2013年第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷 试题及解析word版

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛

决赛试题A （小学高年级组）

（时间2013年4月20日10：00～11：30）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1．计算: 19×0.125+281×81

-12.5=________.

解析：原式=（19+281-100）×0.125

=200×0.125

=25

2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是________九的第________天.

解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2013年的元旦是二九的第3天.

3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.

解析：设整数为A, 分别被11

9977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(9

11921911)1(7972179)1(5752157)1(3532

135

-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。

4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰

三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.

解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。

根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。

S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2， S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。

5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.

解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2，

[3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个.

6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木

的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长

为3, 则这个立体图形的表面积为________.

解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1，

所以小积木一个面的面积是32-1×4=5。

这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。

所以面积为6×32+4×5=74。

7．设n 是小于

50的自然数, 那么使得4n +5和7n +6有大于1的公约数的所有

n 的可能值之和为 .

E

解析：设4n+5和7n+6大于1的公约数为A,则A∣(4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7，(7n+6)×4

相减消去n，则差能被11整除，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是质数，所以A只能是11。（4n+5），（7n+6）都是11的倍数，为了分别找出所有的n，2×（4n+5）-（7n+6）=n+4，11∣（n+4），所以n=7,18,29,40。所以答案为7+18+29+40=94。

8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包

括底面）所有黑点的总数至少是________.

解析：将黑点数转化为1,2,3,4,5,6，根据图可知，2与4,6,3,1相邻，则2与5

相对，4与6,1相邻，则4与3相对，1与6相对。

最左边的正方体左右两个面上是1和6，可以重叠6；

最右边的正方体重叠6；

最上面的正方体重叠5；

正中间左右两个面一起重叠7，上面重叠6。

所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+6=30，

立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—30=54。

二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.

解析：（4+4+4）÷4=3，4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=6

10．小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同. 小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生?

解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1是3的倍数，也是4的倍数。

[3，4]=12，所以这个班有12×2+1=25名学生

11．小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米/小时; 船在静水中的速度是3千米/小时, 划船时, 每

划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米?

解析：V

顺：V

逆

：V

水

=4.5：1.5：1.5=3：1：1；注意逆水速度等于静水速度。小虎每划船半小时,

就要休息十分钟让船顺水漂流，120÷（30+10）=3，小虎休息三次，则船顺水漂流30分钟，则逆水时间里面有30分钟要和他抵消，相当于船没有动。在剩下120-30-30=60分钟里要船能回到租船

处，则逆水时间和顺水时间为V

顺：V

逆

=3:1，所以顺水时间为60÷（3+1）=15分钟。注意小虎的船

最远可以离租船处，还需加上船顺水漂流10分钟的路程，

所以答案为：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km

12．由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处

（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都

相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.

解析：设这24个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+23。

注意：图中有五个正方形，五个正方形上共有16+4×8=48，仔细分析，每个数重

复用了2次。假设能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等，且设这个和为A。

则有（a+a+1+a+2+…+a+23）×2=48a+552=5A

48≡3（mod5），552≡2（mod5），要48a+552是5的倍数，则48a除以5余3，即a要是5的倍数多1，不妨设a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以A=48b+120

我们再来看大正方形上的16个数，即使是这24个数中最小的16个，它们的和是

5b+1+5b+2+5b+3+…5b+16=80b+136> A=48b+120

所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。