第三届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试卷小学组2013
(整理)第三届华罗庚金杯初赛试题以及答案
第三届华罗庚金杯初赛试题以及答案1．计算：[分析] 分数、小数合在一起的四则运算，是小学数学的重要训练内容，要求算得准、算得快。
这个题目，是用繁分的形式给出了加、减、乘、除的混合运算，它的另一个形式是算这个题时，要注意两点：（1）在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；（2）在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。
[解法1][解法2][注] 两种方法的共同之处是在前两步中，都将乘、除运算中的带分数化种方法的不同之处是解法1运用了乘法对加法的分配律，解法2则是采用了化简繁分式的通常方法——分子、分母乘以同一个不为零的数。
这里，还要0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。
2．某年的10月里有5个星期六，4个星期日。
问：这年的10月1日是星期几？[分析] 这个题目，主要考查逻辑推理能力。
解决这个题的关键是要判定：10月里的第一个星期六或者第一个星期日是10月几日？这个问题一解决，10月1日是星期几就很容易推算出来。
当然，解这个题，还应当知道：10月是大月，有31天。
我们知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月。
人们会发现其中的不协调：到7月为止，都是单月为大月，但后面却突然改双月为大月了。
为什么这么改呢？这里还有一段故事呢！原来，现在的历法，开始制定于古罗马时代。
当时，有一个罗马皇帝，叫奥古斯特，他出生于8月，为了显示他的不平凡和尊贵，下令将8月改成大月，于是后面的双月都是大月了，这个划分一直沿用至今，在英语中，8月是August，读出来就是“奥古斯特”。
[解法1] 10月有31天，而31=4×7＋3，所以，这个月有4个星期零3天。
要判定10月1日是星期几，可以先推算这个月的第一个星期六是几日：如果10月1日是星期六，那么10月2日、9日、16日、23日、30日都是星期日，出现了5个星期日，与题设的“10月里有…4个星期日”不符，所以10月1日不是星期六。
第三届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试卷初一
第三届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛笔试二试卷(初一组
) G F E
D
C B A 第三届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
笔试二试卷 (初一组)
(2010年8月10日，60分钟)
一、填空题(每题20分, 共60分)
1. 如图，,90︒=∠=∠DCF ABE AB =3, DC =5, BC =6, BE =EF =FC , AF 交DE 于G . 则三角形DFG
与三角形AGE 面积的和为 .
2. 在正八边形的8个顶点和中心O 处放上9个不同的自然数, 使得位于每对平行边与中心O 上
的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和. 那么位于中心O 处的数最小是 . O
H
G F E D
C
B A
3. 如图, 对A , B , C , D , E , F , G 七个区域分别用红、黄、
绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色, 规
定相邻的区域着不同的颜色. 那么有 种不同的着色方法.
二、解答题 (每题20分, 共60分)
4. 对于平面上垂直的两条直线a 和b , 称 (a , b ) 为一个“垂直对”, 而a 和b 都是属于这个“垂直
对”的直线. 那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”?
5. 方格网上有三个地点A , B , C , 每个小方格的边长为100米. 如果沿
着网格线修路把三个地点连起来, 问：修的总路长最短为多少米?
