第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题和答案 小学组
蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题
蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题特级教师吴乃华梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。
由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。
它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。
下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。
一、紧盯翅膀求答案梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下”）三角形。
简记为：“左＝右”。
在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。
例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。
解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。
由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35；S△MNP＝S△ABP＝20。
所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。
例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)解：连接AM。
把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。
由“左＝右”知道：S△AFM＝22；S△AEM＝36－22＝14。
所以，三角形BNE 的面积是14。
二、上底下底藏玄机梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。
上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。
所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
第十六届“华杯赛”小学组决赛试题b答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）一、填空题 (每小题 10 分，共 80 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案27 4320 15 43 4 7100017120 3二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)9.答案: 416.解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H.则△DFG绕点D逆时针旋转180o与△DHE重合,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=△AFH的面积=2×△AFD的面积=长方形ABCD的面积 =416（平方厘米）.10.答案：62.解答. 设一班有x人，二班有y人.则7(x-1) =13( y-1) ,所以，13 | (x-1) ,7 | ( y-1) . 于是x =13m +1,y =7m +1,其中 m 是自然数.因为250 ≤ 7(x-1) =13( y-1) ≤ 300 ,所以250 ≤ 91m≤ 300 ,解得m =3.最终得到x + y =13m +1+7m +1=62.11.答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515.解答. 设n=abab=101ab.依题(3),有a2b2|n2，所以ab|n，即ab| 101ab.由于101是质数， (ab, 101) =1，故ab|ab，即ab | (10a+b) ，于是有a | b且b| 10a.讨论：I.当 b = a 时，a2| 11a⇒a| 11.∴a=b=1⇒n1=1111II.当 b =2a 时，2a2| 12a⇒a| 6⇒i. a =1, b =2⇒ n2=1212ii. a =2, b =4⇒ n3=2424iii. a =3, b =6⇒ n4=3636III.当 b =5a 时，5a2| 15a⇒a| 3.∴a=1,b=5⇒n5=1515.12.答案: 3344.解答. 每一个自然数n都可以表示成n=2r g,其中r≥0,g是奇数,是n的最大奇因子. 现在将自然数 1～100 如下分类.0类 ( r= 0 ): 1,3,5,…,99, 和为 1+3 +5 + +99 = 2500.1类 ( r=1 ): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为1+3 +5 + + 49 = 625.2类 ( r=2 ): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为1+3 +5 + + 25 =169.3类 ( r= 3 ): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1+3 +5 + +11 = 36 .4类 ( r=4 ): 16,48,80, 奇因子之和为1+3 + 5 = 9 .5 类 ( r= 5 ): 32,96, 奇因子之和为 1+3 = 4 .6 类 ( r= 6 ): 64, 奇因子为 1.因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.解答. 由题设知，水箱底面积 S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积 V 水箱=1000×50＝50000，铁块底面积 S 铁＝10×10＝100．铁块体积 V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 50 时，1000a＋1000＝50000, 得a＝49．所以，当 49≤a≤50 时，水深为 50（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a＋1000＝10000, 得a＝9．a×40×25+10×10×10所以，当 9≤a＜49 时，水深为= a+1.（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则101000x＝1000a＋100x．得x＝9a．10答：当 0＜a＜9 时，水深为9a；当 9≤a＜49 时，水深为a+1；当 49≤a≤50 时，水深为 50.14.答案: 100.解答.等式成立时有第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）1793 = 2011-169 - 49 ≤华杯决赛≤ 2011-160 - 40 = 1811.进而得到, 华=1, 杯=7 或 8.(1)当杯=8 时, 共 72 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1800-160 - 40 =11.①决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为 1, 其它为 0, 共 3 种情况.②决=0 时, 赛+月+日=11,赛=0, 月+日=11 有 8 种情形;赛=1, 月+日=10 有 9 种情形;赛分别为 2,3,…9 时, 对应的情形为 10,9, …,3, 计 52 种情形(2)当杯=7 时, 共 28 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1700-160 - 40 =111.不可能有决< 9 的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于 30, 所以决=9. 此时赛+月+日=21,赛不能小于 3, 否则要求, 月+日大于 18.赛分别为 3,4,…9 时, 对应的情形为 1, 2, …, 7, 计 28 种情形综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有 100 种.。
