2013届万学公共课学员6月份模拟测试题(数一)
2013年高考模拟系列试卷(1)—数学(文)含答案
2013年高考模拟系列试卷（一）数学试题【新课标版】（文科)题 号 第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分一二171819202122得 分注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷(阅读题）和第Ⅱ卷(表达题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1．复数z=i 2（1+i)的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．– 1D ．– i2．设全集()()2,{|21},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-,则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 3。
已知各项均为正数的等比数列｛na }中,1237895,10,a a aa a a ==则456a a a =（ )UA.52B.7 C 。
6 D 。
424.已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a <<B. c a b <<C 。
b c a <<D .b ac <<5.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ )A ．3242π- B ．243π- C ．24π-D ．242π-6．设,m n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ )A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β"成立的充要条件B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥"的充分不必要条件C ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件D ．当α⊂m 时，“α⊥n "是“n m ⊥"的充分不必要条件7。
2013届万学公共课学员基础阶段高数测试题(数一答案)
【答案】 1
2
【解析】方程两边分别对 x 求导，得
( y + xy′) cos xy + 1 ( y′ −1) = 1. y−x
（*）
将 x = 0 代入方程 sin xy + ln( y − x) = x ，得 ln y = 0 ，所以 y = 1.
再将 x = 0, y = 1 代入（*），得1+ y′ −1 = 1 ，所以 y′ = 1.
，设其方向向量为
G l
.所求直线垂直于
G
x 4
=
y 5
=
z 6
G ，即垂直于 l1
= {4,5, 6} ,
所求直线平行于平面 7x + 8y + 9z +10 = 0 ，即垂直于 n = {7,8,9} ，故
GGG
G GG i jk
l = l1 × n = 4 5 6 = {3, −6,3} ，
789
【解析】
1− x2 − e−x2
lim
x→0
x
ln(1 −
x)
sin 2
2x
= lim 1− x2 − e−x2 = lim 1− x2 − e−x2 x→0 −x2 (2x)2 x→0 −4x4
= lim −2x + 2xe−x2 = lim 1− e−x2
x→0 −16x3
x→0 8x2
=
lim
=
x
+
1 2(x +1)
+
1 2(x −1)
，
y′ =
3x2 (x2 −1) − 2x ⋅ x3 (x2 −1)2
=
x2 (x2 − 3) (x2 −1)2
2013年高考理科数学模拟试题
2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（理工农医类）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
[来第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合2=-+=∈{|210,}P x x x x R，则集合P的子集个数是二、 A．1 B．2 C．4 D．82、已知函数，下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数三、3、已知函数f x()的定义域为[0，1?，则函数-f x(1)的定义域为A．[0,1)B．(0,1]C．-[1,1]D．-[1,0)(0,1]4、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）5、在ΔABC中，、、a b c分别是三内角、、A B C所对边的长，若b a Csin A sin,则ΔABC的形状A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形6、将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）（B）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C）（D）7、如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.B.C.D.8、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.9、设定义在上的函数满足，若，则( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）10、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）11、过双曲线22221(0)y x b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为 E ,延长FE交抛物线24y cs =于点 P ⋅若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．33+B ．15+C ．5D ．13+12、设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m（A）2 （B）4 （C）（D）5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．展开式中的系数为_____________。
北京市西城区2013一摸文科数学习题和答案
