2011-2016年第16-22届华罗庚杯少年数学邀请赛几何试题(小学高年级组)全解析
第十六届“华杯赛”小学组决赛试题b答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）一、填空题 (每小题 10 分，共 80 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案27 4320 15 43 4 7100017120 3二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)9.答案: 416.解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H.则△DFG绕点D逆时针旋转180o与△DHE重合,DF=DH.梯形 AEGF 的面积=△AFH的面积=2×△AFD的面积=长方形ABCD的面积 =416（平方厘米）.10.答案：62.解答. 设一班有x人，二班有y人.则7(x-1) =13( y-1) ,所以，13 | (x-1) ,7 | ( y-1) . 于是x =13m +1,y =7m +1,其中 m 是自然数.因为250 ≤ 7(x-1) =13( y-1) ≤ 300 ,所以250 ≤ 91m≤ 300 ,解得m =3.最终得到x + y =13m +1+7m +1=62.11.答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515.解答. 设n=abab=101ab.依题(3),有a2b2|n2，所以ab|n，即ab| 101ab.由于101是质数， (ab, 101) =1，故ab|ab，即ab | (10a+b) ，于是有a | b且b| 10a.讨论：I.当 b = a 时，a2| 11a⇒a| 11.∴a=b=1⇒n1=1111II.当 b =2a 时，2a2| 12a⇒a| 6⇒i. a =1, b =2⇒ n2=1212ii. a =2, b =4⇒ n3=2424iii. a =3, b =6⇒ n4=3636III.当 b =5a 时，5a2| 15a⇒a| 3.∴a=1,b=5⇒n5=1515.12.答案: 3344.解答. 每一个自然数n都可以表示成n=2r g,其中r≥0,g是奇数,是n的最大奇因子. 现在将自然数 1～100 如下分类.0类 ( r= 0 ): 1,3,5,…,99, 和为 1+3 +5 + +99 = 2500.1类 ( r=1 ): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为1+3 +5 + + 49 = 625.2类 ( r=2 ): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为1+3 +5 + + 25 =169.3类 ( r= 3 ): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1+3 +5 + +11 = 36 .4类 ( r=4 ): 16,48,80, 奇因子之和为1+3 + 5 = 9 .5 类 ( r= 5 ): 32,96, 奇因子之和为 1+3 = 4 .6 类 ( r= 6 ): 64, 奇因子为 1.因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是 3344.三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程)13.解答. 由题设知，水箱底面积 S 水箱＝40×25＝1000．水箱体积 V 水箱=1000×50＝50000，铁块底面积 S 铁＝10×10＝100．铁块体积 V 铁=10×10×10＝1000.（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 50 时，1000a＋1000＝50000, 得a＝49．所以，当 49≤a≤50 时，水深为 50（多余的水溢出）．（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为 10 时，1000a＋1000＝10000, 得a＝9．a×40×25+10×10×10所以，当 9≤a＜49 时，水深为= a+1.（3）由（2）知，当 0＜a＜9 时，设水深为x，则101000x＝1000a＋100x．得x＝9a．10答：当 0＜a＜9 时，水深为9a；当 9≤a＜49 时，水深为a+1；当 49≤a≤50 时，水深为 50.14.答案: 100.解答.等式成立时有第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学组）1793 = 2011-169 - 49 ≤华杯决赛≤ 2011-160 - 40 = 1811.进而得到, 华=1, 杯=7 或 8.(1)当杯=8 时, 共 72 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1800-160 - 40 =11.①决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为 1, 其它为 0, 共 3 种情况.②决=0 时, 赛+月+日=11,赛=0, 月+日=11 有 8 种情形;赛=1, 月+日=10 有 9 种情形;赛分别为 2,3,…9 时, 对应的情形为 10,9, …,3, 计 52 种情形(2)当杯=7 时, 共 28 种情况.10决+赛+日+月= 2011-1700-160 - 40 =111.不可能有决< 9 的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于 30, 所以决=9. 此时赛+月+日=21,赛不能小于 3, 否则要求, 月+日大于 18.赛分别为 3,4,…9 时, 对应的情形为 1, 2, …, 7, 计 28 种情形综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有 100 种.。
第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷(小学组第2试)
