(完整版)第十六届华杯赛总决赛试题
华杯赛数学竞赛试题及答案
华杯赛数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. -16C. 8D. 42. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π4. 一个数的立方是-64，这个数是：A. -4B. 4C. -2D. 25. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是6. 以下哪个数是无理数？A. 3.1416B. 0.33333（无限循环）C. πD. 根号2二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
2. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
3. 如果一个数的立方根是2，那么这个数是______。
4. 一个数的绝对值是10，那么这个数可能是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 一个长方体的长、宽和高分别是8厘米、6厘米和5厘米，求这个长方体的体积。
2. 一个圆的半径是7厘米，求这个圆的周长和面积。
3. 一个直角三角形的两条直角边分别为9厘米和12厘米，求这个直角三角形的斜边长度。
4. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
答案一、选择题1. A2. A3. B4. A5. C6. C二、填空题1. ±52. 43. 84. ±10三、解答题1. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= 8 × 6 × 5 = 240 立方厘米。
2. 圆的周长= 2πr = 2 × π × 7 = 14π 厘米，面积= πr² = π × 7² = 49π 平方厘米。
3. 直角三角形的斜边长度= √(a² + b²) = √(9² + 12²) =√(81 + 144) = √225 = 15 厘米。
华教杯数学竞赛试题及答案
华教杯数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π2. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或14. 一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，求其体积。
A. 24立方米B. 12立方米C. 16立方米D. 36立方米5. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和，求第10项。
A. 144B. 89C. 55D. 466. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
从这个班级随机选择2名学生，求至少有1名男生的概率。
A. 0.75B. 0.85C. 0.95D. 0.997. 一个正六边形的内角是：A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°8. 一个函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。
A. 5B. 6C. 7D. 89. 一个圆的周长是25.12厘米，求这个圆的直径。
A. 8厘米B. 7厘米C. 6厘米D. 5厘米10. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, 或 -1二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
12. 一个数的平方根是4，这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/3，这个数是______。
14. 一个数的立方是27，这个数是______。
15. 一个分数的分母是分子的3倍，且这个分数等于1/4，这个分数是______。
16. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______或______。
17. 一个正数的对数（以10为底）是2，这个数是______。
第十六届华杯赛初中组试题及答案.docx
3. 4. 第十八面生罗庚金补少年数字邀诡赛初赛试卷（初一纟R ） ■第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（初一组） （时间：2011 年 3 月 19 H 10:00〜11:00 ） 一、选择题（每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.请 将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内・） 船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为7:2 ,那么它在两港间往返一次的U 均 速度与顺水速度之比为（ (C 4 如右图所示，三角形肋C 的面积为1 cm 2."垂直ZB 的 平分线于P.则与三角形 羽C 的面积相等的长方形是 0.5cm 0.9cm (A) 1.0cm (B) 0.5cm O5cm 设讥是常数，不等式- + ^>0的解集为XV ；则关于X 的不等式bx-a> 0的篓集 a b 5 <A )X 4. (B) (C) (D) x<| 右图所示的五角星是用螺栓将两屋打有孔的5根木条连镂 构成的图形.它的形状不稳定.如果在木条交叉点打孔加装 螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（ ）个 螺栓. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 iLconi第十k届华歹庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(初一组)5.对四堆云子进行如下“操作”：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中取•出一些石子放入另一堆中.若四堆石子的个数分别为2011,2010,2009,2008, 则按上述方式进行若干次“操作”后，四堆石子的个数可能是( )•(A) 0, 0, 0, 1 (B) 0, 0, 0, 2 (C) 0, 0, 0, 3 (D) 0, 0, 0, 46.对于0SS100,用国表示不超过x的最大整数，则［力+ 1令的不同取值的个数为(A) 267 (B) 266 (C) 234 (D) 233二、填空题(每小题10分，满分40分・)7.对整数按以下方法进行加密：每个数位的数字变为与7乘积的个位数字，再把每个数位上的数字a变为10-a.如果一个数按照上面的方法加密后为473392,则该数为•&老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为A：没有人：B：一个人；C：二个人；D：三个人：E：四个人.老师知道；他们之中有人玩过游戏，也有人没有玩过游戏.若没有玩过游戏的人说的是真话，那么他们5个人中有__________________ 个人玩过游戏.9.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支 .荧光管显示，如下图所示.由于坏了一支荧光管，某公交线路号变成“351”.若该线路号恰好等于两个不同的两位质数的积，则正确的线路是____________ 路.10・在下面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数商無的最小值是___________________ .兔十六■华杯初2 0 11LLcom答案如下：选择题(1-6)D.B.C.A.B.C. 填空题(7-10) 【7】891134[8] 4[9]391 【10】1026。
华杯赛历届试题及答案
华杯赛历届试题及答案华杯赛，全称“华罗庚数学金杯赛”，是一项面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
以下是历届华杯赛的部分试题及答案，供参考：一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，那么这个数除以15的余数是多少？- A. 3- B. 4- C. 5- D. 6答案：A二、填空题1. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是________ 立方厘米。
