机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面

《机械CAD/CAM》 第七章自由曲线和自由曲面机电工程学院CIMS应用研究中心张宇Email: zhangyu@曲线和曲面的数学表达„ 曲线和曲面的数学表达方法： „ 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 „ 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 „ 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]P(t) P(u, v)2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇2曲线和曲面的数学表达„ 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？„ 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。

„ 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。

„ 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。

„ 规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。

„ 有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。

„ 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。

2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇3几个基本术语2011-3-15„ 点： „ 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。

„ 常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。

„ 插值： „ 函数逼近的重要方法。

„ 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。

„ 逼近： „ 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。

„ 逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。

„ 最小二乘法是最常用的逼近方法。

昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇4插值与逼近f(x) 插值点给定的型值点g(x) 给定的型值点2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇插值 逼近5几个基本术语„ 光顺： „ 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。

„ 相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。

„ 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。

„ 零阶连续：边界重合。

„ 一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。

„ 二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。

„ 拟合： „ 在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、 曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。

2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇61曲面的光顺„ 曲面的光顺的要求：„ 曲线和曲面具有G2或C2连续，无多余拐点，曲率变 化均匀。

„ 行业上的特殊要求。

„ 曲面的光顺的方法：„ 使用不同的目标函数以及每次调整型值点的数量。

- 最小二乘法- 能量法- 回弹法- 基样条法- 圆率法- 磨光法2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇72011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇8光顺前曲面的光顺光顺后2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇曲线的矢量方程和参数方程„ 曲线的矢量方程和参数方程：„ 空间曲线是空间一点运动的轨迹，即空间矢量端点 运动形成的矢端曲线。

„ 矢量方程为： r=r(t)=[x(t) y(t) z(t)]„ 其参数方程为: x=x(t)z RAy=y(t) , t∈[t0,tn] z=z(t)POQyx92011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇10L r(t)矢量方程和参数方程x 2011-3-15„ 例：空间螺旋线的矢量方程和参数方程„ 设动点M沿圆柱右螺旋线运动，M点作圆周运动的转动角速度 为ω，沿z轴作直线运动的线速度为v，运动的时间为t，圆柱 的半径为a，总长度为L。

z ωaOMN’NM0矢量OM的端点轨迹即为空间螺旋线。

矢端曲线的矢量方程为：r(t) = OM = ON + NM 因为：ON = ON’+N’N = acosωti+asinωtj; NM=vtk 所以： r(t)= acosωti+asinωtj+ vtk=[ acosωt asinωt vt ]其参数方程为：yx=acosωty=asinωt ， t∈[0,L/v]z= vt昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇11矢函数的导矢„ 当参数t变为t+Ut时，矢函数r(t)对应的位置由OM变为OM1，MM1对应的矢量差为：M(t)r’(t)Ur(t) = r(t + Ut) -r(t)Ur(t)M1(t)Or(t +Ut)Ur/Ut其变化率为： U—Ur—(tt) = —r(t—+—UU—tt) —-r(—t)设r(t)=[ x(t), y(t), z(t) ]，当Ut€0时，即得到r(t)的导矢：r’(t) = [ x’(t) y’(t) z’(t) ]导矢的模为：|r’(t)| = [x’(t)]2+[y’(t)]2+[z’(t)]22011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇122导矢的运算法则导矢的应用„ C’=0 （C为常矢） „ [ r1(t)+ r2(t) ]’= r1’(t) + r2’(t) „ [ K r(t) ]’= K r ’(t) （其中K为常数） „ [ f(t) · r(t) ]’ = f ’(t) · r(t) + f(t) · r ’(t) (其中f(t) 是数量函数) „ [ r1(t) · r2(t) ]’ = r1 ’(t) · r2(t)+ r1(t) · r2 ’(t) „ [ r1(t) × r2(t) ]’ = [ r1 ’(t) × r2(t) ] + [ r1(t) × r2 ’(t) ] „ 高阶导矢:r’’(t)=[ x’’(t) y’’(t) z’’(t) ] ……r (t0 )例：导矢在飞机外形数学模型建立中的应用设曲线方程为 r(t)，求曲线上任意一点M0 (x0 y0 z0)的切线方程和法平面方程.•求过M0点的切线方程：M0 (x0,, y0, z0 )由曲线方程： r(t)=[ x(t) y(t) z(t) ] 得曲线的切矢为： r’(t)=[ x’(t) y’(t) z’(t) ]r ’(t0 )则过M0点的切线方程为:—xx’(-t—0x)0 = —yy’(-t—0y)0 = —zz’(-t—0z)0令：—xx’(-t—0x)0 = —yy’(-—t0y)0 = —zz’(-t—0z)0 =λ， λ为实常数2011-3-15r(n)(t)=[ x(n)(t) y(n)(t) z(n)(t) ]昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇132011-3-15切线方程也可写成：x = x0 + λ x’(t0) y = y0 + λ y’(t0) z = z0 + λ z’(t0)昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇14导矢的应用• 求过M0点的法平面方程： 因r’(t0)是曲线在M0点处得导矢，即r’(t0)是过M0点的法平面法矢。