6. 如果x 和y 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12][29][y x y x x ，求x 和y 的值.（其中][x 表示不大于x 的最大整数）.。
首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛决赛笔试一(高小组)题解
首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛(2006 - 2007)决赛笔试一 (高小组) 题解除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。
甲部十五题，每题5分。
1. 已知 b =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯9100000245.010*******.0910245.09.10245.01.9245.009.145.2 ，求 b 的值。
答案: 4.92.45(2-2+2)= 4.9 2. 已知9994343=+-b a b a ，且 ba b a b a b a 43)43(9979984343-+⨯⨯++- = y ，求y 的值。
答案: y = 999 + 998 x 997 x 1/999 = 999 + (999 – 1) x 997/999= 999 + 997 – 997/999=999219953. 图一是一个由两个正方形拼合而成的图形，它们的边长分别是m 厘米及n 厘米，且CDE 为一直线。
已知m 和 n 都是两位数，且 n m 22=。
若三角形ABC 的面积等于a 平方厘米，求 a 的最大值。
A BCD E图一 答案：98 n = m x m / 2 15 x 15 /2 > 100 14 x 14 /2 = 98大小正方形的边分别为 98 cm 及 14 cm 。
故三角形 ABC 的面积是 14 x 14 / 2 = 98。
4. 某小镇有人口2046人，那里的人都很爱帮助别人。
某日小镇某人把某慈善机构的某慈善活动口号告诉了他的两位好朋友，并要求他们转告另外两位不知道这活动口号的人。
这两位好朋友不用花一分钟便把口号传给另外两个人，而刚听得口号的两个人又不用花一分钟便把这口号再传给另外两个人。
如此下去，每人只把口号传给别人一次，问最多需要经过多少分钟，整个小镇的人便知道这慈善活动口号？答案：1022(n)分钟 0 1 2 3……n _人知道口号 1+21+2+21+2+2+21+2+2+2+21+(n+1)21+(n+1)2>2046 2n+3>2046 2n>2043 n>1021.5 所以 n= 1022最多需要经过1022分钟，整个小镇的人便知道这慈善活动口号5. 已知p 为50以内的一个两位质数，且 2p + 1也是质数。
13届华罗庚杯少年数据竞赛试题及答案
第十三届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）姓名_________ 得分：______一、选择题。
（毎小题10分。
以下毎题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的圆括号内。
）1．科技小组演示自制的机器人。
若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米，最后又向南行走1米到达B点。
则B点与A点的距离是（）米。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）72．将等边三角形纸片按图1所示的步骤折迭3次（图1中的虚线是三边中点的连线），然后沿两边中点的连线剪去一角（图2）。
图1 图2将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（）。
（A）（B）（C）（D）3．将一个长和宽分别是1833厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少是（）个。
（A）8 （B）7 （C）5 （D）64．已知图3是一个轴对称图形。
若将图中某些黑色的图形去掉，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有（）个。
图3（A）9 （B）8 （C）7 （D）65．若a＝1515…15×333…3，则整数a的所有数位上的数字和等于（）。
（A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）180546．若，＝，＝，＝202002200c 2009200820072006b 2008200720062005a ××××××则有（ ）。
（A ）a>b>c （B ）a>c>b （C ）a<c<b （D ）a<b<c 二、填空题。
（每小题10分，满分40分。
第10题每空5分）7．如图4所示，甲车从A ，乙车从B 同时相向而行。
两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，而乙车只行驶了1小时就到达A 。
甲、乙两车的速度比为 。
图48．华杯赛网址是 。
历届小学华罗庚少年金杯赛试题及解答
历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答历届⼩学华罗庚少年⾦杯赛试题及解答2010年第⼗五届华杯赛决赛试题C及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题A及…2010年第⼗五届华杯赛决赛试题B及…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗三届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼆试试题及解…第⼗⼆届华杯赛总决赛⼀试试题及解…第⼗⼆届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛决赛试题及解答第⼗⼀届华杯赛初赛试题及解答第⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼗届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第⼗届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第⼗届华杯赛决赛试题及解答第⼗届华杯赛初赛试题及解答第九届华杯赛总决赛⼆试试题及解答第九届华杯赛总决赛⼀试试题及解答第九届华杯赛决赛试题及解答第九届华杯赛初赛试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼋届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼋届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛决赛⼆试试题及解答第七届华杯赛决赛⼀试试题及解答第七届华杯赛复赛试题及解答第七届华杯赛初赛试题及解答第六届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第六届华杯赛决赛⼆试试题及解答第六届华杯赛决赛⼀试试题及解答第六届华杯赛复赛试题及解答第六届华杯赛初赛试题及解答第五届华杯赛团体决赛⼝试备⽤题第五届华杯赛团体赛⼝试试题第五届华杯赛决赛⼆试试题及解答第五届华杯赛决赛⼀试试题及解答第五届华杯赛复赛试题及解答第五届华杯赛初赛试题及解答第四届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第四届华杯赛决赛⼆试试题及解答第四届华杯赛决赛⼀试试题及解答第四届华杯赛复赛试题及解答第四届华杯赛初赛试题及解答第三届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛团…第三届华杯赛决赛⼆试试题及解答第三届华杯赛决赛⼀试试题及解答第三届华杯赛复赛试题及解答第三届华杯赛初赛试题及解答第⼆届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛⼝…第⼆届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼆届华杯赛决赛⼀试试题及解答第⼆届华杯赛复赛试题及解答第⼆届华杯赛初赛试题及解答第⼀届华杯赛团体赛⼝试试题第⼀届华杯赛决赛⼆试试题及解答第⼀届华杯赛决赛⼀试试题及解答。
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试试题以及答案
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试试题以及答案1．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
〔解〕如果自然数n 是某一个自然数m 的平方，即n=m2，则称自然数n 为完全平方数。
从约数的性质可知：具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。
从360到630的自然数中，完全平方数为361，400，441，484，529，576和625。
因此这7个完全平方数即为所求。
答：它们分别是361，400，441，484，529，576和625。
〔分析〕我们简要说明一下，为什么具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。
设a 是自然数n 的约数。
根据约数的性质可知有自然数b 使得n=a ×b 。
因此b 也是n 的约数。
当a ≠b 时，a 与b 成对出现。
因此共有偶数个约数．按题意n 有奇数个约数，因此必定有一个约数a 使得a=b ，也就是说，n ＝a ×a=a2，这就证明了n 必为完全平方数。
2，四边形ABCD 被AC 和DB 分成甲，乙，丙，丁4个三角形。
已知：BE=80cm ．CE=60cm ，DE=40cm ，AE=30cm ．问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？〔解〕由三角形面积公式可知：同高的两个三角形的面积之比等于底边长之比． 从三角形BDA 可知：甲∶丁=80∶40=2∶1，从三角形 BDA 可知：乙∶丁=60∶30=2∶1，因此甲+乙=4×丁．再由三角形BCA 可得丙∶甲=60∶30=2∶1，所以丙=2×甲=4×丁．由此可得（丙+丁）∶（甲+乙）=5丁∶4丁=5∶4。
答：丙与丁这两个三角形的面积之和是甲与乙两个三角形面积之和45倍。
3．已知：ａ＝4434421Λ19911991199119911991个问：a 除以13所得余数是几？〔解法1〕用试除的方法可知：199119911991可以被13除尽。
原数a 有1991个1991。
第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷(小高组一试)
2012年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组一试）一.填空题（每题10分）1．（10分）计算：2+[（4.32﹣1.68﹣1）×﹣]÷1＝．2．（10分）今天是13日，如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是．1 2 3 4 …12 132 3 4 5 …13 143 4 5 6 …14 15…………………13 14 15 16 (25)3．（10分）一只油桶，装的油占全桶装油量的，卖出18千克后，还剩原有油的60%．那么这只油桶能装千克油．4．（10分）在△ABC中，D1、D2、D3为AB边的内分点，E1、E2、E3为AC边的内分点，那么图中有个三角形．5．（10分）两个带小数相乘，将得到的积四舍五入可得27.6．现已知这两个小数都是一位小数，且它们个位上都是5，那么这两个小数相乘所得的准确积是．6．（10分）A、B两地共有学生81人，其中A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B 地的12个学生联系过，…，第n个学生与B地的所有学生都联系过．那么A、B两地各有学生．7．