北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U=R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（A ）{|01}x x <<（B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y =角=θ（A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种 （B ）72种（C ）84种（D ）96种5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A）6 （B）12+（C）12+ （D）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是 （A ）1(0,]4（B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8（D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是 （A ）线段 （B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为 ．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______． 12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =， 则圆O 的半径长为______；BP =______． 13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c at b c a b=⋅,}b cc a． （ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测． （Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率； （Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？ 证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n nB b b b S =∈，定义1122(,,,)nnAB b a b a b a =---； 1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使A B B C λ=，则(,)(,)(d A B d B C d A C+=； （ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使A B B C λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230xy y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，． 注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分 即ππsincos 04422a -=-=， ………………3分 解得1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- (7)分22(cos sin )2x x x =-+ ………………8分cos 22x x =+ ………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528． ………………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=， 所以BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD⊥，所以⊥FC 平面ABCD． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． (6)分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,,1)2222C A BDE --．所以)1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=． 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y z -+=⎨= 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分 设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ， 所以BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t -=． 设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0,10.22b a b tc =⎧-+=⎪⎩ 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分 要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ，………………13分即 002110⨯+⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且11()ax f x a x x -'=-=． ………………2分 ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a +∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． ………………6分③ 当0a>时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分④ 当0a=时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞． ………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设(,0)F c -，则tan 60bc︒== ………………2分 将b = 代入 222a bc =+，解得2a c =． ………………3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c +=． ………………5分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． (7)分则2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243Dck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ (11)分222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7i i i d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由*5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||nni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． (6)分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，则(,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=． 