二次函数动点问题PPT课件
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二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
第22章二次函数复习课件(共267张PPT)
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二次函数实际问题之拱桥与运动问题+课件+++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
行车道，那么这辆货车能否安全通过？
1
1 2
解：∵y＝− 6x +2x+4=− (x-6)2+10
6
∴对称轴为直线x＝6，
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
∴当x＝2或x＝10时，y＝
∴这辆货车能安全通过.
22
＞6，
3
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果
三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象，为下
列选项中的( D )
A
B
C
D
例2
55页第3
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均
为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以
2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与
时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，
∴y＝ AM·HM＝ (20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．
叁 课堂练习
55页第6
城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通
道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2
2
解得a＝－ ，∴y＝－ x ，当水面下降1
m时，
2
即y＝－3时，－3＝－ x ，
解得x1＝－
∴
－(－
，x2＝
)＝2
，
．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2
1
1 2
解：∵y＝− 6x +2x+4=− (x-6)2+10
6
∴对称轴为直线x＝6，
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
∴当x＝2或x＝10时，y＝
∴这辆货车能安全通过.
22
＞6，
3
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果
三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象，为下
列选项中的( D )
A
B
C
D
例2
55页第3
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均
为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以
2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与
时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，
∴y＝ AM·HM＝ (20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．
叁 课堂练习
55页第6
城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通
道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2
2
解得a＝－ ，∴y＝－ x ，当水面下降1
m时，
2
即y＝－3时，－3＝－ x ，
解得x1＝－
∴
－(－
，x2＝
)＝2
，
．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2
《二次函数》PPT优质课件
元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次
函数，且当x=60时，y=80,x=50时，y=10．在销售过程中，每天还要支
付其它费用450元．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函
数关系式．
解：（1）设y与x的函数关系式为
S x 2 30 x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的
每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
y =- x ²+30 x
y =-5x2+100x+60 000
y=100x2+200x+100
观察上面几个式子，分析它们的特点，你能试着
猜出二次函数的概念吗？注意事项是什么？
果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵
树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些
是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
数叫什么？这
节课我们一起
来学习吧.
一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的
函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
合作探究
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600
个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如
y=100x2+200x+100.
函数，且当x=60时，y=80,x=50时，y=10．在销售过程中，每天还要支
付其它费用450元．
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函
数关系式．
解：（1）设y与x的函数关系式为
S x 2 30 x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的
每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
y =- x ²+30 x
y =-5x2+100x+60 000
y=100x2+200x+100
观察上面几个式子，分析它们的特点，你能试着
猜出二次函数的概念吗？注意事项是什么？
果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳
光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵
树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些
是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
数叫什么？这
节课我们一起
来学习吧.
一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的
函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
合作探究
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600
个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如
y=100x2+200x+100.
《二次函数》参考PPT课件
y=kx(k≠0),
反比x2+bx+c(a≠0).
可以发现,这些函数的名称都反映了函数 表达式与自变量的关系.
布置作业
• 预习下一章节
x
即： y =-2x2+40x (0<x<20) m
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
在实践中感悟
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函 数，求m、n的值。
这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是 20(1+x) t,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 t,即两年
后的产量为 y 201 x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产 的倍数x之间的关系,对于x的每一个值 , y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察
场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以比赛的场次数
m 1 n(n 1) 2
即
m1n21n 22
②
②式表示比赛的场次
数m与球队数n的关系,对
于n的每一个值,m都有一
个对应值,即m是n的函数
.
问题：
问题2 某种产品现在的年产量是20 t,计划今后两年增加产量
.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产 量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
二次函数ppt课件
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
最新版整理ppt
12
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二2次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一最新个版整整理ppt式
10
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
４. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m1nn1
2
即最新版m整理ppt 12n2
1n 2
24
５、 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（1）求y关于x的函数关系式；
最新版整理ppt
26
九马画山
• 在美丽的桂林
有一处非常有
名的景观叫
“九马画山”，
在一处石壁上
的一些天然图
案酷似各种形
态的骏马。传
说凡人只能找
最新版整理ppt
12
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二2次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一最新个版整整理ppt式
10
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
４. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
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５、 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长 方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为 Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取 值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
（1）求y关于x的函数关系式；
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九马画山
• 在美丽的桂林
有一处非常有
名的景观叫
“九马画山”，
在一处石壁上
的一些天然图
案酷似各种形
态的骏马。传
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（1）求AD的长．
（2）t为何值时,△PBQ为直角三角形．
（3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式
（4）是否存在某一时刻t，使△PBQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在，
求出此时的t值Biblioteka 若不存在，说明理由；• 4.已知：如图①，在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4cm， BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向A点匀速运动，速度 为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度 为2cm/s；连接PO．若设运动的时间为t（0<t<2），解 答下列问题：
• （1）当t为何值时，PQ∥BC？ • （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关
系式； • （3）是否存在某一时刻t，使△AQP面积等于四边形
PQBC的面积？若存在，求出此时的值；若不存在，说明 理由；
5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym²。
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
A
BP=12-2t，BQ=4t
P
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) •4t
B
Q
C
即S=- 4t²+24t=- 4(t-3)²+36
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s），
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积
是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若
不存在说明理由
A
P
BQ
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)．
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm， 动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动 点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、 Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值 是多少？
（2）t为何值时,△PBQ为直角三角形．
（3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式
（4）是否存在某一时刻t，使△PBQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在，
求出此时的t值Biblioteka 若不存在，说明理由；• 4.已知：如图①，在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4cm， BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向A点匀速运动，速度 为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度 为2cm/s；连接PO．若设运动的时间为t（0<t<2），解 答下列问题：
• （1）当t为何值时，PQ∥BC？ • （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关
系式； • （3）是否存在某一时刻t，使△AQP面积等于四边形
PQBC的面积？若存在，求出此时的值；若不存在，说明 理由；
5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym²。
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讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
A
BP=12-2t，BQ=4t
P
△PBQ的面积:
S=1/2(12-2t) •4t
B
Q
C
即S=- 4t²+24t=- 4(t-3)²+36
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s），
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
写在最后
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（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积
是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若
不存在说明理由
A
P
BQ
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)．
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm， 动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动 点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、 Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值 是多少？