专题13 几何部分验收A卷-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
专题06 二次函数的简单应用-2019年初升高数学衔接必备教材(原卷版)
专题06二次函数的简单应用高中必备知识点1：平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．典型考题【典型例题】如图，抛物线经过两点，顶点为D．求a和b的值；将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．【变式训练】已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【能力提升】已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．高中必备知识点2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．典型考题【典型例题】如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.【能力提升】已知抛物线经过点（1，-2）．（1）求的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．高中必备知识点3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题【典型例题】函数1()01xf xx-⎧⎪=⎨⎪+⎩)0()0()0(<=>xxx，则))1((ff的值是___．【变式训练】已知函数，若，则_________．【能力提升】函数__________．专题验收测试题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC ＝4cm ，BC ＝6cm ，AD ＝3cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA ﹣AD ﹣DC 运动到点C ，点Q 以1cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发xs 时，△BPQ 的面积为ycm 2．则y 与x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.4．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（）A．18元B．36元C．54元D．72元5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A．B．C．D．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）A．1 B．C．2﹣D．2+8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．20m C．15m D．22.5m9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S ＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．2011．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝12，tanβ＝23，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．P点坐标为_____；若水面上升1m，水面宽为_____m．12．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图）已知点A，B的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y=ax2-2ax-3a运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是______13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为.由此可知，铅球推出的距离是__________m.17．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？（2）如何定价才能使利润最大？19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为3∶2，每张材料板的成本c与它的面积成正比例。
专题13 函数的概念与性质(基础测评卷)高一数学单元复习(人教A版2019必修第一册)含答案
．．C．D．【答案】A4．已知函数y ＝21,02,0x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2或52-C ．2-D ．2或2-或52-【答案】C【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.5．（2020·浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 （）A ．y 10x éù=êúëûB ．3y 10x +éù=êúëûC ．4y 10x +éù=êúëûD ．5y 10x +éù=êúëû【答案】B【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为310x y +éù=êúëû，也可以用特殊取值法，若56,5x y ==，排除C ，D ，若57,6x y ==，排除A ，故选B ．6．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝21，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( C )A ．0 B ．1 C ．25 D ．5【答案】C【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴21＝－21＋f (2)，∴f (2)＝1.令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝21＋1＝23.令x ＝3，得f (5)＝f (2)＋f (3)＝257．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ³时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-【答案】C【解析】当0x ³时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于( C )A ．－6 B ．6C ．－8D ．8【答案】C【解析】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x )关于x ＝－2对称，f (x )＝m 的根关于x ＝－2对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×(－2)＝－8.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列各组函数表示的是同一个函数的是( BD )A ．f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-B ．f (x )＝|x |与g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0D ．f (x )＝xx 与g (x )＝x 0【答案】BD【解析】对于A ，f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-的对应关系不同，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于B ，f (x )＝|x |与g (x )＝x 2的定义域和对应关系均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数；对于C ，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于D ，f (x )＝xx 与g (x )＝x 0的对应关系和定义域均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数．10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( BD )A ．f (x )＝x 1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝x |x | D ．f (x )＝－3x【答案】BD 【解析】A ．f (x )＝x1在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B ，f (x )＝－x 3在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C ，f (x )＝x |x |＝⎪î⎪íì<-³0,0,22x x x x ，在定义域R 上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D ，f (x )＝－3x 在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD ．11．已知函数f (x )＝31++-x x ，则( ABD )A ．f (x )的定义域为[－3,1] B ．f (x )为非奇非偶函数C ．f (x )的最大值为8D ．f (x )的最小值为2【答案】ABD分，共20分．将答案填在题中横线上)(31)4,,1a x a x x ax x -+ì=í-³î【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<ì⎪-<í⎪-+³-î，解得1183a £<.14．函数f (x )＝xx +-11的定义域为___，单调递减区间为___.【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)【解析】函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝)1)(1()22121x x x x ++-（＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f (x )在(－∞，－1)上也为减函数．15．函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为____.【答案】1(,1)2-【解析】因为y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x－1<1，即îíì<-->-112212x x ，即⎪î⎪íì<->121x x ，所以－21<x <1.16．对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．现给定一个实数a ∈(4,5)，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的不动点共有___个．【答案】2【解析】由定义，令x 2＋ax ＋1＝x ，则x 2＋(a －1)x ＋1＝0，当a ∈(4,5)时，Δ＝(a －1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈(4,5))有2个不动点．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知幂函数39*()m y x m N -=Î的图象关于y 轴对称且在()0,¥+上单调递减，求满足()()33132mma a +<-－－的a 的取值范围.【解析】因为函数39*()m y x m N -=Î在()0,¥+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N Î，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.则原不等式可化为()()1133132a a +<-－－，因为13y x －＝在(),0-¥，()0,¥+上单调递减，所以1320a a +>->或3210a a -<+<或1032a a +<<-，解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是1a <-或2332a <<.18．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+（1）试判断函数在（-1，+¥）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x Î的最大值和最小值【解析】（1）∵()213211x y f x x x -===-++，∴函数()f x 在()1，-+¥上是增函数，证明：任取1x ，()21x Î-+¥，，且12x x <，则()()1212213333221111f x f x x x x x æöæö-=---=-ç÷ç÷++++èøèø()()()1212311x x x x -=++，∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+¥上是增函数.（2）∵()f x 在()1，-+¥上是增函数，∴()f x 在[3]5，上单调递增，它的最大值是()25135512f ´-==+，最小值是()23153314f ´-==+．19．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．20．(12分)已知函数()()311ax f x a a -=¹-.（1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a >且1a ¹时，由30ax -³得3x a £，即函数()f x 的定义域是3,a æù-¥çúèû.(2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -´³，解得13a <£；当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a ->并且310a -´³，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-¥U .21．(12分)已知函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）．（1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．【解析】（1）∵函数f （x ）＝x m x +，且此函数图象过点（1，2），∴2＝1+m ，∴m ＝1；（2）f （x ）＝x 1x+，定义域为：()()00-¥È+¥，，，又f （﹣x ）＝﹣x 1x +=--f （x ），∴函数f （x ）是奇函数；（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减，设0＜x 1＜x 2＜1，则()()()()211212121212121212111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-×××，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0，∴()()()1212121210x x f x f x x x x x --=-×＞，即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，1）上的单调递减．22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？(2)当销售商一次订购x 个零件时，该厂获得的利润为P 元，写出P ＝f (x )的表达式．【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x 0个，则60－0.02(x 0－100)＝51，解得x 0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．(2)设一次订量为x 个时，零件的实际出厂单价为W ，工厂获得利润为P ，由题意P ＝(W －40)·x ，当0<x ≤100时，W ＝60；当100<x <550时，W ＝60－0.02(x －100)＝62－50x ；当x ≥550时，W ＝51.当0<x ≤100时， f (x )＝(60－40)x ＝20x ；∴当100<x <550时， f (x )＝(22－50x )x ＝22x －501x 2；当x ≥550时， f (x )＝(51－40)x ＝11x .故f (x )＝⎪⎪î⎪⎪íìγÎ<<-Σ<+++),550(,11),550100(5022),1000(202N x x x N x x x x N x x x。
专题13-圆与正多边形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(解析版)