因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分 （Ⅲ）解法一：因为1(,)||ni i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)ii b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m=时0ii b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni i i d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)nniii i a b ==-=-∑∑， 整理得 11nniii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]ni i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑． (10)分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=， 所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤． ……………12分 对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分 解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n ni i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)ni i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p ===-+-=∑∑． (11)分上式等号成立的条件为1ia =，或1ib =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于(1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有A，nB S ∈，且(,)(,)d I A d I B p==，(,)2．d A B pd A B的最大值为2p．……………13分综上，(,)。
数学_2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1(理科)(含答案)
2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±12. 复数a 2−a −6+(a 2+a −12)i 为纯虚数的充要条件是（ ） A a =−2 B a =3 C a =3或a =−2 D a =3或a =−43. 甲，乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲，乙能通过面试的概率都为23，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ是（ ） A 43B 119C 1D 894. 程序框图输出的结果为（ ）A 62B 126C 254D 5105. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①α // β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l // m ； ③l // m ⇒α⊥β，其中假命题的个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 06. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）A f(x)=x 2−2ln|x|B f(x)=x 2−ln|x|C f(x)=|x|−2ln|x|D f(x)=|x|−ln|x|7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S 5−13a 4+5a 8=10，则下列数中恒为常数的是（ ）A a 8B S 9C a 17D S 17 8. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 39. 已知x ，y 满足不等式{x ≥0y ≥0x +2y ≤t 2x +y ≤4 ，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20, 22]，则t 的取值范围（ ）A [2, 4]B [4, 6]C [5, 8]D [6, 7]10. 若函数f(x)=x 3+a|x 2−1|，a ∈R ，则对于不同的实数a ，则函数f(x)的单调区间个数不可能是（ ）A 1个B 2个C 3个D 5个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，则2sin 2α+sin2αcos(α−π4)=________．12. 若(√a 23+1a )n 的展开式中含a 3项，则最小自然数n 是________． 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．14. 函数f(x)=sin2x +e |sinx+cosx|的最大值与最小值之差等于________．15. 已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 8)+f(x 9)+f(x 10)+f(x 11)=0，则x 2011的值等于________．16. 如图，线段AB 长度为2，点A ，B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC ＝1，O 为坐标原点，则OC →⋅OD →的取值范围是________．17. 设集合A （p,q ）={x ∈R|x 2+px +q =0}，当实数p ，q 取遍[−1, 1]的所有值时，所有集合A （p,q ）的并集为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知函数f(x)=2sin 2(π4+x)−√3cos2x −1x ∈[π4,π2]（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若不等式|f(x)−m|<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD // BC ，∠ADC ＝90∘，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC =12AD ＝1，CD =√3．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M −BQ −C 为30∘，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． 20. 已知数列{a n }的前n 项和是S n (n ∈N ∗)，a 1=1且S n ⋅S n−1+12a n =0（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任意的n ∈N ∗，不等式11−S 2⋅11−S 3⋅ (1)1−Sn+1>√n +1成立．21. 在平面直角坐标系xoy 中，过定点C(p, 0)作直线m 与抛物线y 2=2px(p >0)相交于A 、B 两点．（1）设N(−p, 0)，求NA →⋅NB →的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=ax 2+lnx(a ∈R)．(1)当a =12时，求f(x)在区间[1, e]上的最大值和最小值；(2)如果函数g(x)，f 1(x)，f 2(x)，在公共定义域D 上，满足f 1(x)<g(x)<f 2(x)，那么就称g(x)为f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”．已知函数f 1(x)=(a −12)x 2+2ax +(1−a 2)lnx ，f 2(x)=12x 2+2ax ．