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构造等差或者等比数列求解数列的通项公式-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式【典例1】数列{}n a 中，112a =，112(()2n n n a a n N *+=-∈,数列{}n b 满足*2n n n b a n =⋅∈N ．（I ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n nc a =，求数列22n n c c +⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项n T ．【思路点拨】（I ）将1122nn n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭配凑成11221n n n n a a ++=-.由此证得数列{}n b 是等差数列.求得n b 的表达式，进而求得数列{}n a 的通项公式.（II ）先求得n c 的表达式，然后利用裂项求和法求得n T .【典例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可【典例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【典例4】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.【典例5】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【典例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .1.已知数列{}n a 满足112a =-，()1212n n a a n -=-≥．（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．2.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .3.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.5.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.7.已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．8.已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.参考答案【典例1】解：（I ）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n n n a =．（II ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++．∴1111111111111132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311212n n =--++．【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可解：(1)由23n n S a n =-,得()11231n n S a n ++=-+,两式相减,得123n n a a +=+,所以()1323n n a a ++=+,即()12n n b b n *+=∈N,当1n =时,11123a S a ==-,所以13a =,则1136b a =+=,所以数列{}n b 是以6为首项,2为公比的等比数列,所以162n n b -=⋅,所以()13623321n n n n a b -=-=⋅-=-(2)由(1)知22323nn a =⋅-,则24224623232323nn a a a a n++++=⋅+⋅++⋅-L L ()14143343414n n n n +-=⋅-=---【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．解：(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21nn S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2)因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=-即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226x f x x =--(1x ≥)，()2ln 210xf x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.解：（1）由1121nn n n a b b ++=+，取1n =，得22121a b b =+，解得24a =.取2n =，得33241a b b =+，解得38a =.∵{}n a 是等比数列，则322a q a ==，212aa q==.∴{}n a 的通项公式为112n n n a a q -==.（2）∵11221n n n n b b ++=+，∴数列{}2n n b 是公差为1的等差数列.()12211n n b b n n =+-⨯=，则2n nnb =.设{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，234112322222n n S n+=++++ .则2311111222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+-11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--.∴222n n n S +=-.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N .（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.解：（1）221142n n n n a a a a +++=- ，()()2211112422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+=-=+-.0n a > ，120n n a a +∴+>，121n n a a +∴-=，即121n n a a +=+，则有1122211n n n n a a a a +++==++且112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得12nn a +=，即21nn a =-，得()22111112212232n n n n n n a --=≤=⋅≥--，2123411111111111121232111322232312n n n n a a a a -+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++++≤++++==-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- .【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）令1n =，得1121a a =-，由此得11a =,由于2n n S a n =-，则()1121n n S a n ++=-+，两式相减得()11212n n n n S S a n a n ++-=-+-+，即121n n a a +=+，所以()1121121n n n a a a ++=++=+，即1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，其首项为112a +=，11222n nn a -+=⋅=，故数列{}n a 的通项公式是21nn a =-.（2）1111n n n n b a a a ++=+11n n n a a a ++=()()122121nn n +=--()()()()1121212121n n nn ++---=--，1112121n n +=---，12n nT b b b =+++12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12231111111212121212121n n +=-+-++-------11121n +=--.1.【思路点拨】（1）由已知构造等比数列，可得111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，化简即为{}n a 的通项.（2）由已知得32n n a b n +=-，代入112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()1=312nn b n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.解：（1）由()1212n n a a n -=-≥，得()1211n n a a -+=+，即()11112n n a a -+=+，又11102a +=≠，∴{}1n a +是以1112a +=为首项，公比为12的等比数列．∴111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()11332n n a b n n +=+-⨯=-，∵112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()()()11323213122n nn n b n a n n ⎛⎫⎛⎫=--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n b 的前n 项和为：()2121112531222nn b b b n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-- ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L ()21112531222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++--+++⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L()211122231311122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=-+ ⎪⎝⎭-．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .【思路点拨】（1）根据所给通项公式及12a =,24a =,310a =,可求得123,,b b b ,即可利用等比中项定义判断{}n b 是否为等比数列.（2）根据{2}n b +为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得n b .根据1,n n n a a b +-=结合递推公式与累加法,即可求得n a .解：（1）数列{}n b 不是等比数列.理由如下：由1n n n a a b +-=,且1232,4,10a a a ===得：所以1212b a a =-=,2326b a a =-=,又因为数列{2}n b +为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b +=⨯=,314b =∴,显然22133628b b b =≠=故数列{}n b 不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}n b +的首项为4,公比为2,故112422n n n b -++=⋅=,所以122n n b +=-,因为1n n n a a b +-=,122(2)nn n a a n --=-≥∴令2,,(1)n n =- 累加得()2322222(1)nn a n -=+++-- ,()23222222nn a n ∴=++++-+ ()1221222221n n n n +-=-+=--,又12a =满足上式,+122n n a n=-∴3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【思路点拨】（1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性；（2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和．解：（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n 是等差数列，公差为2，又141b =，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+．2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列．（2）11111(2(1)21n b n n n n ==-++，∴111111[(1()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++ ．4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.【思路点拨】(1)利用1nn n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥,故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-,所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122nn n b a n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭,所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥.故t 的最小值为14.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路点拨】（1）12n n c a n =-+，则12n n a c n =+-代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得n a ，从而得n b ，用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）设12n n c a n =-+，由题111(1)22n n a n a n +⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，即1n n c c +=-，又11111022c a =-+=≠，∴{}n c 为等比数列，即12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）知11(1)2n n c -=⋅-，即111(1)22n n a n -=⋅-+-，2121n a n -∴=-，212n n n b -∴=，231135232122222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++，234+111352*********n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，两式相减得23111111121323222222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎭，2332n nn S +∴=-.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.【思路点拨】（I ）令1n =，利用11a S =可求得13a =；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-整理可得()1222n n a a -+=+，从而证得结论；（II ）由（I ）可得{}2n a +的通项公式，从而求得()1252n n n a n -+=⋅，利用错位相减法求得结果.解：（I ）令1n =，11123a S a ==-，解得：13a =当2n ≥且n *∈N 时，221n n S a n =--，11221n n S a n --=-+11222n n n n n a S S a a --∴=-=--，即122n n a a -=+()1222n n a a -∴+=+{}2n a ∴+是以125a +=为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）知：1252n n a -+=⋅()1252n n n a n -∴+=⋅设数列(){}2n n a +的前n 项和为nT 则()012215210215251252n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()123125210215251252n nn T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式作差得：()()11212125525222552512n n n n n T n n ----=-⋅+⨯++⋅⋅⋅+=-⋅+⨯-()55252105525n n n n n =-⋅+⋅-=-⋅-()5525n n T n ∴=-⋅+7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【思路点拨】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列2{}3n a +为等比数列；（2）先根据（1）的结论得出数列{}n a 的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n 项和n S ．解：（1）证明：由题意，当*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列，则1223n n a a +-=，即1223n n a a +=+，1222222()3333n n n a a a +∴+=++=+，又12121333a +=+= ，∴数列2{}3n a +是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知1223n n a -+=，即1223n n a -=-，*n N ∈．12n nS a a a ∴=++⋯+1212222(1(2(2)(2)3333n -=-+-+-+⋯+-1212(1222)3n n-=+++⋯+-122123n n -=--2213n n =--．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.【思路点拨】（1）首先令2n =，解得13a =，将11232n n n a a ---=⋅化简为112122n n n n a a ---=-，得到数列{}2nna -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）可知1122n n n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，利用分组求和可算出1112()2n n n S +-=-，从而得到11132nn n a S ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，再计算n T 即可找到m 的最小值.解：（1）当2n =时，2126a a -=，因为1232a a =，所以13a =.由11232,2n n n a a n ---=⋅≥，得()11222nn n n a a---=-，所以112122n n n n a a ---=-，则数列{}2nn a -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知1122n nn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-，1122n nn a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=.111(1)2(12)122()112212nn n n n S +---=+=---.所以111111111132322()2()22nn n n n n n n a S -+-⎛⎫===⋅ ⎪+⎝⎭++- ，11(1)11162(1)132312n n n T -==-<-所以m 的最小值为1.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.试题分析：（1）题中条件12nn n a b -=，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式122nn n a a +=+转化为的递推公式：11122n n n n a a +-=+，从而11n n b b +=+，，进而得证；（2）由（1）可得，12n n a n -=，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.解：（1）∵122nn n a a +=+，11122n n n n a a +-=+，又∵12nn n a b -=，∴11n n b b +=+，，∴则{}n b 是为首项为公差的等差数列；由（1）得1(1)1n b n n =+-⋅=，∴12n n a n -=，∴①，①得：②，②-①得.。
等差数列与等比数列-高考文科数学-高考文科数学热点难点专题专题突破