（10分）有一种八边形，它的每条边的长度都是一个整厘米数．若从该八边形中取出任意三条边的都不能构成三角形．则符合这些条件的八边形周长最短是cm．8．（10分）在小于2012的所有正整数n中，使得2n﹣n2 能被7整除的n共有个．9．（10分）三角形ABC中，BE＝1，EF＝6，FC＝2，BD＝2AD，三角形AHG 的面积是4.86，三角形GFC的面积是2，则四边形BEHD的面积是．10．（10分）由单位正方形组成的m×n的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：或者向上走任意多格，或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走．若规定不能再走者为负（即最先将棋子移至右上角者获胜）．那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有个．11．（10分）将自然数2、3、4…、n分成两组，满足①同一组任意两个数的乘积不在这个组；②任意一个数与它的平方不在同一组．则n最大是．12．（10分）一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也可以随意翻动．则球接触不到的正方体内表面的面积是．2012年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组一试）参考答案与试题解析一.填空题（每题10分）1．（10分）计算：2+[（4.32﹣1.68﹣1）×﹣]÷1＝2．【分析】先把小括号里面的算式，根据减法的性质简算；然后再根据四则混合运算的运算顺序计算即可．【解答】解：2+[（4.32﹣1.68﹣1）×﹣]÷1＝2+{[4.32﹣（1.68﹣1）]×﹣}÷1＝2+{[4.32﹣3]×﹣}÷1＝2+{1.32×﹣}÷1＝2+{0.6﹣}÷1＝2+÷＝2+＝2；故答案为：2．2．（10分）今天是13日，如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是2197 ．1 2 3 4 …12 132 3 4 5 …13 143 4 5 6 …14 15…………………13 14 15 16 (25)【分析】根据高斯求和公式可知，第一列的数和是（1+13）×13÷2＝7×13，第二行的数和是（14+2）×13÷2＝8×13，第三行的数和是（3+15）×13÷2＝9×13，由于可发现，n行的数和是（7+n﹣1）×13，所以13行所有数的和是7×13+8×12+…+（7+13﹣1）×13＝[7+8+9+…+（7+13﹣1）]×13＝[（7+13﹣1）+7）×13÷2×13．据此完成【解答】解：（1+13）×13÷2+（14+2）×13÷2+（3+15）×13÷2+…+（13+25）×13÷2＝14×13÷2+16×13÷2+18×12÷2+…+38×13÷2＝7×13+8×13+9×13+…+19×13＝（7+8+9+…+19）×13＝（7+19）×13÷2×13＝26×13÷2×13＝13×13×13＝2197答：那么这个表中所有自然数的总和是2197．故答案为：2197．3．（10分）一只油桶，装的油占全桶装油量的，卖出18千克后，还剩原有油的60%．那么这只油桶能装75 千克油．【分析】先把原来油的质量看成单位“1”，卖出18千克后，还剩原有油的60%，那么卖出的质量就是原来油质量的（1﹣60%），它对应的数量是18千克，根据分数除法的意义，用18千克除以（1﹣60%）即可求出原来油的质量，这又是全桶装油量的，再把全桶装油量看成单位“1”，再根据分数除法的意义，用原来油的质量除以即可求出这个油桶能装多少千克油．【解答】解：18÷（1﹣60%）＝18÷40%＝45（千克）45÷＝75（千克）答：这只油桶能装 75千克油．故答案为：75．4．（10分）在△ABC中，D1、D2、D3为AB边的内分点，E1、E2、E3为AC边的内分点，那么图中有64 个三角形．【分析】在三角形BCD1中有4+3+2+1＝10个三角形；如果不看CD3，在BCD2中也有10个三角形；如果不看CD3、CD2，在BCD1中同样有10个三角形；如果不看CD3、CD2、CD1在BCA有10个三角形；在D2D3C中有4个三角形；在D2D1C中有4个三角形；在D1CA中4个三角形；在D1D3C中除了前面数出的还有4个三角形；在D2AC中除了前面数出的还有4个三角形；在D3AC 除了前面数出的还有4个三角形．【解答】解：4×10+4×6＝64（个）故填645．（10分）两个带小数相乘，将得到的积四舍五入可得27.6．现已知这两个小数都是一位小数，且它们个位上都是5，那么这两个小数相乘所得的准确积是27.55 ．【分析】首先根据个位数字是5，那么两个5乘积的结果个位也一定是5，再根据四舍五入的规律即可求解．【解答】解：依题意可知：首先根据两个小数的结果是2位小数，个位数字都是5，那么原来结果的尾数一定是5；根据四舍五入的结果是27.6，那么只能是27.55满足条件．故答案为：27.556．（10分）A、B两地共有学生81人，其中A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B 地的12个学生联系过，…，第n个学生与B地的所有学生都联系过．那么A、B两地各有学生36人、45人．【分析】按题意，显然A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B地的12个学生联系过，…，第n个学生与B地的所有学生都联系过，A地的学生比B地的学生要少9人，而总数是81人，可以用总数减去9，就是A地学生人数的两倍，不难求得A地和B地的学生人数．【解答】解：根据分析，A地的学生比B地的学生要少9人，而总数是81人，可以用总数减去9，就是A地学生人数的两倍，故A地有：（81﹣9）÷2＝36（人）；B地有：81﹣36＝45（人），故答案是：36人、45人．7．（10分）有一种八边形，它的每条边的长度都是一个整厘米数．若从该八边形中取出任意三条边的都不能构成三角形．则符合这些条件的八边形周长最短是54 cm．【分析】斐波那契数列，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，任意取3个数为三条边的都不能构成三角形，即可得出结论．