第十六届华赛杯小学组决赛3试题及答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C (小学组)决赛试题C （小学组）（时间: 2011年4月16日10:00～11:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 877655433++= .2. 工程队的8个人用30天完成了某项工程的32, 接着增加了4个人完成其余的工程, 那么完成这项工程共用了 天.3. 甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍.乙骑了4千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的61. 排除故障后, 乙的速度提高了60%, 结果甲乙同时到达B 地. 那么A, B 两地之间的距离为 千米.4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯. 晚上9时37分20秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有个小彩灯.5. 在边长为2厘米的正方形ABCD 中, 分别以A , B , C , D 为圆心, 2厘米为半径画四分之一圆, 交点E , F , G , H , 如图所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率3.141π=）6. 用同一种颜色对44⨯方格的7个格子进行涂色, 如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）. 那么共有 种涂色的图案.密 封 线 内 请 勿 答 题7. 已知某个几何体的三视图如右图, 根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）, 这个几何体的体积是_______（立方厘米）.8. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数, 其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示, 如下图所示.某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则可能的线路号有 个.二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相同的数字, 使得算式成立. 在所有满足要求的算式中, 四位数华杯决赛的最小值是多少?10. 长方形ABCD 的面积是70平方厘米. 梯形AFGE 的顶点F 在BC 上, D 是腰EG 的中点. 试求梯形AFGE 的面积.11. 求不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数.12. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的21日可能是星期几?三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 以[]x 表示不超过x 的最大整数, 设自然数n 满足200015151153152151>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n ,则n的最小值是多少?14.一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水, 深度为a, 其中600≤<a. 现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面, 问放入铁块后水深是多少?第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案（小学组）一、填空题(每小题10分，共80分)二、解答下列各题(每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9.答案: 1000解答. 因为华杯决赛是四位数, 所以不会小于1000. 当华杯决赛=1000, 十六届=990, 兔年=21时题目要求的等式成立.10.答案:70.解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△DFG绕点D逆时针旋转180o与△DHE重合,DF=DH.梯形AEGF的面积=△AFH的面积=2×△AFD的面积=长方形ABCD的面积=70（平方厘米）.11.答案: 17解答. 合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，…….因为4 + 6 + 9 = 19, 所以19能写成3个不相等的合数之和. 大于19的奇数n可以表示成n=19+2k, k是非零自然数, 进而n =4+9+(6+2k ).注意6+2k 为大于2的偶数, 是合数, 所以不小于19的奇数都写成3个不相等的合数之和.另外, 17不能写成3个不相等的合数之和. 12. 答案: 4, 6.解答. 设这个月的第一个星期日是a 日（71≤≤a ）, 则这个月内星期日的日期是a k +7, k 是整数, 317≤+a k . 要求有三个奇数.当a =1时, 要使7k +1是奇数, k 为偶数, 即k 可取0,2,4三个值, 此时,177+=+k a k分别为1, 15, 29, 这时21号是星期六.当a =2时, 要使7k +2是奇数, k 为奇数, 即k 可取1, 3两个值, 7k+2不可能有三个奇数.当a =3时, 要使7k+3是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时377+=+k a k分别为3, 17, 31, 这时21号是星期四.当74≤≤a 时, a k +7不可能有三个奇数.三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)13. 答案: 252.解：令k m 15=, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m ,.200015151153152151≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 于是.2000213152)1(1515)1(152151150151511531521512≤-=+-=+⨯-++⨯+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡kk k k k k k m m 因此.400013152≤-k k又40004114171317152>=⨯-⨯, 40003632161316152<=⨯-⨯, 得知k 最大可以取16. 当16=k 时, m =240. 注意到这时811161842363220002131520002+⨯==-=--k k .注意到20002008121618161512151615111516152151615115161515161511516152151>=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 而200019921116181615111516153152151<=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ . 所以 252 是满足题目要求的n 的最小值. 14. 解答. 由题设知水箱底面积S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积V 水箱=1000×60＝60000， 铁块底面积S 铁＝10×10＝100． 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为60时，1000a ＋1000＝60000, 得 a ＝59．所以，当59≤a ≤60时，水深为60（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9．所以，当9≤a ＜59时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = a +1.（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a ．答：当0＜a ＜9时，水深为109a ；当9≤a ＜59时，水深为a +1；当59≤a ≤60时，水深为60.。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)及答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)(时间：2011年3月19日10：00~11：00)一、选择题(每小题10分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。