专题13.圆与正多边形一、单选题1．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】D 【分析】根据正多边形内角和公式求出∠F AB ，利用扇形面积公式求出扇形AB F 的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠F AB =()621801206-⨯︒=︒，AB =6， ∴扇形ABF 的面积=2120612360，故选择D ．2．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到∠BOC =2∠BAC ，证明△AOB ≌△AOC ，得到∠BAO =∠CAO =30°，得到∠BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BOC =2∠BAC =120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠BAO=∠CAO=30°，∴∠BOD=60°，∴劣弧BD的长为603180π⨯⨯=π，故选B．3．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A．两人说的都对B．小铭说的对，小燕说的反例不存在C．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．4．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16AB=厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt△AOC中，6OC==（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，∴16÷16=1（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．5．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵OA＝OB＝1，AB，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，故选：C．6．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为（ ）A ．2-B ．3C ．4D ．2【答案】C 【分析】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，可求得∠E =30°，在Rt △CDE 中，利用tan 30°计算DE ，在Rt △ABE 中，利用sin 30°计算AE ，根据AD =AE -DE 求解即可；【详解】如图，延长AD ，BC ，二线交于点E ，∵∠B =90°，∠BCD =120°，∴∠A =60°，∠E =30°，∠ADC =90°，∴∠ADC =∠EDC = 90°，在Rt △CDE 中，tan 30°=DC DE ，∴DE在Rt △ABE 中，sin 30°=AB AE ，∴AB =212=4，∴AD =AE -DE =4,故选C 7．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．1【答案】B【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OAAB ︒=，112OA BC == ，∴ 1sin 45OA AB ===︒∴BC 的长度为：90180π⨯， ，设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：22r π=， ∴1=224r π=⨯B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B 【分析】连接OD ，据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，∴CD =2DE ，∵2CD OE =，∴DE =OE ，∴ODE 是等腰直角三角形，即∠BOD =45°，∴BCD ∠=12∠BOD =22.5°，故选B ． 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∠OF A =∠OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ， ∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽，∴OC CE AB OB =，∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形；故选D ． 10．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23πC ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据∠BCP =90°和∠BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，∵△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒①若∠BCP =90°，则CP =BC =2 这C 作CE ⊥AD ,交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形∴AB =BC =CD =DA =2，∠D =∠ABC =60°∴CE =CDsin ∠D =22=< ∴点P 在菱形ABCD 的外部，∴与题设相矛盾，故此种情况不存在； ②∠BPC =90° 过P 作PF ⊥BC 交BC 于点F ，∵△BPC 是等腰直角三角形，∴PF =BF =12BC =1∴P (1,1)，F (1,0) 过点A 作AG ⊥BC 于点G ，在Rt △ABG 中，∠ABG =60°∴∠BAG =30°∴BG =112AB =，AG =∴A ，(1,0)G ∴点F 与点G 重合∴点A 、P 、F 三点共线∴1AP AF PF =-= ∴1111)22ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形∴2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ． 11．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 12．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若O 的面积为2π，1MN =，则AMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，（1）N 为BD 上一动点，A 点关于线段BD 的对称点为点C ，连接CN ，则=CN AN ，过A 点作CN 的平行线AG ，过C 点作BD 的平行线CG ，两平行线相交于点G ，AG 与BD 相交于点M ． //,//,CN MG NM CG ∴四边形CNMG 是平行四边形 ∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形 ∴CNM NMA∠=∠ 四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD ∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭32AM ∴=3=2+1=42AMN C ∴⨯故选：B ． 13．（2021·湖南怀化市·中考真题）以下说法错误的是（ ）A ．多边形的内角大于任何一个外角B ．任意多边形的外角和是360︒C ．正六边形是中心对称图形D ．圆内接四边形的对角互补【答案】A【分析】根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．【详解】解：对于A 选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意； 对于B 选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；对于C 选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D 选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A ．14．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =AB =2AC =又∵12018180AB π⨯⨯==12π，∴走便民路比走观赏路少走12π-米，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故选：A．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．16．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A B C D【答案】AGC=，即可得【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得6AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD=△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得DH DF=，由此即可求得BF=BC BF【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt △DGC 中，CD =10，∴6GC ===，∵AD=DE ，BC=CE ，CD =10，∴CD = DE +CE = AD+BC =10，∴AD+BG +GC =10，∴AD=BG =2，BC =CG +BG =8，∵∠DAB =∠ABC =90°，∴AD ∥BC ，∴∠AHO =∠BCO ，∠HAO =∠CBO ，∵OA =OB ，∴△HAO ≌△BCO ，∴AH=BC =8，∵AD =2，∴HD=AH +AD =10；在Rt △ABD 中，AD =2，AB =8，∴BD ==∵AD ∥BC ，∴△DHF ∽△BCF ，∴DH DF BC BF =，∴108=BF =A ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．17．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-【答案】A【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH，AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AOOH =12AOAH=6，∴AE =2AH =12， ∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-A ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．18．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C 【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】ABC 的外接圆如下图∵∠40A =︒∴280BOC A ∠=∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．19．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，∴12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠∴tan =DE OEα ∴=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE ODα= ∴sin DE OD α= ∴22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE OD α= ∴cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m == ∴cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；∵2sin CD m α=，cos OE m α= ∴2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ． 【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．20．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A =80°，则∠C 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠C =180°-∠A =100°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．21．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上， ∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ， ∴AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∴AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∴△AOG ≌△BOM ，∴∠CAB =∠CBA ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，12OC AB ∴=，2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+=22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B 【分析】连接AD ，由切线性质可得∠ADB =∠ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得∠BAD =60°，易求得∠ADE =72°，由AD=AE 可求得∠DAE =36°，则∠GAC =96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，∵BC 与圆A 相切于点D ，∴∠ADB =∠ADC =90°，在Rt △ADB 中，AB =6，则cos ∠BAD =AD AB =12，∴∠BAD =60°， ∵∠CDE =18°，∴∠ADE =90°﹣18°=72°，∵AD=AE ，∴∠ADE =∠AED =72°， ∴∠DAE =180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC =36°+60°=96°，∴∠GFE =12∠GAC =48°，故选：B ．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD =60°是解答的关键．23．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于O ，∴90BOC ∠=° ∴11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．24．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊥AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．∴OC =5，CP =3∵CD ⊥AB ，∴CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦． 25．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，∴点A 在⊙O 外．点B 在⊙O 上，∴直线AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．26．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ） A ．163π B ．643π C ．16π D ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴R =S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．27．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A 【分析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5∴OB =OC =OA =5∴在Rt △OAE 中4AE ==∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=- 22228(5)5x x -+=- x =1.4在Rt △OFC 中， 4.8FC == ∴29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键28．（2020·广西贵港市·中考真题）如图，动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM BM ⊥，P 是CD 边上的一个动点，E 是AD 边的中点，则线段PE PM +的最小值为（ ）A 1B 1CD 1【答案】A【分析】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE ＋PM 的最小值为OE '的值减去以AB 为直径的圆的半径OM ，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．【详解】作点E 关于DC 的对称点E '，设AB 的中点为点O ，连接OE '，交DC 于点P ，连接PE ，如图：∵动点M 在边长为2的正方形ABCD 内，且AM ⊥BM ，∴点M 在以AB 为直径的圆上，OM ＝12AB ＝1， ∵正方形ABCD 的边长为2，∴AD ＝AB ＝2，∠DAB ＝90°，∵E 是AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12×2＝1，∵点E 与点E '关于DC 对称，∴DE '＝DE ＝1，PE ＝PE '，∴AE '＝AD ＋DE '＝2＋1＝3， 在Rt △AOE '中，OE '＝22AE AO '＋＝2231+＝10，∴线段PE ＋PM 的最小值为：PE ＋PM ＝PE '＋PM ＝ME '＝OE '−OM ＝10−1．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．29．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，∠AOD=68°，AO//DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°【答案】C【分析】连接AD ，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA ，再根据平行线的性质求出∠ODC ，最后根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接AD ，∵∠AOD=68°，OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD=56°， ∵AO ∥DC ，∴∠ODC=∠AOD=68°，∴∠ADC=124°，∵点A 、B 、C 、D 四个点都在⊙O 上，∴∠B=180°-∠ADC=56°，故选C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．