2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是．2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积等于．3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．2011年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第2试）参考答案与试题解析一、填空题（共3题，每题10分）1．（10分）某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是10 ．【分析】买1支的人数是其余人数的2倍，也就是说全班人数相当于其余人数的1+2＝3倍，先根据除法意义，求出买2支和3支铅笔的人数，再设买2支铅笔的有x人，进而用x表示出买3支铅笔的人数，最后依据买笔总数＝人数×买笔支数，用x表示出买笔总人数，根据铅笔总数是50支列方程，依据等式的性质即可求解．【解答】解：36÷（1+2）＝36÷3＝12（人）；设买2支铅笔的人数是x人12×2×1+2x+（12﹣x）×3＝5024+2x+36﹣3x＝5060﹣x+x＝50+x60﹣50＝50+x﹣50x＝10；答：买2支铅笔的人数是10．故答案为：10．2．（10分）如图中，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E为BC的中点，三角形ABO的面积为45，三角形ADO的面积为18，三角形CDO的面积为69．则三角形AED的面积等于75 ．【分析】若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，那么△ADB，△ADE，△ADC的高为等差数列（可以认为中间三角形的高是两边三角形的高的平均数），所以面积也呈等差数列（可以认为中间三角形的面积是两边三角形的面积的平均数）．据此可解．【解答】解：若将AD作为底边，因为点E为BC的中点，所以△ADE的高为△ADB和△ADC的高的平均数，因此△ADE的面积就等于△ADB和△ADC的面积的平均数．所以，S△ADE＝（S△ADB+S△ADC）÷2＝（45+18+18+69）÷2＝75；答：三角形AED的面积等于75．3．（10分）一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是3028 ．【分析】根据题意，列出这个数列是：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…易见，从第4个数开始每8个数一个循环．由于前面还有3个数，所以需用2011减去3的得数除以8，求出有多少组，再相加即可解答．【解答】解：这个数列：1、7、8、0、3、3、2、0、1、3、0、0、3、3、2、0、1、3、0、0…（2011﹣3）÷8＝251（0+3+3+2+0+1+3+0）×251+1+7+8＝12×251+16＝3028故答案为：3028．二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4．有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？【分析】在面积不变的情况下，要使得这些等边三角形堆成的边长最短，则使它们堆城一个六边形，且六边形的每个内角都是120度．然后构建一个大三角形：把大三角形每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形解答即可．【解答】解：我们把一个等边三角形每条边2等分，可以连结各边中点一共构成2×2＝4个小等边三角形；如果把每条边3等分，连结各边三等分点一共构成3×3＝9个小等边三角形；以此类推，把每条边n等分，连结各边n等分点一共构成n×n个小等边三角形．7×7＜57＜8×8＜9×9，8×8＝64，64﹣57＝7，7不能分解成为3个完全平方数之和的形式，9×9＝81，81＝4+4+16，所以我们就可以把这57个小三角形放在如图所示的等边三角形中，每条边被9等分，△ABC的边长为9，三个角各被切除一部分，此时DE＝5，EF＝2，FG＝3，GH＝4，HI＝3，DI＝2，则DE+EF+FG+GH+HI+DI＝19，即这个六边形的周长至少是19．答：这个六边形的周长至少是19．故答案为：19．5．（10分）黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则：（1）最后剩下的这个数是多少？（2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？【分析】（1）每操作一次，不影响黑板上所有数的总和，因此最后剩下的和＝1+2+3+…+2011，根据高斯求和公式完成即可．（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝256个数，这256个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．据此依据规则分析即可．①原有2011个数，和2023066②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．这117个和＝2023066﹣（1873+2011）*139/2＝1753128③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066④操作1次，黑板剩余1个数＝2023066；综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326 【解答】解：（1）1+2+3+…+2011＝（1+2011）×2011÷2＝2012×2011÷2＝2023066答：最后剩下的这个数是2023066．（2）由于倒数第2次操作，黑板上就16个数，总和是2023066，这16个数来源于16×16＝256个数，这256个数的和也同上．2011﹣（16﹣1）x＝256，x＝117次，显然，从开始，只要117次操作，黑板上就剩256个数．①原有2011个数，和2023066②操作117次，黑板剩余256个数：1873到2011，新出现117个和．这117个和＝2023066﹣（1873+2011）×139÷2＝1753128③操作16次，黑板剩余16个数都是新出现，和＝2023066④操作1次，黑板剩余1个数＝2023066综上，所有出现过的数＝2023066+1753128+2023066+2023066＝7822326．6．（10分）试确定积（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字．【分析】首先判断出积能被25整除，由于各因数均为奇数，则判断积的末两位数字为25或75，结合各因数被4整除的余数特点判断积的余数，进而判断出末两位数字为75．【解答】解：设n＝（21+1）×（22+1）×（23+1）×…×（22011+1），由于各因数2k+1均为奇数，其中22+1＝5，26+1＝65＝5×13，所以n≡0（mod25），此时知n的末两位数字要么为25，要么为75．又21+1≡3（mod4），对k≥2，都有2k+1≡1（mod4），所以n≡3（mod4），即n的末两位数字被4除余3，而25≡1（mod4），75≡3（mod4），所以n 的末两位数字为75．答：（21+1）（22+1）（23+1）…（22011+1）的末两位的数字75．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