答案：2402. 计算下列数列的第10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...答案：55三、解答题1. 一个水池有注水口和排水口，单开注水口每小时可注水20吨，单开排水口每小时可排水10吨。
如果同时打开注水口和排水口，水池每小时净增水量是多少吨？如果池中原有水100吨，需要多少时间才能将水排空？答案：同时打开注水口和排水口时，水池每小时净增水量是20吨- 10吨 = 10吨。
要将100吨水排空，需要的时间为100吨÷ 10吨/小时 = 10小时。
2. 一个班级有48名学生，其中1/3是男生，剩下是女生。
问这个班级有多少名女生？答案：班级中有48名学生，其中1/3是男生，即48 * (1/3) = 16名男生。
剩下的学生是女生，所以女生人数为48 - 16 = 32名。
四、证明题1. 证明对于任意的正整数n，n的立方与n的和不小于n的平方与n 的两倍之和。
答案：设n为任意正整数。
我们需要证明n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
展开立方项，得到n^3 + n - n^2 - 2n = n(n^2 - n - 1) = n(n - (1 + √5)/2)(n - (1 - √5)/2)。
由于n是正整数，(n - (1 +√5)/2)和(n - (1 - √5)/2)都是负数或零，因此整个表达式是非负的，即n^3 + n ≥ n^2 + 2n。
华杯赛试题及答案
华杯赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是华杯赛的全称？A. 中国数学奥林匹克竞赛B. 中国数学华罗庚杯竞赛C. 中国数学华杯赛D. 全国青少年数学华罗庚杯竞赛答案：D2. 华杯赛的举办周期是多久？A. 每年一次B. 每两年一次C. 每三年一次D. 每四年一次答案：A3. 华杯赛的参赛对象是？A. 小学生B. 初中生C. 高中生D. 大学生答案：B4. 华杯赛的试题难度级别是？A. 初级B. 中级C. 高级D. 专家级答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 华杯赛的全称是________。
答案：全国青少年数学华罗庚杯竞赛2. 华杯赛的举办周期是________。
答案：每年一次3. 华杯赛的参赛对象是________。
答案：初中生4. 华杯赛的试题难度级别是________。
答案：高级三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的第10项。
答案：该等差数列的公差为3，所以第10项为2 + 3 * (10 - 1) = 31。
2. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
答案：圆的面积公式为πr²，所以面积为π * 5² = 25π。
3. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3² + 4²) = 5。
四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边相等，则这个三角形是等腰三角形。
答案：设三角形ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的定义，如果一个三角形有两边相等，则这个三角形是等腰三角形，所以三角形ABC是等腰三角形。
2. 证明：如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形。
答案：设四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直平分，根据菱形的定义，如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形，所以四边形ABCD是菱形。
第十六届华赛杯小学组决赛试题及答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。
3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。
现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有页.最少剩余 个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。
甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。
若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。
7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。
(华杯)16届初一总决赛试题答案讲解版
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解： 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图，DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是 平方厘米.答：△BFG 的面积是50平方厘米.解：由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以，边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米，所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=（平方厘米）. 而已知125CDG S ∆=（平方厘米）， 则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=（平方厘米） 但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯，而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯，比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==（平方厘米）.3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,，c b a <<，问),,(c b a 最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对.三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对.三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k （)25≤k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k （)25>k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和，如1)1(=S ，6)123(=S ，10)1234(=S 等等，求自然数n ，使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1： 2011)(=+n S n ，20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000，其中90,90≤≤≤≤y x ，且y x ,为整数.若y x n ++=101900，则201191101900=++++++y x y x ，即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000，则20112102000=+++++y x y x ，即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解2：因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ，只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38，所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得nm k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由.答：1.解：显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ，使得数m n 是一个大于1的自然数，则可设m k n=，故m kn =. 