等差数列与等比数列1．已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( ) A ．3 B ．7 C ．13 D ．15 答案 D解析 由于数列为等差数列，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝9，4a 1＋6d ＝24，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝9＋6＝15.2．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3()a 3＋a 2，则 9a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9B ．9C ．－81D ．81 答案 B解析 根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2＝q 2＝3， 而9a 1a 2a 3…a 9＝9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9.3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 答案 A解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0， 由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2或d ＝0(舍)． 所以S 6＝6×1＋－2＝－24.4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 答案 B解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n ＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n＝2n＝642＝212， ∴n ＝12.5．已知数列{a n }满足15n a ＝25·5a n ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13答案 A 解析 ∵15n a ＋＝25·5n a ＝25na ＋，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是等差数列，且公差为2. ∵a 2＋a 4＋a 6＝9， ∴3a 4＝9，a 4＝3.∴＝173log 3a ＝＝13log 27＝－3.6．数列{a n }是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于()A. 2 B ．3 C. 5 D ．6 答案 B7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝15，且满足()2n －5a n ＋1＝()2n －3a n ＋4n 2－16n ＋15，已知n ，m ∈N *，n >m ，则S n －S m 的最小值为( )A ．－494B ．－498 C ．－14 D ．－28答案 C解析 根据题意可知(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －5)(2n －3)， 式子的每一项都除以(2n －5)(2n －3)， 可得a n ＋12n －3＝a n2n －5＋1， 即a n ＋1n ＋－5－a n2n －5＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －5是以152－5＝－5为首项，以1为公差的等差数列，所以a n2n －5＝－5＋(n －1)·1＝n －6，即a n ＝(n －6)(2n －5)，由此可以判断出a 3，a 4，a 5这三项是负数， 从而得到当n ＝5，m ＝2时，S n －S m 取得最小值， 且S n －S m ＝S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝－3－6－5＝－14.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋a 12－a 8＝8，a 10－a 6＝4，则S 23＝( ) A ．23 B ．96 C ．224 D ．276【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 4＋a 12－a 8＝2a 8－a 8＝a 8＝8，a 10－a 6＝4d ＝4，解得d ＝1，所以a 8＝a 1＋7d ＝a 1＋7＝8，解得a 1＝1，所以S 23＝23×1＋23×222×1＝276，选D.【答案】D9．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列，则公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】设{a n }的公比为q ，由题意得2(a 3＋4)＝a 1＋1＋a 5＋7⇒2a 3＝a 1＋a 5⇒2q 2＝1＋q 4⇒q 2＝1，即a 1＝a 3，d ＝a 3＋4－(a 1＋1)＝4－1＝3，选B.【答案】B10．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5【解析】因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项， 所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝a 5＋a 72a 1＋a 3＝428＝2； 同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝a 9＋a 112a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 【答案】C11．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)12．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *)，则a 6b 7＝( )A ．16 B.24215 C.43223 D.49427【解析】令S n ＝38n 2＋14n ，T n ＝2n 2＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝38×11＋142×13＋1＝43227＝16.故选A.【答案】A13．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92【解析】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝n 1＋2n －2＝n 2，∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2.令t ＝n ＋1，则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t－2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时等号成立，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4.故选A.【答案】A14．已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________. 答案n n ＋2(n ∈N *)解析 设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋7d )， ∴(1＋3d )2＝(1＋d )·(1＋7d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝n n ＋2(n ∈N *)．15．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－85，－43解析 ∵a 2＝8＝a 1＋d ， ∴a 1＝8－d ，S n ＝na 1＋n n －2d ＝(8－d )n ＋n n －2d＝12dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32d n ， 对称轴为n ＝32－8d，∵S n ≤S 7，∴S 7为S n 的最大值，由二次函数的性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧132≤32－8d ≤152，d <0，得－85≤d ≤－43，即d 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－85，－43.16．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n (n ∈N *)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 333＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n n ＝________.答案 2n ＋1－2解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2nn ＝[2＋n －d ]2n＝d 2n 2＋d －2d 2n ＋d －2n，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2. 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n n ＝2nn＝2. 所以a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 333＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n n ＝21＋22＋ (2)＝－2n1－2＝2n ＋1－2.17．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 017＝________. 答案 1解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…， 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…， 构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 017＝b 1＝1.18．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对∀n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )， 得a n ＋2n ＋2－a nn＝λ， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的奇数项和偶数项分别构成首项均为1， 且公差均为λ的等差数列． 因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n2λ＋n ；当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n2λ＋n .当n 为奇数时，由a n <a n ＋1， 得n 2－n2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ； 若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0. 当n 为偶数时，由a n <a n ＋1， 得n 2－2n2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即3n λ>－2，所以λ>－23n ，即λ≥0.综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．19．已知等差数列{a n }中，a 3＝π4，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________.【解析】∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－22.【答案】－2220．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________. 【解析】解法一：设数列{a n }的公比为q ，由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5， 所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17.解法二：由等比数列的性质可知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，若设S 2＝a ，则S 4＝5a ， 由(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ，所以S 8S 4＝85a5a＝17.【答案】1721．已知数列{x n }各项均为正整数，且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可能取值的集合为________．22．已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n. (2)由(1)可得，S n ＝n 2＋2n2＋－2n1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.23．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n(a n －3n ＋21)＝－23b n ，b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．。
新高考 核心考点与题型 数列 第1讲 等差数列及其前n项和 - 解析
第1讲 等差数列及其前n 项和[考情分析] 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).考点一 等差数列的性质及应用 多维探究角度1 等差数列项的性质【例1】在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.【变式1】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )． A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 (1)S 8＝4a 3⇒8(a 1＋a 8)2＝4a 3⇒a 3＋a 6＝a 3，∴a 6＝0，∴d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.【变式2】已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++()()553311235a b a b a b ∴+=+-+= 答案：35【变式3】等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( )A.3B.4C.log 318D.log 324∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列，∵log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∵log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去). ∵等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318，∵公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∵数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45.【变式1】在等差数列{a n }中．若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和S n ＝286，则n ＝________.解析 (1)依题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67.由等差数列的性质知a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. 又S n ＝n (a 1＋a n )2，即286＝n ×222，∴n ＝26.【变式2】在等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则前3m 项的和为________． 记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.【例3】 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.解 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3，∴S 2 019＝3×2 019＝6 057. 【变式1】在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ） A. 2007- B. 2008- C. 2007 D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得nS An B n=+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =-，答案：B【变式2】设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.【变式3】等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例1】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1）， 所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）. 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列.【迁移探究2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【变式1】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝－23＋(－1)n2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋（－1）n·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【变式2】 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n .设b n ＝a n －2n3n .证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n . 考点三 等差数列的前n 项和及其最值【例4】 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17解∵a 1＝29，S 10＝S 20，∵10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∵S n ＝29n ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∵当n ＝15时，S n 取得最大值． 规律方法 求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值.①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【变式1】 等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5【变式2】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn ＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.【变式3】在等差数列{}n a 中，10a >，若其前n 项和为n S ，且148S S =，那么当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【变式4】在等差数列{}n a 中，10a >，054>+a a ，054<a a ，使前n 项和0n >S 成立的最大正整数n 的值为________3、从n S 的图像出发，由148S S =可得n S 图像中11n =是对称轴，再由10a >与148S S =可判断数列{}n a 的公差0d <，所以n S 为开口向下的抛物线，所以在11n =处n S 取得最大值，答案：D4、思路：0n >S 成立的最大正整数n ，即001<>+n n s s 且此时成立。
等比数列精选高考题
高二数学《等比数列》专题练习题 注意事项：1.考察内容：等比数列 2.题目难度：中等题型3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。