第22届华杯赛小学中年级组初赛试题及答案解析
第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）一、选择题（每小题10分，共60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1、两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成。
A、两个锐角三角形B、两个直角三角形C、两个钝角三角形D、一个锐角三角形和一个钝角三角形2、从1至10这10个整数中，至少取（）个数，才能保证其中有两个数的和等于10。
A、4B、5C、6D、73、小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数。
某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子。
A、9B、8C、7D、64、猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米，猎豹跑2步的时间狐狸跑3步，猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑（）米可追上狐狸。
A、90B、105C、120D、1355、图1中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到的，则至少需要知道（）条线段的长度，才可以算出这个八边形的周长。
A、4B、3C、5D、106、一个数串219……，从第4个数字开始，每个数字都是前面3个数字和的个位数字，下面有4个四位数：1113，2226，2125，2215。
其中共有（）个不出现在该数串中。
A、1B、2C、3D、4二、填空题（每小题10分，满分40分）7、计算：1000—257—84—43—16＝。
8、已知动车的时速是普快的两倍，动车的时速提高25%即达到高铁的时速。
高铁与普快的平均时速比特快快15千米/小时，动车与普快的平均时速比特快慢10千米/小时，则高铁和普快的时速分别是千米小/时和千米//小时。
9、《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待求援。
马克的居住舱内留有每名航天员5天的食品和50千克的非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要灌溉4千克的水。
华罗庚金杯少年数学邀请赛(小学数学奥数)竞赛试题
华罗庚金杯少年数学邀请赛（小学数学奥数）决赛试题一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.计算: (2014⨯2014 +2012) -2013⨯2013 = ________.2.将长方形的纸片ABCD 按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF 落在三角形DEF 的位置, 顶点E 恰落在边AB 上. 已知∠1＝22°, 那么∠2 是________度.3.亮亮上学, 若每分钟行40 米, 则8 : 00 准时到校; 若每分钟行50 米, 则7 : 55到校. 亮亮的家与学校的距离是________米.4.第一次操作将图a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图b, 第二次操作再将图b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图c. 这样继续下去, 当完成第五次操作时, 得到的图形上共有________个正方形.5.“熊大”⨯“熊二”=“熊兄弟”. 若相同的汉字代表0 至9 中的相同数字, 不同的汉字代表不同的数字, 且“大”>“二”, 则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.6.鸡兔同笼, 共有40 个头, 兔脚的数目比鸡脚的数目的10 倍少8 只, 那么兔有________只.7.如图所示的手串中, 从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1 至22 依次编号. 小明玩数珠子游戏, 规则是: 从1 号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数, 但每当数到含数字7 或7 的倍数的数时就跳过它, 直接数下一个数. 例如: 数到6 时下一个数8, 数到13 时下一个数15, ……. 那么数到100 时应落在第________号珠子上．8.布袋中有60 个彩球, 每种颜色的球都有 6 个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球, 至少要取出________个球.二、简答题（每小题15 分, 共60 分, 要求写出简要过程）9.一块长方形的地ABCD 分成如图所示的两个长方形, 分别承包给甲、乙两户.甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等, 剩下的部分甲户比乙户的面积多96 亩. 已知BF=3CF, 那么长方形ABCD 的总面积是多少亩？10.右图是U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量. 如果每辆车都有50升油, 那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11.甲、乙、丙、丁四人分2013 块糖果, 甲分得的糖果比乙的2 倍多10 块, 比丙的3 倍多18 块, 比丁的 5 倍少55 块. 那么甲分得糖果多少块？12.编号从1 到10 的10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于2. 不同的涂色方法有多少种？。