两边分别除以9，用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<， 及m 和n 不同（即1k ≠）推得4k =，即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7，当把n 乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明m 中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以，只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少？解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=；令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知，=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此，5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然，665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时，方程无正有理数解.因此，前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题（共3题，每题10分）1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？答：5小时.解：设一水池水为z 立方米，进水口每小时过水y 立方米，一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =；同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口，t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=（小时）. 2. 图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF //AB ，GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ，求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答：2.m解：从图中可见，1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数，则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答：.25 解：设符合题意的最简分数为b a ，a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ，根据题意即，则110n b a b a+⨯=，整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质，所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ，那么p 能整除a (或能整除b )，也能整除b -a 2，从而p 也能整除b (或也能整除a )，这样，与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此，互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =，1a =，这时21b a -≠； 若ab =10n =)(52n⨯，b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此，n 只能是1时才成立，即a =2，b =5. 最简分数为.25 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将正整数1，2，3，… ，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法，都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的8个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于144，即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++，所以每个都等于18，那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等，为了求得最小可能值，如果有一个是19，那么 相应地得有一个是17，（总和须等于144）所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最小众数之差等于2，就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1，2，3，4，5，6，7，8，如图，记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样，顶点1的众数为1234x x x x +++；顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等，则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地，顶点2的众数为1236x x x x +++，顶点4的众数为1348x x x x +++，若此二顶点的众数相等，则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例（见右图），最大数和最小数的差等于2，故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算1个）答：12个.解：设三角形三条边长分别为a,b,c ，由已知等式可得：()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=，则a c m n -=+，其中m,n 均为自然数.于是，等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数，判断易知，2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此，使得等式②成立的m ，n 只有两组：21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. （1）当m ＝2，n ＝1时，b =c +1,a =c +3.又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即13c c c ++>+，解得2c >.又因为三角形的周长不超过28，即3428a b c c ++=+≤，解得8c ≤.因此28c <≤，所以c 可以取值3，4，5，6，7，8，对应可得到6个符合条件的三角形.（2）当12m ,n ==时，23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长，所以b c a +>，即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28，即()()3228a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤，因此17c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形，且和（1）中得到的三角形不同.综合可知：符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知，我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3，2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个，显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个，不管什么情况，能被3整除的数和能被5整除的数，必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外，还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个，因此，必有一个数不能含有质因子3，5，7，11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。
华杯赛试题及答案2016
