第二节定积分计算公式和性质
定积分运算法则
• 通过定积分求解经济学中的边际产量、边际消费等边际问题
求解经济学中的总量问题
• 通过定积分求解经济学中的总产量、总消费等总量问题
求解经济学中的平均问题
• 通过定积分求解经济学中的平均产量、平均消费等平均问题
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06
定积分的数值计算方法
数值积分的基本原理与方法
数值积分的定义
数值积分的方法
• 通过数值方法近似求解定积分的值
• 辛普森法
• 龙贝格法
• 高斯积分法
数值积分的误差分析与控制
误差分析
误差控制
• 分析数值积分方法的误差来源
• 选择合适的数值积分方法
• 估计数值积分方法的误差范围
• 控制积分区间的长度
求解物体的速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的速度
求解物体的加速度
• 通过定积分求解物体在变力作用下的加速度
定积分在工程学中的应用
求解工程问题的面积
求解工程问题的体积
求解工程问题的质心位置
• 通过定积分求解曲线围成的面积
• 通过定积分求解曲面围成的体积
• 通过定积分求解物体的质心位置
定积分在经济学中的应用
积分问题
换元积分法的原理
• 利用换元公式将原积分变量变换为新变量，从而简化积分过程
换元积分法的常见类型与方法
01
幂函数换元法
• 将复杂的幂函数积分问题转化为简单的指数函数积分问
题
02
三角函数换元法
• 将复杂的三角函数积分问题转化为简单的指数函数积分
问题
03
定积分的计算公式和例题
定积分的计算公式和例题定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍定积分的计算公式和一些例题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分的计算公式。
1. 定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在该区间上连续，则称函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分的符号，a和b分别为积分的下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示自变量。
2. 定积分的计算公式。
定积分的计算公式有很多种，常见的包括：（1）定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，例如线性性质、区间可加性等。
这些性质对于定积分的计算非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的重要公式之一，它表示函数的不定积分与定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个不定积分，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) F(a)。
这个公式为我们提供了一种通过求函数的不定积分来计算定积分的方法，非常方便和实用。
（3）换元积分法。
换元积分法是定积分计算中常用的一种方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分。
具体而言，如果被积函数的形式比较复杂，我们可以通过引入新的变量来简化计算过程，然后再进行积分。
（4）分部积分法。
分部积分法是定积分计算中另一种常用的方法，它通过对被积函数进行分解，然后再进行积分。
具体而言，如果被积函数可以表示为两个函数的乘积，我们可以通过分部积分法将其分解为两个函数的积分，然后再进行计算。
以上是定积分的一些常用计算公式，它们在定积分的计算中起着重要的作用，可以帮助我们更加高效地进行积分计算。
二、定积分的例题。
下面我们通过一些具体的例题来演示定积分的计算过程，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
定积分性质与运算法则
定积分性质与运算法则引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
定积分可以用来计算曲线所包围的面积、求某一区间上函数的平均值等。
为了更好地理解和应用定积分，我们需要了解定积分的性质和运算法则。
定积分性质定积分的存在性定积分的存在性是指，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在[a, b]上连续或者仅有有限个间断点，那么这个函数在[a, b]上就是可积的。
也就是说，函数f(x)在[a, b]上的定积分是存在的。
定积分的线性性质定积分具有线性性质，即对于两个可积函数f(x)和g(x)，以及任意实数c，有如下等式成立：∫(c1f(x) + c2g(x)) dx = c1∫f(x) dx + c2∫g(x) dx其中，c1和c2是任意实数。
定积分的加法法则对于一个可积函数f(x)，以及给定的区间[a, b]和[c, d]，有如下等式成立：∫(a到b) f(x) dx + ∫(b到c) f(x) dx = ∫(a到c) f(x) dx这说明，对于一个函数在不同的区间上的定积分，我们可以通过将这些区间连在一起进行求解，得到整个区间上的定积分。
定积分的比较性质对于两个可积函数f(x)和g(x)，如果在[a, b]上满足f(x) ≤ g(x)，那么有如下不等式成立：∫(a到b) f(x) dx ≤ ∫(a到b) g(x) dx也就是说，如果在某个区间上一个函数始终小于等于另一个函数，那么这两个函数在该区间上的定积分的大小关系也是相同的。
定积分的运算法则分部积分法分部积分法是一种计算定积分的方法，它可以将一个乘积形式的积分转化为一个易于处理的形式。
分部积分法的公式如下：∫u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - ∫v(x) u’(x) dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
代换法代换法是另一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量来简化积分的计算。
代换法的公式如下：∫f(u(x)) u’(x) dx = ∫f(u) du其中，u是一个可导函数。
5.1 定积分的概念与性质
思 考 题
将和式极限：
lim
n
1 n
sin
sin 2 nn
sin
(n
1) n
表示成定积分.