第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答【解】：∵201711=183+411∴[201711×3] = [183×3+411×3]= 183×3+1类似地，可知：[201711×4]= 183×4+1；[201711×5]= 183×5+1[201711×6]= 183×6+2；[201711×7]= 183×7+2；[201711×8]= 183×8+2∴原式= 183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048【答】：所求值为6048。
【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：a+b+c3+d,a+b+d3+ca+c+d3+b,b+c+d3+a∵a+b+c3+d+a+b+d3+c+a+c+d3+b+b+c+d3+a=3（a+b+c+d）3+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)∴a+b+c+d=12×(8+12+1023+913)=12×(20+20) =20【答】：原来给定的4个整数的和为20。
【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：（1）两个点都在第一行；（2）两个点不在同一行但相邻；（3）两个点不在同一行且不相邻；【答】：共有10种不同的摆放方法。
【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC 根据题意可知：V甲=80÷2=40 (千米/小时) ，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时) 所以，BC两地距离：SBC=2×80=160 (千米)又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)【答】：乙的速度为64 千米/小时。
2016年第22届“华杯赛”初赛小高组试卷
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）192. 小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 将长方形ABCD 对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD 内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）204. 请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．（A ）2986 （B ）2858 （C ）2672 （D ）2754CDB A第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）．（A ）8615 （B ）2016 （C ）4023 （D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题(每小题 10 分,共40分)7. 若1532 2.254553923741A ⎛⎫-⨯÷+= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________． 华庚 金 杯。
第十六届“华杯赛”小学组决赛试题A答案
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（小学组）一、 填空题 (每小题 10分，共80分)二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 2011平方厘米.解答. 连接FD 的直线与AE 的延长线相交于H . 则△DFG 绕点D 逆时针旋转180o 与△DHE 重合,DF=DH , ADH AFD S S ∆∆=.梯形AEGF 的面积=△AFH 的面积=2×△AFD 的面积=长方形ABCD 的面积 =2011（平方厘米）.10. 答案：13种可能.解答. 分几种情形考虑.第一种情形: 线路号的数字中没有荧光管坏了. 只有351一个可能线路号. 第二种情形: 线路号的数字中有1支荧光管坏了.坏在第一位数字上, 可能的数字为9, 线路号可能是951;坏在第二位数字上, 可能的数字为6,9, 线路号可能是361, 391;坏在第三位数字上, 可能的数字为7, 线路号可能是357.第三种情形: 线路号的数字中有2支荧光管坏了.都坏在第一位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是851;都坏在第二位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是381;都坏在第三位数字上, 可能的数字为4, 线路号可能是354;坏在第一、二位数字上, 第一位数字可能的数字为9，第二位数字可能的数字为6，9, 线路号可能是961， 991;坏在第一、三位数字上, 第一位数字可能的数字为9，第三位数字可能的数字为7, 线路号可能是957;坏在第二、三位数字上,第二位数字可能的数字为6，9, 第三位数字可能的数字为7，线路号可能是367, 397.所以可能的线路号有13个:351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991.11. 答案: 3, 5.解答. 设这个月的第一个星期日是a 日（71≤≤a ）, 则这个月内星期日的日期是a k +7, k 是自然数, 317≤+a k . 要求有三个奇数.当a =1时, 要使7k +1是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时,177+=+k a k 分别为1, 15, 29, 这时20号是星期五.当a =2时, 要使7k +2是奇数, k 为奇数, 即k 可取1, 3两个值, 7k +2不可能有三个奇数.当a =3时, 要使7k +3是奇数, k 为偶数, 即k 可取0, 2, 4三个值, 此时377+=+k a k 分别为3, 17, 31, 这时20号是星期三.当74≤≤a 时, a k +7不可能有三个奇数.12. 