30．（2019·广西玉林市·中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB = ∵90OPB ︒∠=，∴OP AC∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ⊥，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =， ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.二、填空题31．（2021·青海中考真题）点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______．【答案】6.5cm 或2.5cm 【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设O 的半径为xcm 当点P 在O 外时，根据题意得：429x += ∴ 2.5x cm = 当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+ ∴ 6.5x cm = 故答案为：6.5cm 或2.5cm ．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 32．（2021·北京中考真题）如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒， ∵50P ∠=︒，∴130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．33．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 2 【答案】80π【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，∴做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm ，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm 10cm =， ∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2，故答案是：80π． 【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．34．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°， ∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12．【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．35．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．【答案】223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接BE ，由题意易得BE =AB =2cm ，进而可得∠EBC =30°，∠ABE =60°，然后可得EC =1cm ，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积． 【详解】解：连接BE ，如图所示：由题意得BE =AB =2cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC C ∠=∠=︒，∵AD =，∴cos 2BC EBC BE ∠==，∴∠EBC =30°，∠ABE =60°，∴1cm CE =，∴226022=cm 360223ECBABCD ABE S S S Sππ⎛⎫⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭阴影矩形扇形；故答案为223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题关键． 36．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则∠ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DCB 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE = ,ABE ACD ∴∠=∠ ,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠ 90,32,ABC A ∠=︒∠=︒ ()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．37．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________． 【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π， 设扇形的半径为r ，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r ＝12， ∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大． 38．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴OC AB ⊥ ∴14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，∵2cm CD = ∴(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R = 即O 的半径为5cm 故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 39．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数 【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．40．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是______2cm （结果用含π的式子表示）．【答案】180π【分析】由题意易得该扇形的弧长为221020cm r πππ=⨯=，然后根据扇形面积计算公式可求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=，∴该扇形的面积为2111820180cm 22S lR ππ==⨯⨯=；故答案为180π．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．41．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】。
2019年版初高中数学衔接工具书——1.5 充分条件和必要条件【原卷版+解析版】
2019年版初高中数学衔接工具书1.5 充分条件和必要条件1．命题在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．【例1】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）一次函数是增函数吗？（42；（5）x>15．（6）画线段AB=CD．（7）一中的景色多美啊！（8）这是一条大河．【方法归纳】判断语句是否为命题的方法：（1）必须是陈述句，（2）可以判断真假．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果狆p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．【例2】指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）菱形的对角线互相垂直且平分．【例3】把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判定真假．（1）负数的平方是正数．（2）偶函数的图像关于y轴对称．（3）垂直于同一条直线的两条直线平行（4）面积相等的两个三角形全等．（5）对顶角相等．变式1．把下列命题改写成“若p ，则q”的形式，并判断它们的真假．（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y 轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行．2．充分条件和必要条件下面我们将进一步考察“若p ，则q ”形式的命题中p 和q 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条件和充要条件．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430x x -+=，则1x =；（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ，则a ∥b ．在命题 （1）（4）中，由条件p 通过推理可以得出结论q ，所以它们是真命题．在命题 （2）（3）中，由条件p 不能得出结论q ，所以它们是假命题．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ⇒/．此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．上述命题 （1）（4）中的p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，而命题（2）（3）中的p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．【例4】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数．【tips 】举反例是判断一个命题是假命题的重要方法．我们说p 是q 的充分条件，是指由条件p 可以推出结论q ，但这并不意味着只能由这个条件p 才能推出结论q ．一般来说，对给定结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的．例如，我们知道，下列命题均为真命题：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件．事实上，例4中命题 （1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了 “两直线平行”的一个充分条件，例如 “内错角相等”这个条件就充分保证了 “两条直线平行”．一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．【例5】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数．一般地，要判断“若p ，则q ”形式的命题中q 是否为p 的必要条件，只需判断是否有 “p q ⇒”，即“若p ，则q ”是否为真命题．我们说q 是p 的必要条件，是指以p 为条件可以推出结论q ，但这并不意味着由条件p 只能推出结论q ．一般来说，给定条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的．例如，下列命题都是真命题：①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件．我们知道，例5中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行四边形的每条性质定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个必要条件．类似地，平行线的每条性质定理都给出了 “两直线平行”的一个必要条件，例如 “同位角相等”是 “两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有 “两直线平行”．一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．3．充要条件将命题“若p ，则q ”中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q ，则p ”，称这个命题为原命题的逆命题．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac <；（4）若A B 是空集，则A 与B 均是空集．不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件． 显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p q ⇔，那么p 与q 互为充要条件．上述命题（1）（4）中的p 与q 互为充要条件．【例6】下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例；（3）p ：0xy >，q ：0x >，0y >；（4）p ：1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，q ：0a b c ++=（0a ≠）．【tips 】补充总结1．用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空：（1）“x N ∈”是“x Q ∈”的_______________；（2）“2x =”是“2320x x -+=”的_______________；（3）“2x >”是“3x >”的_______________；（4）“0x y>”是“0xy >”的_______________． 2．在下列各题中，判断p 是q 的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）：（1）p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形是等边三角形；（2）p ：一元二次方程20ax x c ++=有实数根，q ：240b ac -≥；（3）p ：a PQ ∈，q ：a P ∈； （4）p ：a P Q ∈，q ：a P ∈；（5）p ：x y >，q ：22x y >．3．判断下列命题的真假：（1）点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点M 在⊙O 外的充要条件；（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；（3）A B A =是B A ⊆的必要不充分条件；（4）x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件．4．已知{|}A x x p =满足条件，{|}B x x q =满足条件，（1）如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？（2）如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？（3）如果A B =，那么p 是q 的什么条件？5．已知集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|42,}B x x k k Z ==+∈．设p ：a A ∈，q ：a B ∈，试判断p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．6．把答案填在各题横线上：（1）“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的充要条件是_________________；（2）“一元二次方程210x ax ++=有两个不相等的实数根”的充要条件是_________________；（3）“一元二次方程()(1)0x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不是必要条件是_____________;7．设,,a b c R ∈．证明：222a b c ab bc ac ++=++的充要条件是a b c ==．1．2x >是220x x ->的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．使得“2x >”成立的一个必要但不充分条件是（ ）A ．1x >B ．3x >C ．23x <<D ．2x <3．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件5．设:5x α≤-，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是______ ． 6．若“2280x x -->”是“x m <”的必要不充分条件，则m 的取值范围是__________1.5 充分条件和必要条件（解析版）1．命题在初中，我们已经对命题有了初步的认识．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．【例1】判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）一次函数是增函数吗？（42；（5）x>15．（6）画线段AB=CD．（7）一中的景色多美啊！（8）这是一条大河．解析：（1）真命题；（2）假命题；（3）疑问句，不是命题；（4）真命题；（5）无法判断真假，不是命题；（6）祈使句，不是命题；（7）感叹句，不是命题；（8）判断标准不明确，不是命题．【方法归纳】判断语句是否为命题的方法：（1）必须是陈述句，（2）可以判断真假．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果狆p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．