请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
)1. 若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为( )(A) 100 (B) 101 (C) 102 (D) 103 。
2. 用火柴棍摆放数字0~9的方式如下：现在，去掉“ ”的左下侧一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应1；去掉“ ”的上下两根和左下一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应3。
规定“ ”本身对应“ ”，按照这样的规则，可以对应出( )个不同的数字。
(A)10 (B) 8 (C) 6 (D) 5 。
3. 两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差(大减小)等于( )。
(A) 2674(B) 571(C)76(D)496。
4. 老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人。
” 李：“一个人。
” 王：“二个人。
” 赵：“三个人。
” 刘：“四个人。
”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话。
那么，昨天这5个人中复习数学的有( )个人。
(A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
5. 如右图所示，在7 7方格的格点上，有7只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿网格线爬行到格点M、N、P、Q(图中空心圆圈所表示的四个位置)中的某个上聚会。
所用时间总和最小的格点是( )(A)M (B) N (C) P (D) Q。
6. 用若干台计算器同时录入一部书稿，计划若干小时完成。
如果增加3台计算器，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算器，则比原定时间多用65小时。
那么原定完成录入这部书稿的时间是( )小时。
(A)35(B)310(C)65(D)611。
二、填空题(每小题10分，满分40分)7. 右图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有 个。
历届华杯赛初赛小高真题库
初赛试卷（小学高年级组）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛这句话里有（ ）个数大于1，有（ ）个数大于2，有（ ）个数大于3，有（ ）个数大于4． 罗华庚金 杯决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1: MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 γβα++ 的最小值是（ ）.再加入50克含糖率20%的糖水.再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.（A）10 （B）17 （C）23 （D）315.今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）126.从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书..8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD =1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式43421Λ43421Λ个个2016201699999999⨯的结果中含有（ ）个数字0．（A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）．（A ）84 （B ）80（C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016L ，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）． （A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。
(完整版)第十六届华杯赛总决赛试题
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛 小学组一试2011年7月23日中国·惠州一. 填空题：（共3题，每题10分）1. 计算 313615176413900114009144736543++++++＝_________.2. 如右图所示，正方形ABCD 的面积为12，AE ＝ED ，且EF ＝2FC ，则三角形ABF 的面积等于_________.3. 某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗。
则这段时间有_______天，其中全天天晴有_______天。
二. 解答题：（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 已知a 是各位数字相同的两位数，b 是各位数字相同的两位数，c 是各位数字相同的四位数，且c b a =+2。
求所有满足条件的（a ，b ，c ）。
5. 纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个数（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k 个不同的非零自然数。
那么k 最大是多少？6. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入右图的圆圈中，每个圆圈恰填一个数，满足下列条件：1） 正三角形各边上的数之和相等；2） 正三角形各边上的数之平方和除以3的余数相等。
问：有多少种不同的填入方法？( 注意，经过旋转和轴对称反射，排列一致的，视为同一种填法 )总决赛 小学组二试2011年7月23日中国·惠州一. 填空题：（共3题，每题10分）1. 某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支。
如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支的人数是_________.2. 右图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，E 为BC 的中点，三角形ABO 的面积为45，三角形ADO 的面积为18，三角形CDO 的面积为69。
第16届华杯赛决赛模拟题.答案版(终版)
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛——模拟试卷一、 填空题（每小题10分，共80分）1. 计算：=+⨯++⨯+⨯125.0201131407725.040223201114 。
【分析】： 2。
2. 四位数中，数码0出现_ ____次。
【分析】一个数中出现3个0的有1000，2000，……, 9000.共9个。
一个数中出现2个0的有993243⨯⨯=个；只出现1个0的有39992187⨯⨯⨯=个。
因此 ，四位数中，数码0出现21872243392700+⨯+⨯=次。
3. 如图,每个正六边形的面积是1,则图中虚线围成的五边形的面积是_______.【分析】：整个图形的面积减去外面的8个小块的面积.整个图形一共有10个小正六边形.我们把外面8个小块编号为1,2,3,4,5,6,7,8.如图.1号和6号正好是小六边形的一半,面积都是0.5.2号和3号刚好可以凑成一个六边形,所以,面积是1.同样,7号和8好凑成一个六边形,面积是1.4号和5号是两个一样的小三角形,而正六边形可以分成6个这样的小三角形,所以,4号和5号的面积都是1/6.所求面积是: 10-0.5×2-1-1-1/6×2=6+2/3=6.7.4. “12345678910111213…484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个首位不为0的多位数，则这个多位数最大为______，最小为___ ___。
【分析】：根据题意，由于共有941291+⨯=个数字，最后划去80个数字，还剩下11个数字，99997484950；10000123440。
，为得到最小值，留下小的数字。
5. 所有适合不等式187＜5n ＜720的自然数n 之和为 。
【分析】：根据题意，n 可以是2到14中的任意自然数，于是：2＋3＋…＋14 = 104。
6. 请从2、3、5、7、9中选出4个不同的数字组成一个四位完全平方数，那么这个平方数是 。