若在区间(1, +∞)上，函数f(x)是f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”，求a 的取值范围．2013年浙江省高考数学仿真模拟试卷1（理科）答案1. D2. A3. A4. D5. C6. A7. D8. A9. B10. B11. −2√5512. 713. 12π+2414. e√2+115. 400316. [1, 3]17. [−1+√52, 1+√52]18. 解：（1）f(x)=2sin2(π4+x)−√3cos2x−1=−cos(π2+2x)−√3cos2x=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)．由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈z，可得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，，k∈z．再由x∈[π4，π2]，可得x∈[π4，5π12]，故f(x)的单调递增区间[π4，5π12]．（2）不等式|f(x)−m|<2，即m−2<f(x)<m+2．而x∈[π4，π2]时，π6≤2x−π3≤2π3，∴ 12≤sin(2x−π3)≤1，1≤f(x)≤2．∵ 不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4，π2]上恒成立，∴ m−2<1且m+2>2，解得0<m<3，故实数m的取值范围为(0, 3)．19. 证法一：∵ AD // BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴ CD // BQ．∵ ∠ADC＝90∘∴ ∠AQB＝90∘，即QB⊥AD．又∵ 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴ BQ⊥平面PAD．∵ BQ ⊂平面PQB ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． 证法二：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ CD // BQ ． ∵ ∠ADC ＝90∘∴ ∠AQB＝90∘． ∵ PA ＝PD ，∴ PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ ＝Q ，∴ AD ⊥平面PBQ ．∵ AD ⊂平面PAD ，∴ 平面PQB ⊥平面PAD ． ∵ PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴ PQ ⊥AD ．∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴ PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n →=(0,0,1)；Q(0, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)．设M(x, y, z)，则PM →=(x,y,z −√3)，MC →=(−1−x,√3−y,−z)， ∵ PM →=tMC →，∴ {x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z) ，∴ {x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t⋯在平面MBQ 中，QB →=(0,√3,0)，QM →=(−t 1+t ,√3t 1+t ,√31+t )， ∴ 平面MBQ 法向量为m →=(√3,0,t)． ∵ 二面角M −BQ −C 为30∘， ∴ cos30=n →⋅m→|n →||m →|=√3+0+t2=√32， ∴ t ＝3．20. 解：（1）∵ a 1=1且S n ⋅S n−1+12a n =0即S n ⋅S n−1+12(S n −S n−1)=0(n ≥2)2S n ⋅S n−1=S n−1−S n 两边同除以S n ⋅S n−1得 2=1S n−1S n−1∴ 数列{1S n}是以1为首项，以2为公差的等差数列．∴ 1S n=1+2(n −1)=2n −1∴ S n =12n−1，当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，an =Sn −Sn −1=12n−1−12(n−1)−1=−2(2n−1)(2n−3)∴ a n ={−2(2n−1)(2n−3)1(n =1)(n ≥2)（2）11−S k+1=2k+12k用数学归纳法证明： 当n =1时，11−S 2=11−13=32=√94>√2，不等式成立． ①假设当n =k(k ≥2)时成立，即有11−S 2⋅11−S 3⋅…11−S k+1>√k +1成立那么当n =k +1时不等式11−S 2⋅11−S 3⋅ (1)1−Sk+1+11−S(k+1)+1>√k +1⋅2(k+1)+12(k+1)=√k +1⋅2k+32k+2下证√k +1⋅2k+32k+2>√k +2成立． 只需证2k+32k+2>√k+1k+2 两边平方即为 4k 2+12k+94k 2+4k+1>k+2k+1，两边减去1得8k+84k 2+4k+1>1k+1即证8(k +1)2>4k 2+4k +1， 即4k 2+12k +7>0，显然成立②由①②可知，原不等式对任意正整数n 都成立． 21. 解：（1）依题意，可设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为：x =my +p 由{x =my +p y 2=2px ⇒y 2−2pmy −2p 2=0∴{y 1+y 2=2pm ⋅∴ NA →⋅NB →=(x 1+p,y 1)⋅(x 2+p,y 2)=(x 1+p)(x 2+p)+y 1y 2=(my 1+2p)(my 2+2p)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2pm(y 1+y 2)+4p 2=2p 2m 2+2p 2当m =0时NA →⋅NB →的最小值为2p 2．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x =a ，AC 的中点为o′，l 与以AC 为直径的圆相交于P ，Q ，PQ 中点为H ，则o′H ⊥PQ ，o′的坐标为(x 1+p 2，y 12)．∵ |o ′P|=12|AC|=12√(x 1−p)2+y 12=12√x 12+p 2∴ |PH|2=|o ′P|2−|o ′H|2=14(x 12+p 2)−14(2a −x 1−p)2=(a −12p)x 1+a(p −a)∴ |PQ|2=(2|PH|)2=4[(a −12p)x 1+a(p −a)]令a −12p =0得a =12p ．此时|PQ|=p 为定值．故满足条件的直线l 存在， 其方程为x =12p22. 解：(1)当 a =12时，f(x)=12x 2+lnx ，f′(x)=x +1x=x 2+1x，对于x ∈[1, e]，有f ′(x)>0，∴ f(x)在区间[1, e]上为增函数， ∴ f max (x)=f(e)=1+e 22，f min (x)=f(1)=12． (2)在区间(1, +∞)上，函数f(x)是f 1(x)，f 2(x)的“活动函数”，则f 1(x)<f(x)<f 2(x),令 p(x)=f(x)−f 2(x)=(a −12)x 2−2ax +lnx <0，对x ∈(1, +∞)恒成立，且ℎ(x)=f 1(x)−f(x)=−12x 2+2ax −a 2lnx <0对x ∈(1, +∞)恒成立，∵ p′(x)=(2a −1)x −2a +1x =(2a−1)x 2−2ax+1x =(x−1)[(2a−1)x−1]x,①若 a >12，令p′(x)=0，得极值点x 1=1，x 2=12a−1，当x 2>x 1=1，即 12<a <1时，在(x 2, +∞)上有p′(x)>0， 此时p(x)在区间(x 2, +∞)上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈(p(x 2)，+∞)，不合题意；当x 2<x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p(x)在区间(1, +∞)上， 有p(x)∈(p(1)，+∞)，也不合题意；②若 a ≤12，则有2a −1≤0，此时在区间(1, +∞)上恒有p′(x)<0，从而p(x)在区间(1, +∞)上是减函数；要使p(x)<0在此区间上恒成立，只须满足 p(1)=−a −12≤0⇒a ≥−12， 所以 −12≤a ≤12． 又因为ℎ′(x)=−x +2a −a 2x=−x 2+2ax−a 2x=−(x−a)2x<0，ℎ(x)在(1, +∞)上为减函数，ℎ(x)<ℎ(1)=−12+2a≤0，所以a≤14，综合可知a的范围是[−12, 14 ]．。
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷文科数学参考答案
贵州省2013届高三年级六校第一次联考试卷文科数学参考答案2 2所以函数f (x)的最小正周期为 (II )由(I )易得M 3A于是由 f( ) M 3,即 2sin( A )1326因为 A 为三角形的内角，故 A .......................................................................................... 9 3 由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 得 4 b 2 c 2 be 2bc be be ....................................................... 11 解得be 413、8014、cosxn 4 C 16、215、2n 1三、解答题.17、解：(1)由 r r2a//b 得 2cos x2 3 sin xcos y0 ................ (2)2即 y 2cos x2、3 sin xcos cos2x ,3sin 2x1 2sin(2 x6) 14所以 f(x) 2sin(2x )1 , 6sin (A -) 1,于是当且仅当b c 2时，be的最大值为4 • (12)18解：12(I)由题，应从高三(7 )班中抽出12 4人，364'则从这6人中抽出2人的基本事件有：（人，人2）、（A,A 3）、（A,A 4）、（A i , B i ） > （A i , B 2）、(A 2, A 3) ' (A 2, A 4)、(A 2, B i )、(A 2, B 2)、(A 3, A 4)' (A 3,B i )、(A 3, B 2) > (A 4, B i ) >(A 4,B 2)、(B i ,B 2)共 15件,记“抽出的2人来自同一班”为事件C,则事件C 含:（A i , A>）、（A i , A 3）、（A, A 4）、（A 2, A 3）、(A 2,A 4)、(A 3,AJ 、(B i ,B 2)共 7 件,i7）班中抽出 i2 36 2人,3i ）班中抽出i293人,36 32）班中抽出 i2 9 3人。
2013届万学公共课学员基础阶段高数测试题(数二)
2013届万学公共课学员基础阶段高数测试题数学二答题注意事项1. 考试要求考试时间：90分钟 满分：100分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数:_____ __ ___一、客观题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）(1) 当0x →时，sin x x −是2x 的 （ ）()A 低阶无穷小 ()B 高阶无穷小()C 等价无穷小 ()D 同阶但非等价无穷小(2) 下列函数中在其定义域内连续的是 （ ）()A ()ln sin f x x x =+ ()B sin ,0()cos ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩()C 1,0()0,01,0x x f x x x x +>⎧⎪= =⎨⎪−<⎩()D0()0,0x f x x ≠= =⎩(3) 数列极限222222lim ()12n n n nn n n n →+∞+++=+++" （ ）()A2π()B6π()C3π()D4π(4) 微分方程2xy y e ′′−=−的一个特解应具有形式（其中,a b 为常数） （ ）()A x ae b + ()B x ae bx + ()C x axe b + ()D x axe bx +(5) 设=()y y x 是由方程sin ln()xy y x x +−=确定的函数，则0x dydx==_________.(6) 设()f x 是连续函数，且3120()x f t dt x −=∫，则(7)f =__________.二、解答题（本题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(7)（本小题满分10分）计算定积分222max(,)x x dx −∫.(8)（本小题满分12分）证明：方程1...1(1)nn x xx n −+++=>在区间(0,1)内必有唯一实根n x ，并求lim n n x →∞.(9)（本小题满分12分）求微分方程4cos 2y y x x ′′+=+的通解.(10)（本小题满分12分）设(,)(x y z f xy g y x =+，其中,f g 二阶可导，求2zx y∂∂∂.(11)（本小题满分12分）求0,0,0x y z >>>时，函数ln 2ln 3ln x y z ++满足22226x y z r ++=的极大值.(12)（本小题满分12分）计算二重积分222DI x y x dxdy =+−∫∫，其中22:4D x y +≤.。
2013届万学公共课学员6月份模拟测试题
y x
x y
2 2g 2 g y . x 2 y 2
2 x1 x2 x3 1, 取何值时,方程组 x1 x2 x3 2, 无解,有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时,写出方程组 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
sin x ,则 xf ( x)dx x 2
. .
(11) 曲线 y
x2 的斜渐近线方程为 2x 1
. .
.
(12)
1
0
2 x x 2 dx
(13) 微分方程 xy " 3 y ' 0 的通解为
1 0 1 (14) 设 A 0 2 0 ,而 n 2 为正整数,则 An 2 An 1 1 0 1
(
)
(2) 设周期函数 f x 在 , 内可导 , 周期为 4. 又 lim
x 0
f 1 f 1 x 1, 则曲线 y f x 在点 2x
( )
5, f 5 处的切线的斜率为
(A) 2 ． (3) 设函数 f x lim (B) 0 ． (C) 1 ． (D)
E A E B.