本节主要讨论这种形式的命题．【例2】指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）菱形的对角线互相垂直且平分．解：（1）条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数．（2）写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分．【例3】把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判定真假．（1）负数的平方是正数．（2）偶函数的图像关于y轴对称．（3）垂直于同一条直线的两条直线平行（4）面积相等的两个三角形全等．（5）对顶角相等．解析：（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）真命题．变式1．把下列命题改写成“若p ，则q”的形式，并判断它们的真假．（1）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于y 轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行．解：(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰的中线相等．这是真命题．(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y 轴对称，这是真命题．(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行．这是假命题．2．充分条件和必要条件下面我们将进一步考察“若p ，则q ”形式的命题中p 和q 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语———充分条件、必要条件和充要条件．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430x x -+=，则1x =；（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ，则a ∥b ．在命题 （1）（4）中，由条件p 通过推理可以得出结论q ，所以它们是真命题．在命题 （2）（3）中，由条件p 不能得出结论q ，所以它们是假命题．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ⇒/．此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．上述命题 （1）（4）中的p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，而命题（2）（3）中的p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件．【例4】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数．解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件．（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件．（3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件．（4）由于2(1)1-=，但11-≠，p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件．（5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件．（62=为有理数，p q ⇒/，所以p 不是q 的充分条件．【tips 】举反例是判断一个命题是假命题的重要方法．我们说p 是q 的充分条件，是指由条件p 可以推出结论q ，但这并不意味着只能由这个条件p 才能推出结论q ．一般来说，对给定结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的．例如，我们知道，下列命题均为真命题：①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件．事实上，例4中命题 （1）及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理．所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形．类似地，平行线的每一条判定定理都给出了 “两直线平行”的一个充分条件，例如 “内错角相等”这个条件就充分保证了 “两条直线平行”．一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．【例5】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数．解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件．（2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件．（3）如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q ⇒/，所以q 不是p 的必要条件．（4）显然，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件．（5）由于1010-⨯=⨯，但11-≠，p q ⇒/，所以q 不是p 的必要条件．（6）由于1=1不全是无理数，p q ⇒/，所以q 不是p 的必要条件． 一般地，要判断“若p ，则q ”形式的命题中q 是否为p 的必要条件，只需判断是否有 “p q ⇒”，即“若p ，则q ”是否为真命题．我们说q 是p 的必要条件，是指以p 为条件可以推出结论q ，但这并不意味着由条件p 只能推出结论q ．一般来说，给定条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的．例如，下列命题都是真命题：①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件．我们知道，例5中命题（1）及上述命题①②③均为平行四边形的性质定理．所以，平行四边形的每条性质定理都给出了 “四边形是平行四边形”的一个必要条件．类似地，平行线的每条性质定理都给出了 “两直线平行”的一个必要条件，例如 “同位角相等”是 “两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有 “两直线平行”．一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．3．充要条件将命题“若p ，则q ”中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q ，则p ”，称这个命题为原命题的逆命题．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac <；（4）若A B 是空集，则A 与B 均是空集．不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件． 显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p q ⇔，那么p 与q 互为充要条件．上述命题（1）（4）中的p 与q 互为充要条件．【例6】下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例；（3）p ：0xy >，q ：0x >，0y >；（4）p ：1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，q ：0a b c ++=（0a ≠）．解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形 （为什么），所以 q p ⇒/，所以p 不是q 的充要条件．（2）因为 “若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件．（3）因为0xy >时，0x >，0y >不一定成立 （为什么），所以p q ≠，所以p 不是q 的充要条件．（4）因为 “若p ，则q ”与 “若q ，则p ”均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件．【tips 】补充总结1．用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空：（1）“x N ∈”是“x Q ∈”的_______________；（2）“2x =”是“2320x x -+=”的_______________；（3）“2x >”是“3x >”的_______________；（4）“0x y>”是“0xy >”的_______________． 2．在下列各题中，判断p 是q 的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）：（1）p ：三角形是等腰三角形，q ：三角形是等边三角形；（2）p ：一元二次方程20ax x c ++=有实数根，q ：240b ac -≥；（3）p ：a P Q ∈，q ：a P ∈；（4）p ：a P Q ∈，q ：a P ∈；（5）p ：x y >，q ：22x y >．3．判断下列命题的真假：（1）点P 到圆心O 的距离大于圆的半径是点M 在⊙O 外的充要条件；（2）两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件；（3）A B A =是B A ⊆的必要不充分条件；（4）x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件．4．已知{|}A x x p =满足条件，{|}B x x q =满足条件，（1）如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？（2）如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？（3）如果A B =，那么p 是q 的什么条件？5．已知集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|42,}B x x k k Z ==+∈．设p ：a A ∈，q ：a B ∈，试判断p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．6．把答案填在各题横线上：（1）“一元二次方程210x ax ++=有实数根”的充要条件是_________________；（2）“一元二次方程210x ax ++=有两个不相等的实数根”的充要条件是_________________； （3）“一元二次方程()(1)0x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分但不是必要条件是_____________;7．设,,a b c R ∈．证明：222a b c ab bc ac ++=++的充要条件是a b c ==．1.5 充分条件和必要条件参考答案1．（1）充分条件； （2）充分条件； （3）必要条件； （4）充分条件2．（1）必要不充分条件； （2）充要条件； （3）充分不必要； （4）既不充分也不必要条件3．（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题； （4）假命题4．（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件5．p 是q 的必要不充分条件；q 是p 的充分不必要条件6．解析：（1）2a ≥或2a ≤-；（2）2a >或2a <-；（3）一元二次方程()(1)0x a x a ---=的两个根分别是x a =和1x a =+，它有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是01a a <<+，即10a -<<，所以只要给出的a 的取值范围是(1,0)-的非空真子集即可， 如，102a -<<，112a -<<-等. 7．解析：充分性：即当abc ==时，证明222a b c ab bc ac ++=++，因为：222222222222(222)222a b c ab bc ac a ab b b bc c c ac a ++-++=-++-++-+ 22()()()a b b c c a =-+-+-，因为a b c ==，所以222222(222)0a b c ab bc ac ++-++=，即222222222a b c ab bc ac ++=++， 即222a b c ab bc ac ++=++.必要性：即当222a b c ab bc ac ++=++时，证明a b c ==，因为222()0a b c ab bc ac ++-++=，所以222222(222)0a b c ab bc ac ++-++=，所以222222222a ab b b bc c c ac a -++-++-+22()()()0a b b c c a =-+-+-=， 所以a b c ==.综上所述，222a b c ab bc ac ++=++的充要条件是a b c ==.1．2x >是220x x ->的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】由220x x ->解得：0x <或2x >，{}{}202x x x x x >或Ö，因此，2x >是220x x ->的充分不必要条件，故选：A 。
专题13+受益终生的“运算求解能力”的培养-2019版高人一筹之高一数学特色专题训练+Word版含解析
一、选择题1．已知全集，集合，则集合A． B． {0，3，4} C． D． {0，3，4，5)【答案】B【解析】全集=，集合，则集合{0，3，4}. 故答案为：B.2．已知（）A． a+b B． a-b C． ab D．【答案】C【解析】因为，故，故选C.3．已知集合，则满足条件的集合的个数为A． B． C． D．【答案】D【解析】4．全集, , ,那么集合是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先排除，，则，则故选.5．若则的值为( )．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题得f(2)=,故答案为：C6．计算3112log 4163lg59-⎛⎫+- ⎪⎝⎭）A ． 1-B ． 1C ． 3-D ． 3 【答案】B7．A=， B=，则A∩B＝( )A ． (2,4]B ． [2,4]C ． (－∞，0)∪(0,4]D ． (－∞，－1)∪[0,4] 【答案】A 【解析】，，则.选.8．设，则的值为（ ）A ． 10B ． 11C ． 12D ． 13 【答案】B 【解析】9．已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0{,0x x x f x a b x >=+≤满足()02f =， ()13f -=，则()()3f f -=（ ） A ． -3 B ． -2 C ． 3 D ． 2 【答案】B【解析】由()02f =， ()13f -=可得112,3b a b -+=+=，可得1,12a b ==，那么()()()3131319log 922f f f f -⎛⎫⎛⎫-=+===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故本题选B ．10．函数的定义域是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意可知，解得11．实数的值为（ ）． A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】12．已知集合,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，则，所以，故选C ．13．下列各式运算错误的是（ ）． A ． ()()232278a b ab a b --=- B ． ()()3323233a b ab a b -÷-=C ． ()()233266ab a b --= D ． ()()323321818a b a b ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】C 选项． ()236a a -=， ()326b b -=-，∴()()233266a b a b --=-，故选C ． 14．若函数为增函数，则函数的图像大致是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，故为减函数，由复合函数为增函数可得.当，此时函数为减函数，结合函数为偶函数可知，函数的图象为选项A中的图象.15．已知函数的零点为3，则=（）A． 1 B． 2 C． D． 2017【答案】C【解析】16．已知是定义在R上的奇函数，当时(m为常数)，则的值为( ) A． 4 B． -4 C． 6 D． -6【答案】B【解析】当时(m为常数)，则，则. .函数是定义在R上的奇函数，.17．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是( )A． B． C． D．【答案】D【解析】18．计算的值为（）A． 21 B． 20 C． 2 D． 1【答案】C【解析】由题得原式=故答案为：C19．已知函数，的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】若f（m）＞1，则，即解得，m＞2或m＜0．故答案为：D．20．已知函数是幂函数，对任意的，且，，若，且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】二、填空题21．计算的值是_________.【答案】1.3【解析】，故答案为.22．__________．【答案】-15【解析】．故答案为：-1523．计算___________.【答案】1【解析】及答案为1.24．已知函数,则该函数的最小值是________. 【答案】2【解析】设，则，此时，当时，即，函数取得最小值，此时最小值为．三、解答题25．（1）求值（2）函数是定义在上的奇函数，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】.26．计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式．（2）原式．27．求值：（1）已知(常数)，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）8．【解析】28．已知，，且，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）3；（2）；（3）．【解析】29．求值：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）4a．【解析】（1）原式=（）=2；（2）原式==4a．30．已知函数为奇函数．（）求函数的解析式；（）利用定义法证明函数在上单调递增．【答案】（）；（）证明见解析．【解析】（）由题意得函数的定义域为，，∵，∴，∴．又，∴，∴，∴函数在上单调递增．31．已知集合，. （1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）2；（2）【解析】32．函数(1)若,求函数在(2,+∞)上的值域;(2)若函数在(-∞,-2)上单调递增,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，则它在上是增函数，，由复合函数的单调性原则可知，在上单调递减，。
《高考真题》专题13 导数的几何意义-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(原卷版)
专题13 导数的几何意义【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxx y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =. 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．【命题意图】（1）能根据导数定义求函数的导数.（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. （3）理解导数的几何意义. 【命题规律】从近三年高考情况来看，导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容一直是高考中的热点，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数. 【答题模板】解答已知切点P (x 0, y 0)，求y =f (x )过点P 的切线方程，一般考虑如下三步： 第一步：利用导数公式求导数； 第二步：求斜率f ′(x 0)；第三步：写出切线方程y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0). 【方法总结】（一）导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.（二）求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.（三）求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．1．【山东省聊城市2019届高三三模数学试题】函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为 A ．10x y ++= B ．10x y -+= C ．210x y -+=D ．210x y +-=2．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试数学】曲线344y x x =-+在点(1,1)处的切线的倾斜角为A ．30B ．45C ．60D ．1353．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】已知定义在R 上的奇函数f （x ），当0x ≤时，3()2f x x x m =--，则曲线()y f x =在点P （2，f （2））处的切线斜率为A ．10B ．−10C ．4D ．与m 的取值有关4．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】若曲线e x y =在0x =处的切线与ln y x b =+的切线相同，则b = A ．2 B ．1 C ．1-D ．e5．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．5250x y +-= B ．10450x y +-= C ．540x y +=D ．204150x y --=6．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为A ．0B ．0或8C ．8D ．17．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学】已知函数()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两条过()1,0点的切线，则a 的取值范围是A ．()(),12,-∞+∞B ．()(),12,-∞-+∞C ．()(),02,-∞+∞D ．()(),20,-∞-+∞8．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学试题】设曲线432:3294C y x x x =--+，在曲线C 上一点()14，M -处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．49．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知函数()e (,)x f x a b a b =+∈R 在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则a b -=_______．10．【河南省名校−鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学试题】若曲线22ln y x x =-的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________．11．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试题】曲线ln y x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =_______．12．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知函数()ln f x x =的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____．13．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试数学试题】若1ex =是函数()ln f x x kx =-的极值点，则函数()ln f x x kx =-在点(1,(1))f 处的切线方程是______．14．【山东省青岛市2019届高考模拟检测（二模）数学试题】设函数()e xf x x =--的图象上任意一点处的切线为1l ，若函数()cos g x ax x =+的图象上总存在一点，使得在该点处的切线2l 满足12l l ⊥，则a 的取值范围是__________．。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题13空间几何体热点难点突破理含解析.pdf
空间几何体1．已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．4答案 C解析 ①若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，不正确；②若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，不正确；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l与β相交且l与β不垂直，不正确，故选C.2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④答案 D解析 由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．8．已知正四棱锥P －ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，2则此球的体积为( )A.B. C. D.124π3625π81500π81256π9答案 C解析 如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O ′，正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心为O ，∵底面正方形的边长为，2∴O ′D ＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴V P －ABCD ＝×()2×PO ′＝2，解得PO ′＝3，132∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，在Rt△OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2＋O ′D 2＝OD 2，即(3－R )2＋12＝R 2，解得R ＝，53∴V 球＝πR 3＝π×3＝.4343(53)500π819．在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝2，则该三棱锥的外接5球的表面积为( )A.π B.π6432563C.π D.π43632 048327答案 B解析 由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，则根据余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ，解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则△ABC 的外接圆直径2r ＝＝，∴r ＝，ACsin B73273又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝SA ＝，则外接球的半径R ＝＝，125(73)2＋(5)2643则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝π.256310．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．8＋82C ．2＋2＋8D ．4＋4＋82626答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为＝2的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －ABCD ，因为PD ⊥22＋222平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，易得BC ⊥PC ，BA ⊥PA ，又PC ＝＝＝2，PD 2＋CD 222＋ 22 23所以S △PCD ＝S △PAD ＝×2×2＝2，1222S △PAB ＝S △PBC ＝×2×2＝2.12236所以几何体的表面积为4＋4＋8.6211．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝2，则正三棱锥S －ABC 的外2接球的表面积为( )A ．6π B ．12πC ．32πD ．36π答案 B解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，AC ，AM ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝2，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，2所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR2＝12π，故选B.12．若四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.B. C. D.81π581π20101π5101π20答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，由于△PAD 为等腰三角形，PA ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△PAD 的外心F 作平面PAD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，则O 为四棱锥外接球的球心，在△PAD 中，cos ∠APD ＝＝，则sin ∠APD ＝，32＋32－422×3×3194592PF ＝＝＝，PF ＝，AD sin ∠APD 44599559510PE ＝＝，OH ＝EF ＝－＝，9－4559510510BH ＝＝，1216＋45OB ＝＝＝，OH 2＋BH 25100＋550510所以S＝4π×＝.505100101π513．如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C．(0,2] D ．(0,2)答案 D解析 设四棱锥一个侧面为△APQ ，∠APQ ＝x ，过点A 作AH ⊥PQ ，则AH ＝PQ ×tan x ＝＝12AC －PQ 222－PQ2＝－PQ ，212∴PQ ＝，AH ＝，221＋tan x 2tan x 1＋tan x ∴S ＝4××PQ ×AH ＝2×PQ ×AH12＝2××＝，x ∈，221＋tan x 2tan x 1＋tan x 8tan x 1＋tan x 2[π4，π2)∵S ＝＝8tan x 1＋tan x 28tan x1＋tan 2x ＋2tan x ＝≤＝2，81tan x＋tan x ＋282＋2，(当且仅当tan x ＝1，即x ＝π4时取等号)而tan x >0，故S >0，∵S ＝2时，△APQ 是等腰直角三角形，顶角∠PAQ ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥，∴S 的取值范围为(0,2)，故选D.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．答案 4＋＋ π3152053解析 由三视图得几何体的直观图如图所示，∴S 表＝2××2×2＋×2×＋×2×1121235123＝4＋＋.153以D 为原点，DB 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (－1，，0)，3设球心坐标为(x ，y ，z )，∵(x －2)2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，①x 2＋y 2＋(z －2)2＝x 2＋y 2＋z 2，②(x ＋1)2＋(y －)2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，③3∴x ＝1，y ＝，z ＝1，3∴球心坐标是(1，，1)，3∴球的半径是＝.12＋(3)2＋125∴球的体积是π×3＝π.43(5)205315.如图所示，三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，PA ＝，PB ＝，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________．32332答案 13π解析 在三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，设△ABC 的外心为O 1，外接圆的半径O 1A ＝＝，在△PAB 中，PA ＝，PB ＝，AB ＝3，满足PA 2＋PB 2＝AB 2，所以△PAB 为直角三角形，△PAB32sin 60°332332的外接圆的圆心为D ，由于CD ⊥AB ，ED ⊥AB ，∠EDC ＝120°为二面角P －AB －C 的平面角，分别过两个三角形的外心O 1，D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P －ABC 的外接球的球心，在Rt△OO 1D 中，∠ODO 1＝30°，DO 1＝，32则cos 30°＝＝，OD ＝1，连接OA ，设OA ＝R ，O 1DOD 32OD 则R 2＝AD 2＋OD 2＝2＋12＝，(32)134S 球＝4πR 2＝4π×＝13π.134如图，过P 作PO ⊥AE ，垂足为O ，因为平面PAE ⊥平面ABCDE ，平面PAE ∩平面ABCDE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ，所以PO ⊥平面ABCDE ，PO 为五棱锥P －ABCDE 的高．在平面PAE 内，PA ＋PE ＝10>AE ＝6，P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P 为短轴端点时，P 到AE 的距离最大，此时PA ＝PE ＝5，OA ＝OE ＝3，所以PO max ＝4，所以(V P －ABCDE )max ＝S ABCDE ·PO max13＝×28×4＝.131123(2)证明 连接OB ，如图，由(1)知，OA ＝AB ＝3，。
专题01数与式的运算(解析版)-2021年初升高数学无忧衔接(人教A版2019)
