专题3-三角函数、三角恒等变换与解三角形-数学(文科)-全国卷地区专用

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三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)

三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误；对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===，不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-，又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=，且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确；故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥，又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角；长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________．【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解【详解】由题得：22111sec csc x x+=，所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=，在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ．设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论【详解】（1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒，解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==，如图所示：所以1,2AB a nπθ==，在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==，所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；（2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值．【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得；（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。

高考数学(文科)二轮习题：专题三第六讲三角恒等变换与解三角形

第六讲三角恒等变换与解三角形1.(2018四川成都模拟)已知tanα=,α∈(0,π),则cos的值为()A.-B.C.-D.-2.(2018福建福州模拟)cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1 D.3.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()A. B. C. D.4.(2018重庆六校联考)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2018河南洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则=()A. B. C. D.6.(2018湖北武汉调研)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcos C=2a+c,则B=()A. B. C. D.7.(2018吉林长春监测)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,则△ABC的面积为.8.(2018湖北武汉调研)在钝角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c的取值范围是.9.(2018四川成都模拟)如图,在直角梯形ABDE中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C是BD上一点,AB=3-,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE的长度为.10.(2018河南开封模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btan B+btan A=2ctan B,且a=5,△ABC的面积为2,则b+c的值为.11.(2018广东惠州模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=,AD=.(1)求BC边的长;(2)求△ABC的面积.12.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos-.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.13.(2018湖北黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若23cos2A+cos2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;(2)若a=,A=,求b+c的取值范围.14.(2018湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-.(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x的集合;(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.答案精解精析1.A因为tanα=,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=,故cos=cosαcos-sinαsin=×-×=-,故选A.2.D解法一:cos15°-4sin215°cos15°=cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=cos15°-2sin 15°·sin30°=cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=.故选D.解法二:因为cos15°=,sin15°=-,所以15°-4sin215°·cos15°=×-4×-×=×--=.故选D.3.C根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为S△ABC=-,所以S△ABC=,又S△ABC=absin C,所以tan C=1,因为C∈(0,π),所以C=.故选C.4.A已知等式变形得cos B+1=+1,即cos B=①.由余弦定理得cos B=-,代入①得-=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.5.A∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴sin2B=sin A×sin C,又a2=c2+ac-bc=c2+b2-bc,∴cosA=-==,∴sin A=,∴====,故选A.6.D因为2bcos C=2a+c,所以由正弦定理可得2sin Bcos C=2sin A+sin C=2sin(B+C)+sin C=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin C,即2cos Bsin C=-sin C,又sin C≠0,所以cos B=-,又0<B<π,所以B=,故选D.7.答案2解析由题意可知==,又a=2,所以tan A=,所以A=,由余弦定理得12=b2+c2-bc,又b+c=6,所以bc=8,从而△ABC的面积为bcsin A=×8×sin=28.答案(1,)∪(5,7)解析三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1<c<7,①若∠C为钝角,则cos C=-=-<0,解得c>5,②若∠A为钝角,则cos A=-=-<0,解得0<c<,③结合①②③可得c的取值范围是(1,)∪(5,7).9.答案6解析在Rt△ABC中,因为AB=AC·sin∠ACB,所以3-=AC·sin15°,又sin15°=-,所以可得AC=2.又易知∠AEC=30°,所以在△ACE中,由=,得EC=4.于是在Rt△CDE中,由∠ECD=60°,可得DE=EC·sin60°=4×=6.10.答案7解析在△ABC中,由btan B+btan A=2ctan B及正弦定理,得+=,由于sin B≠0,故=-,即sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,整理得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A,由两角和的正弦公式及诱导公式,得sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,由于sin C≠0,故等式两端同除以sin C可得cos A=,所以sin A=,因为S△ABC=bcsin A=bc=2,所以bc=8,由cos A=-=--=,a=5,可得b+c=7.11.解析(1)设BD=x,则BC=2x,在△ABD中,有cos∠ABD=-=-,·在△ABC中,有cos∠ABC=-=-,·且∠ABD=∠ABC,即-=-,得x=2,∴BC=4.(2)由(1)可知,cos B=,又由B∈(0,π),得sin B=,∴S=·AB·BC·sin B=×3×4×=3.△ABC12.解析(1)在△ABC中,由=可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos-,得asinB=acos-,即sin B=cos-,可得tan B=.又因为B∈(0,π),所以B=.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos-,可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin2A=2sin Acos A=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2Acos B-cos2Asin B=×-×=.13.解析(1)∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0,∴cos2A=,又A为锐角,∴cos A=,由a2=b2+c2-2bccos A,代入已知数据得b2-b-13=0,解得b=5(负值舍去),∴b=5.(2)解法一:由正弦定理可得b+c=2(sin B+sin C)=2-=2sin,∵0<B<,∴<B+<,∴<sin≤1,∴b+c∈(,2].解法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得b2+c2-3=bc,即(b+c)2-3=3bc≤(b+c)2,当且仅当b=c时取等号,∴b+c≤2,又由两边之和大于第三边可得b+c>,∴b+c∈(,2].14.解析(1)f(x)=sin2x--=sin2x--1=sin--1.当2x-=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取最小值-2,此时自变量x的集合为-∈.也可写成∈.(2)因为f(C)=0,所以sin--1=0,又0<C<π,所以2C-=,即C=.在△ABC中,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a,又c=,所以由余弦定理知()2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3,联立,得-所以。

