上海市青浦高级中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
2019-2020学年上海市青浦高级中学高一上学期十月质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市青浦高级中学高一上学期十月质量检测数学试题一、单选题1．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ． A.11a b< B.22a b >C.a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D【解析】通过反例1a =，1b =-，0c =可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确. 【详解】若1a =，1b =-，则1111a b=>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c =，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥ 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a bc c ∴>++，则D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.2．下列命题中为真命题的是( ) ． A.“若1x =，则220x x +-=”的否命题 B.“若x y >，则x y >”的逆命题. C.“若1x >，则21x >”的否命题 D.“若1x >，则1x >”的逆否命题【答案】B【解析】A 选项：由其逆命题为假，可知否命题为假；B 选项：写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；C 选项：写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；D 选项：通过判断原命题为假，可知其逆否命题为假.【详解】A 中，“若1x =，则220x x +-=”的逆命题为“若220x x +-=，则1x =”当220x x +-=时，2x =-或1x =，可知逆命题为假逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 ∴原命题的否命题为假，A 错误；B 中，原命题的逆命题为“若x y >，则x y >”当0y ≥时，y y =，则x y >，命题成立；当0y <时，0y >，又x y > 0x ∴> 0x y ∴>>，命题成立∴原命题的逆命题为真，B 正确；C 中，原命题的否命题为“若1x ≤，则21x ≤”当2x =-时，241x => ∴原命题的否命题为假，C 错误；D 中，若1x >，则1x >或1x <-，可知原命题为假原命题与其逆否命题同真假 ∴原命题的逆否命题为假，D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.3．设全集U =R ，集合(){}|0P x f x ==,(){}0Q x g x ==,(){}|0H x h x ==，则方程()()()220f x g x h x +=的解集是( ) ． A.U P Q C H ⋂⋂ B. P Q ⋂ C.P Q H ⋂⋂ D.P Q H ⋂⋃【答案】A【解析】由方程有意义可知分母不等于零，得到解集为U C H ；由分子等于零可得()0f x =且()0g x =，解集为P Q ；上述条件需同时成立，取交集即可得到结果.【详解】方程有意义 ()0h x ∴≠，解集为U C H()()220,0f x g x ≥≥ ()()220f x g x ∴+=需()20f x =且()20g x =即()0f x =且()0g x =，解集为PQ综上所述：方程()()()220f x g x h x +=的解集为：U P Q C H 故选：A 【点睛】本题考查方程组解集的求解、集合的基本运算，关键是明确本题中方程成立的基本要求，即分母不为零且分子为零，从而利用交集运算求得结果. 4．已知121212,,,,,a a b b c c 均为非零实数，则“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的( ) ．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】通过1112221a b c a b c ===-可知所得两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例210x x ++>与210x x -+>解集均为R ，可知必要性不成立，从而得到最终结论. 【详解】若1112221a b c a b c ===-，则221112220a x b x c a x b x c ++=--->，即22220a x b x c ++<与22220a x b x c ++>的解集不同，故充分性不成立若2211110a x b x c x x ++=++>，2222210a x b x c x x ++=-+>不等式解集均为R ，此时111222a cb ac b =≠，故必要性不成立 综上所述：“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明.二、填空题 5．已知集合{86|A x N x=∈-且}x N ∈，则用列举法表示集合A =__________． 【答案】{}2,4,5【解析】当6x >时，806x <-，必不是自然数，依次代入0,1,2,3,4,5x =，可验证86x-是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当0x =时，84603N =∉-；当1x =时，88615N =∉-； 当2x =时，8262N =∈-；当3x =时，88633N =∉-； 当4x =时，8464N =∈-；当5x =时，8865N =∈- 当6x >且x ∈N 时，806x <- 86N x∴∉- {}2,4,5A ∴=故答案为：{}2,4,5 【点睛】本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题.6．已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()6,-+∞【解析】将1x =代入不等式即可求得a 的范围. 【详解】1A ∈ 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞故答案为：()6,-+∞ 【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 7．已知0,0,0a b c d e >><<<，则ea c-__________e b d -．【答案】>【解析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11a cb d<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果. 【详解】0c d <<Q 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->-> 11a cb d∴<-- 0e < e ea cb d∴>--故答案为：> 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.8．已知集合{|A x y ==，集合{}22B y y x ==+，则A B =__________．【答案】[)1,+∞【解析】根据函数定义域和值域的求解方法可求得集合A 和集合B ，由并集定义得到结果. 【详解】{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}[)22,B y y =≥=+∞[)1,A B ∴=+∞故答案为：[)1,+∞ 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，关键是能够通过函数定义域和值域的知识求得两个集合，属于基础题.9．命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真【解析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论. 【详解】命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 的逆否命题为 “已知,x y R ∈，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 是真命题，故答案为真. 【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.10．如果全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2A B ⋂=，{}1U UA B ⋂=痧，(){4,6}U C A B =，()U A B ⋂=ð______．【答案】{3,5}【解析】此题考查了集合的交、并、补的运算,结合韦恩图逐步填空可得解. 【详解】 解：{}2A B =,2,2A B ∴∈∈{}1U UAB =痧,1,1A B ∴∉∉(){4,6}U C A B =,{4,6},{4,6}A B ∴⊄⊂依题意填充韦恩图如图所示:{2,3,5}A ∴={2,4,6}B =(){2,3,5}{1,3,5}{3,5}UAB ==ð故答案为：{3,5} 【点睛】本题考查了此题考查了集合的交、并、补的运算,熟练掌握各自的定义是解题的关键,借助韦恩图解题更简单.11．写出1x >的一个必要非充分条件__________ 【答案】0x >【解析】将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解. 【详解】令{}|1A x x =>，根据题意将问题转化为写出一个集合,B 使A B ≠⊂，所以可以写集合{}|0B x x =>.故答案为：0x >（不唯一） 【点睛】本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.12．已知集合2560{|}A x x x =-+=，{}10|B x mx =+=，且A B B =，则实数m 组成的集合为__________． 【答案】110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】解方程求得集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果. 【详解】()(){}{}2302,3A x x x =--==当0m =时，B =∅，满足A B B =当0m ≠时，1B m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭A B B = 12m ∴-=或13m-=，解得：12m =-或13- ∴实数m 组成的集合为110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭故答案为：110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成求解错误.13．已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 【详解】令10x -=，解得：1x =①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：14a > 此时集合只有一个元素1，满足题意②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14a =2104x x ∴-+=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足元素之和为1 ③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：14a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误.14．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．【答案】1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合. 【详解】由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x =∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.15．已知{|},M x x a a Z b Z ==+∈∈，则下列结论中正确的序号是__________．M ；Z M ⊆②；③若12,x x M ∈，则12 x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈；⑤若*,x M n N ∈∈，则n x M ∈. 【答案】①②③⑤【解析】①中分母有理化后即可判断出①正确； ②中令0b =即可得到Z M ⊆，②正确；③中()(121212x x a a b b +=+++12x x M +∈，③正确； ④中通过反例1x =，22x =，即可验证出④错误；⑤根据展开式通项，可判断出n x c =+，,c d Z ∈，可得⑤正确 【详解】①3M ==+，①正确； ②当0b =时，{},M x x a a Z ==∈，可知Z M ⊆，②正确； ③令11xa b =+22x a b =+1212,,,a a b b Z ∈ 则()(121212x x a a b b +=+++12a a Z +∈，12b b Z +∈ 12x x M ∴+∈，③正确；④令1x =，22x =，满足12,xx M ∈，则122x M x =，④错误； ⑤(nnx a=+，展开式通项为：(rrrn rr n rrnnC aC ab--=当r 为偶数时，rZ ∈；当r 为奇数时，1r r -==又rn rrn C ab Z -∈ (na c ∴+=+,c d Z ∈，即nx M ∈，⑤正确故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.16．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|x x β<或}x γ>(0)βγ<<，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为__________．【答案】()(),11,βγ-∞+++∞【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可得0a >，baβγ+=-且c aβγ=，由此可将所求不等式化为()()2112x x x βγβγ+-+-+>，解不等式即可得到结果. 【详解】20ax bx c ++>的解集为{x x β<或}x γ>,βγ∴为方程20ax bx c ++=的两根且0a > b a βγ∴+=-，caβγ=()b a βγ∴=-+，c a βγ=则不等式可化为：()()()2112a x a x a ax βγβγ+-+-+>0a > ()()2112x x x βγβγ∴+-+-+>即()()2210x x βγβγβγ-++++++> ()()110x x βγ∴----> 解得：1x β<+或1x γ>+ ∴不等式解集为：()(),11,βγ-∞+++∞故答案为：()(),11,βγ-∞+++∞【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，涉及到一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系、韦达定理的运用等知识，关键是能够通过解集确定方程的两根及二次函数开口方向.三、解答题17．设集合{}23,1,A a a=-+，{}221,3,1B a a a =--+，若{}3A B ⋂=-,试求a 与A B .【答案】1a =-，{}3,0,1,2,4A B ⋃=--【解析】根据交集结果可令B 中元素21a -、3a -分别等于3-，求得a 后，计算出集合,A B ，舍掉交集结果不符的情况，得到a ；再根据并集运算求得A B .【详解】①若213a -=-，则1a =-此时{}3,0,1A =-，{}3,4,2B =-- {}3AB ∴=-，满足题意{}3,0,1,2,4A B ∴=--②若33a -=-，则0a =此时{}3,1,0A =-，{}1,3,1B =-- {}3,1A B ∴=-，不满足题意综上所述：1a =-，{}3,0,1,2,4A B =--【点睛】本题考查集合运算中的根据交集运算结果求解参数值、并集运算等知识；此类型题易错点是忽略集合中元素的互异性、交集运算结果的一致性，导致求解错误.18．已知命题p :关于x 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根，命题q :关于x 的方程24420x x m ++-=无实根.若命题p q 、中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(][)1,35,+∞【解析】根据一元二次方程根的分布得到不等关系，求解出命题,p q 分别为真时m 的取值范围；令p 真q 假、p 假q 真分别求得结果，取并集得到最终结果. 【详解】若命题p 为真，则()1641010m m ⎧∆=-->⎨->⎩，解得：15m <<若命题q 为真，则()161620m ∆=--<，解得：3m > 若p 真q 假，则13m <≤；若p 假q 真，则5m ≥m ∴的取值范围为：(][)1,35,+∞【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的情况求解参数范围的问题，属于常考题型.19．