A 与 B 有相同的特征值和特征向量． A 与 B 都相似于一个对角矩阵． 对任意常数 t , tE A与tE B 相似． 二、填空题(本小题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把答案填在题中横线上)
(9) 设 y f (ln x)e f ( x ) ,其中 f 可微,则 dy (10) 设 f ( x ) 有一个原函数
(7) 设 1 , 2 ,, s 均为 n 维向量,下列结论不正确 的是 ．．．
2013学业考试数学模拟卷1(含答题卷、答案)
浙江省2013年初中毕业生学业考试数学试题模拟卷卷 Ⅰ一、选择题(每小题3分，共30分) 1．－3的倒数是（ ▲ ） A ．3B.－31 C.－3 D.31 2．4月30日，第8届义乌文博会落下帷幕. 博览会设国际标准展位3320个，展览面积近7万平方米. 有来自25个省(区、市)以及境外9个国家和地区的 1335家企业参展；实现展览成交额48.3亿元. 48.3亿用科学记数法应记为（ ▲ ） A ．8103.48⨯B. 1010483.0⨯ C. 91083.4⨯D. 710483⨯3．下列运算正确的是（▲ ）A ．2a 2+a 2=3a 4B ．a 6÷a 2=a 4C ．a 6•a 2=a 12D ．（﹣a 6）2=a 84．如图所示几何体的俯视图是（ ▲ ）5．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）6．不等式组43x +>⎧⎨的解集在数轴上可表示为（ ▲ ）7．下列调查方式，你认为最合适的是（▲ ）A ．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式B ．了解衢义乌市每天的流动人口数，采用抽查方式C ．了解义乌市居民日平均用水量，采用普查方式A ．B ．C ．D ．D ．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 8．下列命题中，正确的是（▲ ） A ．三点确定一个圆B.平分弦的直径垂直这条弦C ．相等的圆心角所对的弧相等 D.90°的圆周角所对的弦是直径9．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x 、乙立方体朝上一面朝上的数字为y ，这样就确定点P 的一个坐标（x y ，），那么点P 落在双曲线x y 6=上的概率为（ ▲ ） A ．118B ．112C ．19D ．1610．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长DE 到H 使DE ＝BM ，连接AM 、AH 。
2013年五月月考试题11
A .B . C. D. A . B .C. D.B AC 2013年六月模拟考试数学试题一、选择题：(每小题3分, 计45分) 1． －3的倒数是（ ）．A ．3B ．－3C ．13D ．－132．右边几何体的主视图是（）．A ．B ．C ．D ． 3．如果x 的算术平方根为4，则x 的值为（ ）．A ．4B ．16C ．±4D ．±16 4． 2013年一季度，全国城镇新增就业人数为389万人，用科学记数法表示389万正确的是（ ）．A. 3.89×107B. 3.89×106C. 3.89×105D. 3.89×104 5. 下列运算错误的是（ ）．A ．()326aa --= B ．()325a a = C ．231a a a -÷= D ．532a a a =⋅6. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）7．下列四个命题中，假．命题的是（ ）. A ．有三个角是直角的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C ．四条边都相等的四边形是菱形 D.顺次连接等腰梯形各边中点,得到一个矩形8．我市统计局发布的统计公报显示，2008年到2012年，我市GDP 增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这5年的年度GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小. A ．中位数 B ．平均数 C ．众数 D ．方差9．在一个不透明的盒里，装有8个红球和4个蓝球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，它为蓝球的概率是（ ）．A.23 B. 12 C. 13 D. 1510．下列图形中，由AB ∥CD ，能得到12∠=∠的是( ) ．11. 如果反比例函数的图象经过点（10，1），那么下列各点中在此反比例函数图象上的点是（ ）.A. (－2 , 5)B. (3 , －4)C. (－5 , －2)D. (1 , －10)12．函数y x 的取值范围是（ ）．A ．x ＞2B ．x≠2C ．x ＜2D ．x≠013．已知两圆的半径R , r 分别为方程01272=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( ) .A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切14．已知k 是不等于0的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ）.A ．y ＝－ k x ，y ＝－kx 2＋kB ．y ＝k x，y ＝－kx 2＋kC ．y ＝k x ，y ＝kx 2＋kD ．y ＝－k x，y ＝－kx 2－k151327个正方形组成，那么组成第12 ）．A ．44B ．45C ．46D ．47.二、解答题（本大题共9小题，计75分） 16．(6分)化简：a －2a ＋3 ÷ a 2－42a ＋6 － 5a ＋2.17．(6分)已知：如图，ABC △中，3:4:=AC AB ⑴作出∠BAC 的角平分线，交BC 于D (⑵求ABD △与ACD △的面积之比. 18．（7分）如图所示的圆锥中，AB 为底面圆的直径，OA ，OB 为母线，且△OAB 是边长为12cm 的等边三角形，求这个圆锥的侧面积．正方向(第15题)F 19．（7分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分为“优秀”、“合格”和“不合格”三个等级，数据处理后制成如图所示的折线统计图和扇形统计图．（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？（2）在该超市购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？20．如图，为了对我市城区省级文物保护对象－—高AC 约42米的天然塔（清乾隆五十七年重修）进行保护性维修，工人要在塔顶A 和塔底所在地面上的B 处之间拉一根铁丝，在BC 上的点D 处测得塔顶的仰角α为43°（测倾器DE 高1.6米，A ，E ，B 三点在同一条直线上）．求∠BAC 的度数和铁丝AB 的长．（接头部分的长度忽略不计，结果精确到0.1米．sin43°≈0.68,tan43°≈0.93）(第20)21.（8分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4 (1)求证：△ABE ∽△ADB （2）求AB 的长；（3）延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
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1 , 2 ,, s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.
(C) 若 1 , 2 ,, s 线性相关， 则对于任意一组不全为零的数 k1 , k 2 ,, k s ， 都有 k11 k 2 2 k s s 0. (D)
1 , 2 ,, s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
2013 届万学公共课学员 6 月份模拟测试题 数学一
答题注意事项 1. 考试要求 考试时间：180 分钟 2. 基本信息 学员姓名:____________ 分数:_____ __ ___ 满分：150 分.
1
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x)
2
E 为 n 阶单位矩阵， (6)设 A, B 为 n 阶矩阵， 且 A与B 相似， 则
(A) (B) (C) (D)
(
)
E A E B .
A与B 有相同的特征值和特征向量. A与B 都相似于一个对角矩阵. 对任意常数 t ， tE A与tE B 相似.
(7)设随机变量 X i
e f ( ) f ( ) 1
(19)(本小题满分 13 分) 利用高斯公式计算曲面积分
( x
2
cos y 2 cos z 2 cos )dS .其中 为锥面 x2 y 2 z 2 介于平
面 z 0 及 z h(h 0) 之间的部分的下侧，cos ,cos , cos 是 在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向余弦. (20)(本小题满分 11 分)
二、填空题(本小题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，把答案填在题中横线上) (9)设 y ln
1 x ，则 y x 0 1 x2
.
(10)设 f ( x ) 有一个原函数
sin x ，则 xf ( x)dx x 2
. .
1 (11)曲线 y x ln(e )( x 0) 的渐近线方程为 x dx (12) . 2 0 x 4x 8
1 cos x 0
sin t 2 dt , g ( x)
(A) 低阶无穷小. (C) 高阶无穷小. (2)设函数 f x lim
x5 x 6 ， 则当 x 0 时， f ( x ) 是 g ( x) 的 5 6 (B) 等价无穷小. (D) 同阶但不等价的无穷小.
(
)
1 x , 讨论函数 f x 的间断点， 其结论为 n 1 x 2 n (A) 存在间断点 x 1 . (B) 存在间断点 x 1 . (C) 存在间断点 x 0 . (D) 不存在间断点.
2 x1 x2 x3 1, 取何值时，方程组 x1 x2 x3 2, 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时，写出方 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
程组的通解. (21)(本小题满分 10 分) 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2 A 0 ，已知 A 的秩为 r( A) 2 (1) 求 A 的全部特征值 (2) 当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵 (22)(本小题满分 11 分) 设随机变量 X , Y 相互独立，其概率密度函数分别为 f X ( x)
(16)(本小题满分 11 分) 求二重积分 y[1 xe 2
D 1 ( x2 y 2 )
du . dx
]dxdy 的值，其中 D 是由直线 y x ， y 1及x 1 围成的平面区域.3Βιβλιοθήκη (17)(本小题满分 9 分)
x4 x6 x8 设级数 2 4 2 4 6 2 4 6 8
e y , y 0 1, 0 x 1 ， fY ( y ) ，求 0, 其他 0, y 0
Z 2 X Y 的概率密度函数.
(23)(本小题满分 10 分) 已知总体 X 的概率密度 f ( x)
2 样本， Y X .
e ( x 2) , x 2 0, x 2
(
)
)
n 1
(u2n1 u2n ) 收敛，则 un 收敛.
n 1
(2) 若
n 1
un 收敛，则 un1000 收敛.
n 1
(3) 若 lim
un 1 1 ，则 un 发散. n un n 1
(4) 若 (A)②③
n 1
(un vn ) 收敛，则 un ， vn 都收敛.
2
(
)
(3)已知函数 y f ( x ) 对一切 x 满足 xf ( x) 3x f ( x) 1 e x ， 若 f ( x0 ) 0( x0 0) ， 则 (A) f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极大值. (B) f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极小值. (C) 点 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x ) 的拐点. (D) f ( x0 ) 不是 f ( x ) 的极值，点 ( x0 , f ( x0 )) 也不是曲线 y f ( x ) 的拐点. (4)设有下列命题, 则以上命题中正确的是 (1) 若 (
1 0 1 1 1 1 (i 1,2) ， 且满足 P{X1 X 2 0} 1 ， 则 P{X1 X 2 } 等于 4 2 4
(B)
(
)
(A) 0.
1 . 4
(C)
1 . 2
(D) 1. ( )
(8)设 X 是一随机变量， 则对任意常数 c 必有 E( X ) , D( X ) 2 (, 0 常数)， (A) E( X c)2 E( X 2 ) c2 . (C) E( X c)2 E( X )2 . (B) E( X c)2 E( X )2 . (D) E( X c)2 E( X )2 .
(1) S ( x) 所满足的一阶微分方程； (2) S ( x) 的表达式. (18)(本小题满分 10 分)
( x ) 的和函数为 S ( x) ，求：
设 f ( x) 在 a, b 上连续，在 a, b 可导，且 f (a) f (b) 1，试证存在 , a, b ，使得
1 0 1 An 2 An 1 (13)设 A 0 2 0 ，而 n 2 为正整数，则 1 0 1
.
2 (14) 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 N (0, 3 )，而 X1 ,
, X 9 和 Y1 , ,Y9 分别是来自总体
.
X 和Y 的简单随机样本，则统计量 U
n 1 n 1
(B)①②
(C)③④
(D)①④ ( )
(5)设 1 , 2 ,, s 均为 n 维向量，下列结论不正确 的是 ．．．
(A) 若对于任意一组不全为零的数 k1 , k 2 ,, k s ， 都有 k11 k 2 2 k s s 0 ， 则 1 , 2 ,, s 线性无关. (B)
X1 Y
2 1
X9 Y92
服从
分布，参数为
三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本小题满分 9 分)
y y ( x ), z z ( x) 分别由方程 e xy y 0 和 e z xz 0 所确定， 设 u f ( x, y , z ) 具有连续偏导数， 求
( 0) ， X1 , X 2 ,
, X n 为来自总体 X 的简单随机
(I) 求 Y 的期望 EY ； (II) 求 的矩估计量 1 和最大似然估计量 2 .
4
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