三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

2019版高考数学总复习专题三三角函数 3.3 三角恒等变换与解三角形

所以 cos∠ADB=
1-
2 25
=
523.
(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB= 52. 在△BCD 中,
由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC
=25+8-2×5×2 2 × 52=25. 所以 BC=5.
-5K12教育课件
-6-
高考真题体验·对方向
ⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ
卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷
命题利用正弦定
角度理和余弦定
17 17
17 17 17 17
1 理解三角形
命题解三角形中
角度的最值与范
2 围问题
命题角度 3
应用正弦定理和余弦定理解决实际问题
K12教育课件
-4-
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
利用正弦定理和余弦定理解三角形
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高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
(2)解由已知得 b2+c2-a2= 3bc,
∴cos A=��2+2��2��-��2 =
3�� 2��
=
23,
由 0<A<π,得 A=π6,tan A= 33,
故△ABC 的周长为 3+ 33.
K12教育课件
-8-
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3.(2017 全国Ⅱ·17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
sin(A+C)=8sin2��2��. (1)求 cos B;

人教版文科数学二轮复习专题3-三角函数、三角恒等变换与解三角形

第8讲三角函数的图像与性质第9讲三角恒等变换与解三角形
3
核心知识聚焦
考点
第8讲
三角函数的图像与性质
考
向
探
究
返回目录4
核心
体验高考
知识
1．[2013·广东卷改编] 已知
聚焦
sin 52π＋α＝15，那么 cos α① ＝
________．
[答案]15 [解析] sin52π＋α＝sinπ2＋α＝ cos α＝15.
为 φ∈(0，2π]，由①②可得 φ＝π6，所以 f(x)＝sin2x＋π6.
探究
由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π3＋kπ≤x≤π6＋
kπ(k∈Z)，故 f(x)的增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
返回目录32
第8讲三角函数的图像与性质
________．
主干知识
⇒ 三角函数的性质
关键词：单调性如⑥、对称性、周期性如⑤、最值、奇偶性．
返回目录11
第8讲三角函数的图像与性质
核
心知识
[答案] －π4＋2k3π，1π2＋2k3π，k∈Z
聚焦
[解析] 由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2k3π
[解析] cos α＝－ 1－sin2α＝－1123.
返回目录6
第8讲三角函数的图像与性质
核心
体验高考
知识
3．[2014·四川卷改编] 为了得
聚到函数 y＝sin(x＋1)的图像，只需把焦函数 y＝sinx 的图像上所有的
点向
平行移动③ ________
个单位长度．
主干知识