关于x 的不等式组()()22210432130x ax a a x a x ⎧++≥⎪⎨-+---<⎪⎩的解集为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】[]1,2【解析】将不等式组解集为R 转化为两个不等式均恒成立的问题；可通过∆和开口方向得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】不等式组解集为R 210x ax ∴++≥和()()22432130a a x a x -+---<恒成立若210x ax ++≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤ 若()()22432130a a x a x -+---<恒成立当1a =时，()()224321330a a x a x -+---=-<恒成立，满足题意当3a =时，()()2243213430a a x a x x -+---=--<不恒成立，不合题意当1a ≠且3a ≠时，()()2224304112430a a a a a ⎧-+<⎪⎨∆=-+-+<⎪⎩，解得：512a << ∴若()()22432130a a x a x -+---<恒成立，51,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴若不等式组解集为R ，[]1,2a ∈【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够明确一元二次不等式恒成立实际是与开口方向和判别式有关；易错点是忽略对二次项系数是否为零的讨论.20．不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集为B .(1)求集合A 、集合B ;(2)若集合A B Z ⋂⋂中有2019个元素，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(),12,A =-∞-⋃+∞；55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）[)(]2021,20202021,2022-【解析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合A ；分别在52a >、52a <和52a =三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合B ； （2）将问题转化为则AB 中包含2019个整数；分别在52a >、512a ≤<、21a -≤<和2a <-四种情况下，确定A B 中整数个数，由此得到a 的范围.【详解】（1）()()22210x x x x --=-+>，解得：1x <-或2x >()(),12,A ∴=-∞-+∞()()()22525250x a x a x x a +++=++<当52a -<-，即52a >时，52a x -<<-；当52a =时，不等式解集为∅； 当52a ->-，即52a <时，52x a -<<- 55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）若A B Z ⋂⋂有2019个元素，则A B 中包含2019个整数①当52a >时，512a -<-<-，(),1A B a =-- [)2022,2021a ∴-∈--，即(]2021,2022a ∈②当512a ≤<时，512a -<-≤-，5,2AB a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则AB 中不包含2019个整数，不合题意③当21a -≤<，即12a -<-≤时，5,12AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则A B 中不包含2019个整数，不合题意④当2a <-，即2a ->时，()5,12,2AB a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭包含1个整数 ()2,a ∴-需包含2018个整数 (]2020,2021a ∴-∈，即[)2021,2020a ∈--综上所述：[)(]2021,20202021,2022a ∈-【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、根据集合中元素个数求解参数范围、集合运算中的交集运算以及常用数集等知识，属于中档题.21．已知由自然数组成的1n -元集合{}()1,2,3,4,,11A n n =⋅⋅⋅->，非空集合B A ⊆,且对任意的a B ∈，都有n a B -∈. (1)当5n =时，求所有满足条件的集合B ;(2)当9n =时，求所有满足条件的集合B 的元素总和;(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5.当21n =时，求所有满足条件的集合B 的“交替和”的总和. 【答案】（1）{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4；（2）288；（3）9192⨯【解析】（1）确定{}1,2,3,4A =后可知B 有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；（2）确定{}1,2,3,4,5,6,7,8A =可知B 有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；（3）由3n =、5n =和7n =时交替和总和的规律可得到当21n k =+时，交替和总和为()1212k k --⨯，代入10k =即可求得结果.【详解】（1）当5n =时，{}1,2,3,4A =B 是A 的非空子集，且a B ∈时，5a B -∈ ∴B 中有偶数个元素B ∴中有两个元素时，{}1,4B =或{}2,3；B 中有四个元素时，{}1,2,3,4B =∴所有满足条件的集合B 有：{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4（2）当9n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8A =B 是A 的非空子集，且a B ∈时，9a B -∈ ∴B 中有偶数个元素当B 中有两个元素时，元素之和为：()()()()1827364536+++++++= 当B 中有四个元素时，元素之和为：629129108⨯⨯=⨯= 当B 中有六个元素时，元素之和为：439129108⨯⨯=⨯= 当B 中有八个元素时，元素之和为：3694=⨯∴所有满足条件的集合B 的元素总和为：3636108108288+++=（3）当3n =时，{}1,2B =，交替和的总和为：()332211322--==-⨯当5n =时，由（1）知，交替和的总和为：()5323126522-++==-⨯当7n =时，{}1,6B =或{}2,5或{}3,4或{}1,2,5,6或{}1,3,4,6或{}2,3,4,5或{}1,2,3,4,5,6，交替和的总和为：()732531242320722-++++++==-⨯……以此类推，当21n k =+时，交替和的总和为：()()21312212212k k k k +---⨯=-⨯当21n =时，10k = ∴所求交替和的总和为：9192⨯ 【点睛】本题考查集合运算中的新定义运算的问题，关键是能够根据新定义确定集合B 中元素的特点，从而得到规律；考查了学生归纳与总结的能力，属于较难题.。
三角函数的图像与性质(各地经典题)
三角函数的图像与性质1．【湖南省邵阳市邵东县第一中学2019-2020学年高一期末】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．【西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高一期末】下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin cos y x x =+D ．sin cos y x x =⋅3．【陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高一期末】已知奇函数()2sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<满足()()44f x f x ππ+=-，则ω的取值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．【广西河池市2019-2020学年高一期末】将函数()cos(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y g x =图象的一个对称中心，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．43π 5．【吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体第三十届基础年段2019-2020学年高一期末】函数2sin 3cos 3y x x =--+的最小值是（ ）A ．14-B ．0C ．2D ．66．【陕西省咸阳市2019-2020学年高一期末】已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的最小正周期为π，且其图象向右平移6π个单位长度得到函数()cos g x x ω=的图象，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A ．56x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．x π=7．【上海市静安区2019-2020学年高一期末】对于函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，下列命题：①函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭对任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.③函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭图像可看作是把sin 2y x =的图像向右平移12π个单位而得到. ④函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭图像可看作是把sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到.其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．【云南省昆明市2019-2020学年高一期末】若函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①当()()121f x f x ==时，12x x -的最小值为π；②()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数；③()f x 在70,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点.则实数ϕ的取值范围为（ ）A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭9．【浙江省杭州市高级中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()f x 是R 上的增函数，且，其中ω是锐角，并且使得()sin 4g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．5,44π⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,42π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,24π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校2019-2020学年高一上学期期末联考】设函数（），，则方程在区间上的解的个数是 A ．B ．C ．D ．11．【吉林省实验中学2019-2020学年高一上学期期末】已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．【安徽省合肥一中，八中、六中2019-2020 学年高一上学期期末】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的最大值为2 ③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③13．【四川省成都市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()()sin f x x R ωω=∈是7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，且满足3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值组成的集合为（ ）A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．1,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭C ．11,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭D ．11,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭14．【浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末】存在函数()f x 满足：对任意的x ∈R 都有（ ） A ．()sin sin 2f x x = B ．()sin 1f x x =+ C ．()2cos cos 1f x x =+D ．()cos 2cos 1f x x =+15．【湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末】设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点.给出下述三个结论： ①()1y f x =+在(0,2)π有且仅有2个零点； ②()f x 在0,17π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③ω的取值范围是717,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中，所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③16．【上海市实验学校2019-2020学年高一期末】已知函数()()[]5sin 2,0,,0,52f x x x πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x 且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，若123212222n n x x x x x --+++++832n x π+=，则θ=__________.17．【浙江省金华市金华十校2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =--，,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域为[]1,1-，则θ的取值范围是__________.18．【重庆市重庆一中2017-2018年度高一上期末】已知函数()3sin2cos2f x x x =+,现有如下几个命题： ①该函数为偶函数； ②,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是该函数的一个单调递增区间； ③该函数的最小正周期为π； ④该函数的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ⑤该函数的值域为[]1,2-. 其中正确命题的编号为 ______ ．19．【黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一上学期期末】下列说法中，所有正确说法的序号是__________．①终边落在y 轴上角的集合是|,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ②函数2cos 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3,04π⎛⎫⎪⎝⎭； ③函数tan y x =在第一象限是增函数； ④为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度．20．【重庆市北碚区2019-2020学年高一上学期期末】将函数())13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）3x π=-对称；②图象关于y 轴对称； ③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称；⑤在(0,)3π上单调递减21．【湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青）2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号）①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=.22．【安徽省合肥市一六八中学2019-2020学年高一上学期期末】设函数()xf x mπ=，存在0x 使得()0|()|f x f x ≤和()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦成立，则m 的取值范围是________.23．【河北省邢台市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()sin f x a x x =+的图象关于直线76x π=对称,则函数7()()5g x f x =-在7,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为________. 24．【湖北省武汉市（第一中学、第三中学等六校）2019-2020学年高一上学期期末】若函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图像的对称轴完全相同则当[]0,x π∈，关于x的不等式()10f x -≥的解集为________.25．【上海市青浦高级中学2019-2020学年高一期末】若不等式(1)sin 10a x --<对于任意x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是____________．26．【江西省新余市2019-2020学年高一期末】将函数()cos 4f x x =-的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()g x . （1）在ABC 中，三个内角,,A B C 且A B C <<，若C 角满足()1g C =-，求cos cos A B +的取值范围；（2）已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()sin F x g x x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，求常数λ 与n 的值.27．【广东省云浮市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x 都成立，求实数a 的取值范围.。
