黑龙江省牡丹江一中高二数学下学期期末试卷 理(含解析

- 1 - 2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ） A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，3） 2．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B．若a＞b，则ac＞bc

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b＜0，则＞ 3．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有（ ）个． A．8 B．12 C．10 D．15

4．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 5．（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（ ） A．15 B．﹣15 C．60 D．﹣60 6．从5位男同学和4位女同学中选出3位同学分别担任数、语、外三科的科代表，要求选出的3位同学中男女都要有，则不同的选派方案共有（ ） A．210种 B．630种 C．420种 D．840种

7．已知x＞0，y＞0，且+=4，则x+2y最小值是（ ） A．5+2 B．2 C．8 D．16 8．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ） A．144种 B．150种 C．196种 D．256种 9．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）

A． B． C． D． 10．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种．

A．72 B．60 C．48 D．24 11．某市环保局举办“六•五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两 - 2 -

张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么E（ξ）+D（ξ）=（ ） A． B． C． D．

12．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围（ ） A．（，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，] D．[，2]

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）= ． 14．已知集合A=（﹣1，2]，集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}．若B∩∁RA=B，则实数a的取值范围 ．

15．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y﹣ax仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为 ． 16．下列说法中正确的是 （1）用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；

（2）已知a，b∈R，则|a|＞|b|是使＞1成立的必要不充分条件； （3）命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx；命题q：∀x∈R，x2＞0，则命题p∧（¬q）是假命题； （4）4封不同的信，投到3个不同的邮筒中，则不同的投放种数为A43； （5）（1﹣x﹣5y）5的展开式中不含y项的系数和为0 （6）4张不同的高校邀请函，分发给3位同学每人至少1张，则不同的发放种数为3A43．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表： 价格x（元/kg） 10 15 20 25 30 日需求量y（kg） 11 10 8 6 5 （Ⅰ）求y关于x的线性回归方程； （Ⅱ）当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？

线性回归方程=x+中系数计算公式：

== - 3 -

=﹣，其中，表示样本均值． 18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．

（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整； 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 50 （ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？ （Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率． 附： P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828

K2=． 19．某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x元，x∈[500，1000）可抽奖1次，x∈[1000，1500）可抽奖2次，x∈[1500，2000）可抽奖3次，以此类推． 抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）． 第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元． 第二种抽奖方式：抽到红球，奖金0元；抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元． （1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率 （2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利． 20．选修4﹣5：不等式选讲 已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）． - 4 -

（1）当a=4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

21．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列． 22．已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．

（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值； （2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由． - 5 -

2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ ） A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，3） 【考点】交集及其运算． 【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可． 【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|， B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}， 则A∩B=（0，3）， 故选：B．

2．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B．若a＞b，则ac＞bc

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b＜0，则＞ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据不等式的基本性质，判断四个答案的真假，可得结论． 【解答】解：若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故A正确； 若a＞b，c≤0，则ac≤bc，故B错误； 若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故C错误；

若a＜b＜0，则＜1，＞1，即＜，故D错误； 故选：A

3．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有（ ）个． A．8 B．12 C．10 D．15 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】数字0，1，2，3，组成没有重复数字的三位偶数有两种情况，0在个位与不在个位，由此可得结论． 【解答】解：用数字0，1，2，3，组成没有重复数字的三位偶数有两种情况， 当0在个位的三位偶数有A32=6个， 当0不在个位时，把2放在个位，再从余下的2个非零数选一个放在首位， 再从剩余的2个数中选一个放到十位上，方法有2×2=4种， 故所有的无重复数字的三位偶数有6+4=10个， 故选：C．

4．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件