4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ） A. －4 B.4 C . ±4 D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =A ． 2 B.73C. 83D.36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－27.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．218.已知等比数列{}na 的首项为8，nS 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 49.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列10.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．A a(1+p)7B a(1+p)8C )]1()1[(7p p pa +-+ D )1()1[(8p p pa +-+]二、填空题11.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 12.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．13.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = _____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=． （1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：2{}3na -是等比数列； （3）当176a=时，求数列{}n a 的通项公式．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n nT a a a a =+++L17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .答案一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D二、填空题11.3212.25；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=，又2210b q =⨯>，∴22b =；∴=+221b a a 25；13.15214.12-n三、解答题15.（1）解析：11,n nna a a αβαβ++==，而6263ααββ-+=，得1623n n na a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123n n aa +=+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3na -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3na -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n na n N *=+∈．16.解析：（Ⅰ）2335,,22aa ==-474a = （Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n ba a a n -+-≥=-=-=+--时 222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-= ∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n nb -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++L=12(2)n b b b n ++++L 11[1()]1222()2 1.1212n n n n -=-+=+-- 17.解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log 121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分 （2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n 由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>na 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n nS a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a从而].)21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----=高二数学必修5《等比数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．4、通项公式的变形：1n m n m a a q -=；2()11n n a a q --=；311n n a q a -=；4n m n ma q a -=．5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 同步练习：1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）A ．4B ．32C ．169D ．22、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（ ） AB．(112±C．(112+D．(1125、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ）A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =-7、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81B．CD ．2438、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ） A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b aD ．10b a ⎛⎫⎪⎝⎭9、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ） A ．25B．C．-D．±10，则它的第四项是（ ） A ．1 BCD．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为（ ） A ．900元B ．2200元C ．2400元D ．3600元12、若数列{}n a 为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（ ）1{}2n a ；21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；3{}n a ；4{}2log n a ；5{}1n n a a +⋅；6{}1n n a a ++A ．3B ．4C ．5D ．613、在等比数列{}n a 中，若39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．3或3-D ．不存在14、等比数列{}n a 中，236a a +=，238a a =，则q =（ ） A ．2B ．12C ．2或12D ．12-或2-15、在等比数列{}n a 中，首项10a <，若{}n a 是递增数列，则公比q 满足（ ） A ．1q > B ．1q < C ．01q << D ．0q <16、若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C ．1-或2- D ．1-或217、已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1418、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10％～20％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在123456H →H →H →H →H →H 这条生物链中，若使6H 获得10kJ 的能量，则需要1H 最多提供的能量是（ ）A ．410kJB ．510kJC ．610kJD ．710kJ19、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8-D ．10-20、数列{}n a 满足()1123n n a a n -=-≥，143a =，则4a =_________．21、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于________．22、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．23、首项为3的等比数列的第n 项是48，第23n -项是192，则n =________． 24、在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．25、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．26、已知数列{}n a 为等比数列． 1若54a =，76a =，求12a ；2若4224a a -=，236a a +=，125n a =，求n ．27、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式．28、若数列{}n a 满足关系12a =，132n n a a +=+，求数列的通项公式．29、有四个实数，前3个数成等比数列，它们的积为216，后3个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数．高一数学同步测试（12）—等比数列一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{na 1}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ） A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅L 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 （ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =________．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ． 三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m 2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m 2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m 2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2．14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明： 由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1) 又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝qa -11(1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝6320.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋根据已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--q q a q q a n n 160)1(481)1(211① ②1)1(21---x x x n ， ∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6． 若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11 则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)1.3.1等比数列一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A. B. C ．2 D ．34．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.5．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )A. B. C. D．不确定二、填空题6．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．1.答案 B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c 必同号．2.答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.答案 A解析∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.4.答案 A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.5.答案 A解析a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q －1)＝0 (q≠1)，∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍去)，∴＝＝.6.答案 4解析q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.7.答案 5解析设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.9.解由题意可列关系式：②÷①得：q (1－q )＝＝，∴q ＝，∴a 1＝＝＝96.又∵a 6＝a 1q 5＝96×＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3.10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ， 证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C ≠C 1·C 3.8.答案解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝. 较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.高二数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：1若项数为()*2n n ∈N ，则Sq S =偶奇．2n n m n m S S q S +=+⋅．3n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．同步练习：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a--B ．111n a a+--C ．211n a a+-- D ．以上均不正确2、若数列的前n 项和为()10n n S a a =-≠，则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．等比或等差数列D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n Sq -D ．nq S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ） A ．41.1a B ．51.1a C ．()5101.11a - D ．()2111.11a -6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ） A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 9、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180B ．108C ．75D ．6310、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．711、数列1，12+，2122++，…，（2122+++…12n -+），…的前n 项和等于（ ） A ．12n n +- B ．122n n +--C ．2n n -D ．2n12、首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为（ ） A ．1n a -B ．naC ．n aD ．()1n a -13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则n nS T 的值为（ ）A ．1n a aB ．1na a C ．1n n n a aD ．1nn a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（ ） A ．32S B ．34S C ．36S D ．38S 15、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0n n S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠16、在正项等差比数列{}n a 中，若27S =，691S =，则4S 的值为（ ） A ．28 B ．32 C ．35 D ．4917、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132log log a a ++…310log a +=（ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+18、等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ） A ．C A+B = B ．2C B =AC ．2C A +B -=BD ．()22C A +B =A B+19、一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（ ）A ．65B ．56C ．20D ．11020、已知等比数列{}n a 的公比为13q =，且135a a a +++…9960a +=，则1234a a a a ++++…100a +=（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40 21、若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则a =（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-22、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________．23、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．24、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n项和为nS ，若1053132S S =，则n S =_____________．25、若数列{}n a 满足：11a =，12n na a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．26、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________．27、等比数列{}n a 中，若166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，则q =________． 28、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．29、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值． 30、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．31、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式． 高二数学必修5《等比数列》练习卷 知识点：1、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若 ，则称 为 与 的等比中项．3、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．4、通项公式的变形：① ；② ；③ ；④ ．5、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是等比数列，且 （ 、 、 ），则 ． 同步练习：1、在等比数列 中，如果 ， ，那么 为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．3、若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（）A．B．C．D．5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）A．B．C．D．6、如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．，D．，7、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．8、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）A．B．C．D．10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是（）A．B．C．D．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）A．元B．元C．元D．元12、若数列为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹A．B．C．D．13、在等比数列中，若，，则的值为（）A．B．C．或D．不存在14、等比数列中，，，则（）A．B．C．或D．或15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（）A．B．C．D．16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）A．或B．或C．或D．或17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．18、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有％～％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在这条生物链中，若使获得的能量，则需要最多提供的能量是（）A．B．C．D．19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．20、数列满足，，则_________．21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．22、若为等比数列，且，则公比________．23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．26、已知数列为等比数列．⑴若，，求；⑵若，，，求．27、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．28、若数列满足关系，，求数列的通项公式．29、有四个实数，前个数成等比数列，它们的积为，后个数成等差数列，它们的和为，求这四个数．高二数学必修5《等差数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．同步练习：1、等差数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2、下列四个命题：①数列，，，是公差为的等差数列；②数列，，，是公差为的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成的形式（、为常数）；④数列是等差数列．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④3、中，三内角、、成等差数列，则（）A．B．C． D．4、已知，，则、的等差中项是（）A．B．C．D．5、已知等差数列，，，…，的公差为，则，，，…，（为常数，且）是（）A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列C．非等差数列D．以上都不对6、在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．7、是等差数列，，，…的（）A．第项B．第项C．第项D．第项8、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．9、在等差数列，，，…中第一个负数项是（）A．第项B．第项C．第项D．第项10、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．11、在和（）两个数之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．12、设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．13、与的等差中项是（）A．B．C．D．14、若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为，，则（）A．B．C．D．15、一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（）A．B．C．D．16、在等差数列中，若，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．17、等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、设数列 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）A ．B ．C ．D ．19、高山上的温度从山脚起，每升高 米降低 ℃，已知山顶的温度是 ℃，山脚的温度是 ℃，则山脚到山顶的高度为（ ）A ． 米B ． 米C ． 米D ． 米20、等差数列 的公差是 ， … ，则 … _________．21、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为________，这个数列的通项公式 ____________________．22、在 和 之间插入 个数，使它们与 、 组成等差数列，则该数列的公差为________．23、已知数列 的公差 ， ，则 ________．24、等差数列 中， ， ，且从第 项开始每项都大于 ，则此等差数列公差 的取值范围是___________．25、等差数列 ， ， ，…的第 项的值为________．26、一个等差数列 ， ，则 ___________．27、在数列 中，若 ， ，则 __________________．28、 ， ， ， ， 是等差数列中的连续五项，则 __________， _________， ___________．29、在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ， ， ．30、在等差数列 中，若 … ， … ，求 … ．31、已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数．高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： 1a b b a >⇔<；2,a b b c a c >>⇒>；3a b a c b c >⇒+>+； 4,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；5,a b c d a c b d >>⇒+>+；60,0a b c d ac bd >>>>⇒>；7()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；8)0,1a b n n >>>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b <D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ）1若x y z >>，则xy yz >；2a b >，c d >，0abcd ≠，则a b c d >； 3若110a b <<，则2ab b <；4若a b >，则11b b a a ->-．A ．1B ．2C ．3D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b < B ．< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ） A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x +≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ）A ．22a a a a >>->-B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ） A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式1222a a +>，2()2221a b a b +≥--，322a b ab +>恒成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：122a b ac bc >⇒>；222a b a b >⇒>；333a b a b >⇒>；422a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．1413、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c d a b-<-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d < 15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．20y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：1200元以内（包括200元）不予优惠；2超过200元不超过500元，按标价9折优惠；3超过500元其中500元按2优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________．19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________．23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小： 12 ()()4422a b a b ++与()233a b +． 26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d >--．新课标数学必修5第2章数列单元试题（2）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+10x +8=0B ．x 2－10x +64=0C ．x 2+20x +64=0D ．x 2－20x +64=0考查等差中项，等比中项概念及方程思想．【解析】设两数为a 、b ，则有a +b =20，ab =64．由韦达定理，∴a 、b 为x 2－20x +64=0的两根．【答案】D2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个考查等比数列的简单运用．【解析】a 1=1，公比q =2．经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．【答案】B3．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++等于（ ）A ．215+B ．215-C ．251-D ．215± 考查等比数列性质及方程思想．【解析】依题意：a 3=a 1+a 2，则有a 1q 2=a 1+a 1q ，∵a 1>0，∴q 2=1+q ⇒q =251±．又∵a n >0．∴q >0，∴q =215+，5443a a a a ++=q 1=215-． 【答案】B4．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（ ）项（ ）A ．23B ．24C ．19D ．25考查数列方法的灵活运用．【解析】由题意，根号里面是首项为2、公差为4的等差数列，得a n =2+（n －1）4=4n －2，而72=98，令98=4n －2⇒n =25．【答案】D5．等差数列{a n }中，S 9=－36，S 13=－104，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6等于（ ）A ．42B ．－42C ．±42D ．无法确定考查等比、等差的综合运用．【解析】S 9=－36⇒a 5=－4，S 13=－104⇒a 7=－8⇒b 6=±75a a =±42．【答案】C6．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n （n ∈N *），则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差考查数列求和及通项．【解析】S n +1－S n =（3+2a n +1）－（3+2a n ）⇒a n +1=2a n （n ≥1）．【答案】A7．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于（ ）A ．210B ．220C ．26D ．215考查等比数列性质的运用及转化能力．【解析】由a 1·a 30=a 2a 29=…=a 15a 16已知转化为（a 1a 30）15=230⇒a 1a 30=22又a 3·a 6·…·a 30=（a 3a 30）5=（a 1q 2·a 30）5=（a 1a 30）5·210=220．【答案】B8．若S n 是{a n }前n 项和且S n =n 2，则{a n }是（ ）A ．等比但不是等差B ．等差但不是等比C ．等差也是等比D ．既非等差也非等比考查数列概念．【解析】∵S n =n 2，S n －1=（n －1）2，S n +1=（n +1）2∴a n =S n －S n －1=2n －1，a n +1=S n +1－S n =2n +1∴a n +1－a n =2，但12121-+=+n n a a n n 不是常数． 【答案】B9．a 、b 、c 成等比数列，则f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定考查等比数列与二次函数知识的综合运用．【解析】由已知b 2=ac ，∴Δ=b 2－4ac =－3ac ．又∵a 、b 、c 成等比，∴a 、c 同号，∴Δ<0．【答案】A10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为（a －d ）元/m 2，二层价格a 元/m 2，三层价格为（a +d ）元/m 2，第i 层（i ≥4）价格为［a +d （32）i－3］元/m 2．其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均值为（ ）A ．a 元/m 2B ．a +101［（1－（32）17）d 元/m 2 C ．a +［1－（32）17］d 元/m 2D ．a +101［1－（32）18］d 元/m 2 考查等比数列的应用．【解析】a 4+a 5+…+a 20=17a +d321)32(13217-⎥⎦⎤⎢⎣⎡- =17a +2d ·［1－（32）17］ ∴a 1+a 2+…+a 20=20a +2d ［1－（32）17］∴平均楼价为a +101d ［1－（32）17］． 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．考查等比数列求和的运用，化归迁移能力．【解析】由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55．即2n +1≥56⇒n +1≥6⇒n ≥5．【答案】512．已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为_______． 考查数列及不等式的运用． 【解析】设{a n }中第n 项最大，则有⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+⋅≥+++--111110)1(910)1(910910)1(9n n nn n n n n n n nn ，∴8≤n ≤9 即a 8、a 9最大． 【答案】a 8和a 913．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．考查关于多边形内角和和等差数列的运用． 【解析】由S 5=5×46°+245⨯d =540°得d =31°∴a 5=46°+4×31°=170°． 【答案】170°14．在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1．（n ∈N *，n ≥2），这个数列的通项公式是_______． 考查数列的解题技巧．【解析】由a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1=S n －1（n ≥2） 又a n =S n －S n －1=a n －1－a n∴nn a a 1+=2（n ≥2），由a 2=a 1=1∴a n =2n －2（n ≥2），∴a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n【答案】a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a 1=3，a 2=9，即d =6．则a n =3+6（n －1），令3+6（n －1）=2187，解得n =365．可知该数列可构成等差数列，S 7=7×3+267⨯×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a 1=3，q =3，则a n =3·3n －1=3n ，令3n=2187，得n =7∈N ，可知该数列可构成等比数列，S 7=31)31(37--=3279．16．（本小题满分10分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差．考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想． 【解】设成等比数列的三个数为qa ，a ，aq ，由qa ·a ·aq =103，解得a =10，即等比数列q10，10，10q ．（1）当q >1时，依题意，q5+（10q －7）=20．解得q 1=51（舍去），q 2=25．此时2，10，18成等差数列，公差d =8．（2）当0<q <1，由题设知（q10－7）+5q =20，求得成等差数列的三个数为18、10、2，公差为－8． 综上所述，d =±8．17．（本小题满分10分）已知y =f （x ）为一次函数，且f （2）、f （5）、f （4）成等比数列，f （8）=15，求S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）的表达式． 考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和．【解】设y =f （x ）=kx +b ，则f （2）=2k +b ，f （5）=5k +b ，f （4）=4k +b ，依题意：［f （5）］2=f （2）·f （4）．即（5k +b ）2=（2k +b ）（4k +b ）化简得k （17k +4b ）=0． ∵k ≠0，∴b =－417k ①又∵f （8）=8k +b =15 ② 将①代入②得k =4，b =－17．∴S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）=（4×1－17）+（4×2－17）+…+（4n －17）=4（1+2+…+n ）－17n =2n 2－15n ．18．（本小题满分12分）设a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式．考查已知前n 项和S n 求通项a n 方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力．【解】∵a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，∴21（a n +2）=nS 2，即S n =81（a n +2）2当n =1时，a 1=81（a 1+2）2 a 1=2．当n ≥2时，a n =S n －S n －1=81［（a n +2）2－（a n －1+2）2］即（a n +a n －1）（a n －a n －1－4）=0又∵a n +a n －1>0，∴a n =a n －1+4，即d =4． 故a n =2+（n －1）×4=4n －2．19．（本小题满分12分）是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a +b +c =6，②a 、b 、c 成等差数列，③将a 、b 、c 适当排列后，能构成一个等比数列．考查等差、等比数列性质及分类讨论思想． 【解】假设存在这样的三个数 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c 又a +b +c =6，∴b =2．设a =2－d ，b =2，c =2+d ．①若2为等比中项，则22=（2+d ）（2－d ） ∴d =0，则a =b =c ，不符合题意．②若2+d 为等比中项，则（2+d ）2=2（2－d ），解得d =0（舍去）或d =－6．∴a =8，b =2，c =－4．③若2－d 为等比中项，则（2－d ）2=2（2+d ），解得d =0（舍去）或d =6 ∴a =－4，b =2，c =8综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8．新课标数学必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）。
【高考数学精品】等差数列、等比数列
2．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，对任意的 n∈N*，都有 Sn＝2－an，数列{bn}满足 b1＝ 2a1，bn＝1＋bnb－n1－1(n≥2，n∈N*)．
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(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解题方略] 数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
①若 a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式； ②若 T3＝13，求 Sn.
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[解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项 a1 和公差 d(公比 q)；
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于 a1 和 d(或 q)的方程(组)，然后求解，注意整体计
算，以减少运算量．
[多练强化]
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，
则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
2．(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝12，S5＝90，
等差数列与等比数列教案高考例题目精析
一、等差数列与等比数列的概念解析1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公差，这样的数列叫做等差数列。
2. 等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公比，这样的数列叫做等比数列。
二、等差数列的性质与通项公式1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差相等。
（2）等差数列的任意一项都可以用首项和公差表示。
（3）等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
2. 等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$a_n$是第n项。
三、等比数列的性质与通项公式1. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项之比相等。
（2）等比数列的任意一项都可以用首项和公比表示。
（3）等比数列的前n项和公式为：$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
2. 等比数列的通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$a_n$是第n项。
四、等差数列与等比数列的判定1. 等差数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之差相等，则这个数列是等差数列。
2. 等比数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之比相等，则这个数列是等比数列。
五、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：已知首项$a_1$，公差$d$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，直接代入求解。
2. 等比数列的求和：已知首项$a_1$，公比$q$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。
根据公式$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，直接代入求解。
高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)
即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
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从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
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变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
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法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
2025年高考数学二轮复习-3.1-等差数列、等比数列-专项训练【含答案】
2025年高考数学二轮复习-3.1-等差数列、等比数列-专项训练一、基本技能练1.已知等比数列{a n}满足a1＝2，a3a5＝4a26，则a3的值为()A.1B.2C.1或－1D.122.设数列{a n}是等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a3＋a5＝10，S5＝15，则S6＝()A.18B.24C.30D.363.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块4.若等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2022>0，S2023<0”是“a1011a1012<0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(多选)已知等比数列{a n}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是()A.a3＋a7≥2B.a4＋a6≥2C.a7－2a6＋1≥0D.a3－2a4－1≥06.(多选)已知数列{a n}的前n项和为S n，下列说法正确的是()A.若S n＝n2＋1，则{a n}是等差数列B.若S n＝3n－1，则{a n}是等比数列C.若{a n}是等差数列，则S9＝9a5D.若{a n}是等比数列，且a1>0，q>0，则S1·S3>S227.写出一个公差为2，且前3项和小于第3项的等差数列a n＝________.8.已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n－1，若a n∈(0，2022)，则称项a n为“和谐项”，则数列{a n}的所有“和谐项”的和为________.9.已知数列{a n}满足a1＝1，(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n－1，且a n＋1>a n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝________.10.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为________.11.设等比数列{a n}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m＋S m＋1＝S m＋3(m∈N*)，求m.12.已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.二、创新拓展练13.(多选)在等比数列{a n}中，公比为q，其前n项积为T n，并且满足a1>1，a99·a100－1>0，a99－1a100－1<0，下列结论中正确的是()A.0<q<1B.a99·a101－1<0C.T100的值是T n中最大的D.使T n>1成立的最大自然数n值等于19814.(多选)已知数列{a n}满足a1＝10，a5＝2，且a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.a n＝12－2nB.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|，n≤5，2＋5，n>5C.|a n|的最小值为0D.当且仅当n＝5时，a1＋a2＋a3＋…＋a n取得最大值3015.(多选)已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋2a n－2(n≥3)，则下列结论正确的是()A.数列{a n＋1＋a n}为等比数列B.数列{a n＋1－2a n}为等比数列C.a n＝2n＋1＋（－1）n3(410－1)D.S20＝2316.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1·(2－S n)＝1.2，S n＋1(1)(2)2023的数.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析由题意得a3a5＝a24＝4a26，又在等比数列中偶数项同号，∴a4＝2a6，∴q2＝12，∴a3＝a1q2＝1，故选A.2.答案B解析由等差数列的性质知a4＝a3＋a52＝5，而S5＝a1＋a52×5＝5a3＝15，则a3＝3，等差数列{a n}的公差d＝a4－a3＝2，所以a1＝a3－2d＝－1，则S6＝6a1＋6×（6－1）2·d＝－6＋30＝24.3.答案C解析设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).4.答案B解析因为S2022>0，S2023<0，所以（a1＋a2022）×20222>0，（a1＋a2023）×20232<0，即a1＋a2022＝a1011＋a1012>0，a1＋a2023＝2a1012<0，所以a 1011>0，a 1012<0，且a 1011>|a 1012|，所以a 1011a 1012<0，充分性成立；而当a 1011a 1012<0时，a 1011>0，a 1012<0或a 1011<0，a 1012>0，则S 2022>0，S 2023<0不一定成立.故“S 2022>0，S 2023<0”可以推出“a 1011a 1012<0”，但“a 1011a 1012<0”不能推出“S 2022>0，S 2023<0”，所以“S 2022>0，S 2023<0”是“a 1011a 1012<0”的充分不必要条件.故选B.5.答案AC解析因为等比数列{a n }的公比为q ，且a 5＝1，所以a 3＝1q 2，a 4＝1q ，a 6＝q ，a 7＝q 2，因为a 3＋a 7＝1q2＋q 2≥2，当且仅当q 2＝1时等号成立，故A 正确；因为a 4＋a 6＝1q＋q ，当q <0时式子为负数，故B 错误；因为a 7－2a 6＋1＝q 2－2q ＋1＝(q －1)2≥0，故C 正确；因为a 3－2a 4－1＝1q 2－2q－1－2，则a 3－2a 4－1≥0不成立，故D 错误.6.答案BC解析若S n ＝n 2＋1，当n ≥2时，a n ＝2n －1，a 1＝2不满足a n ＝2n －1，故A 错误；若S n ＝3n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1，由于a 1＝S 1＝31－1＝2，满足a n ＝2·3n －1，所以{a n }是等比数列，故B 正确；若{a n }是等差数列，则S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，故C 正确；当q ＝1时，S 1·S 3－S 22＝a 21(1＋q ＋q 2)－a 21(1＋q )2＝－a 21q <0，故D 错误，综上，选BC.7.答案2n－4(n∈N*)(答案不唯一)解析1＋a2＋a3<a3，＝2，解得a1<－1，不妨令a1＝－2，∴a n＝2n－4.8.答案2047解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－1－(2a n－1－1)＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1，又由a1＝S1＝2a1－1，得a1＝1，∴{a n}是公比为2，首项为1的等比数列，∴a n＝2n－1，由a n＝2n－1<2022，得n－1≤10，即n≤11，∴所求和为S11＝1－2111－2＝2047.9.答案n2解析因为a1＝1，a n＋1>a n≥a1>0，所以a n＋1>a n.由(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1得a n＋1＋a n－1＝2a n a n＋1，所以(a n＋1－a n)2＝1，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n＝n，即a n＝n2.10.答案18解析由S2＋a2＝S3－3得a2＝S3－S2－3＝a3－3，所以a1q＝a1q2－3⇒a1＝3q2－q>0⇒q>1，所以a4＋3a2＝a1q3＋3a1q＝3（q3＋3q）q2－q＝3（q2＋3）q－1＝3×（q－1）2＋2（q－1）＋4q－1＝3（q－1）＋4q－1＋6≥3×2（q－1）·4q－1＋6＝18，当且仅当q－1＝4q－1，即q＝3时等号成立，故a4＋3a2的最小值为18.11.解(1)设{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.1＋a1q＝4，1q2－a1＝8，1＝1，＝3.所以{a n}的通项公式为a n＝3n－1(n∈N*).(2)由(1)知log3a n＝n－1，故S n＝n（n－1）2(n∈N*).由S m＋S m＋1＝S m＋3，得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.12.(1)证明设等差数列{a n}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)解由(1)知a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，b n＝b1·2n－1，由b k＝a m＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000，所以k＝2，3，4，…，10，共9个数，即集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素的个数为9.二、创新拓展练13.答案ABD解析对于A，∵a99·a100－1>0，∴a21·q197>1，∴(a1·q98)2·q>1.∵a1>1，∴q>0.又∵a99－1a100－1<0，∴a99>1，且a100<1，∴0<q<1，故A正确；对于B，∵a2100＝a99·a101，a100<1，∴0<a99·a101<1，即a99·a101－1<0，故B正确；对于C，由于T100＝T99·a100，而0<a100<1，故有T100<T99，故C错误；对于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)·(a2·a198)…(a99·a101)·a100＝(a100)100<1，故D正确.故选ABD.14.答案AC解析由a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，可得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以数列{a n}是等差数列，设公差为d，因为a1＝10，a5＝2，所以d＝a5－a15－1＝－2，所以a n＝10－2(n－1)＝12－2n，故A正确；当n＝6时，a n＝0，所以当n≤5时，a n>0，当n>5时，a n≤0，所以当n≤5时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝n（10＋12－2n）2＝11n－n2.当n>5时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－…－a n＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a n)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－S n＋2S5＝－(11n－n2)＋60＝n2－11n＋60，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a n|n－n2，n≤5，2－11n＋60，n>5，故B错误；|a n|＝|12－2n|，当n＝6时，|a n|取得最小值为0，故C正确；当n＝5或n＝6时，a1＋a2＋a3＋…＋a n取最大值30，故D错误.15.答案ABD解析因为a n＝a n－1＋2a n－2(n≥3)，所以a n＋a n－1＝2a n－1＋2a n－2＝2(a n－1＋a n－2)，又a1＋a2＝2≠0，所以{a n＋a n＋1}是等比数列，A正确；同理a n－2a n－1＝a n－1＋2a n－2－2a n－1＝－a n－1＋2a n－2＝－(a n－1－2a n－2)，而a2－2a1＝－1，所以{a n＋1－2a n}是等比数列，B正确；若a n＝2n＋1＋（－1）n3，则a2＝23＋（－1）23＝3，但a2＝1≠3，C错误；由A知{a n＋a n＋1}是等比数列，且公比为2，因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，其前10项和为T10，则S20＝T10＝2（1－410）1－4＝23(410－1)，故D正确.16.(1)证明1S 1－1＝1a 1－1＝－2.由S n ＋1·(2－S n )＝1，得S n ＋1＝12－S n.因为1S n ＋1－1－1S n －1＝112－S n －1－1S n－1＝2－S n S n －1－1S n －1＝－1，2为首项，－1为公差的等差数列.(2)解由(1)得1S n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，即S n ＝n n ＋1，则a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n （n ＋1）(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝12满足上式，所以a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，则1a n ＝n (n ＋1).由f (x )＝x (x ＋1)－14在(0，＋∞)上单调递增，当n ＝44时，1a 44＝44×45＝1980；当n ＝45时，1a 45＝45×46＝2070.2023的数是1980.。
2021年新高考数学重难点复习：等差数列与等比数列
第 1 页 共 12 页 2021年新高考数学重难点复习：等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点．考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *)(1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( )A ．15.5尺B ．12.5尺C ．10.5尺D ．9.5尺答案 A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺． (2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30 解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1，。
第1讲 等差数列与等比数列
第1讲 等差数列与等比数列高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.1.(2021·北京卷)已知{a n }和{b n }是两个等差数列，且a kb k(1≤k ≤5)是常值，若a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3的值为( ) A.64 B.100 C.128 D.132答案 C解析 由题意可得a 1b 1＝a 5b 5，则b 5＝64，故b 3＝b 1＋b 52＝192＋642＝128.故选C.2.(2021·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2＝4，S 4＝6，则S 6＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A解析 法一 因为S 2＝4，S 4＝6，且易知公比q ≠±1，所以由等比数列的前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1＋q ）＝4，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1＋q ）（1＋q 2）＝6， 两式相除，得q 2＝12，所以⎩⎨⎧a 1＝4（2－2），q ＝22或⎩⎨⎧a 1＝4（2＋2），q ＝－22，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝7.故选A.法二 易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即4(S 6－6)＝22，所以S 6＝7.故选A.3.(2020·全国Ⅱ卷)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n .若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1（1－210）1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.4.(2021·全国乙卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n＋1b n＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式.(1)证明 因为b n 是数列{S n }的前n 项积， 所以n ≥2时，S n ＝b nb n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2.1.等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ； (3)常用性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②a n ＝a m ＋(n －m )d ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列. 2.等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q ；(3)常用性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； ②a n ＝a m ·q n －m ；③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.温馨提醒 应用公式a n ＝S n －S n －1时一定注意条件n ≥2，n ∈N *.热点一等差、等比数列的基本运算【例1】设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)法一由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n＝6时，a n＝0；当n<6时，a n<0；所以S n的最小值为S5＝S6＝－30.法二由(1)知，S n＝n2(a1＋a n)＝n(n－11)＝⎝⎛⎭⎪⎫n－1122－1214，又n∈N*，所以当n＝5或n＝6时，S n的最小值为S5＝S6＝－30.探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成关于“n”的函数，求出最小值.【训练1】(2021·济南联考)已知各项均为正数的等差数列{a n}满足a1a5＝33，a22＝25.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝4n －2＋3a n ，若a n ∈N ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设各项均为正数的等差数列的公差为d . 由a 1a 5＝33，且a 22＝25.得⎩⎨⎧a 1（a 1＋4d ）＝33，a 2＝a 1＋d ＝5，解之得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝113，d ＝43.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1或a n ＝113＋43(n －1)＝4n ＋73. (2)由于a n ∈N ，所以a n ＝2n ＋1. 所以b n ＝4n －2＋3a n ＝4n －2＋6n ＋3.根据等差数列、等比数列的前n 项和公式，得T n ＝14（1－4n ）1－4＋12(9＋6n ＋3)n ＝112(4n －1)＋3n 2＋6n .热点二 等差(比)数列的性质【例2】 (1)在等差数列{a n }中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{T n }( ) A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项(2)已知数列{a n }的各项都为正数，对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，且a 3·a 5＋a 4＝72，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝________.(3)(多选)已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4.下列四个结论正确的是( )A.数列{S n }中的最大项为S 10B.数列{a n }的公差d <0C.S 10>0D.S 11<0答案 (1)B (2)21 (3)BCD解析 (1)由题意可知，等差数列的公差 d ＝a 5－a 15－1＝－1＋95－1＝2，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9＋(n －1)×2＝2n －11，注意到a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<0<a 6＝1<a 7<…，且由T 5<0可知T i <0(i ≥6，i ∈N )，由T iT i －1＝a i >1(i ≥7，i ∈N )可知数列{T n }不存在最小项，由于a 1＝－9，a 2＝－7，a 3＝－5，a 4＝－3，a 5＝－1，a 6＝1， 故数列{T n }中的正项只有有限项：T 2＝63，T 4＝945. 故数列{T n }中存在最大项，为T 4.故选B.(2)因为对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，令m ＝1，则a 1·a n ＝a 1＋n ，即a n ＋1a n ＝a 1对任意的n ∈N *恒成立，所以数列{a n }为等比数列，公比为a 1. 由等比数列的性质有a 3a 5＝a 24，所以a 3·a 5＋a 4＝a 24＋a 4＝72，又a 4＞0，解得a 4＝8， 所以log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝log 2(a 1a 7)(a 2a 6)(a 3a 5)a 4＝log 2a 74＝log 287＝21.(3)因为S 5>S 6>S 4，所以a 6<0，a 5>0且a 5＋a 6>0，所以数列{S n }中的最大项为S 5，A 错误；数列{a n }的公差d <0，B 正确；S 10＝（a 1＋a 10）×102＝5(a 5＋a 6)>0，C正确；S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6<0，D 正确.故选BCD.探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】 (1)(2021·江南十校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8<S 10<S 9，则满足S n >0的正整数n 的最大值为( ) A.16 B.17 C.18D.19(2)(多选)(2021·八省八校一联)已知等比数列{a n }的首项a 1>1，公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，函数f (x )＝x (x ＋a 1)(x ＋a 2)…(x ＋a 7)，若f ′(0)＝1，则( ) A.{lg a n }为递增的等差数列 B.0<q <1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n －a 11－q 为递增的等比数列D.使得T n >1成立的n 的最大值为6 答案 (1)C (2)BCD解析 (1)由S 8<S 10<S 9，得a 10<0且a 9＋a 10>0， 所以等差数列{a n }的公差d <0，且a 9>0. 从而S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0，S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)>0，S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10<0.故满足S n >0的正整数n 的最大值为18. (2)令g (x )＝(x ＋a 1)(x ＋a 2)…(x ＋a 7)， 则f (x )＝xg (x )，∴f ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， ∴f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 7＝1.∵{a n }是等比数列，∴a 1a 2…a 7＝a 74＝1，即a 4＝1＝a 1q 3.又a 1>1，∴0<q <1，B 正确；∵lg a n ＝lg(a 1q n －1)＝lg a 1＋(n －1)lg q ，又lg q <0， ∴{lg a n }是公差为lg q 的递减的等差数列，A 错误； ∵S n －a 11－q ＝a 11－q (1－q n －1)＝a 1q q －1·q n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n －a 11－q 是首项为a 1q q －1<0，公比为q 的递增的等比数列，C 正确；∵a 1>1，0<q <1，a 4＝1，∴当n ≤3时，a n >1，当n ≥5时，0<a n <1，∴当n ≤4时，T n >1.∵T 7＝a 1a 2…a 7＝a 74＝1，∴当n ≥8时，T n ＝T 7a 8a 9…a n <T 7＝1.又T 5＝T 7a 6a 7>1，T 6＝T 7a 7>1，∴使得T n >1成立的n 的最大值为6，D 正确.故选BCD.热点三 等差(比)数列的判断与证明【例3】 (2021·广东重点中学联考)在数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2，n ∈N *).(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说理理由.解 (1)因为a 1＝5，且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2)， 所以a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33. (2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列. 设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，得2b 2＝b 1＋b 3， 所以2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23， 即13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1. 而当λ＝－1时，有b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1， b 1＝a 1－12＝5－12＝2，则{b n }是首项为2，公差为1的等差数列. 所以存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 是以首项为2，公差是1的等差数列.探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n ≥1，n ∈N *，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数；(2)中项公式法，一定注意，a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. 2.第(2)问，假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列，利用前三项成等差数列，求得λ的值后，一定要验证数列{b n }是等差数列.【训练3】 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1. (注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.) 解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1， 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1.因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列. 设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a 1－d2＝0，即d ＝2a 1，所以a 2＝a 1＋d ＝3a 1. ②③⇒①.已知数列{S n }是等差数列，a 2＝3a 1，所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 1.设数列{S n }的公差为d ，d ＞0，则S 2－S 1＝4a 1－a 1＝d ，得a 1＝d 2，所以S n ＝S 1＋(n －1)d ＝nd ，所以S n ＝n 2d 2，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝2d 2n －d 2，对n ＝1也适合，所以a n ＝2d 2n －d 2，所以a n ＋1－a n ＝2d 2(n ＋1)－d 2－(2d 2n －d 2)＝2d 2(常数)，所以数列{a n }是等差数列.热点四 等差数列与等比数列的综合问题【例4】 设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值. 解 (1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0). 由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以，T n ＝1－2n 1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d . 由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1， 故a n ＝n .所以，S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)，有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 得n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)或n ＝4. 所以n 的值为4.探究提高 1.等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.2.数列的通项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.【训练4】 (2021·衡水中学联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝S 5＝－20.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{a n }与{b n }的公共项为a m ，记m 由小到大构成数列{c n }，求{c n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝S 5＝－20，得4a 1＋6d ＝5a 1＋10d ＝－20， 解得a 1＝－8，d ＝2， 则a n ＝－8＋2(n －1)＝2n －10.(2)数列{b n }是以4为首项，4为公比的等比数列，∴b n ＝4·4n －1＝4n (n ∈N *).又依题意2m －10＝4n ，∴m ＝10＋4n2＝5＋22n －1，则T n ＝5n ＋2（1－4n ）1－4＝5n ＋22n ＋1－23.一、选择题1.(2021·福州一诊)正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＋a 8－a 25＋8＝0，则S 9＝( ) A.35 B.36 C.45 D.54答案 B解析 由等差数列的性质得a 2＋a 8＝2a 5，∴a 2＋a 8－a 25＋8＝0，可化为a 25－2a 5－8＝0.又a 5>0，解得a 5＝4. ∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36.2.在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和S 8为( ) A.4 B.2 C.3 D.5答案 B解析 因为{a n }为等比数列，且a 4＝2，a 5＝5， 所以a 4a 5＝2·5＝10. 则数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg a 1·a 2·…·a 8 ＝lg(a 1·a 8)(a 2·a 7)(a 3·a 6)(a 4·a 5) ＝lg(10)4＝4lg 10＝2.3.(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1＜0，q ＞1时，a n ＝a 1q n －1＜0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n ＞0，若a 1＞0，则q n ＞0(n ∈N *)，即q ＞0；若a 1＜0，则q n ＜0(n ∈N *)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.(2021·日照校际联考)对于数列{a n }，若存在正整数k (k ≥2)，使得a k <a k －1，a k <a k＋1，则称a k 是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”.在数列{a n }中，若a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋9n －8，则数列{a n }的“谷值点”为( )A.2B.7C.2，7D.2，3，7答案 C解析 因为a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋9n －8，所以a 1＝2，a 2＝32，a 3＝2，a 4＝74，a 5＝65，a 6＝12，a 7＝27，a 8＝98.当n ≥7，n ∈N *时，n ＋9n －8>0，所以a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋9n －8＝n ＋9n －8，此时数列{a n }递增.又a 2<a 1，a 2<a 3，a 7<a 6，a 7<a 8， 所以数列{a n }的“谷值点”为2，7.5.(多选)(2021·湖北重点中学调研)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2 021·a 2 022>1，(a 2 021－1)·(a 2 022－1)<0，则下列结论中正确的有( ) A.q >1 B.S 2 022>S 2 021C.a 2 021·a 2 023<1D.T 2 021是数列{T n }中的最大项 答案 BCD解析 由{a n }为等比数列，a 1>1，a 2 021·a 2 022>1及(a 2 021－1)·(a 2 022－1)<0， 得⎩⎨⎧a 2 021>1，0<a 2 022<1或⎩⎨⎧0<a 2 021<1，a 2 022>1(舍去). ∴公比0<q ＝a 2 022a 2 021<1，则A 错误；S 2 022＝S 2 021＋a 2 022>S 2 021，故B 正确；由等比数列性质知a 2 021·a 2 023＝a 22 022<1，所以C 正确；因为a 1>1，a 2>1，…，a 2 021>1，0<a 2 022<1，0<a 2 023<1，…，所以(T n )max ＝T 2 021，D 正确.故选BCD.6.已知数列{a n }满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1＋1，且a 1＝1，a 2＝5，则a 18＝( ) A.69 B.105 C.204 D.205答案 D解析 由a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1＋1，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1， 则(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝1， ∵a 2－a 1＝5－1＝4，∴数列{a n ＋1－a n }是以4为首项，1为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝4＋1×(n －1)＝n ＋3，则a 1＝1，a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝5，…，a n －a n －1＝n ＋2， 各项相加，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1＋4＋5＋…＋(n ＋2)＝1＋（n －1）·（4＋n ＋2）2＝（n －1）（n ＋6）2＋1，∴a 18＝（18－1）×（18＋6）2＋1＝205.二、填空题7.(2021·上海卷)已知等差数列{a n }的首项为3，公差为2，则a 10＝________. 答案 21解析 由题意，得a 10＝3＋(10－1)×2＝21.8.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.答案 3116解析 由题意可知，S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )， 整理可得，S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，所以{S n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列， 故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.9.(2021·济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝________. 答案 4 096解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由T 2＝T 9，得a 76＝1，故a 6＝1. ∴a 1q 5＝1.①又T 2＝a 1a 2＝a 21q ＝512，② 由①②联立，得q 9＝1512，则q ＝12. 所以T 8＝T 9a 9＝T 9a 6q 3＝212＝4 096.三、解答题10.(2021·广州质检)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且{b n }的前n 项和为S n ，2a 1＝b 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，________.在①b 5＝4(b 4－b 3)，②b n ＋1＝S n ＋2这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n －b n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.) 