2019-2020学年下海市青浦区数学高二(下)期末监测试题含解析
2019-2020学年下海市青浦区数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定积分()1214d x x x --=⎰（ ）A ．0B ．1-C ．23-D ．2-【答案】C 【解析】 【分析】利用微积分基本定理求出即可． 【详解】()113221124d 233x x x x x --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰.选C. 【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数．2．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（ ） A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤R D ．00,20x x ∃∈>R【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项． 【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P （x 0）成立的否定是使得P （x 0）不成立，即用反证法证明“∀x ∈R ，2x ＞0”，应假设为∃x 0∈R ，02x ≤0 故选：A ． 【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X 表示取得次品的次数，则(2)P X ≤=（ ） A ．38B ．1314C ．45D ．78【答案】D 【解析】【分析】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出． 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为4182=．从中取3次，X 为取得次品的次数，则13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,()3102323331(2)(2)(1)0111722228P X P X P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫≤==+=+==⎛⎫+= ⎪⎝⎭⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选择D 答案． 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题． 4．5人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（） A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【解析】 【分析】将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案. 【详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：424248A A ⨯=故答案选D 【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.5．定义[1,)-+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足2()3(1)f x x '<+，设(0),(1)1,(1)7a f b f c f ==-+=-，则下列判断正确的是（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】设()()3(1)g x f x x =-+，故()()2''3(1)0g x f x x =-+<，函数单调递减，(1)(0)(1)g g g ->>，代入化简得到答案. 【详解】设()()3(1)g x f x x =-+，故()()2''3(1)0g x f x x =-+<，所以()g x 在[1,)-+∞上单调递减，故(1)(0)(1)g g g ->>，即(1)0(0)1(1)8f f f -->->-，即(1)1(0)(1)7f f f -+>>-，故c a b <<. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值，构造函数()()3(1)g x f x x =-+是解题的关键.6．命题 ，；命题 ，函数的图象过点，则（ ） A ．假真 B ．真假 C ．假假 D ．真真【答案】A 【解析】 试题分析：∵，∴，∴或，∴不存在自然数，∴命题P 为假命题；∵，∴函数的图象过点，∴命题q 为真命题．考点：命题的真假．7．已知数列{}n a 是等比数列，若151,16,a a ==则3a 的值为（ ） A ．4 B ．4或-4 C ．2 D ．2或-2【答案】A 【解析】 【分析】设数列{a n }的公比为q ，由等比数列通项公式可得q 4＝16，由a 3＝a 1q 2，计算可得． 【详解】因422513116,4,4a a q q a a q =====故选：A 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题．8．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ） A ．216 B ．288C ．312D ．360【答案】C 【解析】【分析】根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0，可分类讨论末位数字，即可得总个数. 【详解】由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论： 当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有55A 种；当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有114244C C A ， 综上可知，共有5114524454321244321120192312A C C A +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+=个.故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题.9．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(4,)+∞B ．(2,4]-C ．[4,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22xxF x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果. 【详解】 由1010x x +>⎧⎨-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =-设3()22xxF x x -=-+，()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，又∵22xxy -=-和3y x =为增函数， ∴3()22xxF x x -=-+既是奇函数又是增函数由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->， 则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立，∵13[2,4)x -∈-，∴4a …， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22xxF x x -=-+是解题的关键，属于中档题. 10．若实数满足，则( ) A ．都小于0 B ．都大于0C ．中至少有一个大于0 D ．中至少有一个小于0【答案】D【解析】假设a,b 都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b 中至少有一个小于0.11．若X 是离散型随机变量，12()3P X x ==，21()3P X x ==，又已知3(4)E X =，2()9D X =，则12x x -的值为（ ） A ．53B ．23C ．3D ．1【答案】D 【解析】分析：由期望公式和方差公式列出12,x x 的关系式，然后变形求解． 详解：∵21133+=，∴随机变量x 的值只能为12,x x ， ∴，解得125323x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1212x x =⎧⎨=⎩，∴121x x -=． 故选D ．点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题关键是确定随机变量X 只能取两个值12,x x ，从而再根据其期望与方差公式列出方程组，以便求解．12．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的m 的值. 【详解】第一次进入循环，因为56除以18的余数为2，所以2r =，18m =，2n =，判断r 不等于0，返回循环； 第二次进入循环，因为18除以2的余数为0， 所以0r =，2m =，0n =，判断r 等于0， 跳出循环，输出m 的值为2.故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>- 【答案】③ 【解析】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．详解：A ：由a•b∈R ，不能类比得x•y∈I ，如x=y=i ，则xy=﹣1∉I ，故①不正确； B ：由a 2≥1，不能类比得x 2≥1．如x=i ，则x 2＜1，故②不正确； C ：由（a +b ）2=a 2+2ab+b 2，可类比得（x +y ）2=x 2+2xy+y 2．故③正确；D ：若x ，y ∈I ，当x=1+i ，y=﹣i 时，x +y ＞1，但x ，y 是两个虚数，不能比较大小．故④错误 故4个结论中，C 是正确的． 故答案为：③．点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明． 14．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ． 【答案】12【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有246C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31=.62考点：古典概型概率 15．设a R ∈，函数f ()x x ax e e=+是偶函数，若曲线y f = ()x 的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为______ ． 【答案】ln2 【解析】 【分析】先根据f(x)为偶函数求得1a =，再由()32xxf x e e-=-='，解得x ． 【详解】由题意可得f(x)=f(-x),即xxx xa a e e e e --+=+，变形为()110x x a e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭为任意x R ∈时都成立，所以1a =，所以()x x f x e e -=+，()x xf x e e -'=-设切点为()00,x y ，()32x x f x e e -=-='，由于()f x '是R 上的单调递增函数，且()3ln22f '=．所以0ln2x =．填ln2． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性及由曲线的斜率求切点横坐标．16．已知向量()=2,1a ，()=1,2-b ，()=1,λ-c ．若()2∥c a +b ，则λ=__________．【答案】34. 【解析】分析：先计算出2a b +r r，再利用向量平行的坐标表示求λ的值.详解：由题得2(2,1)(2,4)(4,3)a b +=+-=-vv ，因为||+2c a b vv v （），所以（-1）×（-3）-4λ=0,所以λ=34.故答案为34.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r ||b r 12210x y x y ⇔-=. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C 的极坐标方程是221613cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 与x 轴正半轴及y 轴正半轴交于点,M N ，在第一象限内曲线C 上任取一点P ，求四边形OMPN 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）221416x y +=；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）把221613cos ρθ=+整合成2223cos 16ρρθ+=，再利用222,sin x y y ρρθ=+=就可以得到曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）因为P 在椭圆上且在第一象限，故可设()2cos ,4sin P θθ，从而所求面积可用θ的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为2223cos 16ρρθ+=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222316x y x ++=，∴221416x y +=.（Ⅱ）由已知有(2,0)M ，(0,4)N ，设(2cos ,4sin )P αα，(0,)2πα∈.于是由12OMPN OMP ONP S S S =+=V V 124sin 42cos 2αα⋅⋅+⋅⋅4sin 4cos αα=+)4πα=+，由(0,)2πα∈得3(,)444πππα+∈，于是)4πα+≤ ∴四边形OMPN最大值点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2,cos ,sin ρρθρθ以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.18．已知不等式|1||21|3x x -++<的解集为M ． （1）求集合M ；（2）设,a b M ∈，证明：||1||ab a b +>+． 【答案】（1）{|11}M x x =-<<;（2）见解析 【解析】 【分析】（1）使用零点分段法，讨论1x ≥，112x -<<以及12x ≤-的范围，然后取并集，可得结果. （2）根据（1）的结论，可得||1||||ab a b +>+，然后使用三角不等式||||||a b a b +≥+，可得结果. 【详解】(1)当1x ≥时， ()1213f x x x x =-++=． 由()3f x <，得x 无实数解当112x -<<时， ()1212f x x x x =-++=+． 由()3f x <，得112x -<<当12x ≤-时， ()1213f x x x x =---=-．由()3f x <，得112x -<≤-综上， {|11}M x x =-<< （2）,a b M ∈Q ，1,1a b ∴-<<，即||1||1a b <<(||1)(||1)0a b ∴-->，即||1||||ab a b +>+ 又||||||a b a b +≥+，||1||ab a b ∴+>+ 【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，还考查三角不等式的应用，掌握零点分段的解法以及常用的一些不等式，比如：基本不等式，柯西不等式，属基础题.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(2,0)F -左顶点1(4,0)A -.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 已知(2,3)P ，(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.若APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.【答案】 (Ⅰ)2211612x y +=；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得a ，c 和b ，从而可得方程；（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ ，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ，PA 的直线方程为y-3=k （x-2），PB 的直线方程为y-9=-k （x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB 的斜率为定值12. 详解：（Ⅰ）由题意可得，4a =，2c =由222a b c =+，得2224212b =-=所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，AP ，BP 的斜率之和为O ，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设()11,A x y ()22,B x y ，PA 的方程为()32y k x -=-. 联立()223211612y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消y 得。