【解答】解：由题意，八边形的边长满足斐波那契数列，符合这些条件的八边形周长最短时，边长为1，1，2，3，5，8，13，21，周长为54cm．故答案为54．8．（10分）在小于2012的所有正整数n中，使得2n﹣n2 能被7整除的n共有576 个．【分析】2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期是3，这个你可以直接计算试一试知道．n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是2，4，1，2，4，1，…2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期显然是7．n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是1，4，2，2，4，1，0，．总的来说，因为3和7互质，所以2n﹣n2 2被7除的余数以3×7＝21为周期．在一个周期中，3除n余1的，7除n可以余3和4，分别对应数10和4；3除n余2的（此时2n﹣n2 被7除余4），7除n可以余2和5，分别对应数2和5；3除n余0的（此时2n﹣n2 被7除余1），7除n可以余1和6，分别对应数15和6．由上面的讨论，所有使得2n﹣n2能被7整除的正整数n为2，4，5，6，10，15以及它们加上整数倍的21．有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中，因为2012＝21×95+17这样的n有95×6+6＝576个，据此解答．【解答】解：因为2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期是3，n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是2，4，1，2，4，1因为3和7互质，所以2n﹣n2 被7除的余数以3×7＝21为周期．7除n可以余2和5，分别对应数2和5；3除n余0的（此时2n﹣n2 被7除余1），7除n可以余1和6，分别对应数15和6综上所述：所有使得2n﹣n2能被7整除的正整数n为2，4，5，6，10，15以及它们加上整数倍的21．有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中，因为2012＝21×95+17这样的n有95×6+6＝576个，故答案为：576．9．（10分）三角形ABC中，BE＝1，EF＝6，FC＝2，BD＝2AD，三角形AHG 的面积是4.86，三角形GFC的面积是2，则四边形BEHD的面积是 2.86 ．【分析】连接BH，FH，分析各个三角形之间的面积关系，求出各个面积大小．【解答】解：连接BH，FH，由题意△BEH、△EFH、△CFH之间的面积比是2：6：1由BD＝2AD，可得△CBD的面积是△CAD的2倍，△DBH的面积是△DAH的2倍，由这两个条件可得△BHC的面积是△AHC的面积的2倍．把△BHC的面积看成9份，那△AHC的面积就是9÷2＝4.5份如果把△AHC看成底边是AG的两个三角形面积和，把△CHF看成底边是FG 的两个三角形之和，那么△AHC与△CHF的面积比就等于AG：FG，也就是4.5：2＝9：4根据AG：FG＝9：4和△AHG的面积是4.86，可以求出△HGF的面积是4.86÷9×4＝2.16因为△CFG的面积是2.16+2＝4.16，所以△BEH的面积是4.16÷2＝2.08AH：HE＝4.5：8＝9：16所以三角形ABD的面积就是2.08÷16×9＝1.17根据AD：BD＝1：2得到BDH的面积＝1.17÷3×2＝0.78所以四边形BEHD的面积是0.78+2.08＝2.8610．（10分）由单位正方形组成的m×n的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：或者向上走任意多格，或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走．若规定不能再走者为负（即最先将棋子移至右上角者获胜）．那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有90 个．【分析】当M＝N时，先走的甲必须会败；当M不等于N，甲可以通过独到的策略回到棋盘一，导致乙先，乙会败．有10种甲会败，有100﹣10＝90种甲会胜利．【解答】解：假设甲先走，乙后走，首先容易知道M＝N＝1时，甲必败，下面我们归纳证明当M＝N时，甲必败，首先M＝N＝1的情形是显然的．假设M＝N≤K时，甲必败，则当M＝N＝K+1时，假设甲第一步往任意一个方向走X步，则乙便往另外一个方向走X步．若X＝K+1，易知此时已经走到右上角，所以甲已经败了，否则X＜K+1，这样就就变成了重新在一个（K+1﹣X，K+1﹣X）的棋盘上行棋．这里1≤K+1﹣X≤K，而此时刚好也轮到甲行棋，由归纳假设知此时甲必败，所以结果仍然是甲必败．这样就完成了证明．下面看当M不等于N时的情形，假设M＞N （M＜N同理），甲可以第一步直接将棋子沿长为M的方向走M﹣N步这样就变成了重新在一个（N，N）棋盘上行棋，且此时轮乙行棋，由上面的结论知此时乙必败，即甲必胜．综上知要使先走的甲必胜，那么只需要M不等于N即可．即满足这样的正整数对有10×10﹣10＝90对．故答案为90．11．（10分）将自然数2、3、4…、n分成两组，满足①同一组任意两个数的乘积不在这个组；②任意一个数与它的平方不在同一组．则n最大是31 ．【分析】若2在第一组，则4在第二组，16在第一组，8只能在第二组，此时32既不能在第一组，也不能在第二组，故n的最大值不超过31，即可得出结论．【解答】解：若2在第一组，则4在第二组，16在第一组，8只能在第二组，此时32既不能在第一组，也不能在第二组，故n的最大值不超过31．当n＝31时构造如下：（2，3，5，7，11，13，16，17，19，23，24，29，31）和（4，6，8，9，10，12，14，15，18，20，21，22，25，26，27，28，30），所以n最大为31．故答案为31．12．（10分）一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也可以随意翻动．则球接触不到的正方体内表面的面积是72 ．【分析】先单独看一个面，因为球半径1，所以这个面最外1单位长度宽的一圈，球是接触不到的，球只能接触到中间的2单位长度的正方部分，接触到的面积4平方分米，接触不到的部分是16﹣4＝12，由此即可解决问题．【解答】解：先单独看一个面，因为球半径1，所以这个面最外1单位长度宽的一圈，球是接触不到的，球只能接触到中间的2单位长度的正方部分，接触到的面积4平方单位，接触不到的部分是16﹣4＝12，六个面一共12×6＝72平方单位，故答案为：72．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:44:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛1-9届试题及详解
