (2a)计算得到。
对称轴是图像的中轴线，公式与顶点的x坐标相同。
开口方向由二次项系数a的正负决定，大于0为向上开口，小于0为向下开口。
图像的平移可以通过改变b和c的值实现，b的改变使图像沿水平方向平移，c的改变使图像沿竖直方向平移。
通过对二次函数的像特征的了解，我们能够更好地理解和分析二次函数的图像，并在实际问题中应用它们。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数像的特征与变化规律
二次函数像的特征与变化规律二次函数是高中数学中非常重要且常见的一种函数类型，它的像可以通过一系列特征和变化规律来描述和分析。
本文将就二次函数的像的特征和变化规律展开讨论。
一、二次函数像的特征1. 对称性：二次函数的图像通常呈现出一种对称性，称为轴对称。
这种对称性是通过二次函数的顶点和对称轴来实现的。
对称轴是垂直于x轴过顶点的直线，它将图像分为两个对称的部分。
2. 极值点：二次函数的图像在对称轴上有一个极值点，称为顶点。
顶点是二次函数的最高点或最低点，可以通过变化规律来确定。
3. 开口方向：二次函数的图像可以是开口朝上或开口朝下的。
开口方向可以通过二次函数的系数a的正负来判断，如果a>0，则开口朝上；如果a<0，则开口朝下。
二、二次函数像的变化规律1. 平移：二次函数的图像可以进行平移，平移是指将整个图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
当二次函数的图像进行平移时，顶点和对称轴的位置都会发生相应的改变。
2. 缩放：二次函数的图像可以进行缩放，缩放是指将整个图像的大小进行变化。
缩放可以通过二次函数的系数来实现，系数a的绝对值越大，图像的曲率越大，即图像越“扁”。
3. 垂直方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在垂直方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在y轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数b来实现，b的绝对值越大，图像在y轴方向上的变化越明显。
4. 水平方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在水平方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在x轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数c来实现，c的绝对值越小，图像在x轴方向上的变化越明显。
根据以上的特征和变化规律，我们可以对二次函数的图像进行准确的描述和分析。
对于学习和理解二次函数来说，熟悉和掌握这些特征和变化规律是非常重要的。
通过对二次函数像的特征和变化规律的深入研究，我们可以更好地应用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
二次函数与三角函数的图像与性质
二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。
2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。
对称轴上的点关于抛物线对称。
3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。
4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。
二次函数最多有两个零点。
5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。
二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。
2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。
3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。
–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。
4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。
–角度制：1° = π/180 rad。
5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。
–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。
–正切函数：tan x = 对边/邻边。
三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。
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二次函数及其图像特征
引言：
二次函数是高中数学中的重要概念，也是数学中的一种基本函数类型。
它的图
像特征丰富多样，反映了函数的性质和变化规律。
本文将从二次函数的定义、图像特征以及应用等方面进行论述，希望能够深入理解二次函数及其图像特征。
一、二次函数的定义
二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口程度，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的图像特征
1. 开口方向和开口程度
当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
而a的绝对值越大，开口的程度越大，图像越陡峭。
2. 对称轴
对称轴是指二次函数图像的中心线，对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴将图像
分为两个对称的部分，左右两侧关于对称轴对称。
3. 顶点
顶点是二次函数图像的最高点（当a > 0）或最低点（当a < 0）。
顶点的坐标
为(-b/2a, f(-b/2a))，它是二次函数的极值点。
4. 零点
零点是指二次函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
二次函数的零点个
数取决于判别式Δ = b^2 - 4ac的值，当Δ > 0时，有两个不同的实根；当Δ = 0时，有一个重根；当Δ < 0时，无实根。
5. 函数值的变化
当二次函数的a > 0时，函数值随着自变量x的增大而增大，当a < 0时，函数
值随着自变量x的增大而减小。
当二次函数开口向上时，函数值的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数值的最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用
1. 物体的抛体运动
二次函数可以用来描述物体的抛体运动。
通过分析二次函数的图像特征，可以
得到物体的最高点、最远点、落地点等信息，从而对物体的运动轨迹进行预测和分析。
2. 经济学中的成本函数
在经济学中，成本函数常常用二次函数来表示。
通过分析二次函数的图像特征，可以得到成本的最小值点，从而确定最佳生产量或者最佳价格，为企业的经营决策提供依据。
3. 自然界中的曲线
许多自然界中的曲线都可以用二次函数来描述，如抛物线、水流的弯曲、光线
的折射等。
通过研究二次函数的图像特征，可以更好地理解和解释这些自然现象。
结论：
通过对二次函数的定义、图像特征以及应用的论述，我们可以看出二次函数在
数学中的重要性和广泛性。
掌握二次函数的图像特征，不仅有助于我们更好地理解函数的性质和变化规律，还能够应用到实际问题中，为解决问题提供有效的数学工
具。
因此，深入研究和理解二次函数及其图像特征，对于我们的数学学习和应用都具有重要意义。