上海市黄浦区重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学综合测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若5133,91a S ==，则111a a +=（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．直线10x y +-=的倾斜角为（ ）A ．4π B ．4π-C ．34π D ．34π-3．已知平面向量,,a b c 满足：1a b ⋅=-，0a c ⋅=，||1a =，若(,)c ma nb m n R =+∈，则mn的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．-14．点（4，0）关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是 （ ）． A ．（－6，8）B ．（－8，－6）C ．（6，8）D ．（－6，－8）5．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ） A ．3V a h =，3V r π=，1a r π= B ．3V a h =，3V r h π=，ar π=C ．a=，r =，a r= D ．a =，r =，a r= 6．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．233ππ或7．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，AB CD ==则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．2B C ．4D ．68．下列关于函数()sin 1f x x =+（[0,2]x π）的叙述，正确的是（ ） A ．在[0,]π上单调递增，在[,2]ππ上单调递减 B ．值域为[2,2]-C ．图像关于点(,0)()k k Z π∈中心对称D ．不等式3()2f x >的解集为15|66x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭9．过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（ ） A ．1或3B ．4C ．1D ．1或410．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．211．若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．4512．函数()cos()6f x x π=+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题13．已知数列{n a }满足12111,>,2()nn n a a a a a n N *+=-=∈，若数列{2n a }单调递增，数列{21n a -}单调递减，数列{n a }的通项公式为____. 14．若0x >，则函数()123f x x x=+的最小值是_________. 15．在空间直角坐标系xOy 中，点(12,4)--，关于原点O 的对称点的坐标为______． 16．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若11n n n n a b S S ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年下海市青浦区数学高二下期末监测试题含解析
2019-2020学年下海市青浦区数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．把67化为二进制数为A ．1100001(2)B ．1000011(2)C ．110000(2)D ．1000111(2)2．若离散型随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则a 的值为( ) ξ 1- 1 P 41a -23a a + A ．13B ．2-C ．13或2-D ．12 3．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ） A ．cos4y x =-B ．sin 4y x =-C ．cos y x =D ．cos y x =- 4．双曲线2214y x -=与双曲线2214y x -=有相同的（） A ．顶点 B ．焦点 C ．渐近线 D ．离心率5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．53C ．73D ．526．已知一组样本点(,)i i x y ，其中1,2,3,,30i =⋅⋅⋅.根据最小二乘法求得的回归方程是$y bx a =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若所有样本点都在$y bx a =+上，则变量间的相关系数为1B ．至少有一个样本点落在回归直线$y bx a =+上C ．对所有的预报变量(1,2,3,,30)i x i =⋅⋅⋅，i bx a +的值一定与i y 有误差D ．若$y bx a =+斜率0b >，则变量x 与y 正相关7．已知随机变量8ξη+=，若()10,0.4B ξ:，则()(),E D ηη分别是（ ）A ．6和5.6B ．4和2.4C ．6和2.4D ．4和5.68．对任意实数x ，若不等式12x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．3k <B ．3k <-C ．3k ≤-D ．9．函数f （x ）＝（x 2﹣2x ）e x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点A 在抛物线()220y px p =>上，且A 为第一象限的点，过A 作y 轴的垂线，垂足为B ，F 为该抛物线的焦点，78p AF =，则直线BF 的斜率为（ ） A ．3- B ．3-C ．-1D ．-2 11．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A ．2829B ．2729C ．1114D ．131412．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若直线2y kx =-与圆222x y +=相交于P.Q 两点，且∠POQ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．14．设函数32()2f x x ax x =++, (1)f '= 9,则a =15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 16．若向量(3,1)m =-v ，13(,)22p =v ，2(3)u m x p =+-v v v ，v ym xp =-+v v v ，且3340x x y --=，则u v 与v v的夹角等于________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知y 与x 之间具有线性相关关系．（1）求营业额y 关于天数x 的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程y bx a =+中， 1122211()()()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b xx x nx ====---⋅==--∑∑∑∑ ，a y bx =-． 18．的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，是上的点，平分，求的面积.19．（6分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：20．（6分）已知函数()ln x f x x a=-，若函数()f x 有两个零点1x ，2x . （1）求a 的取值范围； （2）证明：12112ln ln e x x a+> 21．（6分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，232M ⎛ ⎝⎭是椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，P 是直线2x =上任意一点.证明：直线,,PA PF PB 的斜率成等差数列.22．（8分） “蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】如图：所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故选B.考点：二进制法.2．A 【解析】由离散型随机变量ξ的概率分布表知：2204110314131a a a a a a -⎧⎪+⎨⎪-++=⎩剟剟. 解得13a =. 故选：A.3．D【解析】分析：依据题的条件，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.详解：根据题意，将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为sin()3y x π=-， 再将所得图象向右平移6π个单位长度， 得到的函数图像对应的解析式为sin()cos 63y x x ππ=--=-，故选D. 点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果.4．C【解析】【分析】根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【详解】2214y x -=的顶点是()1,0±，焦点是()，渐近线方程是2y x =±，离心率是c e a ==；2214y x -=的顶点是()0,2±，焦点是(0,，渐近线方程是2y x =±，离心率c e a ==，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.5．A【解析】【分析】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.【详解】 该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为12112S =⨯⨯=，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积1111V =⨯=，三棱锥的体积为2111133V =⨯⨯=，故该几何体的体积为14133V =+=. 故选A.【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.6．D【解析】分析：样本点均在直线ˆybx a =+上，则变量间的相关系数1r =，A 错误；样本点可能都不在直线ˆybx a =+上，B 错误；样本点可能在直线ˆy bx a =+上，即预报变量i x 对应的估计值i bx a +可能与i y 可以相等，C 错误；相关系数r 与b 符号相同D 正确.详解：选项A ：所有样本点都在ˆybx a =+，则变量间的相关系数1r =，相关系数可以为 1r =±， 故A 错误.选项B ：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B 错误.选项C ：样本点可能在直线ˆybx a =+上，即可以存在预报变量i x 对应的估计值i bx a +与i y 没有误差，故C 错误.选项D ：相关系数r 与b 符号相同，若ˆybx a =+斜率0b >，则0r >，样本点分布从左至右上升，变量x 与y 正相关，故D 正确.点睛：本题考查线性回归分析的相关系数、样本点、回归直线、样本中心点等基本数据，基本概念的准确把握是解题关键.7．B【解析】分析：根据变量ξ～B （10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．详解：∵ξ～B （10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E （8﹣ξ）=4，Dη=D （8﹣ξ）=2.4故选：B ．点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的. 8．B【解析】考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a 恒成立，需f （x ）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a ，问题转化为求f （x ）的最小值．解：（1）设f （x ）=|x+2|-|x-1|，则有f （x ）=32{122131x x x x -≤----≤≤≥，，，， 当x≤-2时，f （x ）有最小值-1；当-2≤x≤1时，f （x ）有最小值-1；当x≥1时，f （x ）=1．综上f （x ）有最小值-1，所以，a ＜-1．故答案为B ．9．B【解析】【分析】根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证.【详解】20()(2,)x x f x x x e e =->，当0x <或2x >时，()0f x >，当02x <<时，()0f x <，选项,A C 不正确，2()(2)x f x x e '=-，令()0,f x x '==当()0,f x x '><或x >当()0,f x x '<<<()f x的递增区间是(,-∞，)+∞，递减区间是(，所以选项D 不正确，选项B 正确.故选:B.【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.10．B【解析】【分析】设()00,A x y ，由78p AF =，利用抛物线定义求得038p x =，进而得0y =进而tan BFO ∠=即可求解【详解】设()00,A x y ，因为78p AF =，所以0728p p x +=，解得038p x =，代入抛物线方程得02y =，所以2OB =，2p OF =，tan BFO ∠=，从而直线BF 的斜率为故选：B【点睛】 本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.11．D【解析】【分析】由题可知为古典概型，总的可能结果有48C 种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.【详解】根据题意，选4名同学总的可能结果有488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种. 选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：（1）一男三女，有1353=51=5C C ⨯种， （2）两男两女，有22535432==3022C C ⨯⨯⨯种. （3）三男一女，有3153543=3=3032C C ⨯⨯⨯⨯种. 共5+30+30=65种结果. 由古典概型概率计算公式，65137014P ==. 故选D.【点睛】本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键. 12．D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．3± 【解析】 【分析】作出图形，由图可知，点P 的坐标为(0,2),30OPQ -∠=o ，由此可得k 的值.【详解】作出图形，由图可知，点P 的坐标为(0,2),30OPQ -∠=o ，所以直线2y kx =-的倾斜角60o 或120o ，所以3k =±.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中正确作出图形，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.14．1【解析】试题分析：因为，32()2f x x ax x =++，所以，2'()621f x x ax =++，而，(1)f '=9，所以，6+2a+1=9,a=1。
上海市黄浦区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题含解析
上海市黄浦区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用定义判断出函数()y f x =的奇偶性. 【详解】由诱导公式得()cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，该函数的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()()()sin sin sin f x x x x x x x f x -=--=-⋅-==， 因此，函数()y f x =为偶函数，故选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 2．若0,0x y >>且191x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．16【答案】D 【解析】试题分析：()199101016y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9y x x y =时等号成立，所以最小值为16考点：均值不等式求最值3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BECN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．4．直线x+y+2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22【答案】B【解析】 【分析】求得圆心到直线的距离，减去圆的半径，求得△ABP 面积的最小时，三角形的高，由此求得△ABP 面积的最小值. 【详解】依题意设()()2,0,0,2A B --，故AB =圆的圆心为()2,0，半径为r =P 到直线AB 的距离的最小值为d r -==d 为圆心到直线的距离），所以△ABP 面积的最小值为122⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆上的点到直线的距离的最小值的求法，考查三角形面积的最值的求法，属于基础题. 5．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．0.4.7ˆ1yx =+ B ．2 1.2ˆ-yx = C ．-37.5ˆyx =+ D ．-2 6.5ˆyx =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由于变量x 与y 负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心()2,2.5，得到可能的回归直线方程. 【详解】由于变量x 与y 负相关，排除A,B ，把()2,2.5代入直线5ˆ2 6.yx =-+得： 2.522 6.5=-⨯+成立，所以()2,2.5在直线上，故选D.【点睛】本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力.6．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确． 【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -，平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错；直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错； 由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确．∴只有一个命题正确． 故选A ．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．7．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-【答案】A 【解析】【分析】通过整理直线的形式，可求得所过的定点. 【详解】直线:120l mx y m +-+=可整理为()210m x y ++-=，当2010x y +=⎧⎨-=⎩ ，解得2,1x y =-=，无论m 为何值，直线总过定点()2,1-. 故选A. 【点睛】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ） A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A 【解析】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr ，全面积：侧面积=[（2πr ）2+2πr 2]：（2πr ）2 这个圆柱全面积与侧面积的比为122ππ+,故选A 9．直线:1l y x =+上的点到圆22:2440C x y x y ++++=上点的最近距离为（ ）A B ．2-C 1D ．1【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果. 【详解】将圆化为标准形式可得()()22121x y +++= 可得圆心为()1,2C --，半径1r =，而圆心()1,2C --到直线10x y -+=距离为d ==因此圆上点到直线的最短距离为1d r -=，故选：C. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.10．设M 和m 分别表示函数11cos 3y x =-+的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．23B ．23-C ．2-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数cos y x =的值域，确定出11cos 3y x =-+的最大值和最小值，即可计算出M m +的值. 【详解】因为cos y x =的值域为[]1,1-，所以11cos 3y x =-+的最大值121133M =-+⨯=-，所以11cos 3y x =-+的最小值()141133m =-+⨯-=-，所以24233M m ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数的最值问题，难度较易.求解形如()cos 0y a x b a =+≠的函数的值域，注意借助余弦函数的有界性进行分析. 11．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,则实数ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,结合正弦函数的单调性,即可求得答案. 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数可得0262263,,22362k k k Z k Z k k πππωωππππωϕπωϕπ⎧<≤--+≤-⎧⎪⎪⎪∈∴∈⎨⎨≤+⎪⎪+≤+⎩⎪⎩，， 当03πϕ-<≤时，满足整数ω至少有12，,舍去当0ϕ>时，0,(0,2]k ω=∈，30πωϕ<≤要使整数ω有且仅有一个, 须123πϕ≤<,解得:63ππϕ<≤ ∴实数ϕ的取值范围是,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数在某区间上单调求参数值,解题关键是掌握正弦型三角函数单调区间的解法和结合三角函数图象求参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 12．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b< C ．b a a b< D ．||1||1a bc c >++【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析. 【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a≥b,所以该选项错误；选项B, 11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab+--=，符合不能确定，所以该选项错误；选项D, 0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a bc c >++，所以该选项正确. 故选D 【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题13．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间是______．【答案】()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（区间端点开闭均可）【解析】 【分析】由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得ϕ，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出()f x 的单调增区间． 【详解】 由图可知，115212122T πππ=-=，则T π=，2ω∴=． 又52122ππϕ⨯+=，3ϕπ∴=-．则()sin()f x x π=-223． 由222232k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得51212k xk ππππ-++，k Z ∈． ()f x ∴的单调增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈． 【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法． 14．若在等比数列{}n a 中，129512a a a ⋅=，则5a =__________．【答案】2 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，将等式129512a a a ⋅=化成95512a =即可求得答案．【详解】{}n a 是等比数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅．因为129512a a a ⋅=，所以95512a =，52a ∴=．故答案为：1． 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为3225的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．【答案】15 【解析】 【分析】根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出PAB ∆的边长为a ，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为h ，用h 表示出水的体积，由=+V V V 锥球水即可求得液面高度. 【详解】因为铁球半径为3225，所以由球的体积公式可得343003V R ππ==球， 设PAB ∆的边长为a ，则由面积公式与内切圆关系可得23113225sin 223a a π⨯⨯=，解得323225a =⨯，则圆锥的高为33225⨯.则圆锥的体积为()()2331322532256753V ππ=⋅⋅⨯⋅⨯=锥，设拿出铁球后的水面为EF ，且P 到EF 的距离为h ，如下图所示：则由PH h =，可得33EH h =, 所以拿出铁球后水的体积为2313339V h h h ππ⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭水，由=+V V V 锥球水，可知3675=300+9h πππ，解得15h =，即将铁球取出后容器中水的深度为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题. 16．直线的倾斜角为________.【答案】【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】 因为， 所以，设直线的倾斜角为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年上海市青浦区高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝．2．不等式x2﹣4x+3≤0的解集是．3．函数f（x）＝定义域是．4．已知函数f（x）＝x，则f（x）•g（x）＝．5．函数f（x）＝的值域是．6．函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝．7．已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+3在区间（﹣∞，4）上是增函数，则实数a的取值范围是．8．已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x＜3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围为．9．函数f（x）＝|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．10．已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）．若方程f（x）＝0有2019个实数解，则这2019个实数解之和为．11．已知a+b＝100，b＞0，则的最小值为・12．已知函数f（x）＝log3（x+）+在[﹣k，k]，（k＞0）上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m＝．二、选择题13．“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．幂函数y＝x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．15．已知函数f（x）＝若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）A．x0＞8B．x0＜0或x0＞8C．0＜x0＜8D．x0＜0或0＜x0＜816．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，则f（107.5）＝（）A．10B．C．﹣10D．﹣三．解答题17．已知集合A＝{x|＞4，x∈R}，集合B＝{x||x﹣3|≤1，x∈R}，求集合A∪B．18．已知函数f（x）＝（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，函数g（x）＝f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）＝2020？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．19．已知k∈R，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）＝a x+k•b x．（1）如果实数a、b满足a＞l，ab＝l，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞l＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明．20．已知函数f（x）＝log a（8﹣2x）（a＞0且a≠1）．（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求实数a的值；（2）当a＞1时，求函数y＝f（x）+f（﹣x）的值域．21．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）＝．（1）求f（0）的值，并解释其实际意义；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药0．比较少？说明理由．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝{﹣1，2}．【分析】根据已知中集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B解：∵集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{﹣1，0，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}2．不等式x2﹣4x+3≤0的解集是[1，3]．【分析】把不等式化为（x﹣1）（x﹣3）≤0，求出解集即可．解：不等式x2﹣4x+3≤0可化为（x﹣1）（x﹣3）≤0，解得1≤x≤3，所以不等式的解集是[1，3]．故答案为：[1，3]．3．函数f（x）＝定义域是[1，+∞）．【分析】要使函数有意义，需log2x≥0解得x≥1，写出区间或集合的形式，即为函数的定义域．解：要使函数有意义，需log2x≥0解得x≥1所以函数的定义域为：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）4．已知函数f（x）＝x，则f（x）•g（x）＝x（x＞1）．【分析】根据已知函数解析式代入即可直接求解．解：因为f（x）＝x，则f（x）•g（x）＝x，因为x﹣1＞0，即x＞1．故答案为：x（x＞1）5．函数f（x）＝的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．【分析】结合反比例函数的性质即可求解．解：结合反比例函数的性质可知，函数的值域（﹣∞，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）．6．函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1）．【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x＝，转化变量求解反函数即可．解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y＝x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）7．已知函数f（x）＝﹣x2+2ax+3在区间（﹣∞，4）上是增函数，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【分析】由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解．解：由题意可知，二次函数的对称轴x＝a，由f（x）＝﹣x2+2ax+3在区间（﹣∞，4）上是增函数，结合二次函数的性质可知，a≥4．故答案为[4，+∞）8．已知条件p：2k﹣1≤x≤﹣3k，条件q：﹣1＜x＜3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．【分析】根据必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．解：若p是q的必要条件，则q⇒p，即，得，得k≤﹣1，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故答案为：（﹣∞，﹣1]9．函数f（x）＝|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a＝0或a＞4．【分析】画出函数y＝|x2﹣4|，与y＝a的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可．解：函数g（x）＝|x2﹣4|的图象如图所示，∵函数f（x）＝|x2﹣4|﹣a恰有两个零点，∴a＝0或a＞4．故答案为：a＝0或a＞4．10．已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x）．