中心天体质量和密度的估算

中心天体质量和密度的估算

1．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，其绕行的周期为T .假设宇航员在火星表面以初速度v 水平抛出一小球，经过时间t 恰好垂直打在倾角α＝30°的斜面体上，如图1所示．已知引力常量为G ，则火星的质量为( )

图1

A.3v 3T 4

16Gt 3π4

B.33v 3T 416Gt 3π4

C.3v 2T 4

16Gt 3π4

D.33v 2T 416Gt 3π4

答案 B

解析 以M 表示火星的质量，r 0表示火星的半径，g ′表示火星表面附近的重力加速度，火

星对卫星的万有引力提供向心力，有G Mm r 20＝m (2πT )2r 0，在火星表面有G Mm ′r 20

＝m ′g ′；平抛小球速度的偏转角为60°，tan 60°＝g ′t v ，联立以上各式解得M ＝33v 3T 4

16Gt 3π4

，B 正确． 2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3π(g 0－g )GT 2g 0

B.3πg 0GT 2(g 0－g )

C.3πGT

2 D.3πg 0GT 2g 答案 B

解析 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G Mm R 2，又V ＝43

πR 3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )

.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 3．(多选)如图3所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )

图3

A ．轨道半径越大，周期越长

B ．轨道半径越大，速度越大

C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

答案 AC

解析 设星球质量为M ，半径为R ，飞行器绕星球转动半径为r ，周期为T .由G Mm r 2＝m 4π2

T 2r 知T ＝2πr 3GM ，r 越大，T 越大，选项A 正确；由G Mm r 2＝m v 2r 知v ＝ GM r

，r 越大，v 越小，选项B 错误；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 和ρ＝M 43πR 3得ρ＝3πr 3GT 2R 3，又R r ＝sin θ2，所以ρ＝3πGT 2sin 3θ2

，所以选项C 正确，D 错误．

4．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入．

(1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h 的某处以速度v 0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x .已知月球半径为R 月，引力常量为G ，试求出月球的质量M 月．

答案 (1) 3gR 2T 24π2 (2)2h v 20R 2

月Gx 2

解析 (1)设地球质量为M ，根据万有引力定律及向心力公式得G MM 月r 2＝M 月(2πT )2r ，G Mm R

2＝mg

联立解得r ＝ 3gR 2T 2

4π2

(2)设月球表面处的重力加速度为g 月，小球飞行时间为t ，根据题意得x ＝v 0t ，h ＝12

g 月t 2 G M 月m ′R 2月

＝m ′g 月 联立解得M 月＝2h v 20R 2

月Gx 2

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