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位数的 1.001 倍，小数点加在千位数之前，得数 2000.81 应是原来四 位数的 1.0001 倍。但是（2000.81÷1.001）和（2000.81÷1.0001）都不 是整数，所以只有 1981 是唯一可能的答案。 答：这个四位数是 1981。 【解法 2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现 8，1 两个数字。 小数点不可能加在个位数之前； 也不可能加在千位数之前， 否则原四位数只能是 8100，在于 2000.81 了。 无论小数点加在十位数还是百位数之前， 所得的数都大于 1 而小 于 100。这个数加上原来的四位数等于 2000.81，所以原来的四位数 一定比 2000 小，但比 1900 大，这说明它的前两个数字必然是 1，9。 由于它还有 8，1 两个连续的数字，所以只能是 1981。 【分析与讨论】解法 1 是用精确的计算，解法 2 靠的是“判断”。 判断也需要技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。 这里需要指出，不能一看 到得数 2000.81 中有二位小数 就得出 “ 小数点正好加在十位 数之前”的结论。请同学们想想 为什么？ 图 35 是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是 14 厘米，白色 小正方形的边长是 6 厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分 之几？ 【解法】格子布的面积是图 36 面积的 9 倍，格子布白色部分的 面积也是图 36 上白色面积的 9 倍。这样，我们只需计算图 36 中白色 部分所占面积的百分比就行了。这个计算很简单：
因此，七根竹竿的总长度是 2 米减去剩下一段的长，也就是 2－
1 63 ＝1 64 64 63 米。 64
答：七根竹竿的总长是1
【分析与讨论】 中国古代就有 “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭” 这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一 半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？ 用上面的解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。但如果 先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同 学们不妨试一试。 有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米， 以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个 梯形的面积最大？ 【解法】首先注意，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。但 我们现在是比较三个梯形面积的大小， 所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底＋下底）×高的大小就行了。我们用乘法分配 律： 第一个梯形的面积的 2 倍是： （2.12＋3.53）×2.71＝2.12×2.17＋3.53×2.71
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1 -
G
F
E
D
C
B
A
第三届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛
笔试二试卷 (小学组)
(2010年8月10日，60分钟)
一、填空题(每题20分, 共60分)
1. 如图，,90︒=∠=∠DCF ABE AB =3, DC =5, BC =6, BE =EF =FC , AF
交DE 于G . 则三角形DFG 与三角形AGE 面积的和为 .
2. 在正八边形的8个顶点和中心O 处放上9个不同的自然数, 使得
位于每对平行边与中心O 上的5个数之和都等于位于顶点的8个数之和. 那么位于中心O 处的数最小是 .
3. 如图, 对A , B , C , D , E , F , G 七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色, 规
定相邻的区域着不同的颜色
. 那么有 种不同的着色方法.
二、解答题 (每题20分, 共60分)
4. 对于平面上垂直的两条直线a 和b , 称 (a , b ) 为一个“垂直对”, 而a 和b 都是属于这个“垂直
对”的直线. 那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”?
5. 方格网上有三个地点A , B , C , 每个小方格的边长为100米. 如果沿着网格线修路把三个地点连
起来, 问：修的总路长最短为多少米?
6. 自然数b a ,满足11323=-b a , 求b a +的最小值.
O
H
G
F
E
D
C
B
A。