若方程f（x）＝0有2019个实数解，则这2019个实数解之和为0．【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于y轴对称，从而可求．解：因为函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，若方程f（x）＝0有2019个实数解，函数图象关于y轴对称，则这2019个实数解之和为0．故答案为：011．已知a+b＝100，b＞0，则的最小值为・【分析】由题意可知a≠0，分a＞0和a＜0两类取绝对值，结合a+b＝100，利用基本不等式求最值．解：显然a≠0．①当a＞0时，＝＝＝，当且仅当，即a＝，b＝时等号成立；②当a＜0时，＝＝＝，当且仅当，即a＝﹣，b＝时等号成立．综上，的最小值为．故答案为：．12．已知函数f（x）＝log3（x+）+在[﹣k，k]，（k＞0）上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m＝2．【分析】由已知结合f（x）+f（﹣x）＝2可得f（x）关于（0，1）中心对称，由此可得M+m的值．解：∵f（x）+f（﹣x）＝log3（x+）+++＝+＝＝2，∴f（x）关于（0，1）中心对称，可得f（x）取得最值的两点也关于点（0，1）对称，则M+m＝2．故答案为：2．二、选择题13．“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b但“a2＞b2”不成立，当a＝﹣3，b＝﹣2时，满足“a2＞b2”但a＞b不成立，即“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．14．幂函数y＝x﹣2的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．解：幂函数y＝x﹣2＝，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），可排除A，B；值域为（0，+∞）可排除D，故选：C．15．已知函数f（x）＝若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）A．x0＞8B．x0＜0或x0＞8C．0＜x0＜8D．x0＜0或0＜x0＜8【分析】通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．解：①当x≤0时，f（x0）＝＞3，∴x0+1＞1，∴x0＞0 这与x≤0相矛盾，∴x∈∅．②当x＞0时，f（x0）＝log2x0＞3，∴x0＞8综上：x0＞8故选：A．16．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）＝﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，则f（107.5）＝（）A．10B．C．﹣10D．﹣【分析】先通过有f（x+3）＝﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）＝f（5.5），再利用f（x+3）＝﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x即可求得f（107.5）的值．解：因为f（x+3）＝﹣，故有f（x+6）＝﹣＝﹣＝f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）＝f（6×17+5.5）＝f（5.5）＝﹣＝﹣＝﹣＝．故选：B．三．解答题17．已知集合A＝{x|＞4，x∈R}，集合B＝{x||x﹣3|≤1，x∈R}，求集合A∪B．【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|2≤x＜12}．18．已知函数f（x）＝（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，且为奇函数，函数g（x）＝f（x）+x．（1）求实数a的值及函数g（x）的零点；（2）是否存在自然数n，使g（n）＝2020？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由幂函数和奇函数的定义，列方程求出a的值，再求函数g（x）的零点；（2）用定义证明函数g（x）在R上单调递増，计算g（12）＜2020、g（13）＞2200，即可得出结论．解：（1）函数f（x）＝（a2﹣a+1）x a+2为幂函数，所以a2﹣a+1＝1，所以a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，又f（x）为奇函数，所以a＝1，f（x）＝x3，所以函数g（x）＝x3+x，令g（x）＝0，得x3+x＝0，解得x＝0，所以函数g（x）的零点为0；（2）函数g（x）＝x3+x的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）＝（+x1）﹣（﹣x2）＝（﹣）+（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（+x1x2++1）＝（x1﹣x2）+，由x1＜x2，得x1﹣x2＜0，++1＞0，所以g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）＝x3+x在R上单调递増，又计算g（12）＝1740，g（13）＝2210，所以不存在符合题意的n值．19．已知k∈R，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）＝a x+k•b x．（1）如果实数a、b满足a＞l，ab＝l，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设a＞l＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明．【分析】（1）由已知，b＝，于是，f（x）＝a x+ka﹣x，f（﹣x）＝a﹣x+ka x，由奇偶性的定义可得出结论．（2）根据题意得，函数y＝a x是增函数，y＝b x是减函数，由k≤0知，y＝a x+kb x是增函数，所以函数f（x）在R上是增函数，再用单调性的定义证明即可．解：（1）由已知，b＝，于是，f（x）＝a x+ka﹣x，则f（﹣x）＝a﹣x+ka x，若函数f（x）是偶函数，则f（x）＝f（﹣x），即a x+ka﹣x＝a﹣x+ka x，所以（k﹣1）（a x﹣a﹣x）＝0对任意实数x恒成立，所以k＝1，若函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x+ka x＝﹣（a x+ka﹣x），所以（k+1）（a x+a﹣x）＝0对任意实数x恒成立，所以k＝﹣1，综上，当k＝1时，f（x）是偶函数，当k＝﹣1时，f（x）是奇函数，当k≠±1时，f（x）不是奇函数也不是偶函数．（2）因为a＞1，0＜b＜1，所以函数y＝a x是增函数，y＝b x是减函数，由k≤0知，y＝a x+kb x是增函数，所以函数f（x）在R上是增函数，证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝a+kb﹣a﹣kb＝（a﹣a）+k（b﹣b），因为a＞1，0＜b＜1，x1＜x2，k≤0，所以a﹣a＞0，k（b﹣b）≥0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以函数f（x）在R上是增函数．20．已知函数f（x）＝log a（8﹣2x）（a＞0且a≠1）．（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求实数a的值；（2）当a＞1时，求函数y＝f（x）+f（﹣x）的值域．【分析】（1）先求反函数的解析式，利用反函数与函数解析式相同可求a；（2）先求出函数的定义域，化简函数解析式，然后利用基本不等式，结合对数函数的性质可求．解：（1）因为y＝f（x）＝log a（8﹣2x），∴8﹣2x＝a y，即x＝log2（8﹣a y），所以反函数y＝log2（8﹣a x），故a＝2；（2）当a＞1时，由8﹣2x＞0可得x＜3，故y＝f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），∵y＝f（x）+f（﹣x）＝log a（8﹣2x）+log a（8﹣2﹣x）＝log a[65﹣8（2x+2﹣x）]，因为8（2x+2﹣x）≥16，当且仅当x＝0时取等号，所以0＜65﹣8（2x+2﹣x）≤49，故函数的值域（﹣∞，log a49]21．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）＝．（1）求f（0）的值，并解释其实际意义；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药0．比较少？说明理由．【分析】（1）f（0）表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f（0）＝1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：①；用单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：•②；作差①﹣②比较即可．解：（1）f（0）＝1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为由于当时，W1＞W2此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少当时，W1＝W2此时，两种清洗方式效果相同当时，W1＜W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少。
上海市普陀区2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题含解析
上海市普陀区2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20160a > B ．若40a >，则20170a > C ．若30a >，则20170S > D ．若40a >，则20160S >【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用通项公式与求和公式即可判断出结论． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，若30a >，则210a q >，则10a >，()20171201710,1a q S q-∴=>-而201520161a a q =与0的大小关系不确定.若40a >，则310a q >，则1a 与q 同号，则()2016120162017120161,1a q a a q S q-==-与0的大小关系不确定.故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．在ABC 中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．14- D ．54【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则，通过12AN AC =，把AP 用AB 和AN 表示出来，即可得到m 的值. 【详解】在ABC ∆中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点， 所以2AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,P N B 三点共线，所以21+=m ，即1m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题. 3．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( )A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,70【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差16911n a a d n n -==--，所以，1n -可能为3,23,69，的所有可能取值为4,24,70,选B .考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；13【答案】D 【解析】分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数， 所以中间一个矩形最该，故数据的众数为101512.52+=， 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标， 第一个矩形的面积为0.2，第二个矩形的面积为0.3，故将第二个矩形分成3:2即可， 所以中位数是13，故选D.点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．233ππ或【答案】B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.6．如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45︒，若50CD =米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ（）A ．231B ．231C 31D 31【答案】C 【解析】 【分析】先在ABC ∆中利用正弦定理求出BC 的值，再在BCD ∆中由正弦定理解出sin θ，再计算cos θ． 【详解】在ABC ∆中，sin sin AB BACBC ACB∠=∠100sin1550(62)sin(4515)︒==︒-︒，在BCD ∆中，sin sin BC CBDBDC CD∠∠=50(62)231-==，又∵cos sin BDC θ=∠，∴cos 1θ=.故选C. 【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用，属于基础题．7．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cb ＝1，∠B ＝6π，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin 6sin 12c BC bπ===，因为0C π<<，所以3C π=或23π，所以2A π=或6π，所以ABC ∆的形状一定为等腰三角形或直角三角形，故选D ． 考点：正弦定理．8．在ABC ∆中，若sin2sin2A C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-，两种情况对应求解.【详解】sin 2sin 2sin 2sin(2)A C A C π=⇒=-所以A C =或2A C π+=故答案选D 【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.9．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立【答案】C【解析】 【分析】写出命题“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成立”，由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】B 【解析】由题意不妨令棱长为2，如图1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，故23DA =由勾股定理得146433A D =-=过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC 所成角，且1263B E = 如图作1A S AB ⊥于中点S 13AS ∴=1AB ∴==1AB ∴与底面ABC所成角的正弦值1sin B AE ∠==故答案选B点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．11．在ABC △中，b =，4cos 5B =-，则sin A = （ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据4cos 5B =-计算出sin B的值，然后根据正弦定理以及b =即可计算出sin A 的值，最后得出结果。
【精选3份合集】上海市闸北区2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆，则ABC ∆外接圆的直径为（ ） A．81B．C．3D．32．在数列{a n }中，a n ＝31﹣3n ，设b n ＝a n a n+1a n+2（n ∈N *）．T n 是数列{b n }的前n 项和，当T n 取得最大值时n 的值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．83．已知曲线1:cos C y x =，如何变换可得到曲线22:sin 23C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度 B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位长度C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π个单位长度D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移12π个单位长度4．根据如下样本数据可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>5．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，则10S =（ ） A ．11212-B ．11210-C ．10212-D ．1028-6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，107．已知点(),P x y 是直线224y x =-上一动点，PM 与PN 是圆()22:11C x y +-=的两条切线，,M N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A ．43B ．23C ．53D ．568．设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 42θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．2515+B ．2155-C ．2515-D ．2155+-9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C +=，则2223a b c++的最小值是（ ） A ．5B ．8C ．7D ．610．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 11．在递增的等比数列中，，是方程的两个根，则数列的公比A ．2B ．C ．D ．或212．若1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．－13B ．13C 22D ．22二、填空题：本题共4小题 13．已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M+m ＝_____.14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．15．已知向量()3,1a =，则a =________16．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么a b +=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市青浦高级中学2019-2020学年高一上学期十月质量检测数学试题 Word版含解析
