专题28 利用导数研究函数的极值(解析版)

专题28 利用导数研究函数的极值

一、例题选讲

题型一、求函数的极值点

讨论或者证明函数极值点或者极值点的个数问题,转化为导函数为0的根的个数。求函数的极值点通过研究函数的单调性来解决。

例1、(2018苏北四市期末)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,g(x)＝ln x －a(a∈R )．

(1) 当 a ＝1时,求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；

规范解答 (1) 函数h(x)的定义域为(0,＋∞)． 当a ＝1时,h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2＋x －ln x ＋2, 所以h′(x)＝2x ＋1－1x ＝（2x －1）（x ＋1）

x .(2分)

令h′(x)＝0得x ＝1

2

(x ＝－1舍),

当x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表：

所以当x ＝12时,函数h(x)取得极小值11

4

＋ln 2,无极大值．(4分)

例2、(2018南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)＝x(e x －2),g(x)＝x －ln x ＋k,k∈R ,e 为自然对数的底数．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．

(1) 求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；

规范解答 (1) y ＝f(x)＋2x ＝x e x ,由y′＝(1＋ x)e x ＝0,解得x ＝－1. 列表如下：

所以当x ＝－1时,函数y 取得极小值－1

e .(2分)

例3、(2016苏北四市期末)已知函数f (x )＝e x 1

3

x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4,其中a ∈R ,e 为自然对数的底数．

(1) 若函数f (x )的图像在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直,求a 的值； (2) 关于x 的不等式f (x )<－4

3e x 在(－∞,2)上恒成立,求a 的取值范围；

(3) 讨论函数f (x )极值点的个数．

思路分析 第(2)小题中的恒成立可以考虑将实数a 与x 分离,将问题转化求函数g(x)＝－1

3(x －2)2(x∈(－

∞,2))的最值问题,也可以考虑关于x 不等式在x∈(－∞,2)恒成立,注意到x ＝2是方程x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＝0的一个根,从而将原不等式因式分解并从区间根的角度入手求实数a 的取值范围；第(3)小题关键是将所求的问题转化成讨论函数g(x)＝13x 3－x 2＋ax －a 的单调性与极值问题,另一种思路是由f′(x)＝e x 1

3x 3－x 2＋

ax －a ＝0得a ＝x 3－3x 23(1－x )(x≠1),将问题转化成函数y ＝a 和y ＝x 3－3x 2

3(1－x )

(x≠1)的图像交点个数问题．

规范解答 (1) 由题意,f′(x)＝e x ⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2

＋ax －a ,(2分) 因为f(x)的图像在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直, 所以f′(0)＝1,解得a ＝－1. (4分)

(2) 解法1 由f(x)<－43e x ,得e x 13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4<－4

3e x ,

即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8<0对任意x∈(－∞,2)恒成立, (6分) 即(6－3x)a>x 3－6x 2＋12x －8对任意x∈(－∞,2)恒成立,

因为x<2,所以a>x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)

＝－1

3(x －2)2,(8分)

记g(x)＝－1

3(x －2)2,因为g(x)在(－∞,2)上单调递增,且g(2)＝0,所以g(x)max ＝0.

所以a≥0,即a 的取值范围是[0,＋∞). (10分)

解法2 由f(x)<－43e x ,得e x 13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4<－4

3e x ,

即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8<0在(－∞,2)上恒成立, (6分) 因为x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8<0等价于(x －2)(x 2－4x ＋3a ＋4)<0, ∈当a≥0时,x 2－4x ＋3a ＋4＝(x －2)2＋3a>0恒成立, 所以原不等式在(－∞,2)上恒成立,满足题意．(8分) ∈当a<0时,记g(x)＝x 2－4x ＋3a ＋4,有g(2)＝3a<0,

所以方程x 2－4x ＋3a ＋4＝0必有两个根x 1,x 2,且x 1<2

所以a<0不符合题意．

综合∈∈可知,所求a 的取值范围是[0,＋∞). (10分)

(3) 解法1 由题意可得f′(x)＝e x 1

3x 3－x 2＋ax －a,所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点. (11分)

令g(x)＝1

3

x 3－x 2＋ax －a,

∈若f(x)有且只有一个极值点,所以函数g(x)的图像必穿过x 轴且只穿过一次, 即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号．

(∈) 当g(x)为单调递增函数时,g′(x)＝x 2－2x ＋a≥0在R 上恒成立, 所以Δ＝(－2)2－4a ≤0,得a ≥1. (12分)

(∈) 当g (x )极值同号时,设x 1,x 2为极值点,则g (x 1)·g (x 2)≥0,

由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解,得Δ＝(－2)2－4a >0,所以a <1,且x 21－2x 1＋a ＝0,x 2

2－2x 2＋a ＝0, 即x 21＝2x 1－a ,x 22＝2x 2－a ,

所以x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝a ,