12.3.2等边三角形(2) 学案(原创已用)lbf
1232等边三角形(二)
12．3．2 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点：探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质；有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．（二）能力训练要求：经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．（三）情感与价值观要求：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲；体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明． 教学难点：1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明． 2．引导学生全面、周到地思考问题．教具准备：两个全等的含30°角的三角尺；多媒体课件； 教学过程一，创境导入 1，提出问题我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，•它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？2，板书课题：12.3.2 等边三角形(二) 今天我们一起来探究它的另一个性质. 二，知识探究1提出问题将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？2，动手操作让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明3，小组讨论汇报用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)D CAB(2)D CAB①图（1）是等边三角形吗？请说一说你的理由。
②同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？（在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半）。
1232等边三角形(第2课时)
情境一 提出问题，创设情境我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？ 问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？情境二 导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．(1)D C A B (2)D C A B其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．问题1 同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？问题2 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB．AB DCA证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．∴BC=12BD=12AB．情境三拓展应用例1 右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=12AD，BC=12AB，又由D是AB的中点，所以DE=14AB．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°∴BC=12AB，DE=12AD，∴BD=12×7.4=3.7（m）．又AD=12 AB，∴DE=12AD=12×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．例2等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．DADCA EB已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=12AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．习题设计1. 如图：在Rt△ABC中∠A=30,AB+BC=12cm,则AB=_____cm2. 如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,BD=＿＿＿，BE=____3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC= 120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F。
12.3.2等边三角形导学案
12.3.2等边三角形（1）导学案【学习目标】1、知识目标：巩固等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法，能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题；2、能力目标：（1）能灵活应用等边三角形的性质解决一些实际问题；（2）通过独立思考，交流讨论，展示质疑，发展学生探索、归纳和推理能力；3、德育目标：感受成功，高效学习。
【学习重点】等边三角形的性质和判定的探索与证明【学习难点】等边三角形性质和判定的应用【学法指导】速读法、动手法、讨论法【使用说明】：先自学课本79页至81页，并独立完成学案，然后小组讨论交流。
【学习过程】1、复习回顾：（1）等腰三角形地的性质：①② .（2）判断命题:等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( ) （3）已知△ABC中，BC＝AC，∠B=700，则∠C=____________2、问题思考：（1）在等腰三角形中，如果底边也等于腰长，会得到什么结论？（2）把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到哪些结论？（3）怎样判定一个三角形是等边三角形呢？3、设疑猜想，引入课题（1）等边三角形的定义：（2）思考：等边三角形有哪些性质？边：________________________角：________________________4、在△ABC中，∠A=∠B=∠C，你能得到AB=BC=CA吗？你从中能得到什么结论？5、已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°。
（1）求证：△ABC是等边三角形。
（2）如果把∠A=60°改为∠B=60°或∠C=60°结论还成立吗？由上可知：等边三角形的判定定理：；ECBDAAD BCE6、如图，⊿ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ＢＣ， 交ＡＢ，ＡＣ于Ｄ，Ｅ． 求证： ⊿ＡＤＥ是等边三角形．【当堂检测】1. .如图所示，△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，D 为AB 的中点， DE ∥AC 交BC 于E ，连接AE,则△BDE 为 三角形， △ADE 为 三角形，△ABE 为 三角形.2、如图，△ABC 为等边三角形，A D ⊥BC ，AE=AD ，则∠ADE=______。
12.3.2等边三角形(2)课件
∴BC=AB
则BD=__AB.
B
D
C
图1
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
B
C
D
△ABC中，
∵∠B=___°,
又∵ AB=AD
∴△ABC是___三角形（__________）
∴BC= 1 BD= 1 ___.
A
2
2
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30° B ┓ C ∴AC＝2BC
在Rt△ABC 中， 如果 ∠Ｃ＝ ９0° ， ∠B＝ 30 ° AB=4，求BC之长。
A
┓
C
B
例 下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
B
D
A EC
拓展
• 如图所示，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交 AC于点E，交BC于点F.
• 求证：B F = 2 C F .
12.3.2 等边三角形 （2）
珠海市第九中学 八年级备课组
• 1.如图1，△ABC是等边三角形，AD⊥BC 于D,
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC∴∠BAD=___°,_______________)
∴BD=__BC. ,(___________________)
又∵△ABC是等边三角形.
A
12.3.2等边三角形2
例1
(1)
(2)若D、E分别 是AB、AC上的中点，
(3)△ADE是等边三角形吗？
D
A
E
B
C
2015/11/20
例2：如图B是AP上一点，△APC、 △BDP 都是等边三角形，联结BC和DP.图中隐藏 着一对全等三角形，你能找出他们吗？(1) 试着说明道理
2015/11/20
B
∠APB= 60°
∴AB＝AP＝PB=200m
）
60°
P
2015/11/20
从而△APB是等边三角形， AB的长是200m,由此可以得 出兴趣小组的结论是正确的。
教师寄语
• 愿你用勤奋的汗 水 • 浇灌智慧的花朵
2015/11/20
2、如图， △ABC中，D、E是BC边上 的三等分点， △AED是等边三角形， 则∠BAC为（ ）度？
A E D
3、在△ABC中，AB=AC，以AB、 AC为边在△ABC的外侧作两个等 边三角形△ABE和△ACD，且 ∠EDC=40°，则∠ABC＝ （ ）度？
A
B
C
B
2015/11/20
D
E
C
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 ,将此图变成四个等边三角形.
2015/11/20
提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.
求∠BAC的大小．
2015/11/20
3、如图，已知△ABC是等边三角形，P是BC上 一点，问在CA和AB上是否存在点Q和R，使 △PQR为等边三角形？若存在，求出点Q和R， 并加以证明；若不存在。请说明理由.
A
R
●
●
Q C
B
12.3.2等边三角形(2)
年级八年级课题12.3.2等边三角形（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.2.了解直角三角形边角性质定理的逆定理.3.会用上面性质证明简单的线段倍分问题.过程方法通过探究30°角直角三角形的性质，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力.情感态度通过学习30°角直角三角形的性质，了解等边三角形与30°角直角三角形相互转化的事实，培养学生用发展变化的思想看问题的价值观.教学重点含30°角的直角三角形的性质.教学难点含30°角的直角三角形性质的推导.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入我们见过那些特殊形状的三角形（即三角形每个内角度数不变）？二、探究新知探究：1.将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题：（1）判断△ABD的形状，依据是什么？（2）BC与CD大小有什么关系关系？为什么？（3）BC与AB大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形性质吗？归纳：含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
事实上，上述定理的逆命题也是真命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它对的角等于30°。
含30°角的直角三角形是半个等边三角形，除了具有上述边角的特殊关系外，它的三个角度数分别为30°、60°、90°所以它是一个特殊的直角三角形.学生列举特殊形状的三角形,老师引出本节课的课题，并板书课题。
学生观察、思考、猜测、证明、归纳结论。
教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质。
对以前所学的特殊形状的三角形进行归纳，增强学生对特殊直角三角形的认识。
12.3.2等边三角形(2)课件
将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
B
C
D
△ABC中， ∵∠B=___°, 又∵ AB=AD ∴△ABC是___三角形（__________） 1 1 A ∴BC= BD= ___.
2 2
B
C
DHale Waihona Puke 12.3.2 等边三角形 （2）
• 1.如图1，△ABC是等边三角形，AD⊥BC 于D, ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC ∴∠BAD=___°,(_______________) ∴BD=__BC. ,(___________________) A 又∵△ABC是等边三角形. ∴BC=AB 则BD=__AB.
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
┓ B
C
在Rt△ABC 中， 如果 ∠Ｃ＝ ９0° ， ∠B＝ 30 ° AB=4，求BC之长。
A
┓
C
B
例 下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
B
D A E C
拓展
• 如图所示，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交 AC于点E，交BC于点F. • 求证：B F = 2 C F .
12.3.2等边三角形
B 推理过程：
C ∵ ∠A= ∠ B=∠C ∴ AB=AC=BC
∵ ∠ B=∠C ∴ AB=AC ∴AB=AC=BC
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判定2： 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形
已知： AB=AC ∠A= 60 已知： AB=AC ∠B= 60 求证： AB=AC=BC 求证： AB=AC=BC A 证明： ∵AB=AC ∠B= 60。 。 ∴∠B= ∠C= 60 。 ∴ ∠A=180 －∠B 。 － ∠C= 60 B C ∴∠A= ∠ B=∠C 1 60 。 ∴ AB=AC=BC 证明： ∵AB=AC ∠A= 2
。 。
。
∴∠B＝∠C＝ (180 数学格式: 。 。 ∵AB=AC ∠A= 60 －∠A)= 60 ∴∠A= ∠ B=∠C ∴ AB=AC=BC 需要更完整的资源请到 新世纪教 ∴AB=AC=BC 育网 -
。
一般三角形
等边三角形
⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
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２、等边三角形的对称轴有（ Ｃ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
３、等边三角形中，高、中线、角平分线 共有（ Ａ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
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一般三角形
等腰三角形 底 ≠腰 底＝腰
等边三角形
一般 有二条边相等 等腰 三角形 三角形
｛
等边三角形
定义：三条边 都相等的三角形叫做等
边三角形。
(正三角形) 特殊的等腰三角形
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12.3.2等边三角形（2）
lbf
学习目标：
基础知识：有一个角为30°的直角三角形的性质。
基本技能：探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质。
重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．。
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。
一、 课前预习
1、P55探究：
试猜想BC与AB之间的数量关系，并说明理由。
二．新知识学习
1、通过对预习问题的推证，我们可以得到一条直角三角形中的重要性质：
。
用符号语言来表示：
三、新知应用
1、P56练习.
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与
BC•之间有什么关系？
2、例5. 右图是屋架设计图的一部分，点D是
斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，
AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
_D _C _A _B
_C
_B
_A
D
C
A
E
B
3、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB，若AB=a,则DB= 。
4、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,
CD是腰ＡＢ上的高．求ＣＤ的长．
5、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是
高，∠A=30°． 求证：BD=14AB．
6、在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠BAC＝
120°,ＡＣ的垂直平分线ＥＦ交ＡＣ于点
Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．求证：ＢＦ＝２ＣＦ．
7、拓展探究：在直角三角形中，如果一条
直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对
的锐角等于30°．
四、学习成果检验：
如图、 ∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的延长线上
一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °，且ＡＤ＝ＡＢ，
则ＢＣ= AD
A
Ｂ Ｆ Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
D
C
A
B
Ｄ
Ａ Ｃ
Ｂ
_C
_A
_B