上海市青浦高级中学2019学年第一学期10月质量检测高一数学试卷一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知集合{86|A x N x=∈-且}x N ∈，则用列举法表示集合A =__________． 【答案】{}2,4,5 【解析】 【分析】 当6x >时，806x <-，必不是自然数，依次代入0,1,2,3,4,5x =，可验证86x-是否是自然数，从而得到结果.【详解】当0x =时，84603N =∉-；当1x =时，88615N =∉-； 当2x =时，8262N =∈-；当3x =时，88633N =∉-； 当4x =时，8464N =∈-；当5x =时，8865N =∈- 当6x >且x ∈N 时，806x <- 86N x∴∉- {}2,4,5A ∴=故答案为：{}2,4,5【点睛】本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题. 2.已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()6,-+∞ 【解析】 【分析】将1x =代入不等式即可求得a 的范围.【详解】1A ∈Q 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞ 故答案为：()6,-+∞【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 3.已知0,0,0a b c d e >><<<，则e a c -__________eb d-．【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质可求得0a c b d ->->，进而得到11a c b d<--，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.【详解】0c d <<Q 0c d ∴->->，又0a b >> 0a c b d ∴->->11a c b d∴<-- 0e <Q e e a c b d∴>-- 故答案为：> 【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题. 4.已知集合{|1}A x y x ==-，集合{}22B y y x ==+，则A B =U __________．【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域的求解方法可求得集合A 和集合B ，由并集定义得到结果. 【详解】{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}[)22,B y y =≥=+∞[)1,A B ∴=+∞U故答案为：[)1,+∞【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，关键是能够通过函数定义域和值域的知识求得两个集合，属于基础题.5.命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 的逆否命题为 “已知,x y R ∈，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠” 是真命题，故答案为真. 【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.6.如果全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}2A B ⋂=，{}1U UA B ⋂=痧，(){4,6}U C A B =I ，()U A B ⋂=ð______．【答案】{3,5} 【解析】 【分析】此题考查了集合的交、并、补的运算,结合韦恩图逐步填空可得解. 【详解】解：{}2A B =Q I ,2,2A B ∴∈∈{}1U UA B =Q I痧,1,1A B ∴∉∉(){4,6}U C A B =Q I ,{4,6},{4,6}A B ∴⊄⊂依题意填充韦恩图如图所示:{2,3,5}A ∴={2,4,6}B =(){2,3,5}{1,3,5}{3,5}U A B ==I I ð 故答案为：{3,5}【点睛】本题考查了此题考查了集合的交、并、补的运算,熟练掌握各自的定义是解题的关键,借助韦恩图解题更简单.7.写出1x >的一个必要非充分条件__________ 【答案】0x > 【解析】 【分析】将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解.【详解】令{}|1A x x =>，根据题意将问题转化为写出一个集合,B 使A B ≠⊂，所以可以写集合{}|0B x x =>.故答案为：0x >（不唯一）【点睛】本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.8.已知集合2560{|}A x x x =-+=，{}10|B x mx =+=，且A B B =I ，则实数m 组成的集合为__________．【答案】110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【解析】 【分析】解方程求得集合A ；分别在0m =和0m ≠两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.【详解】()(){}{}2302,3A x x x =--== 当0m =时，B =∅，满足A B B =I 当0m ≠时，1B m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭A B B =Q I 12m ∴-=或13m-=，解得：12m =-或13-∴实数m 组成的集合为110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭故答案为：110,,23⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合B 为空集的情况，造成求解错误.9.已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 【详解】令10x -=，解得：1x =①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：14a > 此时集合只有一个元素1，满足题意②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14a =2104x x ∴-+=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足元素之和为1 ③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：14a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U故答案为：{}1,04⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误.10.规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b 、有: a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．【答案】1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合.【详解】由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<Q 且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.11.已知2,{|},M x x a a Z b Z ==+∈∈，则下列结论中正确的序号是__________．322M -；Z M ⊆②；③若12,x x M ∈，则12 x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈；⑤若*,x M n N ∈∈，则n x M ∈. 【答案】①②③⑤【分析】①中分母有理化后即可判断出①正确； ②中令0b =即可得到Z M ⊆，②正确；③中()(1212122x x a a b b +=+++12x x M +∈，③正确； ④中通过反例12x =，22x =，即可验证出④错误；⑤根据展开式通项，可判断出2n x c =+，,c d Z ∈，可得⑤正确()()22322322322322M ==+--+，①正确； ②当0b =时，{},M x x a a Z ==∈，可知Z M ⊆，②正确； ③令112x a b =+222x a b =+1212,,,a a b b Z ∈ 则()(1212122x x a a b b +=+++12a a Z +∈Q ，12b b Z +∈ 12x x M ∴+∈，③正确；④令12x =，22x =，满足12,x x M ∈，则1222x M x =，④错误； ⑤(2nnx a b =+，展开式通项为：(22rrrn rr n rrnnC aC ab--=当r 为偶数时，2rZ ∈；当r 为奇数时，11222222r rr --== 又rn rrn C ab Z -∈ (22na c ∴+=+,c d Z ∈，即nx M ∈，⑤正确故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.12.关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|x x β<或}x γ>(0)βγ<<，则不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为__________．【答案】()(),11,βγ-∞+++∞U 【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可得0a >，b a βγ+=-且c aβγ=，由此可将所求不等式化为()()2112x x x βγβγ+-+-+>，解不等式即可得到结果. 【详解】20ax bx c ++>Q 的解集为{x x β<或}x γ>,βγ∴为方程20ax bx c ++=的两根且0a > b a βγ∴+=-，caβγ=()b a βγ∴=-+，c a βγ=则不等式可化为：()()()2112a x a x a ax βγβγ+-+-+>0a >Q ()()2112x x x βγβγ∴+-+-+>即()()2210x x βγβγβγ-++++++> ()()110x x βγ∴---->解得：1x β<+或1x γ>+ ∴不等式解集为：()(),11,βγ-∞+++∞U 故答案为：()(),11,βγ-∞+++∞U【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，涉及到一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系、韦达定理的运用等知识，关键是能够通过解集确定方程的两根及二次函数开口方向. 二、选择题(每题5分)13.如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ． A.11a b < B. 22a b >C. a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例1a =，1b =-，0c =可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确. 【详解】若1a =，1b =-，则1111a b=>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c =，则0a c b c ==，则C 错误；211c +≥Q 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a bc c ∴>++，则D 正确.【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.14.下列命题中为真命题的是( ) ． A. “若1x =，则220x x +-=”的否命题 B. “若x y >，则x y >”的逆命题. C. “若1x >，则21x >”的否命题 D. “若1x >，则1x >”的逆否命题【答案】B 【解析】 【分析】A 选项：由其逆命题为假，可知否命题为假；B 选项：写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；C 选项：写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；D 选项：通过判断原命题假，可知其逆否命题为假.【详解】A 中，“若1x =，则220x x +-=”的逆命题为“若220x x +-=，则1x =” 当220x x +-=时，2x =-或1x =，可知逆命题为假Q 逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 ∴原命题的否命题为假，A 错误；B 中，原命题的逆命题为“若x y >，则x y >”当0y ≥时，y y =，则x y >，命题成立；当0y <时，0y >，又x y > 0x ∴> 0x y ∴>>，命题成立∴原命题的逆命题为真，B 正确；C 中，原命题的否命题为“若1x ≤，则21x ≤”当2x =-时，241x => ∴原命题的否命题为假，C 错误；D 中，若1x >，则1x >或1x <-，可知原命题为假Q 原命题与其逆否命题同真假 ∴原命题的逆否命题为假，D 错误.故选：B【点睛】本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.15.设全集U =R ，集合(){}|0P x f x ==,(){}0Q x g x ==,(){}|0H x h x ==，则方程()()()220f x g x h x +=的解集是( ) ． A. U P Q C H ⋂⋂ B. P Q ⋂ C. P Q H ⋂⋂D.P Q H ⋂⋃【答案】A 【解析】 【分析】由方程有意义可知分母不等于零，得到解集为U C H ；由分子等于零可得()0f x =且()0g x =，解集为P Q I ；上述条件需同时成立，取交集即可得到结果.【详解】Q 方程有意义 ()0h x ∴≠，解集为U C H()()220,0f x g x ≥≥Q ()()220f x g x ∴+=需()20f x =且()20g x =即()0f x =且()0g x =，解集为P Q I综上所述：方程()()()220f x g x h x +=的解集为：U P Q C H I I 故选：A【点睛】本题考查方程组解集的求解、集合的基本运算，关键是明确本题中方程成立的基本要求，即分母不为零且分子为零，从而利用交集运算求得结果. 16.已知121212,,,,,a a b b c c 均为非零实数，则“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的( ) ．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】【分析】通过1112221a b c a b c ===-可知所得两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例210x x ++>与210x x -+>解集均为R ，可知必要性不成立，从而得到最终结论.【详解】若1112221a b c a b c ===-，则221112220a x b x c a x b x c ++=--->，即22220a x b x c ++<与22220a x b x c ++>的解集不同，故充分性不成立若2211110a x b x c x x ++=++>，2222210a x b x c x x ++=-+>不等式解集均为R ，此时111222a cb ac b =≠，故必要性不成立 综上所述：“111222a b c a b c ==”是“关于x 的不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明.三、解答题17.设集合{}23,1,A a a =-+，{}2 21,3,1B a a a =--+，若{}3A B ⋂=-,试求a 与A B U .【答案】1a =-，{}3,0,1,2,4A B ⋃=--【解析】【分析】根据交集结果可令B 中元素21a -、3a -分别等于3-，求得a 后，计算出集合,A B ，舍掉交集结果不符的情况，得到a ；再根据并集运算求得A B U .【详解】①若213a -=-，则1a =-此时{}3,0,1A =-，{}3,4,2B =-- {}3A B ∴=-I ，满足题意{}3,0,1,2,4A B ∴=--U②若33a -=-，则0a =此时{}3,1,0A =-，{}1,3,1B =-- {}3,1A B ∴=-I ，不满足题意综上所述：1a =-，{}3,0,1,2,4A B =--U【点睛】本题考查集合运算中的根据交集运算结果求解参数值、并集运算等知识；此类型题易错点是忽略集合中元素的互异性、交集运算结果的一致性，导致求解错误.18.已知命题p :关于x 方程2410x x m ++-=有两个不等的负根，命题q :关于x 的方程24420x x m ++-=无实根.若命题p q 、中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案】(][)1,35,+∞U【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布得到不等关系，求解出命题,p q 分别为真时m 的取值范围；令p 真q 假、p 假q 真分别求得结果，取并集得到最终结果.【详解】若命题p 为真，则()1641010m m ⎧∆=-->⎨->⎩，解得：15m <<若命题q 为真，则()161620m ∆=--<，解得：3m >若p 真q 假，则13m <≤；若p 假q 真，则5m ≥m ∴的取值范围为：(][)1,35,+∞U【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的情况求解参数范围的问题，属于常考题型.19.关于x 的不等式组()()22210432130x ax a a x a x ⎧++≥⎪⎨-+---<⎪⎩的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】[]1,2【解析】【分析】将不等式组解集为R 转化为两个不等式均恒成立的问题；可通过∆和开口方向得到不等式，解不等式求得结果.【详解】Q 不等式组解集为R 210x ax ∴++≥和()()22432130a a x a x -+---<恒成立 若210x ax ++≥恒成立，则240a ∆=-≤，解得：22a -≤≤若()()22432130a a x a x -+---<恒成立 当1a =时，()()224321330a a x a x -+---=-<恒成立，满足题意 当3a =时，()()2243213430a a x a x x -+---=--<不恒成立，不合题意 当1a ≠且3a ≠时，()()2224304112430a a a a a ⎧-+<⎪⎨∆=-+-+<⎪⎩，解得：512a << ∴若()()22432130a a x a x -+---<恒成立，51,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ∴若不等式组解集为R ，[]1,2a ∈【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够明确一元二次不等式恒成立实际是与开口方向和判别式有关；易错点是忽略对二次项系数是否为零的讨论. 20.不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集为B . (1)求集合A 、集合B ;(2)若集合A B Z ⋂⋂中有2019个元素，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(),12,A =-∞-⋃+∞；55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）[)(]2021,20202021,2022-U【解析】分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合A ；分别在52a >、52a <和52a =三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合B ；（2）将问题转化为则A B I 中包含2019个整数；分别在52a >、512a ≤<、21a -≤<和2a <-四种情况下，确定A B I 中整数个数，由此得到a 的范围.【详解】（1）()()22210x x x x --=-+>，解得：1x <-或2x > ()(),12,A ∴=-∞-+∞U()()()22525250x a x a x x a +++=++<当52a -<-，即52a >时，52a x -<<-；当52a =时，不等式解集为∅； 当52a ->-，即52a <时，52x a -<<- 55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪∴=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）若A B Z ⋂⋂有2019个元素，则A B I 中包含2019个整数①当52a >时，512a -<-<-，(),1A B a =--I [)2022,2021a ∴-∈--，即(]2021,2022a ∈②当512a ≤<时，512a -<-≤-，5,2A B a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭I 则A B I 中不包含2019个整数，不合题意③当21a -≤<，即12a -<-≤时，5,12A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭I 则A B I 中不包含2019个整数，不合题意 ④当2a <-，即2a ->时，()5,12,2A B a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭I U 5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q 包含1个整数 ()2,a ∴-需包含2018个整数 (]2020,2021a ∴-∈，即[)2021,2020a ∈--综上所述：[)(]2021,20202021,2022a ∈-U【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、根据集合中元素个数求解参数范围、集合运算中的交集运算以及常用数集等知识，属于中档题.21.已知由自然数组成的1n -元集合{}()1,2,3,4,,11A n n =⋅⋅⋅->，非空集合B A ⊆,且对任意的a B ∈，都有n a B -∈.(1)当5n =时，求所有满足条件的集合B ;(2)当9n =时，求所有满足条件的集合B 的元素总和;(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=，集合{}5的交替和为5.当21n =时，求所有满足条件的集合B 的“交替和”的总和.【答案】（1）{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4；（2）288；（3）9192⨯【解析】【分析】（1）确定{}1,2,3,4A =后可知B 有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；（2）确定{}1,2,3,4,5,6,7,8A =可知B 有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；（3）由3n =、5n =和7n =时交替和总和的规律可得到当21n k =+时，交替和总和为()1212k k --⨯，代入10k =即可求得结果.【详解】（1）当5n =时，{}1,2,3,4A =B Q 是A 的非空子集，且a B ∈时，5a B -∈ ∴B 中有偶数个元素B ∴中有两个元素时，{}1,4B =或{}2,3；B 中有四个元素时，{}1,2,3,4B =∴所有满足条件的集合B 有：{}1,4，{}2,3，{}1,2,3,4（2）当9n =时，{}1,2,3,4,5,6,7,8A =B Q 是A 的非空子集，且a B ∈时，9a B -∈ ∴B 中有偶数个元素当B 中有两个元素时，元素之和为：()()()()1827364536+++++++=当B 中有四个元素时，元素之和为：629129108⨯⨯=⨯=当B 中有六个元素时，元素之和为：439129108⨯⨯=⨯=当B 中有八个元素时，元素之和为：3694=⨯∴所有满足条件的集合B 的元素总和为：3636108108288+++=（3）当3n =时，{}1,2B =，交替和的总和为：()332211322--==-⨯ 当5n =时，由（1）知，交替和的总和为：()5323126522-++==-⨯当7n =时，{}1,6B =或{}2,5或{}3,4或{}1,2,5,6或{}1,3,4,6或{}2,3,4,5或{}1,2,3,4,5,6，交替和的总和为：()732531242320722-++++++==-⨯ ……以此类推，当21n k =+时，交替和的总和为：()()21312212212k k k k +---⨯=-⨯当21n =时，10k = ∴所求交替和的总和为：9192⨯ 【点睛】本题考查集合运算中的新定义运算的问题，关键是能够根据新定义确定集合B 中元素的特点，从而得到规律；考查了学生归纳与总结的能力，属于较难题.。
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- 1 - 上海市青浦高级中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一.填空题 1.已知角满足sin0且cos0，则角是第________象限的角． 【答案】三 【解析】 【分析】 根据三角函数在各个象限的符号，确定所在象限. 【详解】由于sin0，所以为第三、第四象限角；由于cos0，所以为第二、第三象限角.故为第三象限角. 故答案为：三 【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题. 2.在数列{}na中，若113,4nnaaa，则5a____． 【答案】19 【解析】 【分析】 根据递推关系式，依次求得2345,,,aaaa的值. 【详解】由于113,4nnaaa，所以21324347,411,415aaaaaa， 54419aa.
故答案为：19 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题. 3.计算3lim3nnn________. 【答案】3 【解析】 【分析】
首先分子和分母同时除以n，再根据3lim0nn直接求结果. - 2 -
【详解】33limlim3331nnnnn 故答案为：3 【点睛】本题考查极限计算，这类问题常常对原极限形式变形后，利用公式1lim0nn，以及lim0,1nnpp等形式求极限，属于基础题型.
4.设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于 ． 【答案】﹣ 【解析】 试题分析:利用任意角三角函数定义求解． 解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a）， ∴x=﹣3a，y=4a，r==5a， ∴sinα+2cosα==﹣． 故答案为﹣． 考点：任意角的三角函数的定义． 5.函数2()12sinfxx的最小正周期是________ 【答案】 【解析】 【分析】 先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期． 【详解】解：f（x）＝1﹣2sin2x＝cos2x
∴函数最小正周期T22π 故答案为π． 【点睛】本题主要考查了二倍角的化简和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用． 6.利用数学归纳法证明不等式“*11112,23212nnnnN”的过程中，由“nk”变到“1nk”时，左边增加了_____项． - 3 -
【答案】2k. 【解析】
【分析】 分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1nk时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1nk时，左边11111112321221kkk，由此将其对nk时的式子进行对比，得到结果. 【详解】当nk时，左边11112321k…， 当1nk时，左边11111112321221kkk， 观察可知，增加的项数是1121(21)222kkkkk， 故答案是2k. 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果. 7.函数()arcsinarctanfxxx的值域为 .
【答案】33,44 【解析】 【分析】 fx的定义域为1,1，根据fx在1,1为增函数可得函数的值域.
【详解】fx的定义域为1,1. 因为arcsinyx在1,1上为增函数，arctanyx在1,1上为增函数， 所以fx在1,1为增函数， 而31244f，31244f，
故函数fx的值域为33,44. 故答案为：33,44. - 4 -
【点睛】本题考查反三角函数的定义域、单调性以及值域等，注意求函数的值域、考虑函数的单调性等性质时优先考虑函数的定义域，本题为基础题.
8.在ABC中，60A，1b，面积为3，则sinsinsinabcABC________．
【答案】2393 【解析】 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】60A，1b，面积为3 1133sin1222bcAc,
解得4c， 由余弦定理可得：
2212cos116214132abcbcA，
所以13239sinsinsinsin332abcaABCA, 故答案为：2393 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 9.若不等式(1)sin10ax对于任意xR都成立，则实数a的取值范围是____________． 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】 利用换元法令sintx（[1,1]t），将不等式左边构造成一次函数()(1)1ftat，根据 - 5 -
一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得a的取值范围. 【详解】令sintx，xR，则 [1,1]t． 由已知得，不等式(1)10at对于任意[1,1]t都成立．
又令 ()(1)1ftat，则 (1)0(1)0ff，即 (1)(1)10(1)110aa， 解得 02a．所以所求实数a的取值范围是02a． 故答案为：(0,2) 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查三角函数的取值范围，考查一次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
10.设数列{}na的通项公式为 ,1?31,32nnnnan，则12limnnaaa_____． 【答案】14524 【解析】 【分析】 根据数列的通项式求出前n项和，再极限的思想即可解决此题．
【详解】数列na的通项公式为,131,32nnnnan，
则3n3121111621112361124212nnaaa， 则答案31211145limlim6124224nnnnaaa． 故为：14524． 【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前n项和以及极限．求数列的前n常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等．本题主要利用了分组求和的方法． 11.关于x的方程224 arctancos0xxa只有一个实数根，则实数a_____． - 6 -
【答案】 【解析】 【分析】 首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发．
【详解】设224arctancosfxxxa，则 22224arctancos4arctancosfxxxaxxafx
∴fx为偶函数，其图象关于y轴对称， 又依题意fx只有一个零点，故此零点只能是0x， 所以204arctancos00a， ∴24arctan10a， ∴2404a， ∴21a，∴1a， 故答案为1 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题． 12.数列{}na的前n项和为nS，若数列{}na的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n，2n，…，1nn，…有如下运算和结论：①2438a；②数列1a，
23aa，456aaa，78910aaaa，…是等比数列；③数列1a，23aa，456aaa，
78910aaaa，…的前n项和为24nnnT；④若存在正整数k，使10kS，110kS，
则57ka.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a，23aa，456aaa， - 7 -
78910aaaa，…是12，1，64，2，…，22n，12n，即可得到等差数列，故②不正
确.③利用等差数列的前n项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算57.510T，610.50T即可判定④正确.
【详解】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45， 16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38，
所以2438a，故①正确. ②数列1a，23aa，456aaa，78910aaaa，…
是12，1，64，2，…，22n，12n， 由等差数列定义121222nn（常数） 所以数列1a，23aa，456aaa，78910aaaa，…是等差数列， 故②不正确. ③因为数列1a，23aa，456aaa，78910aaaa，…是等差数列，
所以由等差数列前n项和公式可知：21(1)12224nnnnnTn， 故③正确. ④由③知：1a，23aa，456aaa，78910aaaa，
1112131415aaaaa，161718192021aaaaaa，
是12，1，64，2，52，12345615677777777. 因为57.510T，610.50T 所以存在20k，使2010S，2110S，且205=7a. 故④正确. 故答案为：①③④.