华杯赛试题及答案2016华杯赛是一项年度举办的知识竞赛，旨在测试参赛者的综合素质和学科知识。
以下是2016年华杯赛的试题及答案，供大家参考。
第一部分：选择题请将下列问题的答案填写在对应题号的括号内。
1. 马拉松比赛的标准距离是多少？（）A. 42公里B. 21公里C. 10公里D. 5公里答案：A2. “全球最高峰”指的是哪座山峰？（）A. 乔戈里峰B. 北山峰C. 珠穆朗玛峰D. 巨鹿山答案：C3. 下列哪位科学家发现了地球自转？（）A. 爱因斯坦B. 艾萨克·牛顿C. 加利略D. 达尔文答案：C4. 感冒病毒最易通过哪种途径传播？（）A. 空气飞沫B. 血液接触C. 食物摄入D. 皮肤接触答案：A5. 公式E=mc^2中的c代表什么？（）A. 光速B. 加速度C. 势能D. 磁场强度答案：A第二部分：填空题请根据题目要求回答以下问题。
6. DNA的全称是什么？答案：脱氧核糖核酸7. 计算机科学家艾伦·图灵提出了何种概念？答案：图灵机8. “苹果”这个单词的英文是什么？答案：Apple9. 哪位画家创作了《蒙娜丽莎》？答案：达·芬奇10. 数字π的小数点后一百位中的第十位数字是什么？答案：5第三部分：问答题请回答以下问题。
11. 解释什么是人工智能。
答案：人工智能是一种科学和技术领域，研究如何制造智能机器，使其能够模拟人类的思维和行为。
12. 举例说明“供给与需求”理论。
答案：供给与需求理论描述了市场上商品的价格如何由供给量和需求量决定的。
例如，当某种商品的需求量高而供给量不足时，该商品的价格通常会上涨。
13. 请简要描述原子结构。
答案：原子由质子、中子和电子组成。
质子和中子位于原子核中，电子围绕着原子核运动。
14. 解释什么是生态系统。
答案：生态系统由生物群落和其所处的非生物环境组成，包括地球上各种动物、植物和微生物共同生活的地区。
15. 举例说明氧化反应。
答案：铁生锈是氧化反应的一个例子，当铁暴露在湿气环境中，铁与氧气发生反应形成铁锈。
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第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛 小学组一试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________.
2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ，
则三角形ABF 的面积等于_________.
3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。
则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。
求所有满足条件的（a ，b ，c ）。
5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。
那么k 最大是多少？
6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每
个圆圈恰填一个数，满足下列条件：
1） 正三角形各边上的数之和相等；
2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。
问：有多少种不同的填入方法？
( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )
总决赛 小学组二试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。
如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.
2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于
O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，
三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为
69。
则三角形AED 的面积等于_________.
3. 一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以４所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是_________.
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角不大于180度的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分。
则这个六边形的周长至少是多少？
5. 黑板上写有1，2，3，…，2011一串数。
如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则
1） 最后剩下的这个数是多少？
2） 所有在黑板上出现过的数的总和是多少？
6. 试确定积)12()12)(12)(12(2011321++++Λ的末两位的数字。
总决赛 初一组一试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 计算 )]5(31[)41(2])32([|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯---÷---⨯-＝_________.
2. 如图，正方形ABCD 的面积等于625，DE 与CF 相交于G 。
已知ADE S ∆＝CDG S ∆＝125平方厘米，那么△BFG 的面积是
_________平方厘米.
3. 用程度分别为1，2，…，50的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的程度分别为a ，b ，c ，a <b <c ，则（a ，b ，c ）最多有_________种不同的取法？
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 用S (n )表示自然数n 的数字和，
如S (1)＝1，S (123)＝6，S (1234)＝10等等，
求自然数n ，使得n ＋S (n )＝2011. 5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6、三个7组成，使得n
m k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由。
6. 设自然数k 使得方程 k x x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32 无解，将这样的k 由小到大排成一行，其前2011个k 的值之和等于多少？
总决赛 初一组二试
2011年7月23日
中国·惠州
一. 填空题：（共3题，每题10分）
1. 水池有一个进水口和若干个同样大小的排水口，池中有水若干。
如果同时打开进水口和5个排水口，则连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，则连续20小时可以将水排尽。
那么同时打开进水口和15个排水口，_________小时就可以将水排尽。
2. 在右图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF ∥AB ，
GH ∥AD ，EF 和GH 相交于点O ，三角形OBD 的
面积是m ，长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的
面积差等于_________. 3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数， 则a b ＝________. 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）
4. 将数1，2，3，…，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”。
对每一种填法，都可以得到最大“众数”与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少？
5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14。
问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的只算1个）
6. 求最小自然数k ，使得对于任意正整数n ，k 个奇数2n ＋1，2n ＋3，2n ＋5，…，2n ＋2k －1中至少有一个数，不能被3，5，7，11中的任何一个整除。