专题01数与式的运算初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n n a 与()nn a 的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义 《高中课程要求》 1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂专题综述课程要求高中必备知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入知识精讲有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：典例剖析我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5，∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简√a2+|a−b|−|b−a|.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组{x+y=5+a4x−y=10−6a的解x、y的值的符号相同.(1)求a的取值范围；(2)化简：|2a+2|−2|a−3|.【答案】(1) −1<a<3；(2)4a−4.【解析】(1){x+y=5+a①4x−y=10−6a②，①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0，解得−1<a <3；(2)∵−1<a <3，∴当−1<a <3时，|2a +2|−2|a −3|=2a +2−2(3−a )=2a +2−6+2a =4a −4. 高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【答案】（1）3（2）4ab -8b 2【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4=5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab -4b 2=4ab -8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-【答案】（1）8 （2）－6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ；（2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2)【解析】（1））×3﹣＝﹣＝﹣（2）x4﹣4x＝2x4x2x．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：═.2【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中【答案】2a a b -． 【解析】解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+-- =2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22． 高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x x x x x x x---=-+ 210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】 化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2） 【答案】yx +21 【解析】 22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2） =2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+- =yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？ 【答案】43-. 【解析】解：∵112a b-=， ∴a -b=-2ab ，则2ab 2ab 44ab 7ab 3--=--+1．下列运算正确的是（ ） A ．2xy xy y -＝-x x y B ．3710+=C ．3x 3﹣5x 3＝﹣2D ．8x 3÷4x ＝2x 3 【答案】A对点精练解：A ，2()xy xy x xy y y x y x y==--- ，正确．B ，不正确．C ，3x 3﹣5x 3＝﹣2x 3，不正确．D ，8x 3÷4x ＝2x 2，不正确．故选：A ．2．下列计算结果正确的是（ ）A ．321222x x x +=---B ．235()x x =C ．5()xy -÷3()xy -=22x y -D ．22352x y xy xy -=- 【答案】A ∵321222x x x +=---， ∴选项A 计算正确；∵236()x x =，∴选项B 计算错误；∵5()xy -÷3()xy -=22x y ，∴选项C 计算错误；∵223,5x y xy -不是同类项，无法计算，∴选项D 计算错误；故选A3．若式子1x x +有意义，则下列说法正确的是（ ） A ．1x >-且0x ≠B ．1x >-C ．1x ≠-D ．0x ≠ 【答案】C解：由题意可知：10x +≠∴1x ≠-故选：C4．计算3311a a a ---的结果是（ ） A ．3 B ．0 C ．1a a - D ．11a - 【答案】A 解：3311a a a --- =331a a -- =3(1)1a a -- =3．故选A ．5．若||4=a ，||2b ，且+a b 的绝对值与相反数相等，则-a b 的值是（ ）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或6【答案】C解：∵||4=a ，||2b ，∴4a =±，2b =±，∵+a b 的绝对值与相反数相等，∴+a b ＜0，∴4a =-，2b =±， 426a b -=--=-或422a b -=-+=-，故选：C ．6．设有理数a 、b 、c 满足(0)a b c ac >><，且c b a <<，则222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣的最小值是（ ）A ．2a c -B ．22a b c ++C ．22a b c ++D ．22a b c +- 【答案】C解：∵0ac <，∴a ，c 异号，∵a b c >>，∴0a >，0c <， 又∵c b a <<，∴0a b c c b a -<-<<<-<<， 又∵222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣表示到2a b +，2b c +，2a c +-三点的距离的和， 当x 在2b c +时距离最小， 即222a b b c a c x x x ++++++﹣﹣最小，最小值是2a b +与2a c +-之间的距离，即22abc ++． 故选：C ．7．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc +++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，4【答案】D①a 、b 、c 均是正数，原式=1111+++=4；②a 、b 、c 均是负数，原式=1111----=4-；③a 、b 、c 中有一个正数，两个负数，原式=1111--+=0；④a 、b 、c 中有两个正数，一个负数，原式=1111+--=0；故选D ．8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数是（用含n 的代数式表示）（ ）．A B C D【答案】C由图中规律知，前（n -1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n -1）＝n （n -1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数的被开方数是：n （n -1）+n -3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3故选：C ．9最接近的整数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=， ∴7547.5，7，3-最接近7-3即4，故选：B ．10．设a b 21b a-的值为（ ）A 1+B 1+C 1D 1 【答案】B∴a ，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．11．若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b+-=--______﹒ 【答案】35解：113-=a b 两边都乘ab ，得： 3b a ab -=①2322a ab b a ab b+--- ()232a b ab a b ab-+=-- ()232a b ab a b ab-+=--② 将①代入②得：6333==3255ab ab ab ab ab ab -+---- 故答案为：35﹒12．若分式222x x x ---的值为零，则x 的值为_______． 【答案】1- 解：∵分式222x x x ---的值为零， ∴220x x --=且20x -≠，解方程得，11x =-，22x =； 解不等式得，2x ≠，∴1x =-故答案为：1-．13．已知整数a 满足13a ，则分式2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值为________． 【答案】15 2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭ =()()222a a a a a -⋅+- =12a +， 由题意0a ≠且240a -≠，所以0a ≠且2a ≠且2a ≠-，又∵整数a 满足13a， ∴3a =，当3a =时，原式=11325=+， 故答案为：15．14．计算2的结果等于_________．【答案】14-解：2222=-⨯122=-14=-故答案为：14-15．计算21)+=__．【答案】3解：原式21=+-3=．故答案为：3．16．化简：23a b=___________【答案】-解：要使该二次根式有意义，则有10 9ab->22033ab a b a b∴∴====-＜故答案为：-17____．1解：原式===1=．1．18．若有理数x ，y ，z 满足（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）＝36，则x +2y +3z 的最小值是_____．【答案】﹣8解：当x ＜﹣1时，|x +1|+|x ﹣2|＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1＞3，当﹣1≤x ≤2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1﹣（x ﹣2）＝3，当x ＞2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1＞3，所以可知|x +1|+|x ﹣2|≥3，同理可得：|y ﹣1|+|y ﹣3|≥2，|z ﹣3|+|z +3|≥6，所以（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）≥3×2×6＝36，所以|x +1|+|x ﹣2|＝3，|y ﹣1|+|y ﹣3|＝2，|z ﹣3|+|z +3|＝6，所以﹣1≤x ≤2，1≤y ≤3，﹣3≤z ≤3，∴x +2y +3z 的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x +2y +3z 的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．已知|2||1|9x x ++-=，则x y +的最小值为__．【答案】3-．|2||1|9x x ++-=|2||1||1||5|9x x y y ∴++-+++-=，|2||1|x x ++-可理解为在数轴上，数x 的对应的点到2-和1两点的距离之和；|1||5|y y ++-可理解为在数轴上，数y 的对应的点到1-和5两点的距离之和，∴当21x -，|2||1|x x ++-的最小值为3；当15y -时，|1||5|y y ++-的最小值为6， x 的范围为21x -，y 的范围为15y -，当2x =-，1y =-时，x y +的值最小，最小值为3-．故答案为：3-．20．已知式子|x+1|+|x ﹣2|+|y+3|+|y ﹣4|＝10，则x+y 的最小值是_____．【答案】4- 解：∴123410x x y y ++-+++-=，∴12x -≤≤，34y -≤≤，∴x y +的最小值为4-，故答案为：4-．21．（1）计算：1031(2)|2|(2)2-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：221224x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．【答案】（1）9；（2）24x +；5解：（1）原式1228=++9=-（2）原式()22422x x x x ⎛⎫=+- ⎪+-⎝⎭， (2)2(2)x x x =-++24x =+．当1x =-时，原式2(1)4=-+5=．221．【答案】3解：原式3= 33323=23．已知a ，b ，c 满足2|3|(5)0a c +-=，请回答下列问题：（1）直接写出a ，b ，c 的值．a =_______，b =_______，c =_______．并在数轴上表示．（2）a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，若点A 以每秒1个单位长度向右运动，点C 以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A ，C 两点相距几个单位长度．②几秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒解：（1）∵2|3|(5)0a c +-=，∴a +3=0，b -1=0，c -5=0，∴a =-3，b =1，c =5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点A 表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C 表示的数为：5-3×1.5=0.5，0.5-（-1.5）=2，∴A ，C 两点相距2个单位长度；②设t 秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度，若点A 在点C 左侧，则-3+t +4=5-3t ，解得：t =1；若点A 在点C 右侧，则-3+t =5-3t +4，解得：t =3，综上：1秒或3秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2，当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6，∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）；当-2＜x ＜4时，∴-（x -4）+（x +2）=6，∴-x +4+x +2=6，∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3；当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6，∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．25．（1）已知250x x -=，求代数式2210x x -（2）化简：226993x x x x x ++---．【答案】（1（2）33x -.解：（1）由已知得：25x x -=，∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-．26．先化简，再求值：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中x =【答案】1x x-解：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ ()2122111x x x x x x -+-+=⨯+- ()()21111x x x x x -+=⨯+- 1x x-=．当x =55==． 27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为3-，计算“A B +”的结果；（2）若3a =+“A B -”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）2223a a --+；（2）0．解：（1）()2246323A B a a a a +=++-+--2246323a a a a =+-+--2223a a =--+；（2）设污染的数字为m ，∴()()224623A B a a ma a -+-=+-- 224623a a ma a =+--+-2269a a ma =+--()223a ma =--∵3a =+∴()()223333a -=+=是整数 ∵A B -的结果是整数∴2ma 是整数∵(22312a =+=+m 是整数 ∴0m =即存在整数0满足题意．28．（1）计算：12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π（2）先化简再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =． 【答案】（1）2；（2）22x x -+，1 解：（1）12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π13212=-++--+ 131212=-++--+2=（2）2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ 23(1)(1)111(2)x x x x x x +-+⎡⎤=-⋅⎢⎥+++⎣⎦=223(1)11(2)x x x x --+=⋅++ 2(2+)(2)11(2)x x x x x -+=⋅++ 22x x -=+，当2x =时，原式1==．29．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值． 【答案】22a a +，1 解：242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ 2242a a a a -=⨯- 2(2)(2)2a a a a a +-=⨯-22a a =+．∵2210a a +-=，∴221a a +=．∴原式221a a =+=．30．计算：（1）()()()345222a a a ⋅÷- （2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）2201901(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 【答案】（1）4a -；（2）6a ；（3）7()x y -；（4）9-．解：（1）()()()345222a a a ⋅÷-， = ()6810a a a⋅÷-，=6810a +--，=4a -； （2）()3242(3)2a a a -⋅+-，=24698a a a ⋅-，=6698a a -，=6a ； （3）34()()x y y x -⋅-，= 34()()x y x y -⋅-，（4）2 201901 (1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，=119 -+-，=9-．。