答案: 253.解：令k m 15=, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m ,.201115151153152151≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡m m 于是.2011213152)1(1515)1(152151150151511531521512≤-=+-=+⨯-++⨯+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k k k k k kk m m 因此.402213152≤-k k 又40224114171317152>=⨯-⨯, 40223632161316152<=⨯-⨯,得知k 最大可以取16. 当16=k 时, m =240. 注意到这时312161952363220112131520112+⨯==-=--k k . 注意到20112024131618161513151615121516152151615115161515161511516152151>=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 而201120081216181615121516153152151<=⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ .所以253 是满足题目要求的n的最小值.三、解答下列各题(每小题15分，共30分，要求写出详细过程)13.答案: 312解答. 由于2+0+1+1=4 且0+1+2+3+4+6+7+8+9=40, 4≡40(mod 9), 所以, 九个不同的汉字代表的数字：0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.易知：40-4=36, 36÷9=4（次）, 说明此算式共发生四次进位.“4=2+2=1+1+2=1+2+1”显然：①华=1, “4=2+2”无解②华=1, “4=1+1+2”有解A:28+937+1046=2011, 可组成算式36种（6×6×1=36）B：69+738+1204=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48）C：79+628+1304=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48）③华=1, “4=1+2+1”有解A：46+872+1093=2011, 可组成算式36种（6×6×1=36）B：98+673+1240=2011, 可组成算式72种（6×6×2=72）C：97+684+1230=2011, 可组成算式72种（6×6×2=72）总计：72×3+96=216+96=312（种）.14.解答. 如左下图, 设M, N, P分别为棱GC, GF, GH的中点, 'M, 'N, 'P 分别为棱AE, AD, AB的中点, O为正方体的中心(长方形BDHF的中心).(1)第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内.首先蜘蛛甲做与爬虫关于点O的对称方向的移动, 不妨设爬虫由G沿棱GC 向点M移动, 蜘蛛甲由A沿棱AE向点'M移动, 爬虫被限制在GM上. 当爬虫到达点M时, 蜘蛛甲也同时到达点'M. 然后蜘蛛甲改变策略, 做与爬虫关于平面BDHF对称的方向移动.a) 当爬虫到达点B, D, F, H时, 蜘蛛甲捉住爬虫.b) 当爬虫未到达点B, D, F, H时, 爬虫被控制在左上图所示的范围内.(2) 蜘蛛乙先移动到点G, 由于右上图无环路, 蜘蛛乙可以跟在爬虫后面, 总可以捉住爬虫.。
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学中年级）
2016第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解析（小学中年级）第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）（时间：2016年12月10日10：00-11：00）一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内）1、两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成。
（A)两个锐角三角形（B）两个直角三角形（C）两个钝角三角形（D)一个锐角三角形和一个钝角三角形解析：此题主要考察学生图片组合分析能力由图显然可知，锐角、直角、钝角这三种角，只有锐角与锐角，锐角与直角不能不重叠组合，其余4种均能组合，则（B）、（C)、(D)均有可能组成一个大三角形，故选（A）2、从1至10这10个整数中，至少取（）个数，才能保证其中有两个数的和等于10。
（A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析：此题属于抽屉原理。
分析如下：10 =1+9=2+8=3+7=4+6即1至10这10个数字中能保证两个数字之和为10的可能情况只有以上4种，那么当取1，2，3，4，5，10时任意两数之和都不等于10，再取5，6，7，8这4个数中的1个数时，就有以上4种等式成立。
则至少要取6+1=7。
故选（D)3、小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数。
某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子。
（A)9 （B)8 (C)7 (D)6解析：此题考察学生的数字组合能力。
分析如下：（1）当三位数为2个8和1个5时：885，858，588；即有3种可能情况。
（2）当三位数为1个8和2个5时：855，585，558；即有3种可能情况。
综上分析，行李箱密码的可能性总和：3+3=6（种），即要确保打开箱子，至少要试6次。
故选（D)4、猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米。
猎豹跑2步的时间狐狸跑3步。
猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑动（）米可追上狐狸。
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序4：基本几何模型
燕尾模 型