高考总复习二轮文科数学精品课件三、三角函数、三角恒等变换与解三角形

下篇
三、三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.若
π
α∈(0,2 ),则
sin α<α<tan α.
2.三角变换的常用结论
(1)公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(2)降幂公式:①sin
②cos
2
1-cos2
α= 2 ;
2
1+cos2
α=
;
2
2

2 + 2
,cos φ=

2 象的对称轴和对称中心
(1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(A,ω,φ为常数,且
2π
ω≠0,A≠0)的周期 T=||;
π
(2)函数 y=tan(ωx+φ),ωx+φ≠kπ+ 2,k∈Z(A,ω,φ 为常数,且 ω≠0,A≠0)的最小正周
③sin αcos
1
α=2sin
2α.
2
2
2
2
(3)升幂公式:①1+cos α=2cos ;②1-cos α=2sin ;③1±sin

2
α=(sin ±cos ) .
2
2
3.三角函数辅助角公式
asin x+bcos x=
2
+ 2 sin(x+φ),其中
a +b ≠0,sin φ=
2
对看看.
5.三角形的三个常用结论
(1)在锐角三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

专题三三角函数与平面向量的综合应用

专题三三角函数与平面向量的综合应用1．三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2．三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3．解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4．平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.所以cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－34.2．已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案 π6解析 f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，由θ＋π3＝k π＋π2 (k ∈Z )及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为____________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得φ＝π6. 由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23.∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π6＋1.4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________. 答案1010解析方法一应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt △ADE 中，∠AED ＝45°，在Rt △BCE 中，BE ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝5，则sin ∠CEB ＝15，cos ∠CEB ＝25.而∠CED ＝45°－∠CEB ， ∴sin ∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos ∠CEB －sin ∠CEB ) ＝22×⎝⎛⎭⎫25－15＝1010.方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5.在△EDC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ·DE ＝31010，又0<∠CED <π， ∴sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·P A →取得最小值时，tan ∠DP A 的值为________．答案1235解析如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)， B (3，0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BP A ＝β， P (3，y ) (0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，P A →＝(－3，－y )， ∴PD →·P A →＝y 2－y ＋9＝⎝⎛⎭⎫y －122＋354， ∴当y ＝12时，PD →·P A →取得最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫3，12，易知|DP →|＝|AP →|，α＝β. 在△ABP 中，tan β＝312＝6，tan ∠DP A ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝1235.题型一三角恒等变换例1 设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．解方法一由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45. 所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4＝210，所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325，两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.下同方法一．探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235B.235 C ．－45D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 题型二三角函数的图象与性质例2 (2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A＝ 3.探究提高本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，φ＝2k π＋π6 (k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ＝k ＋13，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围．解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A ≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B .所以△ABC 是非等腰的直角三角形． (2)由m ⊥n ，得m·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.① 由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.② 联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10.故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(5分)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3考点分析本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想．解题策略根据整体思想，找出角π6x －π3的范围，再根据图象求函数的最值．解析由题意－π3≤πx 6－π3≤7π6.画出y ＝2sin x 的图象如图，知，当π6x －π3＝－π3时，y min ＝－ 3. 当π6x －π3＝π2时，y max ＝2. 故y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A解后反思 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)可看作由函数y ＝A sin t 和t ＝ωx ＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( )A.13B.23C.43D ．2考点分析本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．解题策略根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ →，CP →分别用向量AB →，AC →表示出来，再进行数量积计算．解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．方法与技巧1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解．失误与防范1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →等于( )A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 答案 D解析利用向量的三角形法则求解．如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5.又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .2．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为 ( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB→的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π答案 D解析由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案 π2解析利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B，即sin B ＝b sin Aa＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______．答案 π2或π3解析因为AB →＝(2cos x ＋1，－2cos 2x －2)，OC →＝(cos x,1)，所以AB →·OC →＝(2cos x ＋1)cos x ＋(－2cos 2x －2)·1 ＝－2cos 2x ＋cos x ＝0，可得cos x ＝0或cos x ＝12，所以x 的值为π2或π3.7．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x＝________. 答案－195解析由题意知，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，得cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2xcos 2x －sin 2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.三、解答题(共22分)8． (10分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.9． (12分)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A . 故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 2．已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( )A ．1 B.32C.12D.22答案 B解析方法一 a ＋t b ＝⎝⎛⎭⎫－12＋t ，32＋3t ，∴|a ＋t b |2＝⎝⎛⎭⎫－12＋t 2＋⎝⎛⎭⎫32＋3t 2 ＝4t 2＋2t ＋1＝4⎝⎛⎭⎫t ＋142＋34，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32. 方法二如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值．由TA →·OB →＝(a ＋t b )·b ＝a·b ＋t b 2＝0，得t ＝－14，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.3．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎡⎦⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，π3B.⎣⎡⎦⎤π6，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，π2答案 B解析记AB →与BC →的夹角为θ，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝3，|AB →|·|BC →|＝3cos θ，S △ABC ＝12|AB→|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|sin θ＝32tan θ，由题意得tan θ∈⎣⎡⎦⎤33，1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，正确答案为B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． 5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________. 答案593 解析 ∵0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝232， ∵－π2<β<0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos[⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2] ＝13×33＋232×63＝593.6． (2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin 2,1－cos 2)解析利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧P A 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2 ＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．三、解答题7． (13分)已知f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫sin 2x 2－sin 4x2(a >0且a ≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性．解 f (x )＝log a ⎣⎡⎦⎤sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－sin 2x 2 ＝log a 1－cos 2x8.故定义域为cos 2x ≠1，即{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称且满足f (－x )＝f (x )，所以此函数是偶函数．令t ＝18(1－cos 2x )，则t 的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．所以，当a >1时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．当0<a <1时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π2，k π(k ∈Z )；递减区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．。