2019年高三理数原创测试卷(新课标版)：专题13 11月第二次周考【第七章 立体几何测试一】(考试版)
绝密★启用前【学易周考】2019年11月第二周立体几何测试一【理数】第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【2019年全国大联考3(课标Ⅱ卷)】如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为A ，则 （ ）A AB ．3A ∈C ．AD ．A2．【江西省新余市第一中学2019届高三上学期调研考试（一）（开学考试）数学（理）试题】 已知,m n 是两条直线，,αβ 是两个平面， 则下列命题中不正确的是 （ ）A ．若,m m βα⊥⊂，则αβ⊥B ．若,,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥ C ．若,,n m αβαβ⊥⊥，则m n D ．若,,m n n ααβ，则m β3．【2019届河北省石家庄市高三二模】 在正四棱锥ABCD V -中（底面是正方形，侧棱均相等），6,2==VA AB ，且该四棱锥可绕着AB 作任意旋转，旋转过程中∥CD 平面α．则正四棱锥ABCD V -在平面α内的正投影的面积的取值范围是 （ ）A ．]4,2[B ．]4,2(C ．]4,6[D ．]62,2[4．【2019全国大联考2（课标I 卷）】我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为 （ ）A ．1998立方尺B ．2019立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺5．【2019全国大联考1（课标I 卷）】直三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，三棱柱的，若P 是111A B C ∆中心，且三棱柱的体积为94，则PA 与平面ABC 所成的角大小是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 6．【2019押题卷1（课标2卷）】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ，则正方体棱长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，且βα⊥，则下列结论一定正确的是 （ ） A ．m n ⊥ B ．//m n C ．m 与n 相交 D ．m 与n 异面8．【2019押题卷1（课标1卷）】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72C ．D ．929．【2019全国大联考2(山东卷)】如图为某几何体的三视图，则其体积为 （ ）A ．243π+B ．243π+C ．43π+D ．43π+10．【河北衡水中学2019届高三摸底联考，6】在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC SA SC SB ⊥======，则该四面体外接球的表面积是 （ ）A ．BC ．24πD ． 6π11．【2019年湖南师大附中高三三模】如图，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ）A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．四边形EFGH 可能为梯形12．【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】如图1，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,,M N Q 分别是线段1111,,AD B C C D 上的动点，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -四个面中面积最大的是（ ）A ．MNQ ∆B ．BMN ∆C ．BMQ ∆D ．BNQ ∆第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．在一个平行六面体中，以A 为端点的三条棱长都相等，均为2，且,,AD AB AA '的夹角均为30︒，那么以这个顶点A 为端点的平行六面体的体对角线的长度为__________．14．【2019年江西南昌高三二模】已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．15．【2019全国大联考3（课标Ⅱ卷）】在正四棱锥V ABCD -内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．16．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11D A 始终与水面EFGH 平行；④当1AA E ∈时，BF AE +是定值．其中正确说法是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图为一个几何体的三视图（1）画出该几何体的直观图．（2）求该几何体的的体积．（3）求该几何体的的表面积．18．【2019押题卷1（山东卷）】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上．（1）求证：BF AD ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（3）若=C AP D --的余弦值．19．【2019届海南省农垦中学高三考前押题】（本小题满分12分）已知四棱锥BCDE A -，其中⊥=====CD CD BE AC BC AB ,2,1面ABC ，CD BE ∥，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：∥EF 面ABC ；（Ⅱ）求证：面⊥ADE 面ACD ；（Ⅲ）求四棱锥BCDE A -的体积．20．【2019届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】（本小题满分12分）如图，四棱锥A BCDE -中，CD ⊥平面ABC ，BE ∥CD ，AB =BC CD =，AB BC ⊥，M 为AD 上一点，EM ⊥平面ACD ．（Ⅰ）求证：EM ∥平面ABC ；（Ⅱ）若22CD BE ==，求点D 到平面EMC 的距离．21．（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 是C 60∠AB =的菱形，侧面D PA 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，M 为C P 的中点．（I ）求证：C D P ⊥A ；（II ）求直线DM 与平面C PA 所成的角的正弦值．22．【2019届北京市石景山区高三上学期期末考】（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ；（2）求证：BC ⊥平面PBD ；（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在，求PQ PC 的值；若不存在，请述明理由．A B CD EP。
初升高数学衔接教材 第01章 第04节 充分条件与必要条件(解析版)
第一章第四节充分条件与必要条件一、电子版教材二、教材解读知识点一 充分条件、必要条件的判断1.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
2.若p ⇒q ，但qp ，则称p 是q 的充分不必要条件． 3.若q ⇒p ，但pq ，则称p 是q 的必要不充分条件． 4.若p q ，且q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．【例题1】（2020·广东省增城中学高二期中）已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>,命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>,因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.【例题2】（2020·全国高一）“3m ≤”是“2m ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“2m ≤”⇒“3m ≤”，反之不成立，因此“3m ≤”是“2m ≤”的必要不充分条件．【例题3】（2020·天津一中高二期末）设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2⇒()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【例题4】（2020·全国高一）“1x >且2y >”是“3x y +>”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1x >且2y >时，3x y +>成立，反过来，当3x y +>时，例：4,0x y ==，不能推出1x >且2y >.所以“1x >且2y >”是“3x y +>”的充分不必要条件.知识点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用1.记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，若p 是q 的必要不充分条件，则B A .2.记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．【例题5】（2019·辛集市第二中学高二期中）若“满足：20x p +<”是“满足：220x x -->”的充分条件，求实数p 的取值范围.【解析】由20x p +<，得2p x <-，令2p A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭， 由220x x -->，解得2x >或1x <-，令{}21B x x x =><-或，由题意知A B ⊆时，即12p -≤-，即2p ≥， ∴实数p 的取值范围是[)2,+∞.【例题6】（2020·四川省雅安中学高二月考（文））若关于x 的不等式()22210x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B ． （1）求集合A ；（2）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解析】（1）原不等式可化为：()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+，所以集合{}|1A x a x a =≤≤+；（2）不等式322x-≥可化为：321222x x x --=≥--0，等价于()()212020x x x --≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得122x ≤<， 所以集合1|22B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭， 因为B 是A 的必要不充分条件，所以A B ， 故1212a a ⎧≥⎪⎨⎪+<⎩，解得112a ≤<.知识点三 充要条件的证明1.一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．概括地 说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．【例题7】（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+ ()()221a b a ab b =+--+ 0=．（2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠． 因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．【例题8】（2020·上海高一课时练习）求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【解析】 (1)必要性：因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【例题9】（2020·全国高一课时练习）证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【解析】证明：（1）充分性.在等腰梯形ABCD 中，AB DC =，ABC DCB ∠=∠，又∵BC CB =，∴BAC CDB ≅，∴AC BD =.（2）必要性.如图，过点D 作//DE AC ，交BC 的延长线于点E .∵//AD BE ，//DE AC ，∴四边形ACED 是平行四边形.∴DE AC =.∵AC BD =，∴BD DE =，∴1E ∠=∠.又∵//AC DE ，∴2E ∠=∠，∴12∠=∠.在ABC 和DCB 中，,21,,AC DB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DCB ≅.∴AB DC =.∴梯形ABCD 为等腰梯形.由（1）（2）可得，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.三、素养聚焦1．“220a b +>”是“0ab ≠”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】当0a =，0b ≠时，满足220a b +>，但0ab =，所以“220a b +>”是“0ab ≠”的非充分条件；反之，当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，所以20a >且20b >，所以220a b +>，所以“220a b +>”是“0ab ≠”的必要条件.2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2()0a b a -<一定可得出a b <；但反过来，由a b <不一定得出2()0a b a -<，如0a =，故选A.3．“1x >-”是“20x +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】202(1,)x x +>∴>--+∞ (2,)-+∞所以“1x >-”是“20x +>”的充分不必要条件4．3x >是3x >的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】33x x >⇒>或3x <-. 即3x >,x ＜-3或3x >；反之33x x >⇒>. 所以3x >是3x >的必要非充分条件.5．下列各组命题中，满足α是β的充要条件的是( ) A ． :||ab ab α=，:0ab β≥0B ．:α数a 能被6整除，:β数a 能被3整除C ．:a b α<，:1a bβ< D ．若a ，b R ∈，22:0a b α+≠，:,a b β都不为0 【答案】A 【解析】对于选项A,因为:||ab ab α=等价于,a b 同号或至少一个为0,等价于:0ab β≥0，所以αβ⇔，则A 正确；对于选项B,:β数a 能被3整除,当9a =，αβ⊂,即α是β的不必要条件，故B 错误；对于选项C,当4,2a b =-=-时，21a b=>，故βα⊂，α是β的不充分条件，故C 错误； 对于选项D,若a ，b R ∈，22:0a b α+≠，当0,1a b ==时，βα⊂，α是β的不充分条件，故D 错误.6．“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】命题若“3x y +≠”，则“1x ≠或2y ≠”的等价命题是：若“1x =且2y =”，则“3x y +=”，当“1x =且2y =”成立时，显然3x y +=成立，当3x y +=时，不一定能推出1x =且2y =，例如2,1x y ==，满足3x y +=，但1x =且2y =不成立，因此“1x =且2y =”是“3x y +=”的充分不必要条件，所以“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的充分不必要条件.7．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<，因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.8．设R x ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，即2x ≤， 11x -≤，即111x -≤-≤，02x ≤≤，因为集合[]0,2是集合(],2-∞的真子集，所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件.9．0x y ⋅≠是指（ ）A ．0x ≠且0y ≠B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 中至少有一个不为零D ．0x y ≠≠【答案】A【解析】0x y ⋅≠时0x ≠且0y ≠,0x ≠且0y ≠时0x y ⋅≠0x ≠或0y ≠时x y ⋅可以为零；x ，y 中至少有一个不为零时x y ⋅可以为零；0x y ⋅≠时x y ，可以相等；10．