蝴蝶模 型
沙漏模 型
金字塔 模型
鸟头模 型
一半模 型
几何 模型
等积变 形模型
华罗庚杯少年数学邀请赛 历年几何典型题库
鸟头
等积 変换
燕尾
几何 蝴蝶
漏斗
一半
比例
金字塔
2011年第16届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D 如图所示，AB∥CE，AC ∥ DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三角形COD的 面积为10，求四边形ABDE的面积。
一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0 ˂a ≤60，现将棱长尾10的长方体铁块放在容器底面，问放入铁块后水深是（）。
1
2
3
分析：无盖长方体容器盛有水情况有三种： 1、水很满；放入铁块后，水溢出； 2、水深很浅，放入铁块后，铁块一部分在水中，另一部分露出水面，水面也有升高。 3、水很深，则放入铁块后，铁块全部沉入水中，水面升高；
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题 如右图，两条线段将边长为10的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角 三角形，其中两个梯形的面积差为10,则直角三角形图示的边长是（）。
A
E
D
S1
S2
x
B
F
C
如右图，两条线段将边长为10的正方形分为两个高度相等的直角梯形S1、S2和一个直角 三角形，其中两个梯形的面积差为10,则直角三角形图示的边长x是（）。
（10×10×h）]÷(40×25) ,经简化计算，得h=������������a。
������
3、水很深，则放入铁块后，铁块全部沉入水中，水面升高。 放入铁块后水全部漫完铁块时，即当容器水深大于9小于59时，放入铁块后水深是 h=[(40×25×a）+（10×10×10）]÷(40×25) =a+1。
E
A O
BC
D
如图所示，AB∥CE，AC ∥ DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若三 角形COD的面积为10，求四边形ABDE的面积。
E
A
2a
a O4a
2a
BC
D
解：由AC∥DE，AC:DE=1:2 根据蝴蝶模型，在梯形ACDE中： S△COD=������������ 5=������ 由OC∥AB，OA:OD=BC:CD=1:2 根据鸟头模型，在三角形ABD中， S△ACD: S△ABC =������������ • ������������: ������������ • ������������ = 1:2 S△ABC =������. ������������ S△ABDE=10.5a=52.5
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛B几何试题 已知某个几何体的三视图，如右图，根据图中标示的尺寸，求几何体的体积是（）。
5 10
5
10
10
10
已知某个几何体的三视图，如右图，根据图中标示的尺寸，求几何体的体积是（）。
5 10
5
10
10
10
10
解：由三视图可知该几何体为四棱锥；四棱锥底面为边长为10的正方形，棱锥的高为10； 所以四棱锥的体积为：底面积×高÷3=10×10×10÷3=1000/3
解2：根据一半模型：
E
三角形ADF是梯形AEGF的一半
A
D
三角形ADF是长方形ABCD的一半
长方形ABCD的面积等于梯形AFGE的面积，
G 则梯形AFGE的的面积是70。
B
F
C
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题 一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0 ˂a ≤60，现将棱长尾10的长方体铁块放在容器底面，问放入铁块后水深是（）。
A B
E O C
解：梯形ACDE中，AC:DE=1:2,
根据梯形蝴蝶模型
S△AOC: S△AOE: S△COD: S△DOE=1:2:2:4
S△AOC=5
S△AOE= S△COD=10
S△DOE=20
S□ACDE= ������������
梯形ABCE中,根据等积变换模型，
S △ ABC: S △ ACE=1:2
E A
B
F
解1：连接DF，
利用蝴蝶模型，在梯形AFGE中， D
S△ADF= ������ S□ AFGE
������
G 利用蝴蝶模型，在长方形ABCD�
S□
ABCD
C
故： S□ AFGE= S□ ABCD=70
长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。
解： 1、水很满；放入铁块后，水溢出； 放入铁块后水刚要溢出时，容器水深a=[(40×25×60）-（10×10×10）]÷(40×25) =59 当容器水深大于59时，放入铁块后水深是60。 2、水深很浅，放入铁块后，铁块一部分在水中，另一部分露出水面，水面也有升高； 放入铁块后水刚要全部漫完铁块时，容器水深a=[(40×25×10）-（10×10×10）]÷(40×25) =9 所以，当容器水深大于0小于9时，放入铁块后水深是h=[(40×25×a）+
D
S △ ABC=7.5
S□ABCD=S △ ABC+S□ACDE=7.5+45=52.5
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题 长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。
E
A
D
G
B
F
C
长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛D几何试题 AB∥CE， AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面积为10，四边形 ABDE的面积是（）。
E
A O
D
B
C
AB∥CE， AC∥DE，且AB=AC=5，CE=DE=10，若三角形COD的面积为10，四边形
ABDE的面积是（）。
华罗庚杯少年数学邀请赛
2011-2016年 第16-22届几何试题（小学高年级组）
目录
基本几 基本几 何单位 何图形
基本几 何关系
基本几何模型
华罗庚杯少年数学邀请赛 历年题库
序1：基本几何单位
长度
几何
体积
单位
周长
面积
序2：基本几何图形
几何图形
三四多正圆 线角边边方柱
形形形体体
序3：基本几何关系