高考数学考纲解读与热点难点突破教案及专题练习--三角恒等变换与解三角形-文科(含解析)

高考数学考纲解读与热点难点突破三角恒等变换与解三角形教案【2020年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．正弦定理asin A ＝bsin B ＝c sin C ＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C. sin A ＝a2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C. 4．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab .5．三角形面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝12absin C.6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2－β等． 7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型一、三角变换及应用【例1】(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2等于( )A.539 B ．－33 C.7327 D ．－69(2)若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝－24，则cos α＋sin α的值为( )A ．－22B ．－14 C.14 D.22答案 C解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝cos2α－sin2α22()sin α－cos α＝－2(si n α＋cos α)＝－24，∴c os α＋sin α＝14.【变式探究】【2017山东，文7】函数最小正周期为A.π2B. 2π3 C.π D. 2π【答案】C【解析】因为,所以其周期2ππ2T ==,故选C【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt △ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4， ∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C正确；α取π3时，cos 2α＝2cos2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫122－1＝－12＜0，D错．故选C.速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.答案：C【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－32B.32C．－12D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.答案62【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 3【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B－C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得asin A ＝bsin B ，即3sin2π3＝b sin π6，解得b ＝1.答案 1题型二、正、余弦定理的应用【例2】(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝32.由题设知π2<∠B<π，所以0<∠A<π2，所以∠A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝3314，所以AC 边上的高为asin C ＝7×3314＝332.【变式探究】【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C=60°，，c=3，则A=_________.【答案】75°【解析】由题意：，即，结合b c < 可得45B = ，则.【变式探究】【2016高考山东文数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a b c +=,所以，当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12.【举一反三】 (2015·福建，12)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB2＋AC2－2AB ·AC ·cos A ＝7. 答案 7【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B－C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得asin A ＝bsin B ，即3sin2π3＝b sin π6，解得b ＝1.答案 1【举一反三】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb ＝23sin C3a. (1)求角B 的大小；(2)已知asin Csin A ＝4，△ABC 的面积为63，求边长b 的值．解 (1)由已知得bcos A ＋acos B ＝233bsin C ，由正弦定理得sin Bcos A ＋cos Bsin A ＝233sin Bsin C ，∴sin(A ＋B)＝233sin Bsin C ，又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sin C ≠0， ∴sin B ＝32，∵0<B<π2，∴B ＝π3.(2)由已知及正弦定理得c ＝4，又 S △ABC ＝63，B ＝π3，∴12acsin B ＝63，得a ＝6，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B ，得 b ＝27.【变式探究】△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB→·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．【解析】解 (1)由cos A ＝1213，且0<A<π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12132＝513.又S △ABC ＝12bcsin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC →＝bccos A ＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc ＝156，又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(c －b)2＋2bc(1－cos A) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1213＝25，所以a ＝5。