思考题解答
原式
lim
n
1 n
sin
n
sin
2 n
sin
(n
1) n
sin
n n
lim 1 n sin i n n i1 n
1
lim
n
n i1
sin
i n
n
1
sin xdx.
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
i
定四、积定分积分的的性性质质
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx .
1)
第六章 定积分及其应用
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x
1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i
5.3 定积分的换元法和分部积分法
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分运算公式
定积分运算公式定积分运算是微积分中的重要概念，在许多实际问题的求解中具有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨定积分运算的公式，并解释其背后的意义和应用。
首先，定积分的基本公式如下：∫(a到b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是被积函数，F(x)是其原函数。
在这个公式中，我们通过求解原函数F(x)在区间[a, b]上的差值来计算被积函数f(x)在同一区间上的定积分。
这个公式的意义在于，定积分可以被视为函数在给定区间上的累积变化量。
也就是说，通过对函数在该区间上的不断累加，我们可以得到函数在该区间上的总变化。
定积分公式的应用非常广泛。
例如，它可以用于计算曲线下的面积、求解物体在给定时间间隔内的位移以及计算动力学等问题。
在计算曲线下的面积方面，我们可以使用定积分来计算曲线与x 轴之间的面积。
通过将曲线分割成无穷小的矩形，在每个矩形上计算面积并进行求和，最终可以得到曲线下的总面积。
在求解物体的位移问题中，我们可以通过对速度函数进行定积分来计算物体在给定时间间隔内的位移。
速度函数表示物体在不同时间点的速度，通过对其进行定积分，我们可以得到物体的位移。
在动力学中，定积分也被广泛应用。
例如，通过计算力在物体上的定积分，我们可以确定物体所受到的总力以及其他与力相关的参数。
除了基本公式外，定积分还有一些其他重要的性质和公式。
例如，定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分等于两个函数分别的定积分的和或差。
另外，定积分还满足区间可加性。
如果一个函数在区间[a, b]上可积，那么它在[a, c]和[c, b]上的定积分之和等于它在整个区间上的定积分。
这个性质在进行复杂的积分计算时非常有用。
最后，我们还需要注意定积分的区间选择。
当我们选择不同的区间时，定积分的结果也会发生变化。
因此，在进行定积分计算时，我们需要根据具体问题选择适当的区间。
综上所述，定积分运算是微积分中重要的概念之一。
通过定积分公式的应用，我们可以计算曲线下的面积、解决物体位移以及研究动力学问题。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
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记为
图5-10
从几何上看，也很显然。因为X是 上一个动点，从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图5－１0）
3．一物体由静止出发沿直线运动,速度为 ，其中,v以m／s单位，求物体在1ｓ到２s之间走过的路程。
解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为 当火车停住时，速度 ,故从
解得
于是在这段时间内,火车走过的距离为
=
即在刹车后,火车需走过40m才能停住。
习题5-2
1求下列定积分：
(1) (2)
(3) （４)
（５) （６）
（7)
(8） (9) （1０)
(11)设
２．求由 与直线x＝1,ｘ=２及x轴所成的图形的面积。
这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质３积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿－莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4如果将区间 分成两个子区间 及 那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义,对性质４加以说明。
当a<c<ｂ时,从图5－13ａ可知,由y＝f 与和ｘ=ａx=b及x轴围成的曲边梯形面积 :
例1计算
因为 是 的一个原函数所以
例２求曲线 和直线ｘ=０、x= 及ｙ=0所围成图形面积Ａ(５-１2)
解这个图形的面积为
图5-12
二、定积分的性质
设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质:
性质１被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面,即 (Ａ为常数)
性质２函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和,即
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 的一般方法：
设函数 在闭区间 上连续, 是 的一个原函数，即 ，则
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便,将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。
图5-13a
图5-1３b
ﻫ
因为 所以
即性质4成立。
当a<b<c时，即点ｃ在 外,由图５-1３b可知，
显然，性质4也成立。
总之，不论c点在 内还是 外,性质4总是成立的。
例3求
例4求
解 =
例5求
解
所以
例6求
解
于是，
例7设 求
解因为
所以
=
= =
例8火车以v＝7２km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=-５m／ 刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离?
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如
另一方面,如果物体经过的路程ｓ是时间t的函数 ,那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图５-11)
即
由导数的物理意义可知: 即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分 ，应先求出被积函数 的原函数 ,再求 在区间 上的增量 即可。
第二节--定积分计算公式和性质
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ﻩ
第二节定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数 在区间 上连续,并且设ｘ为 上的任一点,于是, 在区间 上的定积分为
这里x既是积分上限,又是积分变量，由于定积分与积分变量无关,故可将此改为