设M是法平面上的一点，则过M0点法平面的矢量方程为：r’(t0) · M0M=0 [ x’(t0) y’(t0) z’(t0) ] · [ x – x(t0) y – y(t0) z – z(t0) ]=0 即: x’(t0) [ x – x(t0) ]+ y’(t0) [ y – y(t0) ] +z’(t0) [ z – z(t0) ]=0法平面M M0r’(t0)2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇15曲线的自然参数方程„ 由于曲线的弧长不随坐标系选取的不同而改变，因此弧长是曲线 的不变量。

„ 以曲线弧长作为曲线方程的参数，得到曲线的自然参数方程。

„ 在空间曲线Γ上任取一点M0（x0 y0 z0）作为计算弧长的起点，曲 线上其他点M（x y z）到M0之间的弧长s作为参数，得曲线的参 数方程：x=x (s)Γy=y (s)z=z (s) „ 曲线的参数方程为:s M（x y z）r (s)=[ x (s) y (s) z (s) ]M0（x0 y0 z0）2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇16自然参数方程与一般参数方程2011-3-15„ 曲线的一般参数方程：r (t) = [ x (t) y (t) z (t) ]因： r’(t) = [ x’(t) y’ (t) 弧长微分方程为:z’(t) ]=[ —ddxt—ddty—ddtz ](ds)2=(dx)2 +(dy)2 + (dz)2引入参数t，得： (ds/dt)2=(dx/dt)2 +(dy/dt)2 + (dz/dt)2 =| r’(t) |2所以： ds/dt= | r’(t) | > 0那么：s是t的单增函数，其反函数t (s)存在，且一一对应。

„ 以弧长s为参数的自然参数方程为： yr = r (t)r = r[ t(s) ]= r (s)„自然参数方程的重要性质： .| r (s) | = 1Mds dyM0dx即自然参数方程的切矢为单位矢量。

ox昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇17从一般参数方程求自然参数方程„ 例：已知圆柱螺线的一般参数曲线方程为： r (t)=[ acost asint bt ]， 其中a为柱面半径，螺距为2πb，求其自然参数方程。

zo txt因：s = | r’(t) | dt0r’ (t)=[ -asint acost b ]所以： t s = (- asint)2+(acost)2 + b2 dt = a2+b2 t 0t = s / a2+b2 代入得自然参数方程:Tr (s)=[ acos(s/ a2+b2 ) asin(s/ a2+b2 ) bs/ a2+b2 ]y2011-3-15昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇183活动坐标系与基本三棱形2011-3-15„ 活动坐标系：„ 若取坐标系的原点与曲线上的动点M重合，使整个坐标系随着动点的 运动而运动。

„ 活动坐标系坐标轴的确定：„ 坐标轴I:„. T(s)=r(s),切矢T的方向为第一个坐标轴的方向。

„ 坐„标T轴(sI)I与：T.(s)方向垂直，T.(s)=k(s) N(s)， N(s)为曲线主法线单位矢量 （主法矢），其方向总是指向曲线凹入的方向，主法矢N的方向为第二个坐标轴的方向。

„ k(s)为曲线的曲率： k(s)=| r..(s) |ρ(s)为曲线的曲率半径： ρ(s)=1/k(s)„ 坐标轴III：„ 令垂直于T和N的单位矢量为B，称为次法线单位矢量或副法线单 位矢量，B(s)= T(s)× N(s)， B为第三个坐标轴方向。