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三角函数、三角恒等变换与解三角形
三角函数的图像与性质
3 [答案] (1)3 (2)－ 4 10 10 [解析] (1)由 2sin x－cos x＝得 cos x＝2sin x－， 2 2 6 2 2 2 将其代入 sin x＋cos x＝1 得 5sin x－2 10sin x＋＝0，结合 4 π 3 10 10 x∈ 0，2 ，解得 sin x＝，cos x＝，所以 tan x＝3. 10 10 1 (2)sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，∴cos x＋ 2 1 1 3 sin x＝－，平方得 1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－ . 2 4 4
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第8讲
三角函数的图像与性质
考点考向探究
3 11 π 3 (2)由图像知，A＝1， T＝ π－＝ π，即 T＝π，所 4 12 6 4 2π 以 ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)． T π π 又 f(x)的图像过点6，1，∴1＝sin3＋φ，解得 φ＝ π π π 2kπ＋，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝，故 f(x)的解析式为 6 2 6 π f(x)＝sin2x＋ 6 .
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第8讲
三角函数的图像与性质
(1)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的 2 5 正半轴，若 P(4， y)是角 θ 终边上的一点，且 sin θ＝－， 5 则 y＝________．例1
考点考向探究
3π sin θ＋cos θ (2) 若＝ 2 ，则 sin(θ － 5π)sin 2 －θ ＝ sin θ－cos θ
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第8讲
核心知识聚焦
三角函数的图像与性质
体验高考
5． [2014· 陕西卷改编] 函数 f(x) π ⑤ ＝ cos 2x＋4 的最小正周期是 ________．
主干知识
⇒ 三角函数的性质关键词：单调性如⑥、对称性、周期性如⑤、最值、奇偶性．
[答案] π 2π [解析] T＝＝π. 2
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第8讲
三角函数的图像与性质
考点考向探究
(2)[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 在函数①y＝cos|2x|，②y＝ π π |cos x|，③y＝cos2x＋ 6 ，④y＝tan2x－ 4 中，最小正周期为 π 的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
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第8讲
三角函数的图像与性质
► 考点三
三角函数的性质
考点考向探究
题型：选择，填空，解答分值：5分难度：中等热点：单调性、周期性与最值
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第8讲
三角函数的图像与性质
考点考向探究
例 3 (1)已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈(0，2π]，其中 π π f(x)≤f6 对 x∈R 恒成立，且 f2 <f(π)，则 f(x)的单调递增区间是( ) π 2π A.kπ＋6，kπ＋ 3 (k∈Z) π B.kπ，kπ＋2 (k∈Z) π π C.kπ－3，kπ＋6 (k∈Z) π D.kπ－2，kπ(k∈Z)
三角函数的图像与性质三角恒等变换与解三角形
第8讲第9讲
核心知识聚焦考点考向探究
第8讲三角函数的图像与性质
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第8讲
核心知识聚焦
三角函数的图像与性质
体验高考
1．[2013· 广东卷改编] 已知 5π 1 ① sin 2 ＋α＝，那么 cos α ＝ 5 ________．
)
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三角函数的图像与性质
[答案]（1）A
(2)D
考点考向探究
π [解析] (1)y＝sin 3x＋cos 3x＝ 2cos(3x－ 4 ＝ π π 2cos 3 x－12 ，故将函数 y＝ 2cos 3x 的图像向右平移个 12 单位长度即可得到 y＝sin 3x＋cos 3x 的图像，故选 A.
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三角函数的图像与性质
π 2kπ π 2kπ －＋，k∈Z ，＋ 3 12 3 4
[答案]
π π π π 2kπ [解析] 由－＋2kπ≤3x＋ ≤ ＋2kπ， k∈Z，得－＋ 2 4 2 4 3 π 2kπ ≤x≤ ＋，k∈Z， 12 3 π 2kπ π 2kπ 所以函数 f(x)的单调递增区间为－ 4＋ 3 ，12＋ 3 ， k∈Z.
π [答案] 6
π π [解析] 将 x＝分别代入两个函数，得到 sin2×3＋φ＝ 3 1 2 π 2 5π ，解得 π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或 π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 2 3 6 3 6 π π 化简解得 φ＝－＋2kπ(k∈Z)或 φ＝＋2kπ(k∈Z)．又 2 6 π φ∈[0，π)，故 φ＝ . 6
3π π sin(θ－5π)sin 2 －θ＝sin(π－θ)sin2－θ＝
sinθcosθ tan θ 3 sin θcos θ＝ 2 ＝＝ . sin θ＋cos2θ 1＋tan2θ 10
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三角函数的图像与性质
考点考向探究
[小结] 三角函数的定义是求三角函数值的基础，同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数的化简与计算的过程中起着重要的作用，解题时不仅要合理选取公式，还要注意角的范围．
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考点考向探究
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三角函数的图像与性质
► 考点二
三角函数的图像
考点考向探究
题型：选择，填空难度：中等
分值：5分热点：图像与解析式
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三角函数的图像与性质
例2
(1)[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y＝sin 3x＋ )
cos 3x 的图像，可以将函数 y＝ 2cos 3x 的图像( π A．向右平移个单位长度 12 π B．向右平移个单位长度 4 π C．向左平移个单位长度 12 π D．向左平移个单位长度 4
主干知识
⇒同角三角函数关系关键词：平方关系如②、商数关系．
12 [答案]－ 13 12 [解析] cos α＝－ 1－sin α＝－ . 13
2
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三角函数的图像与性质
体验高考
3．[2014· 四川卷改编] 为了得到函数 y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数 y＝sinx 的图像上所有的点向平行移动③ ________ 个单位长度．
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三角函数的图像与性质
考点考向探究
[小结] 根据三角函数图像求函数的解析式，主要考虑两点：一是根据函数图像得出函数的最小正周期，求出 ω 的值；二是根据函数图像上特殊点的坐标，得出三角函数的关系式，求出 φ 值．
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三角函数的图像与性质
变式题
2π f 3 ＝(
主干知识
⇒任意角的三角函数关键词：定义、单位圆、诱导公式如①、象限角．
1 [答案] 5 [解析] 1 cos α＝ . 5
5π π sin 2 ＋α＝sin2＋α＝
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三角函数的图像与性质
体验高考
2．[2013· 全国卷改编 ] 已知 α 5 ② 是第二象限角， sin α＝，则 cos α 13 ＝________．
考点考向探究
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三角函数的图像与性质
π f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2 的部
(2) 函数
考点考向探究
分图像如图 81 所示，则函数 y＝f(x)的解析式为( π A．f(x)＝sinx＋ 6 π B．f(x)＝sinx＋ 3 π C．f(x)＝sin2x－ 3 图8-1 π D．f(x)＝sin2x＋ 6
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三角函数的图像与性质
体验高考
6． [2014· 四川卷改编] 函数 f(x) π ⑥ ＝ sin 3x＋4 的单调递增区间为 ________．
主干知识
⇒ 三角函数的性质关键词：单调性如⑥、对称性、周期性如⑤、最值、奇偶性．
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π 2sin2x－3 π 2sin4x＋ 6
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π 2sin2x－ 6 π 2sin4x＋ 3
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三角函数的图像与性质
[答案] (1)D (2)B [解析]
考点考向探究
π (1) 由已知得， tan 3＋φ ＝ 1 ，所以 2π f 3 ＝
主干知识
⇒三角函数的图像关键词：图像特征如④、图像变换如③.
[答案] 左 1 [解析] 由函数 y＝sin x 的图像变换得到函数 y＝sin(x＋ 1)的图像，应该将函数 y＝sin x 图像上所有的点向左平行移动 1 个单位长度．
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