解 (1)若选条件①，b 5＝4(b 4－b 3). 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵2a 1＝2，a 5＝5(a 4－a 3)，∴a 1＋4d ＝5(a 1＋3d －a 1－2d )，∴a 1＝d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . 设等比数列{b n }的公比为q . 由b 1＝2，且b 5＝4(b 4－b 3)， 得b 1q 4＝4(b 1q 3－b 1q 2). ∴q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. 故b n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). 若选条件②，b n ＋1＝S n ＋2. 令n ＝1，得b 2＝S 1＋2＝b 1＋2＝4. ∴公比q ＝b 2b 1＝2.∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. 从而b n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). (2)由(1)知a n －b n ＝n －2n ，∴T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )－(21＋22＋23＋…＋2n )，∴T n ＝n （1＋n ）2－2（1－2n ）1－2，∴T n ＝2－2n ＋1＋n 22＋n 2. 11.(2021·新高考Ⅱ卷)记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n >a n 成立的n 的最小值.解 (1)由等差数列的性质可得：S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3， ∴a 3＝0.设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝(a 3－d )(a 3＋d )＝－d 2， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 3－2d )＋(a 3－d )＋a 3＋(a 3＋d )＝－2d . ∵a 2a 4＝S 4，∴－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －6.(2)由数列{a n }的通项公式可得：a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×(－4)＋n （n －1）2×2＝n 2－5n ，则不等式S n >a n 即n 2－5n >2n －6，整理可得：(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.12.(多选)(2021·长沙联考)在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2021年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为a n，则(参考数据：1.211≈7.5，1.212≈9), ()A.a1＝12 000B.a n＋1＝1.2a n－1 000C.2021年小王的年利润约为40 000元D.两年后，小王手中现款约达41万答案BCD解析每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，∴a1＝(1＋20%)×10 000－(600＋400)＝11 000(元)，故A错误；由题意a n＋1＝1.2a n－1 000，故B正确；由a n＋1＝1.2a n－1 000，得a n＋1－5 000＝1.2(a n－5 000)，∴数列{a n－5 000}是首项为6 000，公比为1.2的等比数列，∴a12－5 000＝6 000×1.211，即a12＝6 000×1.211＋5 000≈50 000，则2021年小王的年利润约为50 000－10 000＝40 000(元)，故C正确；两年后，即a24＝5 000＋6 000×1.223≈5 000＋6 000×921.2＝410 000，即41万，故D正确，故选BCD.13.(2021·江南十校联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋1＋λ＝3S n，a3＝12，则实数λ的值为________.答案－3 4解析等比数列{a n}满足a n＋1＋λ＝3S n，①则a n＋λ＝3S n－1(n≥2，n∈N*)，②①－②得a n＋1－a n＝3S n－3S n－1，则a n＋1＝4a n，所以等比数列{a n }的公比为4， 又由a 3＝12，则a 1＝a 3q 2＝34. 若a n ＋1＋λ＝3S n ，则a 1q n ＋λ＝3×a 1（1－q n）1－q恒成立，∴λ＝－a 1＝－34.14.已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围. 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6， 得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ， 从而S n ＝n （9－n ）2(n ∈N *).(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小， ∴{T n }为递增数列，得4≤T n <8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814，又n ∈N *， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10.若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2. 故实数λ的取值范围为(2，＋∞).。
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竞赛培训专题1-----等差数列与等比数列
例1.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13
解：由求和公式
知问题转化为求a7
由条件得：a7=12
例2.已知数列{an}满足
(1)计算：a2,a3,a4 (2)求数列的通项公式
解：(1)由可计算出
a2= -1,a3=，a4= -1
有两种解法，一由a2,a3,a4的值猜想通项公式然后用数学归纳法证明
二是由已知得：
(*)
两式相减得：(an-1-1)(an-an-2)=0
显然不存在an-1-1=0的情况，否则代入(*)有an=an+1即0=1矛盾，故只有an=an-2
这样可得 或
例3.已知数列{an}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2.若a2，a4,a9成等比
数列，求数列的通项公式。
解：当n=1时，由题意有6a1=a12+3a+2
于是 a1=1 或 a1=2
当n³2时，有6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2
两式相减得：(an+an-1) (an-an-1-3)=0
由题意知{an}各项为正，所以an-an-1=3
当a1=1时，an=1+3(n-1)=3n-2
此时a42=a2a9成立
当a1=2时，an=2+3(n-1)=3n-1
此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去
所以an=3n-2
例4.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的
数列至多有多少项？
解 设a1,a2…,an是公差为4的等差数列，则
a12+a2+a3+…+an£100,
即
a12+(n-1)a1+(2n2-2n-100)£0 (1)
因此，当且仅当D=(n-1)2-4(2n2-2n-100)³0时，至少存在一个实数a1满足(1)式。
因为D³0，所以
7n2-6n-401£0,
解得 n1£n£n2 (2)
其中，所以满足(2)的自然数n的最大
值为8。故这样的数列至多有8项。
例5.各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。
解 记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{an}的公比，则b1,b2,b3,b4构成以r=q
10
为公比的等比数列。于是
70=S30=b1+b2+b3
=b1(1+r+r2)
=10(1+r+r2)
即r2+r-6=0. 解得r=2 或 r=-3
由于r=q10>0 , 所以r=2
故 S40=10(1+2+22+23
例6.给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12£M的所有等差数列a1,a2,a
3
…试求
S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。
解 设公差为d,an+1=a. 则
S=an+1+an+2+…+a2n+1
=(n+1)a+
故
又 M³a12+an+12
=(a-nd)2+a2
=
所以 |S|
且当 时，
S=
=
=
由于此时4a=3nd，所以
所以S的最大值为。
例7.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项之和为972，这样的数
列共有多少个？
解 设等差数列首项为a，公差为d，依题意有
即 [2a+(n-1)d]n=2´972, (3)
因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2´97,972,2´972四者之一。
若 d>0,则由(3)知
2´972³n(n-1)d³n(n-1).
故只可能有n=97.于是(3)化为 a+48d=97.
此时可得n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1.
若d=0时，则由(3)得na=972,此时n=97,a=97 或 n=972,a=1。
故符合条件的数列共有4个。
例8.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项之和
(1)证明
(2)是否存在常数c>0，使得成立，并证明你的结论
证明：(1)设{an}的公比为q,由已知得：a1>0,q>0
i)当q=1时，Sn=na1,从而，
Sn×Sn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12= -a12<0
ii)当q¹1时， (2)要使成立，则有 分两种情况讨论 (Sn-c)×(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2= 即，此时，由于c>0,a1>0，必须0 例9.设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证： (第19届莫斯科数学竞 =(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y ≥2+2xy+2x2y2+2x3y 例10.设x,y,z为非负实数，且x+y+z=1,求证：0£xy+yz+zx-2xyz£ 又£ = 即xy=15=,则x,，y成等比数列，于是可设x=q,y= 代入(2)整理得： 故经检验都是原方程组的解 解：显然成等差数列，故可设 共线，于是 ， = 证明：当a>2时，，上式对任意kÎN成立， 1.设{an}是等比数列，首项a1>1,公比q>1，求证：数列{}是递减数列
∴
由i)、ii)均有Sn×Sn+2
i)当q=1时
(Sn-c)×(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2= -a12<0
即不存在常数c>0使结论成立
ii)当q¹1时，若条件(Sn-c)×(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2成立，则
= -a1qn[a1-c(1-q)]
而a1qn¹0，故只能是a1-c(1-q)=0
综合i)、ii)可得，不存在常数c>0，满足题意
赛试题)
证明：∵|x|<1,|y|<1，∴x2<1,y2<1，故
6
)+…
3
+…=
证明：由对称性，不妨设x³y³z ∵x+y+z=2×
∴x+y,, z成等差数列，故可设x+y=+d,z=-d
由x+y³2z，得，则
xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=³0
当且仅当x=1,y=z=0时取等号
当且仅当x=y=z=时取等号
故0£xy+yz+zx-2xyz£
例11.解方程组
解：由(1)得 解得
15q4-34q2+15=0
解得：
例12.解方程：
(1)2-(2)2得
-2(3x+2)= -2(3x+2)d 解得d=1或
当d=1时，代入(1)解得是增根，舍去
∵符合题意，∴是原方程的根
例13.等差数列{an}中，，试求(l-m)ab+(m-n)bc+(n-l)ca的值
解：在直角坐标系中，对于任意nÎN,点(n,an)共线，所以有，点
由，化简得：
，
所以
所以所求的值为0
例14.从n个数1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证
明：这两部分之和不可能相等
不妨设剩下的数中最大的数am (m³1)在第一部分中，
则第一部分各数之和³am>1+a+…+am-1³第二部分之和
作业：
2.确定最大的实数z，使得x+y+z=5，xy+yz+zx=3，并且x与y也是实数
3.将奇数{2n-1}按照第n组含有n个数的规则分组：
1，
3,5
7,9,11,
13,15,17,19
…………………
(1)求第8组中的所有奇数
(2)求1993属于第几组中的第几号数
(3)求第100组中所有奇数的和
(4)求前100组的全体奇数的总和
4.设{an}与{bn}分别是等差数列和等比数列，且a1=b1>0，a2=b2>0试比较an和bn的大小
5.设S={1,2,3,…,n}，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其每一项均在S中，且添
加S中的其它元素于A以后，均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种数列A的个
数(只有两项的数列也看成等差数列)
6.数列{an}的前n项之和为Sn，若S1=1且Sn1=Sn+(5n+1)an,n=1,2,…,|a|¹1，求Sn
摘自数学教育之窗