对于集合A ，B ，“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的( ) A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】因为A B A A B ⋂⊆⊆⋃， 所以“A B ≠”能推出“A B A B ≠⋂⊂⋃”，故充分； “A B A B ≠⋂⊂⋃” 能推出“A B ≠”，故必要； 所以“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的充要条件11．若:p “01b <<”，:q “21b <”，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为2111b b <⇔-<<，所以p 是q 的充分不必要条件.12．“1x >”是“21x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.13．设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当3x >时，291x >>，取2x =，则241x =>，当23<，故“3x > ”是“21x > ”的充分不必要条件，故选A.14．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】， 因此是的必要不充分条件．15．若“01x <<”是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),10,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以A ⊂B ，所以0,{21a a ≤+≥，解得10a -≤≤.故选A.16．()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵()()220x x -+>，∴22x -<<，又[0,1]⊂(-2,2)，∴p 成立是q 成立的必要不充分条件，17．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤.18．设a R ∈，则“2a >”是“24a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2a >，则必有24a >，故是充分的，若24a >，则2a >或2a <-，故不必要．因此应是充分不必要条件．19．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值的充要条件是( )A ．240b ac ->B ．240b ac -C ．20,40a b ac >-<D ．20,40a b ac -<【答案】C【解析】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值，则函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象开口向上，且与x 轴没有交点，即20,40a b ac >-<.20．若集合{}23,A a =，{}2,4B =，则“2a =”是“{}4A B ⋂=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“2a =”{}3,4A ⇒=,又{}2,4B =,⇒ “{}4A B ⋂=”；但当2a =-时仍然有{}4A B ⋂=,故“{}4A B ⋂=”不能推出 “2a =”.∴“2a =”是“⇒”的充分不必要条件.21．若p 是r 的充分非必要条件，q 是s 的必要非充分条件，且r 是s 的充分非必要条件，则p 是q 的( )条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【解析】因为p 是r 的充分非必要条件，q 是s 的必要非充分条件，且r 是s 的充分非必要条件， 即p r ⇒，r 不能推导p ；r s ⇒，s 不能推导r ；s q ⇒，q 不能推导s ；所以p q ⇒， q 不能推出p ，即p 是q 的充分非必要；22．设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B ．23．“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当,x y 中至少有一个小于零时，比如2,5x y =-=，此时30x y +=>，0x y +<不成立；反过来一定成立，假设结论不成立，则,x y 都不小于0，那么0x y +≥，与已知0x y +<矛盾，那么假设不成立，即,x y 中至少有一个小于零成立，所以“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的必要不充分条件.24．“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为2320x x -+>，所以1x <或2x >，所以“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的必要不充分条件.25．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”， :q “0x ∀>，33823x m x +≥-”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减，所以24m -≥--，即8m ≥-．因为0x ∀>时，33828x x +≥=， 所以“0x ∀>，33823x m x +≥-”等价于38m -≤，即5m ≥-， 因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞，所以p 是q 的必要不充分条件．26．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由1x >可得21x >成立，反之不成立，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件27．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，28．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【解析】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立 只需2min (2)2a x ≤=， 所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A.29．（多选题）对任意实数a ,b ,c ,下列命题中正确的是（ ）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“5a <”是“3a <”的必要条件E.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】BDE【解析】A 中“a b =”⇒“ac bc =”为真命题，但当c ＝0时，“ac bc =”⇒“a b =”为假命题， 故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 为假命题；B 中“a ＋5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题，“a 是无理数”⇒“a ＋5是无理数”也为真命题， 故“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题；C 中“a b >” ⇒ “22a b >” 为假命题，“22a b >” ⇒“a b >”也为假命题，故“a b >”是“22a b >”的即不充分也不必要条件，故C 为假命题；D 中{|3}a a <是{|5}a a <的真子集，故“5a <”是“3a <”的必要条件，故D 为真命题．E 中当c ＝0时，“a b >” ⇒ “22ac bc >”为假命题，“22ac bc >” ⇒ “a b >”为真命题，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件，故E 为真命题；30．（多选题）下列说法中正确的是（ ）A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件【答案】ABC【解析】由A B B =得B A ⊆，所以“B =∅”可推出“A B B =”，反之不成立，A 选项正确； 解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，所以，“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”，B 选项正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，C 选项正确； 解方程1x =，得1x =±，则“1x =”是“1x =”必要条件，D 选项错误.31．（多选题）下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a <”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 32．（多选题）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要条件；④“a b >”是“22a b >”的充分条件.其中真命题是（ ）.A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】BC【解析】①由“a b =”可得ac bc =，但当ac bc =时，不能得到a b =，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当5a +是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确；③当4a <时，不能推出3a <；当3a <时，有4a <成立，故“4a <”是“3a <”的必要不充分条件，故③正确.④取1a =，2b =-，此时22a b <，故④错误；。
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几何部分验收A卷 1．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8 【答案】A 【解析】
在Rt 中，DE=3，AE=6，则 ，且 ，即 ， 因为,所以. 由于 故选A. 2．如图，下列条件之一能使平行四边形是菱形的为（ ） ①；②；③；④．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【答案】A 【解析】 ①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； D、▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 故选：A．
3．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．5 B．43 C．45 D．20 【答案】C 【解析】 ∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），
∴AO=2，OB=1，ACBD
∴由勾股定理知：2222BOO2A+51AB ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=DC=BC=AD=5 ∴菱形ABCD的周长为：45． 故选：C． 4．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴=S正方形ABCD=， 故选：B． 5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是 （ ）
A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（）、（﹣，4） D．（）、（﹣，4） 【答案】B 【解析】 如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作
BF⊥CG于点F， 因为四边形AOBC为矩形，所以CB∥AO，CB＝AO，因为BF⊥CG，AD⊥x轴，所以∠ADO＝∠CFB＝90°，
因为CB∥AO，DO∥FB，所以∠AOD＝∠CBF，在△AOD和△CBF中，，所以△AOD≌△CBF（AAS），因为点A的坐标为（－2,1），所以AD＝CF＝1，DO＝FB＝2，因为∠BFG＝∠FGE＝∠BEO＝90°，所以四边形BFGE是矩形，所以GE＝BF＝2，BE＝FG，因为点C的纵坐标为4，所以CG＝4，BE＝FG＝CG－CF＝4－1＝3，因为∠DAO＋∠AOD＝90°，∠AOB＝90°，所以∠AOD＋∠BOE＝90°，所以 ∠OAD＝∠BOE，同理可得∠AOD＝∠OBE，所以△AOD∽△OBE，所以，即，解得：OE＝，所以GO＝GE－OE＝2－，所以点B的坐标为（，3）点C的坐标为（－，4），故答案选B. 6．如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 连接OE，
∵S△ADC
=AD•CD=×2×2=2，
S扇形OCE=π×12=，
S△COE
=×1×1=，
∴S弓形CE=，
∴阴影部分的面积为2﹣（）=． 故选：D． 7．如图，平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则这个平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．22 B．26 C．36 D．123 【答案】D 【解析】 如图
∵BE⊥CD，BF⊥AD， ∴∠BEC=∠BFD=90°， ∵∠EBF=60°， ∵∠D+∠BED+∠BFD+∠EBF=360°， ∴∠D=120°， ∵平行四边形ABCD， ∴DC∥AB，AD∥BC，∠A=∠C ∴∠A=∠C=180°-120°=60°， ∴∠ABF=∠EBC=30°， ∴AD=BC=2EC=4
在△BEC中由勾股定理得：BE=23， 在△ABF中AF=4-1=3， ∵∠ABF=30， ∴AB=6，
∴平行四边形ABCD的面积是AB•BE=6×23=123． 故答案为：123 8．在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 【答案】D 【解析】 A. ∵AD⊥BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确； B. ∵AD垂直平分BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确； C. ∵BD=CD与四边形AEDF是菱形没有关系，故不正确； D. ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠BAD=∠ADF. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CAD=∠ADF, ∴AF=DF, ∴四边形AEDF是菱形. 故选D.
9．已知一个正六边形的边心距为3，则它的外接圆的面积为（ ） A． B．3 C．4 D．12 【答案】C 【解析】 解：如图，六边形ABCDEF为正六边形，作OH⊥AB于H，连接OA， ∴OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
∴OH=3，
在RtAOHn中，∠AOH=1806=30°， ∴cos∠AOH=OH33OAOA2， ∴OA=2，
∴它的外接圆的面积=2πOA（）
=4π．
故选：C．
10．下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 根据负数没有平方根，可知①不正确；根据单项式的意义，可知次数为所有字母因式的指数和，故②正确；
根据分数的基本性质，可知将方程中的分母化为整数，得，故③不正确；根据两点确定一条直线，可知平面内有4个点，过每两点画直线，条数不确定：当四个点在同一直线上时，只有一条；当只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，故④不正确． 故选：A. 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为__． 【答案】30cm2． 【解析】
∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30． 12．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是 ． 【答案】1＜c＜5． 【解析】 由题意得，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5． 13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为 cm．
【答案】18． 【解析】 如图所示：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，
∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BD∥HK，且BD=HK， ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2=6， ∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18． 故答案是：18． 14．已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是60 cm，则这块扇形铁皮的半径是_______________.
【答案】40cm 【解析】 ∵圆锥的底面直径为60cm， ∴圆锥的底面周长为60πcm， ∴扇形的弧长为60πcm， 设扇形的半径为r，
则270180r=60π，
解得：r=40cm， 故答案为:40cm． 15．如图1，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为点P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则a2+b2＝5c2，利用这一性质计算．如图2，在▱ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，EB⊥EG于点E，AD
＝8，AB＝25，则AF＝_____．